a) ondas de rádio com λ = 10 m;

Exercícios de Física Atômica Molecular e Ótica - Lista 2

Prof. Marcus V. O. Moutinho

Universidade Federal do Rio de Janeiro - Campus Duque de Caxias.

(01) Calcule quantos fótons por segundos são emitidos por uma fonte monocromática com 1 watt de potência para os seguintes comprimentos do onda:

a) ondas de rádio com λ = 10 m;

b) microondas com λ = 10 cm;

c) luz de sódio amarela com λ = 589 nm;

d) raio-X fraco com λ = 1 Å;

Em cada caso, determine também o número de fótons por segundo que passam através de uma área unitária, normal à direção de propagação, a uma distância de 10 m da fonte.

(02) Mostre que o número de estados de um elétron livre se movendo na direção (θ, φ) dentro de um ângulo sólido dΩ em uma grande caixa cúbica de volume V , com energia entre E e E + dE é dada por

ρ(E)dΩ = mkV 8 ~

π

dΩ,

onde E = ~

k

/2m . Em termos da frequência angular ω = E/ ~, mostre que ρ(ω)dω = ρ(E)dE = ~ ρ(E)dω . (03) Mostre que a equação de Schrodinger para um átomo hidrogenoide em um campo eletromagnético externo (além do potencial de Coulomb), pode ser transformada na forma

i ~

∂Φ

∂t =

− ~

2m ∇

− Ze

(4πε

)r + e(E · r)

Φ onde é assumido que o potencial vetorial A não varia consideravelmente sobre as dimensões espaciais do átomo (aproximação de dipolo), sendo Ψ = Φ exp[−ieA(t) · r/ ~ ] e E = −∂A/∂t .

(04) Calcule o tempo de vida (em segundos) para cada um dos quatro estados do hidrogênio n = 2 , avaliando os elementos de matriz hn

l

m

|x|nlmi , hn

l

m

|y|nlmi e hn

l

m

|z|nlmi , sendo x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ e z = r cos θ . Use regras de seleção para excluir os elementos nulos.

(05) Mostre a relação de comutação L

,

L

, r

= 2 ~

rL

+ L

r . Dica: primeiro mostre que

L

, z

= 2i ~ (xL

−yL

−i ~ z) e depois use o fato que r · L = r · (r × p) para mostrar que

L

, L

, z

= 2 ~

zL

+ L

z . Por m, generalize o resultado para r .

(06) Resolva a equação obtida para a regra de seleção entre l e l

onde 2[l

(l

+1)+l(l+1)] = [l

(l

+1)−l(l+1)]

, e

mostre que as soluções são l

= l = 0 ou l

= l ±1 . Mostre também que l

= l = 0 implica em hn

l

m

|r|nlmi = 0 . (07) Resolvendo o sistema de equações para os spinores de 2-componentes η(r) e ψ(r) , que compõem a solução estacionária da equação de Dirac no limite não relativístico, encontramos

E

ψ(r) = c

(i ~ σ · ∇) 1

E

+ 2mc

− V (r) (i ~ σ · ∇)ψ(r) + V (r)ψ(r)

Expandindo

[E

+ 2mc

− V (r)]

≈ 1 2mc

1 − E

− V (r) 2mc

,

e utilizando a propriedade das matrizes de Pauli (σ · A)(σ · B) = A · B + iσ · (A × B),

encontre a expressão do Hamiltoniano para átomos de um elétron com correção relativística até ordem (v/c)

, sem incluir o termo de Darwin.

(08) Utilizando funções de onda hidrogenoides ψ

(r, θ, φ) = R

(r)Y

(θ, φ) , com

R

(r) = − ( 2Z

na

(n − l − 1)!

2n[(n + l)!]

)

e

ρ

L

(ρ),

onde ρ = (2Z/na

)r e a

= 4πε

~

/me

, mostre que

|ψ

(0)|

= (Z/na

)

/π

(09) Obtenha o valor de hnlm|r

|nlmi utilizando o teorema de Feynman-Hellman e a relação de Kramers

s + 1

n

hr

i−(2s+1)a

hr

i+ s

4 [(2l+1)

−s

]a

hr

i = 0 onde s é um expoente inteiro.

(10) Mostre que a correção de estrutura na na energia cinética pode ser obtida através das expressões relativísticas para T e p , onde

T = mc

p 1 − (v/c)

− mc

e p = mv

p 1 − (v/c)

.

(11) Encontre a correção relativística de ordem mais

baixa para os níveis de energia do oscilador harmônico

unidimensional. Dica: lembre-se que p

= 4m

(E − V )

e use operadores de criação e aniquilação (ou de escada)

quando for obter os valores esperados hx

i e hx

i .

2 (12) Considere os oito n = 2 estados |2ljm

i . Calcule

a energia de cada estado de acordo com a separação Zeeman no campo fraco e monte um diagrama para mostrar como as energias evoluem conforme B

aumenta.

(13) Considere os oito n = 2 estados |2lm

m

i . Calcule a energia de cada estado de acordo com a separação Zeeman no campo forte. Expresse cada energia como somatório de três parcelas: a energia de Bohr, a estrutura na (proporciona a α

) e a contribuição Zeeman (proporcional a µ

B

). Quantos níveis haverá se a estrutura na for desprezada?

(14) Calcule o comprimento de onda, em centímetros, do fóton emitido sob a transição hiperna no estado fundamental ( n = 1 ) do deutério, que é um hidrogênio pesado tendo um nêutron extra em seu núcleo, que possui spin 1 e momento magnético µ

= ( g

e/2m

)S

,

sendo o fator g do deutério igual a 1, 71 .

(15) Considere as funções de onda do nível 2

S do hélio, que são dadas na aproximação de campo central por

Ψ

= φ

(r

, r

)



 

 

α(1)α(2), M

= 1

√ 1

2 [α(1)β(2) + β(1)α(2)], M

= 0

β(1)β(2), M

= −1

com

φ

(r

, r

) = 1

√ 2 [u

(r

)u

(r

) − u

(r

)u

(r

)].

Escreva as três funções Ψ

na forma de determinante de Slater (ou em uma soma se determinantes) construídos com os orbitais de spin

u

= u

(r)α, u

= u

(r)β

u

= u

(r)α, u

= u

(r)β