ESTIMA ¸ C ˜ AO DA RESPOSTA EM FREQUˆ ENCIA NEBULOSA PARA SISTEMAS DIN ˆ AMICOS N ˜ AO-LINEARES
Carlos Cesar Teixeira Ferreira
∗, Ginalber Luiz de Oliveira Serra
∗∗
Instituto Federal de Educa¸ c˜ ao, Ciˆ encia e Tecnologia do Maranh˜ ao (IFMA) Avenida Get´ ulio Vargas, 04, Monte Castelo, Cep: 65025-001
S˜ ao Lu´ıs, Maranh˜ ao, Brazil
Emails: ccteixeira@ifma.edu.br, ginalber@ifma.edu.br
Abstract— A fuzzy methodology for fuzzy frequency response estimation of nonlinear dynamic systems is proposed in this paper. In terms of transfer function, the nonlinear dynamic system is approximated in the context of Linear Parameters Varying (LPV) systems and organized according to Takagi-Sugeno (TS) fuzzy structure. The proposal of this paper is to demonstrate, from a Theorem, that fuzzy frequency response is a boundary in the magnitude and phase of the Bode diagram. Low and high frequencies analysis of fuzzy dynamic model is obtained by varying the frequency ω from zero to infinity.
Keywords— Takagi-Sugeno fuzzy control, Nonlinear dynamic systems, Linear Parameters Varying (LPV) systems, Fuzzy frequency response.
Resumo— Uma metodologia nebulosa para a estima¸ c˜ ao da resposta em freq¨ uˆ encia de sistemas dinˆ amicos n˜ ao-lineares ´ e proposta nesse artigo. Em termos de fun¸ c˜ ao de transferˆ encia, o sistema dinˆ amico n˜ ao-linear ´ e aproximado no contexto de sistema Linear Variante nos Parˆ ametros (LVP) e organizado de acordo com uma estrutura nebulosa Takagi-Sugeno (TS). A proposta deste artigo ´ e demonstrar, atrav´ es de um Teorema, que a resposta em freq¨ uˆ encia nebulosa ´ e um contorno nos gr´ aficos de m´ odulo e fase do diagrama de Bode. A an´ alise em baixa e alta freq¨ uˆ encias do modelo dinˆ amico nebuloso ´ e obtida atrav´ es da varia¸ c˜ ao da freq¨ uˆ encia ω de zero a infinito.
Palavras-Chave - Controle nebuloso Takagi-Sugeno, Sistemas dinˆ amicos n˜ ao-lineares, Sistemas Lineares Vari- ante nos Parˆ ametros (LVP), Resposta em frequˆ encia nebulosa.
1 Introdu¸ c˜ ao
Atualmente, o projeto de sistemas de controle ´ e es- tabelecido levando-se em considera¸ c˜ ao o aumento da competi¸ c˜ ao, requisitos ambientais, custos de energia e materiais, sistemas robustos e tolerantes a falhas. Neste contexto, a an´ alise e o projeto de controladores est˜ ao totalmente relacionados en- tre si. Na an´ alise, o comportamento dinˆ amico do sistema de controle ´ e objeto de estudo. No pro- jeto, os controladores s˜ ao obtidos para atender ` as caracter´ısticas desejadas do sistema de controle a partir de certos crit´ erios de desempenho. Geral- mente, estes crit´ erios de desempenho envolvem rejei¸ c˜ ao ` a perturba¸ c˜ oes, erros de regime perma- nente, caracter´ısticas da resposta transit´ oria e sen- sibilidade ` as mudan¸ cas param´ etricas na planta (Franklin and Powell, 1986) (Phillips and Har- bor, 1996) (Ioannou and Sun, 1947). Sinais testes de entrada s˜ ao uma forma de analisar o compor- tamento e/ou desempenho de sistemas dinˆ ami- cos. Muitos sinais testes est˜ ao dispon´ıveis na lit- eratura, dentre os quais a forma de onda senoidal
´ e largamente utilizada. A resposta de um sis- tema dinˆ amico a uma entrada senoidal apresenta uma forma de onda senoidal com amplitude e fase diferentes para uma dada frequˆ encia. Esta an´ alise de resposta em frequˆ encia descreve como o sis- tema dinˆ amico responde a uma entrada qualquer considerando-se a varia¸ c˜ ao da frequˆ encia e tem sido largamente utilizada na academia e na ind´ us- tria. Os m´ etodos de resposta em frequˆ encia foram
desenvolvidos no per´ıodo entre 1930 e 1940 por Harry Nyquist (1889 − 1976) (Nyquist, 1932), Hen- drik Bode (1905 − 1982) (Bode, 1940), Nathaniel B. Nichols (1914 − 1997) (Nichols et al., 1947).
Desde ent˜ ao, tais m´ etodos constituem-se uma fer- ramenta eficiente e indispens´ avel na teoria de con- trole robusto (Schust, 1973) (Serra et al., 2009) (Monden et al., 2009) (Ferreira and Serra, 2009).
Este artigo prop˜ oe a estima¸ c˜ ao da resposta em frequˆ encia nebulosa e sua aplica¸ c˜ ao na an´ alise de sistemas dinˆ amicos n˜ ao-lineares.
2 Formula¸ c˜ ao do Problema
O objetivo dessa se¸ c˜ ao ´ e apresentar conceitos essenciais para a formula¸ c˜ ao e desenvolvimento da metodologia proposta neste artigo.
2.1 Sistema Linear Variante nos Parˆ ametros Em termos de fun¸ c˜ ao de transferˆ encia, a forma geral de um sistema LVP apresenta a seguinte forma geral:
H(s, ν) = Y (s, ν) X (s) =
= b
α(ν)s
α+ b
α−1(ν)s
α−1+ . . . + b
1(ν)s + b
0(ν) s
β+ a
β−1(ν)s
β−1+ . . . + a
1(ν)s + a
0(ν) ,
(1)
onde: H(s, ν) ´ e a fun¸ c˜ ao de transferˆ encia do sis-
tema LVP; X(s) e Y (s, ν) representam a entrada
e a sa´ıda do sistema LVP, respectivamente; a
∗(ν)
e b
∗(ν ) s˜ ao os parˆ ametros variantes; ν(t) ´ e a vari-
´
avel de escalonamento variante no tempo; s ´ e o operador de Laplace; α e β s˜ ao as ordens do nu- merador e do denominador da fun¸ c˜ ao de trans- ferˆ encia, respectivamente (com β ≥ α). A var- i´ avel de escalonamento ν pertence a um conjunto compacto ν ∈ V , com sua varia¸c˜ ao limitada por by | ν ˙ | ≤ d
max, onde d ´ e o limite superior, com d
max≥ 0.
2.2 Modelo Dinˆ amico Nebuloso Takagi-Sugeno O sistema de inferˆ encia TS, originalmente pro- posto em (Takagi and Sugeno, 1985), apresenta no consequente uma express˜ ao dinˆ amica fun- cional das vari´ aveis lingu´ısticas do antecedente.
A i
(i=1,2,...,l)-´ esima regra, onde l representa o n´ umero de regras, ´ e dada por
Regra
(i):
SE x ˜
1´ e F
{i
1,2,...,p˜x1}|˜x1
E . . . E x ˜ n ´ e F
{i
1,2,...,p˜xn}|xn˜
ENT˜ AO y i = f i (˜ x) (2) onde o n´ umero total de regras ´ e l = p x
˜1× . . . × p x
˜n. O vetor ˜ x = [˜ x
1, . . . , x ˜ n ] T ∈ ℜ n cont´ em as vari´ aveis lingu´ısticas do antecedente, onde T representa o operador para matriz trans- posta. Cada vari´ avel lingu´ıstica tem seu pr´ oprio universo de discurso U x
˜1, . . . , U x
˜n, particionado por conjuntos nebulosos representando seus ter- mos lingu´ısticos, respectivamente. Na i-´ esima re- gra, a vari´ avel ˜ x
{1,2,...,n}pertence ao conjunto nebuloso F
{i x
˜1
,...,˜ x
n}com um grau de pertinˆ encia µ i F
{x˜1,...,˜xn}
definido por uma fun¸ c˜ ao de pertinˆ en- cia µ i
{x
˜1
,...,˜ x
n}: ℜ → [0, 1], com µ i F
{˜x1,...,˜xn}
∈ { µ i F
1|{˜x1,...,˜xn}
, µ i F
2|{˜x1,...,˜xn}
, . . . , µ i F
p|{˜x1...,,˜xn}
} , onde p
{˜x
1,...,˜ x
n}´ e o n´ umero de parti¸ c˜ oes do universo de discurso associado com a vari´ avel lingu´ıstica
˜
x
1, . . . , , x ˜ n . A sa´ıda do modelo dinˆ amico TS ´ e uma combina¸ c˜ ao convexa das express˜ oes dinˆ ami- cas funcionais do consequente f i (˜ x) que, sem perda de generalidade para o caso bidimensional, como ilustrado na Figura 1, ´ e dada por
y(˜ x, γ) =
∑ l i=1
γ i (˜ x)f i (˜ x) (3)
y(˜ x, γ) ´ e a saida do modelo nebuloso TS; onde γ
´ e a vari´ avel de escalonamento do modelo dinˆ amico nebuloso TS. A vari´ avel de escalonamento, tam- b´ em conhecida como grau de ativa¸ c˜ ao normal- izado, ´ e dada por:
γ i (˜ x) = h i (˜ x)
∑ l r=1
h r (˜ x)
. (4)
Regra 1F | x 1F | x 1F | x 1F | x 1~
x 2 x 2
x 2
x 2
x 2
x2
x 1, ( ) f1 x2
x 1, ( )
f2 ( )x 1, x2
x2
x 1, ( ) f4 f5( )x 1, x2
x2
x 1, ( ) f3
1 3 2 p
... ... ... ... ...
2 3
... p
1
F |
~
F |
F | F |
fl
...
...
...
...
...
Espaço do Antecedente
Regra
Espaço do Consequente
Politopo
x
Figura 1: Modelo dinˆ amico nebuloso: um modelo TS pode ser considerado como um mapeamento do espa¸ co do antecedente para o consequente.
onde h i (˜ x) ´ e o grau de ativa¸ c˜ ao de cada regra.
Esta normaliza¸ c˜ ao implica em:
∑ l
k=1
γ i (˜ x) = 1. (5) Assim, o modelo dinˆ amico nebuloso TS, que representa qualquer sistema dinˆ amico n˜ ao-linear, pode ser considerado como uma classe de sistemas onde γ i (˜ x) denota uma decomposi¸ c˜ ao de vari´ aveis lingu´ısticas [˜ x
1, . . . , x ˜ n ] T ∈ ℜ n para uma regi˜ ao geom´ etrica polit´ opica no espa¸ co do consequente a partir das express˜ oes funcionais f i (˜ x).
3 Resposta em Frequˆ encia Nebulosa (RFN): Defini¸ c˜ ao
A resposta de um modelo dinˆ amico nebuloso TS a uma entrada senoidal de frequˆ encia ω
1, em ampli- tude e fase, define uma uma fun¸ c˜ ao de transferˆ en- cia nebulosa avaliada em s = jω
1, como ilustrado na Figura 2.
~
li = 1
γ
iW (s)
iE(s) Y(s)
W (s) = Σ
Figura 2: Fun¸ c˜ ao de transferˆ encia nebulosa TS.
Para este modelo dinˆ amico nebuloso TS,
Y (s) = [ l
∑
i=1
γ i W i (s) ]
E(s). (6)
Considerando-se ˜ W (jω) =
∑ l i=1
γ i W i (jω) um n´ umero complexo para uma dada frequˆ encia ω, tem-se:
W(jω) = ˜
∑
l i=1γ
iW
i(jω)
̸ arctan [
l∑
i=1
γ
iW
i(jω) ]
. (7)
Para o caso em que a entrada e(t) ´ e senoidal, isto
´ e,
e(t) = A sin ω
1t, (8) a sa´ıda y ss (t), em regime permanente, ´ e dada por:
y ss (t) = A
∑ l i=1
γ i W i (jω)
sin [ω
1t + ϕ(ω
1)] . (9) Como resultado da defini¸ c˜ ao de resposta em fre- quˆ encia nebulosa, apresentado nas Equa¸ c˜ oes (6)- (9), ´ e proposto o seguinte Teorema:
Theorem 1 A resposta em frequˆ encia nebulosa
´ e uma regi˜ ao no dom´ınio da frequˆ encia, definida pelos sub-modelos do consequente e a partir das regi˜ oes de opera¸ c˜ ao no espa¸ co do antecedente.
Proof: Seja ˜ ν uma vari´ avel lingu´ıstica em fun¸ c˜ ao do ponto de opera¸ c˜ ao ν . Esta, por sua vez, pode ser representada por termos lingu´ısticos.
Uma vez conhecido seus universos de discurso, como mostrado na Figura 3, os graus de ativa¸ c˜ ao
h i (˜ ν) | i=1,2,...,l
s˜ ao dados por:
h i (˜ ν ) = µ i F
ν∗˜ 1
⋆ µ i F
ν∗˜ 2
⋆ . . . ⋆ µ i F
ν∗˜n
(10) onde ˜ ν
{∗1,2,...,n}∈ U ν
˜{1,2,...,n}, respectivamente, e ⋆
´ e um operador l´ ogico nebuloso.
Termos linguisticos representando conjuntos nebulosos
F| Fp|{ν1,...,νn}
~1,...,~n
ν ν
F1|
µ {ν1,...,νn}
µF2|{ν1,...,νn} 0
1 F3|{ }
}
}
{ 1,..., n F2|{ 1,..., n} n
~1, ... , ~n
ν1,...,ν ν ν
ν ν
ν ν
1,..., n
ν∗ ν∗
µ{ν1,...,νn
U U ...
− Universo de discurso
Grau de pertinencia^
1
Figura 3: Descri¸ c˜ ao funcional das vari´ aveis lin- gu´ısticas: termos lingu´ısticos, universo de discurso e graus de pertinˆ encia.
Dessa forma, os graus de ativa¸ c˜ ao normali- zados γ i (˜ ν) | i=1,2,...,l
s˜ ao dados por:
γ i (˜ ν) = h i (˜ ν)
∑ l r=1
h r (˜ ν)
. (11)
Esta normaliza¸ c˜ ao implica em:
∑ l k=1
γ i (˜ ν) = 1. (12)
A sa´ıda do modelo dinˆ amico nebuloso TS ´ e uma soma ponderada das express˜ oes funcionais do
consequente, isto ´ e, uma combina¸ c˜ ao linear das fun¸ c˜ oes locais f i (˜ ν), dada por
y(˜ ν) =
∑ l i=1
γ i (˜ ν)f i (˜ ν). (13) Seja F (s) um espa¸ co vetorial de fun¸ c˜ oes de transferˆ encia com grau l e f
1(s), f
2(s), . . . , f l (s) fun¸ c˜ oes de transferˆ encia que pertencem a base desse espa¸ co vetorial. Uma fun¸ c˜ ao de transferˆ encia f (s) ∈ F (s) deve ser uma combina¸ c˜ ao linear das fun¸ c˜ oes de transferˆ encia f
1(s), f
2(s), . . . , f l (s). Assim:
f (s) = ξ
1f
1(s) + ξ
2f
2(s) + . . . + ξ l f l (s), (14) onde ξ
1,2,...,ls˜ ao os coeficientes da combina¸ c˜ ao linear. Se os coeficientes s˜ ao normalizados, tem- se:
( l
∑
i=1
ξ i = 1 )
. (15)
Logo, o espa¸ co vetorial F (s) apresenta uma de- composi¸ c˜ ao das fun¸ c˜ oes de transferˆ encia [
f
1(s), f
2(s), . . . , f l (s) ]
em uma regi˜ ao geom´ etrica polit´ opica. Os pontos da regi˜ ao geom´ etrica polit´ opica s˜ ao definidos pelas fun¸ c˜ oes de trans- ferˆ encia [
f
1(s), f
2(s), . . . , f l (s) ]
. O modelo dinˆ amico nebuloso TS atende a esta propriedade polit´ opica. Para definir os pontos desta regi˜ ao polit´ opica nebulosa, cada regra do modelo dinˆ amico nebuloso deve ser ativada individual- mente. Esta condi¸ c˜ ao ´ e conhecida como condi¸ c˜ ao de contorno. Da´ı, os seguintes resultados s˜ ao obtidos para a Resposta em Frequˆ encia Nebulosa (RFN) da fun¸ c˜ ao de transferˆ encia nebulosa:
• Se somente a regra 1 ´ e ativada, tem-se (γ
1= 1, γ
2= 0, γ
3= 0, . . . , γ l = 0). Ent˜ ao,
W(jω, ˜ ν) = ˜
∑
l i=1γ
i(˜ ν)W
i(jω)
̸ arctan [
l∑
i=1
γ
i(˜ ν)W
i(jω) ]
, (16)
W(jω, ˜ ν) = ˜ 1W
1(jω) + 0W
2(jω) + . . . + 0W
l(jω)
̸ arctan [
1W
1(jω) + 0W
2(jω) + . . . + 0W
l(jω) ]
, (17)
W(jω, ˜ ν) = ˜ W
1(jω) ̸ arctan [ W
1(jω) ]
. (18)
• Se somente a regra 2 ´ e ativada, tem-se (γ
1= 0, γ
2= 1, γ
3= 0, . . . , γ l = 0). Ent˜ ao,
W(jω, ˜ ν) = ˜
∑
l i=1γ
i(˜ ν)W
i(jω)
̸ arctan [
l∑
i=1
γ
i(˜ ν)W
i(jω) ]
, (19)
W ˜ (jω, ν) = ˜ 0W
1(jω) + 1W
2(jω) + . . . + 0W
l(jω)
̸ arctan [
0W
1(jω) + 1W
2(jω) + . . . + 0W
l(jω) ] , (20)
W ˜ (jω, ν) = ˜ W
2(jω) ̸ arctan [ W
2(jω) ]
. (21)
• Se somente a regra l ´ e ativada, tem-se (γ
1= 0, γ
2= 0, γ
3= 0, . . . , γ l = 1). Ent˜ ao,
W ˜ (jω, ν) = ˜
∑
l i=1γ
i(˜ ν)W
i(jω)
̸ arctan [
l∑
i=1
γ
i(˜ ν)W
i(jω) ]
, (22)
W ˜ (jω, ν) = ˜ 0W
1(jω) + 0W
2(jω) + . . . + 1W
l(jω)
̸ arctan [
0W
1(jω) + 0W
2(jω) + . . . + 1W
l(jω) ] , (23)
W ˜ (jω, ˜ ν) = W
l(jω) ̸ arctan [ W
l(jω) ]
. (24)
Onde W
1(jω), W
2(jω), . . . , W l (jω) s˜ ao os sub- modelos lineares do sistema dinˆ amico n˜ ao- linear em fun¸ c˜ ao dos pontos de opera¸ c˜ ao ν. Nota-se que W
1(jω) ̸ arctan [
W
1(jω) ] W l (jω) ̸ arctan [ e
W l (jω) ]
definem uma regi˜ ao de contorno. Sob tais circunstˆ ancias, a resposta em frequˆ encia nebulosa para sistemas dinˆ amicos n˜ ao-lineares converge para uma regi˜ ao no dom´ınio da frequˆ encia. A Figura 4 mostra a resposta em frequˆ encia nebulosa para o caso bidimensional, sem perda de generalidade.
Limite Inferior
Modulo´
Limite Superior
1 3 2 p ... ... ... ... ...
2 3
... p
1 F |
~
F |
F | F |
l
...
...
...
...
...
~ 1ν
F | 1νF | 1F | 1Fν 1 | νν 2
2 2
2
ν ν
ν ν
ν 2
1 ( ) 1,2 2
3( ) 1,2
4( ) 1,2 ν 1, ν2 ( ) ν ν
ν ν ν ν
( ) 1,2
5( ) 1,2 ν ν
ν ν W W
W W
W W Espaço do Antecedente
Regra
Espaço do Consequente Politopo
Regra
Mapeamento Frequencia
Fase
Resposta em Frequencia
Frequencia
^
Limite Superior
Limite Inferior
^
^
Figura 4: Resposta em frequˆ encia nebulosa: ma- peamento do espa¸ co do consequente para uma regi˜ ao no dom´ınio da frequˆ encia.
2
4 Resposta em Frequˆ encia Nebulosa (RFN): An´ alise
4.1 An´ alise em Baixas Frequˆ encias
A an´ alise em baixas frequˆ encias do modelo dinˆ amico nebuloso TS,
∑ l
i=1
γ i W i (jω), pode ser obtida por
ω lim
→0∑ l
i=1
γ i W i (jω) (25)
Ent˜ ao, o comportamento do m´ odulo e fase nas baixas frequˆ encias, ´ e dado por
ω lim
→0∑ l
i=1
γ i W i (jω)
̸ arctan [ l
∑
i=1
γ i W i (jω) ]
(26)
4.2 An´ alise em Altas Frequˆ encias
Equivalentemente, a an´ alise em altas frequˆ encias do modelo dinˆ amico nebuloso TS,
∑ l i=1
γ i W i (jω), pode ser obtido por
ω lim
→∞∑ l i=1
γ i W i (jω) (27)
Ent˜ ao, o comportamento do m´ odulo e fase nas altas frequˆ encias, ´ e dado por
ω lim
→∞∑ l i=1
γ i W i (jω)
̸ arctan [ l
∑
i=1
γ i W i (jω) ]
(28)
5 Resultados Computacionais Considere o manipulador rob´ otico de um bra¸ co, mostrado na Figura 5, com equa¸ c˜ ao dinˆ amica dada pela Eq.29.
Anti−Horario Horario
´ θ
π/4 0 −π/4
−π/2 π/2
mg 2l
u
´
Figura 5: Manipulador rob´ otico de um bra¸ co.
ml
2θ ¨ + d θ ˙ + mgl sin(θ) = u, (29)
onde: m = 1kg ´ e a massa; l = 1m ´ e o com- primento do bra¸ co; g = 9.81m/s
2´ e a constante gravitacional; d = 1kgm
2/s ´ e fator de amorteci- mento; u ´ e a vari´ avel de controle (kgm
2/s
2).
Um modelo LVP pode ser obtido a partir do modelo n˜ ao-linear da Equa¸c˜ ao (29), atrav´ es da expans˜ ao em S´ erie de Taylor (Franklin and Pow- ell, 1986) da n˜ ao-linearidade sin θ em alguns pon- tos de opera¸ c˜ ao. Assim, o modelo LVP do manip- ulador rob´ otico ´ e dado por:
ml
2θ ¨ + d θ ˙ + mgl [a + bθ] = u, (30) onde a = sin ν − ν cos ν ; b = cos ν e ν ´ e a vari-
´
avel de escalonamento que representa o ponto de opera¸ c˜ ao (ˆ angulo). Em termos de fun¸ c˜ ao de trans- ferˆ encia, tem-se
H (s, ν) = Θ(s, ν)
U (s, ν) = 1
ml
2s
2+ ds + mgl cos ν , (31) onde U (s, ν) = U (s) − mgl[sin ν − ν cos ν]. A partir do modelo LVP na Equa¸ c˜ ao (31) e supondo-se a dinˆ amica do sistema no intervalo de [ − π/4, π/4], pode-se obter a base de regras do modelo dinˆ amico nebuloso TS como segue:
R
(1): SE ν ´ e − π
4 ENT˜ AO W
1(s, − π
4 ) = 1
s
2+ s + 6.9 R
(2): SE ν ´ e 0 ENT˜ AO W
2(s, 0) = 1.5
s
2+ s + 9.8 R
(3): SE ν ´ e + π
4 ENT˜ AO W
3(s, + π
4 ) = 1
s
2+ s + 6.9 (32)
O modelo dinˆ amico nebuloso TS do manipu- lador rob´ otico de um bra¸ co pode ser representado por:
W(jω, ˜ ν) = ˜
∑
3 i=1γ
i(˜ ν)W
i(jω)
̸ arctan [
3∑
i=1
γ
i(˜ ν)W
i(jω) ]
(33)
e
W ˜ (jω, ν) = ˜
[γ
1+ γ
2+ γ
3](jω)
2+ [γ
1+ γ
2+ γ
3](jω)+
Den [
W˜(jω,˜ν)]
+ 9.81γ
1+ 6.9367γ
2+ 9.81γ
3Den [
W˜(jω,˜ν)]
̸ arctan
{ [γ
1+ γ
2+ γ
3](jω)
2+ [γ
1+ γ
2+ γ
3](jω)+
Den [
W˜(jω,˜ν)] + 9.81γ
1+ 6.9367γ
2+ 9.81γ
3Den [
W˜(jω,˜ν)] }
(34)
onde:
Den [
W(jω,˜˜ ν)] = ( jω)
4+ 2(jω)
3+ 17.7467(jω)
2+ +16.7467(jω) + 68.0490 (35)
5.1 An´ alise em Baixas Frequˆ encias
A resposta em regime permanente a uma en- trada senoidal, em baixas frequˆ encias, do mode- lo dinˆ amico nebuloso TS, pode ser obtida como segue:
ω
lim
→0W(jω, ˜ ν) = ˜
[γ
1+ γ
2+ γ
3](jω)
2+ [γ
1+ γ
2+ γ
3](jω)+
Den [
W(jω,˜˜ ν)]
+ 9.81γ
1+ 6.9367γ
2+ 9.81γ
3Den [
W(jω,˜˜ ν)]
̸ arctan
{ [γ
1+ γ
2+ γ
3](jω)
2+ [γ
1+ γ
2+ γ
3](jω)+
Den [
W˜(jω,˜ν)]
+ 9.81γ
1+ 6.9367γ
2+ 9.81γ
3Den [
W˜(jω,˜ν)] }
(36)
Quando ω tende a zero, Equa¸ c˜ ao (36) pode ser aproximada como segue:
lim
ω
→0W ˜ (jω, ν ˜ ) =
9.81γ
1+ 6.9367γ
2+ 9.81γ
368.0490
̸ arctan
{ 9.81γ
1+ 6.9367γ
2+ 9.81γ
368.0490
} (37) Da´ı,
ω lim
→0W ˜ (jω, ν ˜ ) = | 0.1442γ
1+ 0.1019γ
2+ 0.1442γ
3| ̸ 0 o (38) 5.2 An´ alise em Altas Frequˆ encias
A resposta em regime permanente a uma en- trada senoidal, em altas frequˆ encias, do mode- lo dinˆ amico nebuloso TS, pode ser obtida como segue:
ω
lim
→∞W ˜ (jω, ˜ ν) =
[γ
1+ γ
2+ γ
3](jω)
2+ [γ
1+ γ
2+ γ
3](jω)+
Den [
W(jω,˜˜ ν)]
+ 9.81γ
1+ 6.9367γ
2+ 9.81γ
3Den [
W(jω,˜˜ ν)]
̸ arctan
{ [γ
1+ γ
2+ γ
3](jω)
2+ [γ
1+ γ
2+ γ
3](jω)+
Den [
W˜(jω,˜ν)]
+ 9.81γ
1+ 6.9367γ
2+ 9.81γ
3Den [
W˜(jω,˜ν)] }
(39)
Nesta an´ alise, os termos de maior ordem da
fun¸ c˜ ao de transferˆ encia no modelo dinˆ amico nebu-
loso TS aumentam mais rapidamente do que os
outros termos ` a medida que ω cresce. Da´ı,
ω lim
→∞W ˜ (jω, ν ˜ ) =
(γ
1+ γ
2+ γ
3) (jω)
2̸ arctan
{ (γ
1+ γ
2+ γ
3) (jω)
2}
(40) Ent˜ ao:
ω lim
→∞W ˜ (jω, ν) = ˜
(γ
1+ γ
2+ γ
3) (jω)
2̸ − 180 o (41) A Figura 6 mostra as caracter´ısticas da res- posta em frequˆ encia nebulosa para o manipulador rob´ otico de um bra¸ co obtida atrav´ es da metodolo- gia proposta.
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10 0
Módulo (dB)
10−1 100 101 102
−180
−135
−90
−45 0
Fase (Graus)
Diagrama de Bode
Frequência (rad/sec) Limite superior Limite inferior Manipulador robótico
