UFPE — MA535 — 2014.2 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA
LISTA DE EXERC´ ICIOS 12 – v. 0.1
Defini¸c˜oes. Dado um conjunto X, recordar que uma rela¸c˜ao de equi- valˆencia ∼ em X ´e uma rela¸c˜ao reflexiva, sim´etrica e transitiva em X, e que P ´eparti¸c˜ao deX se, e somente se:
− P ´e uma fam´ılia de subconjuntos n˜ao-vazios de X (“c´elulas” de P), ou seja, P ⊂ P(X)\{∅};
− As c´elulas de P s˜ao duas a duas disjuntas; e
− ⊔P =X.
Obs. Imaginem torcidas de times de futebol dentro das quais os torcedores equivalem entre si para efeito de torcida, e sem ”vira casaca”algum.
Ex.: Rela¸c˜oes j´a vistas em outras disciplinas: congruˆencia em geometria;
duas retas (no plano ou no espa¸co euclidianos) serem paralelas ou coinciden- tes; equipolˆencia de segmentos orientados (na reta, no plano ou no espa¸co euclidianos).
Quest˜ao 1. Que rela¸c˜oes s˜ao de equivalˆencia dentre aquelas apresentadas nas quest˜oes 3 a 5 da Lista 7 de MA989–2014.1?
Quest˜ao 2. (M´edio). Seja A um conjunto. Demonstrar que:
2.a. Demonstrar que toda rela¸c˜ao de equivalˆencia ∼ em A induz uma parti¸c˜ao deA, a saber, o conjunto quociente A/∼:={[a]∼|a∈A}, onde
[a]∼ :={b ∈A|b∼a} ´e a classe de equivalˆenciade X por∼. Em suma, demonstrar que A/∼´e parti¸c˜ao de A;
2.b. Provar que toda parti¸c˜ao P de A induz uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em A, a saber, ∀a, b∈ A, a ∼P b ⇐⇒ ∃C ∈ P : a, b∈ C (a e b est˜ao na mesma c´elula deP). Em suma, demonstrar que ∼P ´e rela¸c˜ao de equivalˆencia em A;
2.c. Provar que as constru¸c˜oes acima s˜ao inversas: ∼A/∼=∼ e A/∼P =P; Ex.: Cada torcida de futebol ´e uma classe de equivalˆencia, al´em da classe dos indiv´ıduos que n˜ao torcem para time algum, dedicando seu tempo ao estudo da matem´atica.
1
Ex.: Classes de congruˆencia de segmentos e de ˆangulos correspondem `as me- didas deles; classes de retas paralelas ou coincidentes formalizam dire¸c˜oes;
classes de equipolˆencia s˜ao osvetores na abordagem de Giusto Bellavitis.
Defini¸c˜ao. Dados conjuntos X eY, uma fun¸c˜aof :X −→Y e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia ∼ em X, dizemos que f passa ao quociente X/ ∼ se, e somente se, os valores de f est˜ao bem definidos nas classes de equivalˆencia de X por ∼ : ∀x, x′ ∈ X, x∼ x′ =⇒ f(x) = f(x′). Dizemos que a fun¸c˜ao
π∼ : X −→X/ ∼
x 7−→π∼(x) = [x]∼ ´e a proje¸c˜ao deX sobre X/∼.
Quest˜ao 3. (Dif´ıcil e muito importante)
3.a. Demonstrar que, para toda rela¸c˜ao de equivalˆencia ∼ num conjunto A, a proje¸c˜ao π∼ ´e uma sobreje¸c˜ao e ´e caracterizada pela seguinte propriedade universal: dados um conjunto B e uma fun¸c˜ao f : A −→ B, f passa ao quociente A/ ∼ se, e somente se, existe uma ´unica fun¸c˜ao f : A/∼ −→ B tal que f◦π∼ =f, a saber, f([a]∼) =f(a):
A
π∼
f
&&
▲
▲
▲▲
▲
▲▲
▲
▲
▲▲
▲
▲▲
▲
A/∼
f
//
❴
❴
❴
❴
❴
❴ B
3.b. Dados um conjunto B e uma fun¸c˜ao f : A −→ B, consideremos a rela¸c˜ao
∼f em A dada por: ∀a, a′ ∈A, a ∼f a′ ⇐⇒f(a) =f(a′). Provar que:
i. ∼f ´e rela¸c˜ao de equivalˆencia;
ii. A/∼f ={f−1({b})|b∈Im(f)};
iii. ∀b∈Im(f), f (f−1({b})) =b;
iv. Logo, f ´e injetiva, isto ´e, ´e uma bije¸c˜ao sobre Im(f).
Quest˜ao 4. (Fra¸c˜oes; Q a partir de um sistema de n´umeros inteiros Z). Q pode ser realizado como o quociente de Z×(Z\{0}) pela seguinte rela¸c˜ao de equivalˆencia: ∀m, n, m′, n′ ∈Z tais que n6= 06=n′,
(m, n)≈(m′, n′)⇐⇒m n′ =m′n, 2
definindo a classe de equivalˆencia (fra¸c˜ao) m
n := [(m, n)]≈. A adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao emQ s˜ao modeladas como: ∀m, n, p, q ∈Z tais quen 6= 06=q,
m n +p
q := mq+pn
nq e m
n · p
q := mp nq
Obs. Distinguir, cuidadosamente, as opera¸c˜oes emZ das opera¸c˜oes em Q.
4.a. Provar que ≈´e rela¸c˜ao de equivalˆencia;
4.b. Lema: ∀m, n, z ∈Z tais que n 6= 06=z, mn = mznz;
4.c. Provar que a adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao acima passam ao quociente, fornecendo resultados bem definidos.
Dica: A ideia para este tipo de problema ´e mostrar que, se mn = ab e pq = cd, ent˜ao mn +pq = ab +cd e mn · pq = ab · cd;
NA VERS ˜AO 1.0 DESTA LISTA: EXERC´ICIOS ALG´EBRICOS EM AN´EIS ORDENADOS APLICADOS A ESTE EXEMPLO E `AS CONS- TRU ¸C ˜OES DEZ A PARTIR DE N.
3
