QUESTÕES DE FUNÇÕES DO ITA DE 1971 A 2021

QUESTÕES DE FUNÇÕES DO ITA DE 1971 A 2021 ENUNCIADOS

1) (ITA 1971) Se f é uma função real de variável real dada por _{f x} _{x ,}² então

 ^{2 2}

f x y é igual a:

a) ^{f f x}  ^{f y} ^{2f x f y }   para todo x e y.

b) f x ² 2f f x  f x f y    para todo x e y.

c) f x ² f y ² f x f y^{ }   para todo x e y.

d) ^{f f x}  ^{f f y}  ^{2f x f y   } para todo x e y.

e) f f x  2f y ² 2f x f y^{ }   para todo x e y.

2) (ITA 1972) Seja _{f x} _x²_pxp uma função real de variável real. Os valores de p para os quais f x 0 possua raiz dupla positiva são:

a) 0 p 4. b) p4 c) p0.

d) f x 0 não pode ter raiz dupla positiva.

e) nenhuma das respostas anteriores.

3) (ITA 1973) O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função

  ^kt

X t  C e , onde X t é um número de bactérias no tempo t  0; C e k são constantes positivas (e é a base do logaritmo neperiano). Verificando-se que o número inicial de bactérias X 0 , duplica em 4 horas, quantas bactérias se pode esperar no fim de 6 horas?   a) 3 vezes o número inicial.

b) 2,5 vezes o número inicial.

c) 2 2 vezes o número inicial.

d) 2 2 vezes o número inicial. ³ e) n.d.a.

4) (ITA 1973) A lei de decomposição do radium no tempo t0, é dada por

  ^kt

M t  C e^ , onde M t é a quantidade de radium no tempo t, C e k são constantes   positivas e e é a base do logaritmo neperiano. Se a metade da quantidade primitiva M 0 ,   desaparece em 1600 anos, qual a quantidade perdida em 100 anos?

a) 1 100 ^1 da quantidade inicial.

b) 1 2 ^6 da quantidade inicial.

c) 1 2 ^16 da quantidade inicial.

d)

1

1 2 ^16 da quantidade inicial.

e) n.d.a.

5) (ITA 1974) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do conjunto dos números reais. Sejam as funções f : AB ^y^{f x ,}  g : DB ^x^{g t} ^, e a função composta f g : EK (e, portanto, zf g^{ }t f g t . ^{ } Então, os conjuntos E e K são tais que:

a) EA e KD b) EB e KA

c) ED, DE e KB d) ED e KB

e) n.d.a.

6) (ITA 1974) O conjunto de todos os valores de x para os quais existe um y real de modo que

2

10 10 2

7 2x x y log log

3 4x

    

   

   

  é dado por:

a) intervalo aberto A, de extremos  2 e 2.

b) intervalo aberto A, de extremos  3 e 3.

c) intervalo aberto A, de extremos ³

 2 e ³. 2 d) intervalo aberto A, de extremos ³

 2 e 1.

e) n.d.a.

7) (ITA 1975) Seja   ^{x x}

x x

e e

f x

e e





 

 definida em . Se g for a função inversa de f, o valor de

g 7

e 25

 

 

  será:

a) 4

3 b) 7e

25 c) _e 25

log 7

 

 

  d)

7 2

e 25

 

 

  e) NDA

8) (ITA 1976) Considere g : a, b, c   a, b, c uma função tal que g a b e g b a.

Então, temos:

a) a equação g x x tem solução se, e somente se, g é injetora.

b) g é injetora, mas não é sobrejetora.

c) g é sobrejetora, mas não é injetora.

d) se g não é sobrejetora, então g g x  x para todo x em a, b, c . 

e) n.d.r.a.

9) (ITA 1976) Seja A e B conjuntos infinitos de números naturais. Se f : AB e g : BA são funções tais que f g x  x, para todo x em B e g f x  x, para todo x em A, então, temos:

a) existe x em B, tal que _o ^{f y} ^{x ,}_o para todo y em A.

b) existe a função inversa de f.

c) existe x e _o x em A, tais que ₁ x_o x₁ e f x   o f x .1 d) existe a em B, tal que ^{g f g a}   ^{g a . }

e) n.d.r.a.

10) (ITA 1976) Seja A uma função real de variável real x, tal que:

 

2x x

e 2e A x  1 0, para todo número real x.

Nestas condições, temos:

a) A 0 1, A x Ax , para todo número real x e não existe um número real x0, satisfazendo a relação A x 1.

b) A 0 1 e A x 0, para algum número real x.

c) A 1 0 e A x Ax , para todo número real x.

d) não existe um número real x, não nulo, satisfazendo a relação A x 1 e não existe um número real x, satisfazendo A x A x .

e) n.d.r.a.

11) (ITA 1976) Considere a seguinte função real de variável real   ^{x x}

x x

e e

M x .

e e





 

 Então

a) Para todo x1, ocorre M x 1.

b) Para todo número real x ocorrem, simultaneamente, M   x M x  e 0M x 1.

c) Existem um a (número real positivo) e um b (número real negativo), tais que

    M a M b .

d) M x 0, somente quando x0 e M x 0 apenas quando x0.

e) n.d.r.a.

12) (ITA 1977) Considere a função F x  x²1 definida em . Se F F representa a função composta de F com F, analise as afirmações abaixo:

(1) F F x x x²1, para todo x real.

(2) Não existe número real y, tal que ^{F F y} ^y.

(3) FoF é uma função injetora.

(4) F F x 0, apenas para dois valores reais de x.

O número de afirmativas VERDADEIRAS é:

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

13) (ITA 1977) Supondo que ab, onde a e b são constantes reais, considere a função

   

H x   a b a x definida no intervalo fechado  0,1 . Podemos assegurar que:

a) H não é uma função injetora.

b) Dado qualquer y, sempre existe um x em  0,1 satisfazendo H x y.

c) Para cada y, com a y b, corresponde um único real x, com 0 x 1, tal que H x y.

d) Não existe uma função real G, definida no intervalo fechado  a, b , satisfazendo a relação G H x  x para cada x em  ^{0,1 .}

e) n.d.a.

14) (ITA 1978) Sejam o conjunto dos números reais e f uma função de em . Sejam B e o conjunto ^f1 ^{B }^{x ; f x} ^{B ,} ^então:

a) f f ^1 B B

b) f f ^1 B B se f é injetora.

c) f f ^1 B B

d) f^1f B B se f é sobrejetora e) n.d.a.

15) (ITA 1978) Seja f x uma função real de variável real. Se para todo x no domínio   de f temos f x  f x , dizemos que a função é par; se, no entanto, temos

   

f x   f x , dizemos que a função é ímpar. Com respeito à função

  _e ²

g x log sen x 1 sen x ,  podemos afirmar que:

a) está definida apenas para x0.

b) é uma função que não é par nem ímpar.

c) é uma função par.

d) é uma função ímpar.

e) n.d.a.

16) (ITA 1978) Qual das funções definidas abaixo é bijetora? Obs. ^{ }^{x ; x0}

e  a, b é o intervalo fechado de extremos a e b.

a) f :  ^ tal que f x x .² b) f : ^ ^ tal que f x  x 1.

c) f : 1,3    2, 4 tal que f x  x 1.

d) f : 0, 2  tal que f x sen x.

e) n.d.a.

17) (ITA 1979) Seja f uma função real definida para todo x real tal que: f é ímpar;

  ^{ }  

f xy f x f y ; e f x 0, se x0. Definindo ^{g x}     ^{f x f 1 ,}

x

  se x0.

Sendo n um número natural, podemos afirmar que:

a) f é não-decrescente e g é uma função ímpar.

b) f é não-decrescente e g é uma função par.

c) f é não-decrescente e 0g n f 1 .  d) f não é monótona e 0g n f 1 . 

e) não é possível garantir que 0g n f 1 . 

18) (ITA 1980) Sejam A e B subconjuntos não vazios de e f A B, g B A duas funções tais que fogI ,_B onde I é a função identidade em B. Então podemos _B afirmar que:

a) f é sobrejetora.

b) f é injetora.

c) f é bijetora.

d) g é injetora e par.

e) g é bijetora e ímpar.

19) (ITA 1980) No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a curva yax2bxc passa pelos pontos  ^{1,1 ,} ^{2, m} ^e ^{m, 2}, onde m é um número real diferente de 2. Sobre esta curva podemos afirmar que:

a) Ela admite um mínimo para todo m tal que 1 3 2 m 2. b) Ela admite um mínimo para todo m tal que 0 m 1. c) Ela admite um máximo para todo m tal que 1 1

2 m 2

   . d) Ela admite um máximo para todo m tal que 1 3

2 m 2. e) Ela admite um máximo para todo m tal que 0 m 1.

20) (ITA 1982) Seja f :  definida por _{f x}  ^x_x ^a_b^{, se x b}_. b, se x b

   

 

   



Se f f x  x para todo x real e f 0  2, então

a) ab 2 b) ab 1 c) ab0 d) ab 1 e) ab2 21) (ITA 1983) Dadas as funções _{f x} ² _{log2xx e g x} 2sen x 3sen x 1²   definidas para x0 e 1

x ,

 2 o conjunto

 ^{   }  

 ^* 

A x _: g f x  0 f x  0, 2 é dado por

a) ^A





b) ^A





c) ^A^{42, 46, 46 5 }

d) ^A





e) ^A





22) (ITA 1983) Sejam três funções f , u, v :  tais que ^{f x} ^1x^{f x}   ^{f x1} para todo x não nulo e u x ²v x^{ }² 1 para todo x real. Sabendo-se que x é um ₀ número real tal que ^{u x}   ₀ ^{v x}₀ ^{0 e}

o o

1 1

f 2,

u(x ) v(x )

 

 

 

  o valor de ^o

o

u(x ) f v(x )

 

 

  é:

a) 1 b) 1 c) 2 d) 1

2 e) 2

23) (ITA 1984) Seja f x e ^x24, onde x e é o conjunto dos números reais.

Um subconjunto D de tal que f : D é uma função injetora é:

a) ^D^x ^{: x}^{2 ou x}⁰

b) ^D^{x : x2 ou x 2}

c) D

d) ^D^x ^{: 2}  ^{x 2}

e) ^D^{x : x2}

24) (ITA 1985) Considere as seguintes funções:   7

f x x

 2 e   ² 1

g x x

 4 definidas para todo x real. Então, a respeito da solução da inequação g f^{ }x g f^{ }x , podemos afirmar que:

a) Nenhum valor de x real é solução.

b) Se x3 então x é solução.

c) Se 7

x2 então x é solução.

d) Se x4 então x é solução.

e) Se 3 x 4 então x é solução.

25) (ITA 1985) Dadas as sentenças:

I – Sejam f : XY e g : YX duas funções satisfazendo ^{g f}^{ x x,} para todo xX. Então, f é injetiva, mas g não é necessariamente sobrejetiva.

II – Seja f : XY uma função injetiva. Então, f A f B f A B , onde A e B são dois subconjuntos de X.

III – Seja f : XY uma função injetiva. Então, para cada subconjunto A de X,

 ^C   ^C

f A  f A onde ^{AC }^{xX | xA} ^{e f A C }^{xY | xf A . }

podemos afirmar que está (estão) correta(s):

a) As sentenças I e II. b) As sentenças II e III.

c) Apenas a sentença I. d) As sentenças I e III.

e) Todas as sentenças.

26) (ITA 1986) Sejam a, b, c números reais dados com a0. Suponha que x e ₁ x ₂ sejam as raízes da função yax²bxc e x₁x .₂ Sejam ₃ b

x  2a e

2 4

2b b 4ac

x .

4a

 

  Sobre o sinal de y podemos afirmar que:

a) y0,  x , x₁ x x₃ b) y0,  x , x₄  x x₂ c) y0,  x , x₁ x x₄ d) y0,  x , xx₄ e) y0,  x , xx₃

27) (ITA 1986) Seja f :  uma função que satisfaz à seguinte propriedade:

  ^{ }  

f xy f x f y , x, y  . Se g x f log 10x²1² então podemos afirmar que

a) O domínio de g é e g 0 f 1 . 

b) g não está definida para os reais negativos e ^{g x} ^{2f log} ₁₀^{x21 ,} ^{para x0.}

c) g 0 0 e g x 2f log 10x²1 ,  x . d) g 0 f 0  e g é injetora.

e) g 0  1 e ^{g x} ^_^{f log} ₁₀^x21^1^_^{2, x  .}

28) (ITA 1986) Seja a , 0 a 1 e f a função real de variável real definida por

  a^x2 a²¹²

f x .

cos 2 x 4 cos x 3

 

    Sobre o domínio A desta função podemos afirmar que:

a)  , 2 A b) A  2, 2 c)  2, 2A

d) ^{x | x e x 2}^A

e) A  2, 2

29) (ITA 1986) Consideremos as seguintes afirmações sobre uma função f :  . 1. Se existe x tal que f x  f x então f não é par.

2. Se existe x tal que f  x f x  então f é ímpar.

3. Se f é par e ímpar então existe x tal que f x 1.

4. Se f é ímpar então f f (f composta com f) é ímpar.

Podemos afirmar que estão corretas as afirmações de números

a) 1 e 4 b) 1, 2 e 4 c) 1 e 3 d) 3 e 4 e) 1, 2 e 3

30) (ITA 1987) Considere ^{xg y}  a função inversa da seguinte função:

  ²

yf x x  x 1, para cada número real 1

x .

2 Nestas condições, a função g é assim definida:

a) 1 3

g(y) y ,

2 4

   para cada 3

y .

4

b) 1 1

g(y) y ,

2 4

   para cada 1

y .

4

c) 3

g(y) y ,

 4 para cada 3

y .

4

d) 1

g(y) y ,

 4 para cada 1

y .

4

e) 3 1

g(y) y ,

4 2

   para cada 1

y .

2

31) (ITA 1987) Considere a função yf x  definida por _{f x} _x³_2x²_5x, para cada x real. Sobre esta função, qual das afirmações abaixo é verdadeira?

a) yf x  é uma função par.

b) yf x  é uma função ímpar.

c) f x 0 para todo real x.

d) f x 0 para todo real x.

e) f x tem o mesmo sinal de x, para todo real   x0.

32) (ITA 1988) Seja _{f x} _log2_x²_{1 ,} _{x  , x 1.} A lei que define a inversa de f é:

a) 1 2 , ^y y  . b)  1 2 ,^y y  . c) 1 1 2 , ^y y  . d)  1 2 ,^y y  , y0.

e) 1 1 2 , ^y y  , y0.

33) (ITA 1988) Considere   ₁ ² 

2

A x log 2x 4x 3 , x  . Então temos:

a) A x 1, para algum x , x1.

b) A x 1, para algum x .

c) A x 1, apenas para x tal que 0 x 1.

d) A x 1, para cada x tal que 0 x 1.

e) A x 1, para cada x .

34) (ITA 1988) Sejam f e g funções reais de variável real definidas por f x ln x ²x

e   1

g x .

1 x

  Então, o domínio de f g é:

a)  ^{0, e b)}  ^{0,1 c)} ^{e, e 1}  ^d) ^1,1 ^e) ^1,

Nota: f g é a lei definida por f g^{ }x f g x ^{ } para cada x de seu domínio.

35) (ITA 1988) Seja f :  uma função estritamente decrescente, isto é, quaisquer x e y reais com xy tem-se ^{f x} ^{f y .}  Dadas as afirmações:

I. f é injetora.

II. f pode ser uma função par.

III. Se f possui inversa então sua inversa também é estritamente decrescente.

Podemos assegurar que:

a) apenas as afirmações I e III são verdadeiras.

b) apenas as afirmações II e III são falsas.

c) apenas a afirmação I é falsa.

d) todas as afirmações são verdadeiras.

e) apenas a afirmação II é verdadeira.

36) (ITA 1989) Os valores de , 0    e , 2

  para os quais a função f :  dada por _{f x} _4x²_4xtg²_ assume seu valor mínimo igual a 4, são

a) 4

 e 3 4

 b) 5

 e 2 5

 c) 3

 e 2 3

 d) 7

 e 2 7

 e) 2 5

 e 3 5



37) (ITA 1989) Sejam A e B subconjuntos de , não vazios, possuindo B mais de um elemento. Dada uma função f : AB, definimos L : A A B por L a a, f a , para todo aA. Podemos afirmar que

a) A função L sempre será injetora.

b) A função L sempre será sobrejetora.

c) Se f for sobrejetora, então L também o será.

d) Se f não for injetora, então L também não o será.

e) Se f for bijetora, então L será sobrejetora.

38) (ITA 1989) Sejam f , g :  duas funções tais que

a) g f :  é injetora. Verifique se f é injetora e justifique sua resposta.

b) g f :  é sobrejetora. Verifique se g é sobrejetora e justifique sua resposta.

39) (ITA 1990) Dadas as funções   ^x

x

f x 1 e , 1 e

 

 x  0 e g x x sen x, x , podemos afirmar que:

a) ambas são pares. b) f é par e g é ímpar

c) f é ímpar e g é par. d) f não é par e nem ímpar e g é par.

e) ambas são ímpares.

40) (ITA 1990) Seja f :  a função definida por   ²

x 2, se x 1

f x x , se 1 x 1.

4, se x 1

  



   

 



Lembrando que se A então ^f1 ^{A }^{x : f x} ^{A ,} considere as afirmações:

(I) f não é injetora e ^f1 ^{3, 5} ^{ 4 .}

(II) f não é sobrejetora e ^f1 ^{3, 5} ^f1 ^{2, 6 .}

(III) f é injetora e f^1 0, 4    2, . Então podemos garantir que:

a) apenas as afirmações II e III são falsas.

b) as afirmações I e III são verdadeiras.

c) apenas a afirmação II é verdadeira.

d) apenas a afirmação III é verdadeira.

e) todas as afirmações são falsas.

41) (ITA 1990) Seja a função f :  2   3 definida por   2x 3

f x 1.

x 2

  

 Sobre

sua inversa podemos garantir que:

a) não está definida pois f não é injetora.

b) não está definida pois f não é sobrejetora.

c) está definida por ^{f 1} ^{y y 2, y 3.}

y 3

 

 



d) está definida por ^{f 1} ^{y y 5 1, y 3.}

y 3

    



e) está definida por ^{f 1} ^{y 2y 5 1, y 3.}

y 3

    



42) (ITA 1990) Sejam as funções f e g dadas por:

  1, se x 1

f : , f x

0, se x 1

 

  

      2x 3

g : 1 , g x

x 1

   

 Sobre a composta f g^{ }x f g x ^{ } podemos garantir que:

a) se 3

x ,

 2 f g x  0 b) se 3

1 x ,

  2 f g x  1 c) se 4

x 2,

3  f g x  1 d) se 4

1 x ,

  3 f g x  1 e) n.d.a.

43) (ITA 1991) Considere as afirmações:

I- Se f :  é uma função par e g :  uma função qualquer, então a composição g f é uma função par.

II- Se f :  é uma função par e g :  uma função ímpar, então a composição f g é uma função par.

III- Se f :  é uma função ímpar e inversível então f^1:  é uma função ímpar.

Então:

a) Apenas a afirmação I é falsa;

b) Apenas as afirmações I e II são falsas;

c) Apenas a afirmação III é verdadeira;

d) Todas as afirmações são falsas;

e) Todas as afirmações são verdadeiras.

44) (ITA 1991) Sejam a , a1 e f :  definida por   a^x a ^x

f x .

2

 

 A função

inversa de f é dada por:

a) log_ax x²1, para x1. b) log_a x x²1, para x . c) log_ax x²1, para x . d) log_a x x²1, para x 1. e) n.d.a.

45) (ITA 1991) Seja f :  definida por:

 

x 2

e , se x 0

f x x 1, se 0 x 1

ln x, se x 1

 



   

 



Se D é um subconjunto não vazio de tal que f : D é injetora, então:

a) D e ^{f D} ^{  } ^1, ^.

b) ^{D  } ^,1 ^e, ^{e f D   } ^1, ^.

c) ^D^0, ^{e f D   } ^1, ^.

d) D 0, e e f D   1,1. e) n.d.a.

Notação: ^{f D} ^^{y : yf x , x}  ^D e ln x denota o logaritmo neperiano de x . Observação: esta questão pode ser resolvida graficamente.

46) (ITA 1992) Considere as funções f : ^* , g :  e h : ^* definidas por:

 

x 1

f x 3 x

  

 

 

 ; _{g x} _x²;   81 h x  x .

O conjunto dos valores de x em ^* tais que ^{f g x}^{   h f x ,} é subconjunto de:

a)  ^0,3