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QUESTÕES DE FUNÇÕES DO ITA DE 1971 A 2021

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QUESTÕES DE FUNÇÕES DO ITA DE 1971 A 2021 ENUNCIADOS

1) (ITA 1971) Se f é uma função real de variável real dada por f x x ,2 então

2 2

f x y é igual a:

a) f f x  f y 2f x f y    para todo x e y.

b) f x 2 2f f x  f x f y    para todo x e y.

c) f x 2 f y 2 f x f y    para todo x e y.

d) f f x  f f y  2f x f y    para todo x e y.

e) f f x  2f y 2 2f x f y    para todo x e y.

2) (ITA 1972) Seja f x x2pxp uma função real de variável real. Os valores de p para os quais f x 0 possua raiz dupla positiva são:

a) 0 p 4. b) p4 c) p0.

d) f x 0 não pode ter raiz dupla positiva.

e) nenhuma das respostas anteriores.

3) (ITA 1973) O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função

  kt

X t  C e , onde X t é um número de bactérias no tempo t  0; C e k são constantes positivas (e é a base do logaritmo neperiano). Verificando-se que o número inicial de bactérias X 0 , duplica em 4 horas, quantas bactérias se pode esperar no fim de 6 horas?   a) 3 vezes o número inicial.

b) 2,5 vezes o número inicial.

c) 2 2 vezes o número inicial.

d) 2 2 vezes o número inicial. 3 e) n.d.a.

4) (ITA 1973) A lei de decomposição do radium no tempo t0, é dada por

  kt

M t  C e , onde M t é a quantidade de radium no tempo t, C e k são constantes   positivas e e é a base do logaritmo neperiano. Se a metade da quantidade primitiva M 0 ,   desaparece em 1600 anos, qual a quantidade perdida em 100 anos?

a) 1 100 1 da quantidade inicial.

b) 1 2 6 da quantidade inicial.

c) 1 2 16 da quantidade inicial.

d)

1

1 2 16 da quantidade inicial.

e) n.d.a.

(2)

5) (ITA 1974) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do conjunto dos números reais. Sejam as funções f : AB yf x ,  g : DB xg t , e a função composta f g : EK (e, portanto, zf g t f g t .   Então, os conjuntos E e K são tais que:

a) EA e KD b) EB e KA

c) ED, DE e KB d) ED e KB

e) n.d.a.

6) (ITA 1974) O conjunto de todos os valores de x para os quais existe um y real de modo que

2

10 10 2

7 2x x y log log

3 4x

é dado por:

a) intervalo aberto A, de extremos 2 e 2.

b) intervalo aberto A, de extremos 3 e 3.

c) intervalo aberto A, de extremos 3

2 e 3. 2 d) intervalo aberto A, de extremos 3

2 e 1.

e) n.d.a.

7) (ITA 1975) Seja   x x

x x

e e

f x

e e

definida em . Se g for a função inversa de f, o valor de

g 7

e 25

será:

a) 4

3 b) 7e

25 c) e 25

log 7

d)

7 2

e 25

e) NDA

8) (ITA 1976) Considere g : a, b, c   a, b, c uma função tal que g a b e g b a.

Então, temos:

a) a equação g x x tem solução se, e somente se, g é injetora.

b) g é injetora, mas não é sobrejetora.

c) g é sobrejetora, mas não é injetora.

d) se g não é sobrejetora, então g g x  x para todo x em a, b, c .

e) n.d.r.a.

9) (ITA 1976) Seja A e B conjuntos infinitos de números naturais. Se f : AB e g : BA são funções tais que f g x  x, para todo x em B e g f x  x, para todo x em A, então, temos:

a) existe x em B, tal que o f y x ,o para todo y em A.

b) existe a função inversa de f.

(3)

c) existe x e o x em A, tais que 1 xo x1 e f x   o f x .1 d) existe a em B, tal que g f g a  g a . 

e) n.d.r.a.

10) (ITA 1976) Seja A uma função real de variável real x, tal que:

 

2x x

e 2e A x  1 0, para todo número real x.

Nestas condições, temos:

a) A 0 1, A x Ax , para todo número real x e não existe um número real x0, satisfazendo a relação A x 1.

b) A 0 1 e A x 0, para algum número real x.

c) A 1 0 e A x Ax , para todo número real x.

d) não existe um número real x, não nulo, satisfazendo a relação A x 1 e não existe um número real x, satisfazendo A x A x .

e) n.d.r.a.

11) (ITA 1976) Considere a seguinte função real de variável real   x x

x x

e e

M x .

e e

Então

a) Para todo x1, ocorre M x 1.

b) Para todo número real x ocorrem, simultaneamente, M   x M x  e 0M x 1.

c) Existem um a (número real positivo) e um b (número real negativo), tais que

    M a M b .

d) M x 0, somente quando x0 e M x 0 apenas quando x0.

e) n.d.r.a.

12) (ITA 1977) Considere a função F x  x21 definida em . Se F F representa a função composta de F com F, analise as afirmações abaixo:

(1) F F x x x21, para todo x real.

(2) Não existe número real y, tal que F F y y.

(3) FoF é uma função injetora.

(4) F F x 0, apenas para dois valores reais de x.

O número de afirmativas VERDADEIRAS é:

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

13) (ITA 1977) Supondo que ab, onde a e b são constantes reais, considere a função

 

H x   a b a x definida no intervalo fechado  0,1 . Podemos assegurar que:

a) H não é uma função injetora.

b) Dado qualquer y, sempre existe um x em  0,1 satisfazendo H x y.

c) Para cada y, com a y b, corresponde um único real x, com 0 x 1, tal que H x y.

(4)

d) Não existe uma função real G, definida no intervalo fechado  a, b , satisfazendo a relação G H x  x para cada x em  0,1 .

e) n.d.a.

14) (ITA 1978) Sejam o conjunto dos números reais e f uma função de em . Sejam B e o conjunto f1 B x ; f x B , então:

a) f f 1 B B

b) f f 1 B B se f é injetora.

c) f f 1 B B

d) f1f B B se f é sobrejetora e) n.d.a.

15) (ITA 1978) Seja f x uma função real de variável real. Se para todo x no domínio   de f temos f x  f x , dizemos que a função é par; se, no entanto, temos

 

f x   f x , dizemos que a função é ímpar. Com respeito à função

  e 2

g x log sen x 1 sen x , podemos afirmar que:

a) está definida apenas para x0.

b) é uma função que não é par nem ímpar.

c) é uma função par.

d) é uma função ímpar.

e) n.d.a.

16) (ITA 1978) Qual das funções definidas abaixo é bijetora? Obs. x ; x0

e  a, b é o intervalo fechado de extremos a e b.

a) f : tal que f x x .2 b) f : tal que f x  x 1.

c) f : 1,3    2, 4 tal que f x  x 1.

d) f : 0, 2  tal que f x sen x.

e) n.d.a.

17) (ITA 1979) Seja f uma função real definida para todo x real tal que: f é ímpar;

   

f xy f x f y ; e f x 0, se x0. Definindo g x     f x f 1 ,

x

se x0.

Sendo n um número natural, podemos afirmar que:

a) f é não-decrescente e g é uma função ímpar.

b) f é não-decrescente e g é uma função par.

c) f é não-decrescente e 0g n f 1 .  d) f não é monótona e 0g n f 1 . 

e) não é possível garantir que 0g n f 1 . 

(5)

18) (ITA 1980) Sejam A e B subconjuntos não vazios de e f A B, g B A duas funções tais que fogI ,B onde I é a função identidade em B. Então podemos B afirmar que:

a) f é sobrejetora.

b) f é injetora.

c) f é bijetora.

d) g é injetora e par.

e) g é bijetora e ímpar.

19) (ITA 1980) No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a curva yax2bxc passa pelos pontos  1,1 , 2, m e m, 2, onde m é um número real diferente de 2. Sobre esta curva podemos afirmar que:

a) Ela admite um mínimo para todo m tal que 1 3 2 m 2. b) Ela admite um mínimo para todo m tal que 0 m 1. c) Ela admite um máximo para todo m tal que 1 1

2 m 2

   . d) Ela admite um máximo para todo m tal que 1 3

2 m 2. e) Ela admite um máximo para todo m tal que 0 m 1.

20) (ITA 1982) Seja f : definida por f x  xx ab, se x b. b, se x b

 

   

Se f f x  x para todo x real e f 0  2, então

a) ab 2 b) ab 1 c) ab0 d) ab 1 e) ab2 21) (ITA 1983) Dadas as funções f x 2 log2xx e g x 2sen x 3sen x 12 definidas para x0 e 1

x ,

2 o conjunto

   

*

A x : g f x  0 f x 0, 2 é dado por

a) A

42, 46 , 46 5 5

b) A

22, 26 , 26 55 

c) A42, 46, 46 5 

d) A

422 , 462 , 46 55 

e) A

22, 46 , 26 5 5

(6)

22) (ITA 1983) Sejam três funções f , u, v : tais que f x 1xf x   f x1 para todo x não nulo e u x 2v x 2 1 para todo x real. Sabendo-se que x é um 0 número real tal que u x   0 v x0 0 e

o o

1 1

f 2,

u(x ) v(x )

o valor de o

o

u(x ) f v(x )

é:

a) 1 b) 1 c) 2 d) 1

2 e) 2

23) (ITA 1984) Seja f x e x24, onde x e é o conjunto dos números reais.

Um subconjunto D de tal que f : D é uma função injetora é:

a) Dx : x2 ou x0

b) Dx : x2 ou x 2

c) D

d) Dx : 2  x 2

e) Dx : x2

24) (ITA 1985) Considere as seguintes funções:   7

f x x

 2 e   2 1

g x x

4 definidas para todo x real. Então, a respeito da solução da inequação g f x g f x , podemos afirmar que:

a) Nenhum valor de x real é solução.

b) Se x3 então x é solução.

c) Se 7

x2 então x é solução.

d) Se x4 então x é solução.

e) Se 3 x 4 então x é solução.

25) (ITA 1985) Dadas as sentenças:

I – Sejam f : XY e g : YX duas funções satisfazendo g f x x, para todo xX. Então, f é injetiva, mas g não é necessariamente sobrejetiva.

II – Seja f : XY uma função injetiva. Então, f A f B f A B , onde A e B são dois subconjuntos de X.

III – Seja f : XY uma função injetiva. Então, para cada subconjunto A de X,

 C  C

f A f A onde AC xX | xA e f A C xY | xf A . 

podemos afirmar que está (estão) correta(s):

a) As sentenças I e II. b) As sentenças II e III.

c) Apenas a sentença I. d) As sentenças I e III.

e) Todas as sentenças.

(7)

26) (ITA 1986) Sejam a, b, c números reais dados com a0. Suponha que x e 1 x 2 sejam as raízes da função yax2bxc e x1x .2 Sejam 3 b

x  2a e

2 4

2b b 4ac

x .

4a

  Sobre o sinal de y podemos afirmar que:

a) y0,  x , x1 x x3 b) y0,  x , x4  x x2 c) y0,  x , x1 x x4 d) y0,  x , xx4 e) y0,  x , xx3

27) (ITA 1986) Seja f : uma função que satisfaz à seguinte propriedade:

   

f xy f x f y , x, y . Se g x f log10x212 então podemos afirmar que

a) O domínio de g é e g 0 f 1 . 

b) g não está definida para os reais negativos e g x 2f log 10x21 , para x0.

c) g 0 0 e g x 2f log 10x21 ,  x . d) g 0 f 0  e g é injetora.

e) g 0  1 e g x f log10x2112, x  .

28) (ITA 1986) Seja a , 0 a 1 e f a função real de variável real definida por

  ax2 a212

f x .

cos 2 x 4 cos x 3

    Sobre o domínio A desta função podemos afirmar que:

a)  , 2 A b) A  2, 2 c) 2, 2A

d) x | x e x 2A

e) A  2, 2

29) (ITA 1986) Consideremos as seguintes afirmações sobre uma função f : . 1. Se existe x tal que f x  f x então f não é par.

2. Se existe x tal que f  x f x  então f é ímpar.

3. Se f é par e ímpar então existe x tal que f x 1.

4. Se f é ímpar então f f (f composta com f) é ímpar.

Podemos afirmar que estão corretas as afirmações de números

a) 1 e 4 b) 1, 2 e 4 c) 1 e 3 d) 3 e 4 e) 1, 2 e 3

(8)

30) (ITA 1987) Considere xg y  a função inversa da seguinte função:

  2

yf x x  x 1, para cada número real 1

x .

2 Nestas condições, a função g é assim definida:

a) 1 3

g(y) y ,

2 4

  para cada 3

y .

4

b) 1 1

g(y) y ,

2 4

  para cada 1

y .

4

c) 3

g(y) y ,

4 para cada 3

y .

4

d) 1

g(y) y ,

4 para cada 1

y .

4

e) 3 1

g(y) y ,

4 2

  para cada 1

y .

2

31) (ITA 1987) Considere a função yf x  definida por f x x32x25x, para cada x real. Sobre esta função, qual das afirmações abaixo é verdadeira?

a) yf x  é uma função par.

b) yf x  é uma função ímpar.

c) f x 0 para todo real x.

d) f x 0 para todo real x.

e) f x tem o mesmo sinal de x, para todo real   x0.

32) (ITA 1988) Seja f x log2x21 , x  , x 1. A lei que define a inversa de f é:

a) 1 2 , y y  . b)  1 2 ,y y  . c) 1 1 2 , y y  . d)  1 2 ,y y  , y0.

e) 1 1 2 , y y  , y0.

33) (ITA 1988) Considere   1 2

2

A x log 2x 4x 3 , x  . Então temos:

a) A x 1, para algum x , x1.

b) A x 1, para algum x .

c) A x 1, apenas para x tal que 0 x 1.

d) A x 1, para cada x tal que 0 x 1.

e) A x 1, para cada x .

(9)

34) (ITA 1988) Sejam f e g funções reais de variável real definidas por f x ln x 2x

e   1

g x .

1 x

Então, o domínio de f g é:

a)  0, e b)  0,1 c) e, e 1 d) 1,1 e) 1,

Nota: f g é a lei definida por f g x f g x   para cada x de seu domínio.

35) (ITA 1988) Seja f : uma função estritamente decrescente, isto é, quaisquer x e y reais com xy tem-se f x f y .  Dadas as afirmações:

I. f é injetora.

II. f pode ser uma função par.

III. Se f possui inversa então sua inversa também é estritamente decrescente.

Podemos assegurar que:

a) apenas as afirmações I e III são verdadeiras.

b) apenas as afirmações II e III são falsas.

c) apenas a afirmação I é falsa.

d) todas as afirmações são verdadeiras.

e) apenas a afirmação II é verdadeira.

36) (ITA 1989) Os valores de , 0    e , 2

  para os quais a função f : dada por f x 4x24xtg2 assume seu valor mínimo igual a 4, são

a) 4

e 3 4

b) 5

e 2 5

c) 3

e 2 3

d) 7

e 2 7

e) 2 5

e 3 5

37) (ITA 1989) Sejam A e B subconjuntos de , não vazios, possuindo B mais de um elemento. Dada uma função f : AB, definimos L : A A B por L a a, f a , para todo aA. Podemos afirmar que

a) A função L sempre será injetora.

b) A função L sempre será sobrejetora.

c) Se f for sobrejetora, então L também o será.

d) Se f não for injetora, então L também não o será.

e) Se f for bijetora, então L será sobrejetora.

38) (ITA 1989) Sejam f , g : duas funções tais que

a) g f : é injetora. Verifique se f é injetora e justifique sua resposta.

b) g f : é sobrejetora. Verifique se g é sobrejetora e justifique sua resposta.

39) (ITA 1990) Dadas as funções   x

x

f x 1 e , 1 e

x  0 e g x x sen x, x , podemos afirmar que:

a) ambas são pares. b) f é par e g é ímpar

c) f é ímpar e g é par. d) f não é par e nem ímpar e g é par.

(10)

e) ambas são ímpares.

40) (ITA 1990) Seja f : a função definida por   2

x 2, se x 1

f x x , se 1 x 1.

4, se x 1

 

  

Lembrando que se A então f1 A x : f x A , considere as afirmações:

(I) f não é injetora e f1 3, 5  4 .

(II) f não é sobrejetora e f1 3, 5 f1 2, 6 .

(III) f é injetora e f1 0, 4    2, . Então podemos garantir que:

a) apenas as afirmações II e III são falsas.

b) as afirmações I e III são verdadeiras.

c) apenas a afirmação II é verdadeira.

d) apenas a afirmação III é verdadeira.

e) todas as afirmações são falsas.

41) (ITA 1990) Seja a função f :  2   3 definida por   2x 3

f x 1.

x 2

Sobre

sua inversa podemos garantir que:

a) não está definida pois f não é injetora.

b) não está definida pois f não é sobrejetora.

c) está definida por f 1 y y 2, y 3.

y 3

d) está definida por f 1 y y 5 1, y 3.

y 3

e) está definida por f 1 y 2y 5 1, y 3.

y 3

42) (ITA 1990) Sejam as funções f e g dadas por:

  1, se x 1

f : , f x

0, se x 1

 

    2x 3

g : 1 , g x

x 1

Sobre a composta f g x f g x   podemos garantir que:

a) se 3

x ,

2 f g x  0 b) se 3

1 x ,

  2 f g x  1 c) se 4

x 2,

3  f g x  1 d) se 4

1 x ,

  3 f g x  1 e) n.d.a.

43) (ITA 1991) Considere as afirmações:

I- Se f : é uma função par e g : uma função qualquer, então a composição g f é uma função par.

(11)

II- Se f : é uma função par e g : uma função ímpar, então a composição f g é uma função par.

III- Se f : é uma função ímpar e inversível então f1: é uma função ímpar.

Então:

a) Apenas a afirmação I é falsa;

b) Apenas as afirmações I e II são falsas;

c) Apenas a afirmação III é verdadeira;

d) Todas as afirmações são falsas;

e) Todas as afirmações são verdadeiras.

44) (ITA 1991) Sejam a , a1 e f : definida por   ax a x

f x .

2

A função

inversa de f é dada por:

a) logax x21, para x1. b) loga x x21, para x . c) logax x21, para x . d) loga x x21, para x 1. e) n.d.a.

45) (ITA 1991) Seja f : definida por:

 

x 2

e , se x 0

f x x 1, se 0 x 1

ln x, se x 1

 

Se D é um subconjunto não vazio de tal que f : D é injetora, então:

a) D e f D    1, .

b) D   ,1 e, e f D    1, .

c) D0, e f D    1, .

d) D 0, e e f D   1,1. e) n.d.a.

Notação: f D y : yf x , x  D e ln x denota o logaritmo neperiano de x . Observação: esta questão pode ser resolvida graficamente.

46) (ITA 1992) Considere as funções f : * , g : e h : * definidas por:

 

x 1

f x 3 x

; g x x2;   81 h x x .

O conjunto dos valores de x em * tais que f g x   h f x , é subconjunto de:

a)  0,3

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