ESTIMA ¸ C ˜ AO DA RESPOSTA EM FREQUˆ ENCIA NEBULOSA PARA SISTEMAS DIN ˆ AMICOS INCERTOS

(1)

ESTIMA ¸ C ˜ AO DA RESPOSTA EM FREQUˆ ENCIA NEBULOSA PARA SISTEMAS DIN ˆ AMICOS INCERTOS

Carlos Cesar Teixeira Ferreira ^∗ , Ginalber Luiz de Oliveira Serra ^∗

∗ Instituto Federal de Educa¸ c˜ ao, Ciˆ encia e Tecnologia do Maranh˜ ao (IFMA) Avenida Get´ ulio Vargas, 04, Monte Castelo, Cep: 65025-001

S˜ ao Lu´ıs, Maranh˜ ao, Brazil

Emails: ccteixeira@ifma.edu.br, ginalber@ifma.edu.br

Abstract— This paper focuses on the Fuzzy Frequency Response Estimation for Uncertain Dynamic Systems.

In terms of transfer function, the uncertain dynamic system is partitioned into several linear sub-models and it is organized into Takagi-Sugeno (TS) fuzzy structure. The proposal of this paper is to demonstrate, from a Theorem, that fuzzy frequency response is a boundary in the magnitude and phase of the Bode diagram. Low and high frequencies analysis of fuzzy dynamic model is obtained by varying the frequency ω from zero to infinity.

Keywords— Takagi-Sugeno fuzzy model, Uncertain dynamic systems, Fuzzy frequency response.

Resumo— Este artigo enfoca a Estima¸ c˜ ao da Resposta em Frequˆ encia Nebulosa para Sistemas Dinˆ amicos Incertos. Em termos de fun¸ c˜ ao de transferˆ encia, o sistema dinˆ amico incerto ´ e dividido em v´ arios sub-modelos lineares e organizado em uma estrutura nebulosa Takagi-Sugeno (TS). A proposta deste artigo ´ e demonstrar, atrav´ es de um Teorema, que a resposta em freq¨ uˆ encia nebulosa ´ e um contorno nos gr´ aficos de m´ odulo e fase do diagrama de Bode. A an´ alise em baixa e alta freq¨ uˆ encias do modelo dinˆ amico nebuloso ´ e obtida atrav´ es da varia¸ c˜ ao da freq¨ uˆ encia ω de zero a infinito.

Palavras-Chave - Modelo nebuloso Takagi-Sugeno, Sistemas dinˆ amicos incertos, resposta em frequˆ encia nebu- losa.

1 Introdu¸ c˜ ao

O termo resposta em frequˆ encia significa a res- posta, em regime permanente, de um sistema dinˆ amico a uma entrada senoidal. Os m´ etodos de resposta em frequˆ encia foram desenvolvidos no per´ıodo entre 1930 e 1940 por Harry Nyquist (1889 − 1976) (Nyquist, 1932), Hendrik Bode (1905 − 1982) (Bode, 1940), Nathaniel B. Nichols (1914 − 1997) (Nichols et al., 1947) e muitos ou- tros. Desde ent˜ ao, estes m´ etodos constituem uma ferramenta poderosa na teoria de controle con- vencional e indispens´ aveis na teoria de controle robusto (Serra et al., 2009). Em (Schust, 1973), a Marinha dos Estados Unidos obteve a resposta em frequˆ encia de aeronaves aplicando entradas senoidais nos pilotos autom´ aticos e medindo a posi¸ c˜ ao resultante da aeronave, enquanto a aero- nave estava em vˆ oo. Em (Monden et al., 2009)

´ e introduzido um novo algoritmo de simula¸ c˜ ao para an´ alise de resposta em frequˆ encia em malha fechada pelo M´ etodo da Transformada de Fourier (MTF).

Em muitas aplica¸ c˜ oes ´ e importante projetar controladores robustos, isto ´ e, controladores es- t´ aveis apesar de erros de modelagem devido a dinˆ amicas n˜ ao-modeladas em altas frequˆ encias ou a varia¸ c˜ oes param´ etricas na planta. Na maioria das vezes estas incertezas, oriundas de varia¸ c˜ oes de temperatura, desgaste de componentes devido a idade, etc. n˜ ao seguem nenhuma distribui¸ c˜ ao de probabilidade conhecida e s˜ ao frequentemente quantificadas em termos de faixas. Os m´ etodos cl´ assicos de resposta em frequˆ encia n˜ ao explo-

ram estas faixas para sistemas dinˆ amicos incertos.

Para superar esta limita¸ c˜ ao, este artigo prop˜ oe a estima¸ c˜ ao da resposta em frequˆ encia nebulosa e sua aplica¸ c˜ ao na an´ alise de sistemas dinˆ amicos in- certos.

2 Formula¸ c˜ ao do Problema

O objetivo dessa se¸ c˜ ao ´ e apresentar conceitos essenciais para a formula¸ c˜ ao e desenvolvimento da metodologia proposta neste artigo.

2.1 Sistema Dinˆ amico Incerto

Em termos de fun¸ c˜ ao de transferˆ encia, a forma geral de um sistema dinˆ amico incerto, como mostrado no diagrama de blocos da Figura 1, ´ e dada pela Equa¸ c˜ ao (1).

H(s, ) ν

Y

X ν

Figura 1: Sistema dinˆ amico incerto.

H(s, ν) = Y (s, ν) X (s) =

= b α (ν)s ^α + b α − 1 (ν)s ^α ⁻ ¹ + . . . + b 1 (ν)s + b 0 (ν) s ^β + a β − 1 (ν)s ^β ⁻¹ + . . . + a 1 (ν)s + a 0 (ν) ,

(1)

(2)

onde: H(s, ν) ´ e a fun¸ c˜ ao de transferˆ encia do sis- tema dinˆ amico incerto; X(s) e Y (s, ν) represen- tam a entrada e a sa´ıda do sistema dinˆ amico incerto, respectivamente; a _∗ (ν ) e b _∗ (ν) s˜ ao os parˆ ametros variantes; ν(t) ´ e a vari´ avel de escalo- namento variante no tempo; s ´ e o operador de Laplace; α e β s˜ ao as ordens do numerador e do denominador da fun¸c˜ ao de transferˆ encia, respec- tivamente (com β ≥ α). A vari´ avel de escalona- mento ν pertence a um conjunto compacto ν ∈ V , com sua varia¸ c˜ ao limitada por by | ν ˙ | ≤ d ^max , onde d ´ e o limite superior, com d ^max ≥ 0.

2.2 Modelo Dinˆ amico Nebuloso Takagi-Sugeno O sistema de inferˆ encia TS, originalmente pro- posto em (Takagi and Sugeno, 1985), apresenta no consequente uma express˜ ao dinˆ amica fun- cional das vari´ aveis lingu´ısticas do antecedente.

A i (i=1,2,...,l) -´ esima regra, onde l representa o n´ umero de regras, ´ e dada por

Regra ⁽ⁱ⁾ : SE x ˜ ₁ ´ e F _{ ⁱ _1,2,...,p

˜

x 1 }| ˜ x 1 E . . . E x ˜ _n ´ e F _{ ⁱ _1,2,...,p

˜ xn }| xn ˜

ENT˜ AO y _i = f _i (˜ x) (2) onde o n´ umero total de regras ´ e l = p x ˜ ₁ × . . . × p x ˜ _n . O vetor ˜ x = [˜ x 1 , . . . , x ˜ n ] ^T ∈ ℜ ⁿ cont´ em as vari´ aveis lingu´ısticas do antecedente, onde T representa o operador para matriz trans- posta. Cada vari´ avel lingu´ıstica tem seu pr´ oprio universo de discurso U x ˜ 1 , . . . , U x ˜ n , particionado por conjuntos nebulosos representando seus ter- mos lingu´ısticos, respectivamente. Na i-´ esima re- gra, a vari´ avel ˜ x _{ _1,2,...,n _} pertence ao conjunto nebuloso F _{ ⁱ _x _˜

1 ,...,˜ x _n } com um grau de pertinˆ encia µ ⁱ _F

{ x ˜ 1 ,...,˜ xn} definido por uma fun¸ c˜ ao de pertinˆ en- cia µ ⁱ _{ _x _˜

1 ,...,˜ x n } : ℜ → [0, 1], com µ ⁱ _F

{˜ x 1 ,...,˜ xn} ∈ { µ ⁱ _F

1|{˜ x 1 ,...,˜ xn} , µ ⁱ _F

2|{˜ x 1 ,...,˜ xn} , . . . , µ ⁱ _F

p|{˜ x 1 ..., , ˜ xn} } , onde p _{ _˜ _x ₁ _,...,˜ _x _n _} ´ e o n´ umero de parti¸ c˜ oes do universo de discurso associado com a vari´ avel lingu´ıstica

˜

x 1 , . . . , , x ˜ n . A sa´ıda do modelo dinˆ amico TS ´ e uma combina¸ c˜ ao convexa das express˜ oes dinˆ ami- cas funcionais do consequente f i (˜ x) que, sem perda de generalidade para o caso bidimensional, como ilustrado na Figura 2, ´ e dada por

y(˜ x, γ) =

∑ l

i=1

γ i (˜ x)f i (˜ x) (3) onde y(˜ x, γ) ´ e a saida do modelo nebuloso TS; γ ´ e a vari´ avel de escalonamento do modelo dinˆ amico nebuloso TS. A vari´ avel de escalonamento, tam- b´ em conhecida como grau de ativa¸ c˜ ao normal- izado, ´ e dada por:

γ _i (˜ x) = h _i (˜ x)

∑ l r=1

h _r (˜ x)

. (4)

Regra 1

F |

x 1

F |

x 1

F |

x 1

F |

x 1

~

x 2 x 2

x²

x 2

x2

x 1, ( )

f

1 x2

x 1, ( )

f

2 ( )_x_1,_x₂

x2

x 1, ( )

f

4

f

5( )x 1, x2

x2

x 1, ( )

f

3

1 3 2 p

... ... ... ... ...

2 3

...

p

1

F |

~

F |

F | F |

f

l

...

Espaço do Antecedente

Regra

Espaço do Consequente

Politopo

x

Figura 2: Modelo dinˆ amico nebuloso: um modelo TS pode ser considerado como um mapeamento do espa¸ co do antecedente para o consequente.

onde h _i (˜ x) ´ e o grau de ativa¸ c˜ ao de cada regra.

Esta normaliza¸ c˜ ao implica em:

∑ l

k=1

γ _i (˜ x) = 1. (5) Pode ser observado que o modelo dinˆ amico nebuloso TS, que representa qualquer modelo dinˆ amico incerto, pode ser considerado como uma classe de sistemas onde γ i (˜ x) denota uma decom- posi¸ c˜ ao de vari´ aveis lingu´ısticas [˜ x 1 , . . . , x ˜ n ] ^T ∈ ℜ ⁿ para uma regi˜ ao geom´ etrica polit´ opica no es- pa¸ co do consequente a partir das express˜ oes fun- cionais f i (˜ x).

3 Resposta em Frequˆ encia Nebulosa (RFN): Defini¸ c˜ ao

A resposta de um modelo dinˆ amico nebuloso TS a uma entrada senoidal de frequˆ encia ω 1 , em am- plitude e fase, define uma fun¸ c˜ ao de transferˆ encia avaliada em s = jω 1 , como ilustrado na Figura 3.

E(s) _l

i = 1 γ i W (s) ⁱ

Σ Y(s)

Figura 3: Fun¸ c˜ ao de transferˆ encia nebulosa TS.

Para este modelo dinˆ amico nebuloso TS,

Y (s) = [ _l

∑

i=1

γ i W ⁱ (s) ]

E(s). (6)

Considerando-se ˜ W (jω) =

∑ l i=1

γ _i W ⁱ (jω) um n´ umero complexo para uma dada frequˆ encia ω, como:

W(jω) = ˜

∑ l i=1

γ i W ⁱ (jω)

̸ arctan [ _l

∑

i=1

γ i W ⁱ (jω) ]

. (7)

(3)

ent˜ ao, para o caso em que a entrada e(t) ´ e senoidal, isto ´ e

e(t) = A sin ω 1 t, (8) a sa´ıda y ss (t), em regime permanente, ´ e dada por

y _ss (t) = A

∑ l i=1

γ _i W ⁱ (jω)

sin [ω ₁ t + ϕ(ω ₁ )] (9) Como resultado da defini¸ c˜ ao de resposta em fre- quˆ encia nebulosa, ´ e proposto o seguinte Teorema:

Theorem 1 A resposta em frequˆ encia nebulosa

´ e uma regi˜ ao no dom´ınio da frequˆ encia, definida pelos sub-modelos do consequente e a partir das regi˜ oes de opera¸ c˜ ao no espa¸ co do antecedente.

Proof: Considerando-se que ˜ ν ´ e uma vari´ avel lingu´ıstica do parˆ ametro incerto ν, ela pode ser representada por termos lingu´ısticos. Uma vez conhecido seus universos de discurso, como mostrado na Figura 4, os graus de ativa¸ c˜ ao,

h _i (˜ ν) | i=1,2,...,l

, s˜ ao tamb´ em incertos, desde que de- pendem do sistema dinˆ amico incerto. Assim:

h i (˜ ν ) = µ ⁱ _F

ν∗ ˜ 1

⋆ µ ⁱ _F

ν∗ ˜ 2

⋆ . . . ⋆ µ ⁱ _F

ν∗ ˜ n

(10) onde ˜ ν _{ ^∗ _1,2,...,n _} ∈ U ν ˜ {1,2,...,n} , respectivamente, e ⋆

´ e um operador l´ ogico nebuloso.

Termos linguisticos representando conjuntos nebulosos

F | F

^p

| { ν

1,...,

ν

n

}

~

1,...,

~

n

ν ν

F

1

|

µ { ν

1,...,

ν

ⁿ

}

µ F

²

| { ^ν

^1,...,

^ν

ⁿ

} 0

1 ^F

³

| { }

}

{

^1,..., ⁿ

F

²

| {

^1,..., ⁿ

}

ⁿ

~

1, ... ,

~

n

ν

1,...,

ν ν ν

ν ν

1

,...,

n

ν∗ ν∗

µ { ν

1,...,

ν

n

U U ...

− Universo de discurso

Grau de pertinencia

^

1

Figura 4: Descri¸ c˜ ao funcional das vari´ aveis lin- gu´ısticas: termos lingu´ısticos, universo de discurso e graus de pertinˆ encia.

Os graus de ativa¸ c˜ ao normalizados γ _i (˜ ν ) | i=1,2,...,l

, s˜ ao tamb´ em incertos:

γ i (˜ ν) = h i (˜ ν)

∑ l r=1

h r (˜ ν)

. (11)

Esta normaliza¸ c˜ ao implica

∑ l

k=1

γ i (˜ ν) = 1. (12)

Seja F(s) um espa¸ co vetorial de fun¸ c˜ oes de transferˆ encia com grau l e f ¹ (s), f ² (s), . . . , f ^l (s) fun¸ c˜ oes de transferˆ encia que pertencem ` a base

deste espa¸ co vetorial. Uma fun¸ c˜ ao de transfe- rˆ encia f (s) ∈ F (s) deve ser uma combina¸ c˜ ao dos vetores f ¹ (s), f ² (s), . . . , f ^l (s). Assim:

f (s) = ξ 1 f ¹ (s) + ξ 2 f ² (s) + . . . + ξ l f ^l (s), (13) onde ξ 1,2,...,l s˜ ao os coeficientes da combina¸c˜ ao line- ar. Se os coeficientes s˜ ao normalizados, a soma dos graus de ativa¸ c˜ ao ´ e igual a 1

( _l

∑

i=1

ξ i = 1 )

, o espa¸ co vetorial apresenta uma decomposi¸ c˜ ao das fun¸ c˜ oes de transferˆ encia [

f ¹ (s), f ² (s), . . . , f ^l (s) ] em uma regi˜ ao geom´ etrica polit´ opica do es- pa¸ co vetorial F (s). Os pontos da regi˜ ao ge- om´ etrica polit´ opica s˜ ao definidos pelas fun¸ c˜ oes de transferˆ encia [

f ¹ (s), f ² (s), . . . , f ^l (s) ]

. O mo- delo dinˆ amico nebuloso TS atende a esta pro- priedade polit´ opica. Para definir os pontos desta regi˜ ao polit´ opica nebulosa, cada regra do modelo dinˆ amico nebuloso deve ser ativada individual- mente. Esta condi¸ c˜ ao ´ e conhecida como condi¸ c˜ ao de contorno. Da´ı, os seguintes resultados s˜ ao obtidos para a Resposta em Frequˆ encia Nebulosa (RFN) da fun¸ c˜ ao de transferˆ encia nebulosa:

• Se somente a regra 1 ´ e ativada, tem-se (γ 1 = 1, γ 2 = 0, γ 3 = 0, . . . , γ l = 0). Ent˜ ao,

W(jω, ˜ ν) = ˜

∑ l i=1

γ i (˜ ν)W ⁱ (jω)

̸ arctan [ _l

∑

i=1

γ i (˜ ν)W ⁱ (jω) ]

, (14)

W(jω, ˜ ν) = ˜ 1W ¹ (jω) + 0W ² (jω) + . . . + 0W ^l (jω)

̸ arctan [

1W ¹ (jω) + 0W ² (jω) + . . . + 0W ^l (jω) ] , (15)

W(jω, ˜ ν) = ˜ W ¹ (jω) ̸ arctan [ W ¹ (jω) ]

. (16)

• Se somente a regra 2 ´ e ativada, tem-se (γ 1 = 0, γ 2 = 1, γ 3 = 0, . . . , γ l = 0). Ent˜ ao,

W(jω, ˜ ν) = ˜

∑ l i=1

γ i (˜ ν)W ⁱ (jω)

̸ arctan [ _l

∑

i=1

γ i (˜ ν)W ⁱ (jω) ]

, (17)

W(jω, ˜ ν) = ˜ 0W ¹ (jω) + 1W ² (jω) + . . . + 0W ^l (jω)

̸ arctan [

0W ¹ (jω) + 1W ² (jω) + . . . + 0W ^l (jω) ] , (18)

W(jω, ˜ ν) = ˜ W ² (jω) ̸ arctan [ W ² (jω) ]

. (19)

• Se somente a regra l ´ e ativada, tem-se (γ 1 = 0, γ 2 = 0, γ 3 = 0, . . . , γ l = 1). Ent˜ ao,

W(jω, ˜ ν) = ˜

(4)

∑ l i=1

γ i (˜ ν)W ⁱ (jω)

̸ arctan [ _l

∑

i=1

γ i (˜ ν)W ⁱ (jω) ]

, (20)

W ˜ (jω, ν) = ˜ 0W ¹ (jω) + 0W ² (jω) + . . . + 1W ^l (jω)

̸ arctan [

0W ¹ (jω) + 0W ² (jω) + . . . + 1W ^l (jω) ] , (21)

W ˜ (jω, ˜ ν) = W ^l (jω) ̸ arctan [ W ^l (jω) ]

. (22)

Onde W ¹ (jω), W ² (jω), . . . , W ^l (jω) s˜ ao os sub- modelos lineares do sistema dinˆ amico incerto.

Note que W ¹ (jω) ̸ arctan [

W ¹ (jω) ] W ^l (jω) ̸ arctan [ and

W ^l (jω) ]

definem uma regi˜ ao de contorno. Sob tais circunstˆ ancias, a resposta em frequˆ encia nebulosa para sistemas dinˆ amicos incertos converge para uma faixa no dom´ınio da frequˆ encia, definida por uma superf´ıcie baseada no graus de pertinˆ encias. A Figura 5 mostra a resposta em frequˆ encia nebulosa para o caso bidimensional, sem perda de generalidade.

^

1, ν ) 2 Wl

0 1

0.5

0 1

0.5

(ν 1, ν ) 2 W1 (ν 1, ν ) 2 W2 (ν 1, ν ) 2 W3

(ν 1, ν ) 2 W4

(ν 1, ν ) 2 W5

Grau de pertinencia^

1 3 2 p

... ... ... ... ...

2 3

...

p

1

F |

~

F |

F | F |

...

~ 1ν

...

F |

1ν

F |

1

F |

1

F

ν 1

|

νν ²

2 2

2

ν ν

ν 2

...

Espaço do Antecedente

Regra

Resposta em Frequencia Nebulosa ^

Limite inferior Limite superior

Limite superior

Limite inferior Modulo (dB) Mapeamento

Politopo

Espaço do consequente

Regra Frequency (rad/sec)^

Fase (Graus) Mapeamento

Limite superior Limite inferior

Limite superior

Limite inferior

Frequencia (rad/sec)

(ν

Figura 5: Resposta em frequˆ encia nebulosa: ma- peamento a partir do espa¸ co do consequente para a regi˜ ao no dom´ınio da frequˆ encia.

2 4 Resposta em Frequˆ encia Nebulosa (RFN): An´ alise

4.1 An´ alise em Baixas Frequˆ encias

A an´ alise em baixas frequˆ encias do modelo dinˆ amico nebuloso TS, ˜ W (s), pode ser obtida por

ω lim → 0

∑ l i=1

γ i W ⁱ (jω) (23)

Ent˜ ao, o comportamento do m´ odulo e fase nas baixas frequˆ encias, ´ e dado por

ω lim → 0

∑ l i=1

γ i W ⁱ (jω)

̸ arctan [ _l

∑

i=1

γ i W ⁱ (jω) ]

(24)

4.2 An´ alise em Altas Frequˆ encias

Equivalentemente, a an´ alise em altas frequˆ encias do modelo dinˆ amico nebuloso, W ˜ (s), pode ser obtido por

ω lim →∞

∑ l

i=1

γ i W ⁱ (jω) (25)

Ent˜ ao, o comportamento do m´ odulo e fase nas altas frequˆ encias, ´ e dado por

ω lim →∞

∑ l

i=1

γ i W ⁱ (jω)

̸ arctan [ _l

∑

i=1

γ i W ⁱ (jω) ]

(26)

5 Resultados Computacionais Considere o seguinte sistema dinˆ amico incerto, dado por

H(s, ν) = 2 − ν

[(ν + 1)s + 1]

[( ν 2 + 0.1

) s + 1

] (27)

onde a vari´ avel de escalonamento ´ e ν = [0, 1]; o ganho do sistema dinˆ amico incerto ´ e K p = 2 − ν;

a maior constante de tempo ´ e τ = ν + 1; e a menor constate de tempo ´ e τ ^′ = ν

2 + 0.1. A partir do sistema dinˆ amico incerto da Equa¸ c˜ ao (27) e assumindo que a vari´ avel de escalonamento varia no tempo numa faixa de [0, 1], pode-se obter a base de regras do modelo dinˆ amico nebuloso:

R ⁽¹⁾ : SE ν ´ e 0 ENT˜ AO W ¹ (s, 0) = 2 0.1s ² + 1.1s + 1 R ⁽²⁾ : SE ν ´ e 1

2 ENT˜ AO W ² (s, 1

2 ) = 1.5

0.5s ² + 1.8s + 1 R ⁽³⁾ : SE ν ´ e 1 ENT˜ AO W ³ (s, 1) = 1

1.2s ² + 2.6s + 1 (28) O modelo dinˆ amico nebuloso TS do sistema

dinˆ amico incerto pode ser representado por

W(jω, ˜ ν) = ˜

∑ 3 i=1

γ i (˜ ν)W ⁱ (jω)

̸ arctan [ ₃

∑

i=1

γ i (˜ ν)W ⁱ (jω) ]

(29)

e

W(jω, ˜ ν) = ˜

(5)

2γ 1

0.6(jω) ⁴ + 3.6(jω) ³ + 6.5(jω) ² + 4.5(jω) + 1 Den [ ^W ^˜ ^(jω,˜ ^ν) ]

+

1.5γ 2

0.1(jω) ⁴ + 1.6(jω) ³ + 4.2(jω) ² + 3.7(jω) + 1 Den [ W ^˜ (jω,˜ ν) ]

+

γ 3

0.1(jω) ⁴ + 0.8(jω) ³ + 2.7(jω) ² + 3(jω) + 1 Den [ ^W ^˜ ^(jω,˜ ^ν) ]

̸ arctan [

2γ 1

0.6(jω) ⁴ + 3.6(jω) ³ + 6.5(jω) ² + 4.5(jω) + 1 Den [ ^W ^˜ ^(jω,˜ ^ν) ]

+

1.5γ 2

0.1(jω) ⁴ + 1.6(jω) ³ + 4.2(jω) ² + 3.7(jω) + 1 Den [ ^W ^˜ ^(jω,˜ ^ν) ]

+

γ 3

0.1(jω) ⁴ + 0.8(jω) ³ + 2.7(jω) ² + 3(jω) + 1 Den [ ^W ^˜ ^(jω,˜ ^ν) ]

] (30)

onde: Den [ ^W(jω,˜ ^˜ ^ν) ] = 0 .1(jω) ⁶ + 1.1(jω) ⁵ + 5.2(jω) ⁴ + 11.2(jω) ³ + 11.5(jω) ² + 5.6(jω) + 1.

5.1 An´ alise em Baixas Frequˆ encias

A resposta em regime permanente a uma en- trada senoidal, em baixas frequˆ encias, do mod- elo dinˆ amico nebuloso TS, pode ser obtida como segue:

ω lim → 0

W ˜ (jω, ˜ ν) =

2γ 1

0.6(jω) ⁴ + 3.6(jω) ³ + 6.5(jω) ² + 4.5(jω) + 1 Den [ ^W ^˜ ^(jω,˜ ^ν) ]

+

1.5γ 2

0.1(jω) ⁴ + 1.6(jω) ³ + 4.2(jω) ² + 3.7(jω) + 1 Den [ ^W ^˜ ^(jω,˜ ^ν) ]

+

γ 3

0.1(jω) ⁴ + 0.8(jω) ³ + 2.7(jω) ² + 3(jω) + 1 Den [ ^W ^˜ ^(jω,˜ ^ν) ]

̸ arctan [

2γ 1

0.6(jω) ⁴ + 3.6(jω) ³ + 6.5(jω) ² + 4.5(jω) + 1 Den [ W ^˜ (jω,˜ ν) ]

+

1.5γ 2

0.1(jω) ⁴ + 1.6(jω) ³ + 4.2(jω) ² + 3.7(jω) + 1 Den [ ^W ^˜ ^(jω,˜ ^ν) ]

+

γ 3

0.1(jω) ⁴ + 0.8(jω) ³ + 2.7(jω) ² + 3(jω) + 1 Den [ ^W ^˜ ^(jω,˜ ^ν) ]

] . (31)

Quando ω tende a zero, Eq.(31) pode ser aproxi- mada como segue:

ω lim → 0

W ˜ (jω, ν) = ˜ | 2γ 1 + 1.5γ 2 + γ 3 | ̸ arctan [2γ 1 + 1.5γ 2 + γ 3 ] . (32) Da´ı,

ω lim → 0

W ˜ (jω, ν) = ˜ | 2γ 1 + 1.5γ 2 + γ 3 | ̸ 0 ^o (33)

5.2 An´ alise em Altas Frequˆ encias

A resposta em regime permanente a uma en- trada senoidal, em altas frequˆ encias, do modelo dinˆ amico nebuloso TS, pode ser obtida como segue:

ω lim →∞ W ˜ (jω, ˜ ν) =

2γ 1

0.6(jω) ⁴ + 3.6(jω) ³ + 6.5(jω) ² + 4.5(jω) + 1 Den [ W(jω,˜ ^˜ ν) ]

+

1.5γ 2

0.1(jω) ⁴ + 1.6(jω) ³ + 4.2(jω) ² + 3.7(jω) + 1 Den [ W ^˜ (jω,˜ ν) ]

+

γ 3

0.1(jω) ⁴ + 0.8(jω) ³ + 2.7(jω) ² + 3(jω) + 1 Den [ W ^˜ (jω,˜ ν) ]

̸ arctan [

2γ 1

0.6(jω) ⁴ + 3.6(jω) ³ + 6.5(jω) ² + 4.5(jω) + 1 Den [ ^W(jω,˜ ^˜ ^ν) ]

+

1.5γ 2

0.1(jω) ⁴ + 1.6(jω) ³ + 4.2(jω) ² + 3.7(jω) + 1 Den [ W ^˜ (jω,˜ ν) ]

+

γ 3

0.1(jω) ⁴ + 0.8(jω) ³ + 2.7(jω) ² + 3(jω) + 1 Den [ ^W ^˜ ^(jω,˜ ^ν) ]

] (34)

Nesta an´ alise, os termos de maior ordem da fun¸ c˜ ao de transferˆ encia no modelo dinˆ amico nebu- loso aumentam mais rapidamente do que os outros termos, ` a medida que ω cresce. Da´ı,

ω lim →∞ W ˜ (jω, ν) = ˜ 2γ 1

0.6 0.1(jω) ² + 1.5γ 2

0.1 0.1(jω) ² + (35) γ 3

0.1 0.1(jω) ²

̸ ₋ 180 ^o

A Figura 6 mostra as caracter´ısticas da res- posta em frequˆ encia nebulosa para o sistema dinˆ amico incerto obtida pela metodologia pro- posta. Para este experimento, a resposta em fre- quˆ encia nebulosa do sistema dinˆ amico incerto foi obtida considerando a m´ edia do parˆ ametro incerto ν, como vari´ avel lingu´ıstica e no dom´ınio da fre- quˆ encia, como mostrado na Figura 7.

6 Conclus˜ oes

A estima¸ c˜ ao da resposta em frequˆ encia nebulosa para sistemas dinˆ amicos incertos ´ e proposta neste artigo. Mostra-se que a resposta em frequˆ encia nebulosa ´ e uma regi˜ ao no dom´ınio da frequˆ en- cia, definida por uma combina¸ c˜ ao linear dos sub- modelos W ⁱ (s), a partir das regi˜ oes de opera¸ c˜ ao do sistema dinˆ amico incerto, de acordo com o Teo- rema 1 proposto. Esta formula¸ c˜ ao ´ e muito efi- ciente e pode ser utilizada para an´ alise de esta- bilidade e projeto de controle robusto de sistemas dinˆ amicos incertos.

Agradecimentos

Os autores agradecem ` a FAPEMA e ` a CAPES

pelo suporte desta pesquisa.

(6)

−150

−100

−50 0 50

Módulo (dB)

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³

−180

−135

−90

−45 0

Fase (Graus)

Diagrama de Bode

Frequência (rad/sec)

ν=0 (Limite superior nebuloso) ν=1 (Limite inferior nebuloso) Sistema dinâmico incerto

(a) Regi˜ ao de contorno.

10

⁻¹

10

⁰

10

¹

10

²

−100

−50 0

50 0

0.5 1

Frequência (rad/sec)

Módulo (dB)

Grau de Pertinência ν

ν=1 ν=0.5 ν=0

(b) M´ odulo.

10

⁰

10

¹

10

²

10

³

−200

−150

−100

−50 0

0.5 1

Frequência (rad/sec) Fase (Graus)

Grau de Pertinência

ν=0 ν=1

ν=0.5 ν

(c) Fase.

Figura 6: Resposta em frequˆ encia nebulosa do sis- tema dinˆ amico incerto.

Referˆ encias

Bode, H. W. (1940). Feedback amplifier design, Bell Systems Technical Journal 19: 42.

Monden, T., Sato, T., Nabeshima, T. and Nishi- jima, K. (2009). Closed loop frequency re- sponse analysis method for circuit simulator, International Conference on Power Electron- ics and Drive Systems, pp. 1200–1204.

Nichols, N. B., James, H. M. and Phillips, R. S. (1947). Theory of servomechanisms, Vol. 25 of MIT Radiation Laboratory Series, McGraw-Hill.

Nyquist, H. (1932). Regeneration theory, Bell Sys- tems Technical Journal .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Parâmetro incerto ( ν)

Função de Pertinência

(a) Conjuntos nebulosos do parˆ ametro incerto (ν).

10

⁻²

10

⁻¹

10

⁰

10

¹

10

²

10

³

−0.5 0 0.5 1 1.5

Frequência (rad/sec)

Média de ν

(b) Varia¸ c˜ ao m´ edia do parˆ ametro incerto ν no dom´ınio da frequˆ encia.

Figura 7: Caracter´ısticas nebulosa e estoc´ astica do parˆ ametro incerto (ν ).

Schust, J. A. P. (1973). Determination of aircraft response caracteristics in approach/landing configuration for microwave landing system program, Technical report, Report FT-61R- 73, Naval Air Test Center, Patuxent River, MD.

ESTIMA ¸ C ˜ AO DA RESPOSTA EM FREQUˆ ENCIA NEBULOSA PARA SISTEMAS DIN ˆ AMICOS INCERTOS