n(s) = nº de casos favoráveis nº de casos possíveis

Probabilidade

Teoria

Experimento Aleatório

É todo aquele que o resultado é imprevisível como, por exemplo, o lançamento de um dado não viciado.

Podemos lançar um dado n vezes mas ainda assim não podemos ter certeza do resultado.

Espaço Amostral

São todos os resultados possíveis do experimento aleatório. Esse conjunto é denotado por S ou 𝛺 e também pode ser chamado como casos possíveis. No caso do dado 𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} que são as possibilidades de resultado de lançamento de um dado.

Evento

É qualquer subconjunto do espaço amostral. Quando calculamos probabilidade, estamos querendo saber a probabilidade do evento acontecer. Também chamado de casos favoráveis.

Por exemplo: Em um lançamento de dados, se o evento A forem os números pares então ele será: 𝐴 = {2, 4, 6}

Definição

Chamamos de experimentos aleatórios aqueles que, repetidos em idênticas condições, produzem resultados diferentes. Embora não saibamos qual o resultado que irá ocorrer num experimento, em geral, conseguimos descrever o conjunto de todos os resultados possíveis que podem ocorrer. As variações de resultados, de experimento para experimento, são devidas a uma multiplicidade de causas que não podemos controlar, as quais denominamos acaso.

A probabilidade de um evento constituído por um certo número de elementos é a soma das probabilidades dos resultados individuais que constituem o evento A.

𝑃(𝐴) =𝑛(𝐸)

𝑛(𝑆)=nº de casos favoráveis nº de casos possíveis

Sendo p a probabilidade, temos que, 0 ≤ 𝑝 ≤ 1.

Exemplo: a probabilidade de um lançamento de dado o número tirado ser ímpar é ³

6.

É comum a resposta vir também como uma fração irredutível ou como porcentagem. No caso de ³

6a fração irredutível seria ¹

2 e em porcentagem seria 50%, dividindo 1 por 2 temos como resposta 0,5 ou seja 0,5 = 5

10= 50

100= 50%

Têm-se a probabilidade de 50% que o evento ocorra então temos 50% de que ele não ocorra, ou seja, do total 100% tiramos a probabilidade de o evento ocorrer e o resultado seria a probabilidade dele não ocorrer. Essa probabilidade é chamada de probabilidade complementar.

Probabilidade complementar

Seja A um evento; então 𝐴^𝐶 será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A não ocorrer. Dizemos que 𝐴^𝐶 é o evento complementar de A e calculamos, 𝐴^𝐶= 1 − 𝑃(𝐴).

Exemplo: No lançamento de um dado não viciado, qual é a probabilidade de não sair o número 2?

Sabemos que a probabilidade de sair o número 2 é de ¹

6. Então, a probabilidade de não sair o número 2 será dada por 1 −¹

6: 𝑃 = 1 −1

6 𝑃 =6 − 1

6 𝑃 =5

6

Logo, a probabilidade de não sair o número 2 é de ⁵

6.

Probabilidade da união de dois eventos:

Sejam A e B dois eventos; então 𝐴 ∪ 𝐵 será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A ou B (ou ambos) ocorrem. Dizemos que 𝐴 ∪ 𝐵 é a união entre o evento A e o evento B. E calculamos, assim:

𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐵) − 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵)

Exemplo:

1. Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de que essa carta seja vermelha ou um ás?

Seja o evento A: carta vermelha e B: a carta de ás, temos que num baralho de 52 cartas, teremos n(A) = 26 (número de cartas vermelhas)

n(B) = 4 (número de cartas de às)

n(Ω) = 52 (espaço amostral, que é o total de cartas) Fazendo as probabilidades, temos:

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p (A ∩ B)

p(A ∪ B) = 26 52 + 4

52 − p (A ∩ B)

𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 2 (número de cartas vermelhas que são ases) p(A ∪ B) = 26

52 + 4 52 − 2

52 p(A ∪ B) = 28^:4

52_:4= 7 13

Eventos independentes

Sejam A e B dois eventos; então 𝐴 ∩ 𝐵 será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A e B ocorrerem simultaneamente. Dizemos que 𝐴 ∩ 𝐵 é a intersecção entre o evento A e o evento B.

Em particular, se 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅. A e B são chamados mutuamente exclusivos.

Se A e B forem eventos independentes, temos:

p(A ∩ B) = p (A) ∙ p(B)

Exemplo:

2. São realizados dois lançamentos sucessivos de um dado perfeito. Qual é a probabilidade de ocorrer, nos dois casos, o número 5?

A: ocorrência de 5 no 1º lançamento = 1

𝑃(𝐴) = 1 6 B: ocorrência de 5 no 2º lançamento = 1

𝑃(𝐵) = 1 6

p(A ∩ B) = p (A) ∙ p(B) → p(A ∩ B) =1 6∙1

6= 1 36

Probabilidade condicional

Seja 𝛺 um espaço amostral e consideremos dois eventos 𝐴 e 𝐵. Com o símbolo 𝑃(𝐴|𝐵) indicamos a probabilidade do evento 𝐴, dado que o evento 𝐵 ocorreu isto é 𝑃(𝐴|𝐵) é a probabilidade condicional do evento 𝐴, uma vez que 𝐵 tenha ocorrido. Quando calculamos 𝑃(𝐴|𝐵) tudo se passa como se 𝐵 fosse o novo espaço amostral "reduzido" dentro do qual, queremos calcular a probabilidade de A.

A probabilidade condicional é denotada como 𝑃(𝐴/𝐵). A fórmula é:

𝑃(𝐴/𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵) Exemplo:

1. Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de sair um ás vermelho sabendo que ela é de copas?

Total de cartas = 52 𝐴: sair às vermelho = 2 𝐵: sair copas = 13

𝐴 ∩ 𝐵: ás de copas = 1 𝑃(𝐴/𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴/𝐵) =

1 52 13 52

= 1 52∙52

13= 1 13

Probabilidade binomial

Também chamada de distribuição binomial, é a probabilidade com as seguintes características:

● Todos os eventos têm como resultado duas possibilidades: Sucesso ou Fracasso. (estudamos como a probabilidade de acerto e seu complementar)

● Os eventos são independentes (𝑛

𝑘) 𝑝^𝑘𝑞^𝑛−𝑘 , onde (𝑛

𝑘) =_{(𝑛−𝑘)!𝑘!}^𝑛!

Exemplo:

1. Um dado é jogado 7 vezes. Qual é a probabilidade de sair o número 5 quatro vezes?

p: Probabilidade de sair o 5 em cada jogada = 1 6 q: Probabilidade de não sair o 5 em cada jogada = 5

6 (porque é o complementar de A) n: número total de lançamentos = 7

k: número de vezes que quer que aconteça = 4 (7

4) 𝑝⁴𝑞⁷⁻⁴= (7

4) 𝑝⁴𝑞³= (7 4) (1

6)

4

(1 6)

3

= 7!

3! 4!∙ 1 6⁴∙ 1

6³=7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4!

3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 4!∙ 1 1296∙ 1

216= 35 279936

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Exercícios de fixação

1. Dois dados idênticos e sem qualquer vício foram lançados simultaneamente, e o resultado apresentado pela face superior de cada um deles foi anotado. Assinale a alternativa correta:

a) A probabilidade de as duas faces superiores apresentarem um número menor que três é de 50%.

b) O lançamento dos dois dados é um evento.

c) O espaço amostral desse experimento contém 12 elementos.

d) A chance de sair números ímpares nos dois dados é de 50%.

e) A chance de sair dois números iguais no lançamento dos dados é de aproximadamente 16,6%.

2. Duas cartas são extraídas, ao acaso, de um baralho comum e sem coringas. A respeito dessa situação, assinale a alternativa correta:

a) O espaço amostral possui 54 elementos, pois foram retiradas duas cartas dele.

b) O evento possui apenas um elemento, pois duas cartas foram tiradas ao mesmo tempo.

c) O número de elementos que o evento “extrair duas cartas” possui é exatamente igual a dois.

d) Se o evento é extrair duas cartas, o evento complementar é extrair quatro cartas.

e) Retirar duas cartas pode ser considerado como ponto amostral único para esse experimento aleatório.

3. Dentro de uma caixa, são colocadas bolas numeradas de 1 a 50 para que uma delas seja sorteada em uma promoção. Luiz e seus amigos pegaram todos os múltiplos de cinco. Qual a chance de Luiz ou um de seus amigos não ganhar o sorteio?

a) 80%.

b) 20%.

c) 10%.

d) 60%.

e) 25%.

4. Uma questão de uma prova de Estatística apresenta grau médio de dificuldade. João tem 75% de chance de resolvê-la, e Daniel tem 60% de probabilidade de não resolvê-la. Se eles tentam resolver a questão de modo independente, qual será a probabilidade de que a questão seja resolvida?

a) 22,5%

b) 55%

c) 70%

d) 75,5%

e) 85%

5. Em uma escola com 250 alunos, 100 são homens(H) e 150 são mulheres(M). Dentre esses alunos 110 cursam física (F), sendo 40 homens e 70 mulheres. 140 cursam química (Q) sendo 60 homens e 80 mulheres. Um aluno é sorteado do acaso. Qual é a probabilidade de que esteja cursando química dado que é mulher?

Exercícios de vestibulares

1. (Enem - 2015) Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas numeradas de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada ao acaso.

Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20?

a) 1/100 b) 19/100 c) 20/100 d) 21/100 e) 80/100

2. (Enem - 2017) Um morador de uma região metropolitana tem 50% de probabilidade de atrasar-se para o trabalho quando chove na região; caso não chova, sua probabilidade de atraso é de 25%. Para um determinado dia, o serviço de meteorologia estima em 30% a probabilidade de ocorrência de chuva nessa região.

Qual é a probabilidade de esse morador se atrasar para o serviço no dia para o qual foi dada a estimativa de chuva?

a) 0,075 b) 0,150 c) 0,325 d) 0,600 e) 0,800

3. (Enem – 2020) O estatuto do Idoso, no Brasil, prevê certos direitos às pessoas com idade avançada, concendendo a estas, entre outros benefícios, a restituição de imposto de renda antes dos demais contribuintes. A tabela informa os nomes e as idades de 12 idosos que aguardam suas restituições de imposto de renda. Considere que, entre os idosos, a restituição seja concedida em ordem decrescente de idade e que, em subgrupos de pessoas com a mesma idade, a ordem seja decidida por sorteio.

Nome Idade (em ano)

Orlando 89

Gustavo 86

Luana 86

Teresa 85

Márcia 84

Roberto 82

Heloísa 75

Marisa 75

Pedro 75

João 75

Antônio 72

Fernanda 70

Nessas condições, a probabilidade de joão ser a sétima pessoa do grupo a receber sua restituição é igual a

a) ₁₂¹

b) 7 12

c) 1 8

d) 5 6

e) 1 4

4. (Enem - 2020) Suponha que uma equipe de corrida de automóveis disponhas de cinco tipos de pneu (I, II, III, IV, V), em que o fator de eficiência climática EC (índice que fornece o comportamento do pneu em uso, dependendo do clima) é apresentado:

• EC do pneu I: com chuva 6, sem chuva 3;

• EC do pneu II: com chuva 7, sem chuva –4;

• EC do pneu III: com chuva –2, sem chuva 10;

• EC do pneu IV: com chuva 2, sem chuva 8;

• EC do pneu V: com chuva –6, sem chuva 7.

O coeficiente de rendimento climático (CRC) de um pneu é calculado como a soma dos produtos dos fatores de EC, com ou sem chuva, pelas correspondentes probabilidades de se ter tais condições climáticas: ele é utilizado para determinar qual pneu deve ser selecionado para uma dada corrida, escolhendo-se o pneu que apresentar o maior CRC naquele dia. No dia de certa corrida, a probabilidade de chover era de 70% e o chefe da equipe calculou o CRC de cada um dos cinco tipos de pneu.

O pneu escolhido foi:

a) I b) II c) III d) IV e) V

5. (Enem - 2018) O gerente do setor de recursos humanos de uma empresa está organizando uma avaliação em que uma das etapas é um jogo de perguntas e respostas. Para essa etapa, ele classificou as perguntas, pelo nível de dificuldade, em fácil, médio e difícil, e escreveu cada pergunta em cartões para colocação em uma urna. Contudo, após depositar vinte perguntas de diferentes níveis na urna, ele observou que 25% deles eram de nível fácil. Querendo que as perguntas de nível fácil sejam a maioria, o gerente decidiu acrescentar mais perguntas de nível fácil à urna, de modo que a probabilidade de o primeiro participante retirar, aleatoriamente, uma pergunta de nível fácil seja de 75%. Com essas informações, a quantidade de perguntas de nível fácil que o gerente deve acrescentar à urna é igual a a) 10

b) 15 c) 35 d) 40 e) 45

6. (Enem – 2015) Em uma escola, a probabilidade de um aluno compreender e falar inglês é de 30%. Três alunos dessa escola, que estão em fase final de seleção de intercâmbio, aguardam, em uma sala, serem chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de chamá-los um a um, o entrevistador entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser respondida por qualquer um dos alunos. A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta oralmente respondida em inglês é:

a) 23,7%

b) 30,0%

c) 44,1%

d) 65,7%

e) 90,0%

7. (Enem - 2007) A queima de cana aumenta a concentração de dióxido de carbono e de material particulado na atmosfera, causa alteração do clima e contribui para o aumento de doenças respiratórias. A tabela adiante apresenta números relativos a pacientes internados em um hospital no período da queima da cama.

Pacientes Problemas respiratórios causados pelas

queimadas

Problemas respiratórios resultantes de outras

causas Outras doenças Total

idosos 50 150 60 260

crianças 150 210 90 450

Escolhendo-se aleatoriamente um paciente internado nesse hospital por problemas respiratórios causados pelas queimadas, a probabilidade de que ele seja uma criança é igual a

a) 0,26, o que sugere a necessidade de implementação de medidas que reforcem a atenção ao idoso internado com problemas respiratórios.

b) 0,50, o que comprova ser de grau médio a gravidade dos problemas respiratórios que atingem a população nas regiões das queimadas.

c) 0,63, o que mostra que nenhum aspecto relativo à saúde infantil pode ser negligenciado.

d) 0,67, o que indica a necessidade de campanhas de conscientização que objetivem a eliminação das queimadas.

e) 0,75, o que sugere a necessidade de que, em áreas atingidas pelos efeitos das queimadas, o atendimento hospitalar no setor de pediatria seja reforçado.

8. (Enem - 2017) Numa avenida existem 10 semáforos. Por causa de uma pane no sistema, os semáforos ficaram sem controle durante uma hora, e fixaram suas luzes unicamente em verde ou vermelho. Os semáforos funcionam de forma independente; a probabilidade de acusar a cor verde é de 2/3 e a de acusar a cor vermelha é de 1/3. Uma pessoa percorreu a pé toda essa avenida durante o período da pane, observando a cor da luz de cada um desses semáforos.

Qual a probabilidade de que esta pessoa tenha observado exatamente um sinal na cor verde?

a) ^10×2₃₁₀ b) ^10×29

3¹⁰

c) ²¹⁰

3¹⁰⁰

d) ²⁹⁰

3¹⁰⁰

e) ²

3¹⁰

9. (Enem – 2019) Em um determinado ano, os computadores da receita federal de um país identificaram como inconsistentes 20% das declarações de imposto de renda que lhe foram encaminhadas. Uma declaração é classificada como inconsistente quando apresenta algum tipo de erro ou conflito nas informações prestadas. Essas declarações consideradas inconsistentes foram analisadas pelos auditores, que constataram que 25% delas eram fraudulentas. Constatou-se ainda que, dentre as declarações que não apresentaram inconsistências, 6,25% eram fraudulentas.

Qual é a probabilidade de, nesse ano, a declaração de um contribuinte ser considerada inconsistente, dado que ela era fraudulenta?

a) 0,0500 b) 0,1000 c) 0,1125 d) 0,3125 e) 0,5000

10. (Enem, 2011) Em um jogo disputado em uma mesa de sinuca, há 16 bolas: 1 branca e 15 coloridas, as quais, de acordo com a coloração, valem de 1 a 15 pontos (um valor para cada bola colorida). O jogador acerta o taco na bola branca de forma que esta acerte as outras, com o objetivo de acertar duas das quinze bolas em quaisquer caçapas. Os valores dessas duas bolas são somados e devem resultar em um valor escolhido pelo jogador antes do início da jogada.

Arthur, Bernardo e Caio escolhem os número 12, 17 e 22 como sendo resultados de suas respectivas somas. Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de ganhar o jogo é

a) Arthur, pois a soma que escolheu é a menor.

b) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 4 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.

c) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.

d) Caio, pois há 10 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 8 possibilidades para a escolha de Bernardo.

e) Caio, pois a soma que escolheu é maior.

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Gabaritos

Exercícios de fixação 1. E

a) Incorreta!

As combinações de números inferiores a três são: (1,1); (1,2); (2,1); (2,2). Assim, o número de elementos do evento é quatro e o número de elementos do espaço amostral é 36. A probabilidade de saírem dois números menores que três é de: 𝑃 =₃₆⁴ =¹

9. Aproximadamente, 11,11%.

b) Incorreta!

Evento é um conjunto de resultados possíveis. O lançamento de dois dados é um experimento aleatório.

c) Incorreta!

Como foi dito anteriormente, o espaço amostral possui 36 elementos.

d) Incorreta!

Os resultados possíveis em que os dois dados apresentam números ímpares somam nove possibilidades em 36 do espaço amostral. Portanto, a probabilidade é de 𝑃 = ⁹

36=¹

4. Isto é, a probabilidade é igual a 25%.

e) Correta!

São seis os resultados possíveis nos quais os valores obtidos nos dados são iguais. Assim: 𝑃 = ⁶

36=

1

6. O que representa aproximadamente a 16,6%.

2. C

a) Incorreta!

O espaço amostral possui 52 elementos, ou seja, mesmo número de elementos do próprio baralho.

b) Incorreta!

O evento possui dois elementos: cada uma das cartas que foi retirada.

c) Correta!

d) Incorreta!

O evento complementar é extrair 52 cartas.

e) Incorreta!

Cada carta representa um ponto amostral único nesse experimento aleatório.

3. A

Os múltiplos de cinco, entre 1 e 50, são: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 e 50, portanto, são dez elementos.

O evento complementar de “sair múltiplo de cinco” é “não sair múltiplo de cinco”. Para calculá-lo, basta usar a fórmula:

𝑃(𝐸𝐶) = 1 – 𝑃(𝐸) 𝑃(𝐸𝐶) =1 – 10

50

𝑃(𝐸𝐶) = 1 – 0,2 𝑃(𝐸𝐶) = 0,8 = 80%

A probabilidade de um dos amigos de Luiz não ser sorteado é de 80%.

4. E

Temos que a probabilidade do João resolver a questão é de 75%. Portanto, chamaremos essa probabilidade de 𝑃(𝐽) = 75% = 0,75.

Como a probabilidade de Daniel não resolver a questão é de 60%, então a probabilidade dele resolvê-la é de 40%. Portanto, chamaremos de 𝑃(𝐷) = 40% = 0,40.

Portanto, a probabilidade de João resolver e de Daniel resolver a questão é de 𝑃(𝐽 ∩ 𝐷) = 0,75 ∙ 0,40 = 0,3 = 30%

Como queremos qual será a probabilidade de que a questão seja resolvida. Queremos calcular então 𝑃(𝐽 ∪ 𝐷), que é dado por:

𝑃(𝐽 ∪ 𝐷) = 𝑃(𝐽) + 𝑃(𝐷) − 𝑃(𝐽 ∩ 𝐷) 𝑃(𝐽 ∪ 𝐷) = 75% + 40% − 30% = 85%

5. 𝐵 = ser mulher → 𝑃(𝐵) =¹⁵⁰

250

𝐴 ∩ 𝐵 = ser mulher e cursar química → 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =₂₅₀⁸⁰

𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵) =

80 250 150 250

= 80

150= 0,53 = 53%

Exercícios de vestibulares

1. C

Como o que queremos são os números de 1 a 20, temos 20 números desejáveis em 100 casos totais.

Como probabilidade é o desejáveis pelo todo, o resultado é 20/100.

2. C

Calculando a probabilidade de ele se atrasar, com e sem chuva, tem-se:

𝑃(𝑐ℎ𝑢𝑣𝑎) = 30% ∙ 50% = 0,3 ∙ 0,5 = 0,15 E

𝑃(𝑠𝑒𝑚 𝑐ℎ𝑢𝑣𝑎) = 70% ∙ 25% = 0,7 ∙ 0,25 = 0,175 Como temos

𝑃(𝑐ℎ𝑢𝑣𝑎) 𝑜𝑢 𝑃(𝑠𝑒𝑚 𝑐ℎ𝑢𝑣𝑎) = 0,15 + 0,175 = 0,325 3. E

Como Roberto é, necessariamente, a sexta pessoa a ser sorteada e existem quatro pessoas com a mesma idade de João, segue que a probabilidade pedida é ¹₄.

4. A

O coeficiente de rendimento climático é calculado como a soma dos produtos dos fatores EC, pelas correspondentes probabilidades de se ter tais condições climáticas.

Probabilidade de chover: 70%

Probabilidade de não chover: 30%

Assim, calcularemos o CRC de cada questão.

I. 6 ∙ 70 + 3 ∙ 30 = 420 + 90 = 510 II. 7 ∙ 70 + (−4) ∙ 30 = 490 – 120 = 370 III. −2 ∙ 70 + 10 ∙ 30 = −140 + 300 = 160 IV. 2 ∙ 70 + 8 ∙ 30 = 140 + 240 = 380 V. −6 ∙ 70 + 7 ∙ 30 = −420 + 210 = −210 Temos que o pneu escolhido foi o de número 1.

5. D

Se ¹₄∙ 20 = 5 das vinte perguntas inicialmente despositadas na urna são de nível fácil e x é o número de perguntas de nível fácil que o gerente deve acrescentar, então

5 + 𝑥 20 + 𝑥=3

4↔ 𝑥 = 40.

6. D

A probabilidade de nenhum dos 3 alunos responder a pergunta é de: 70% ∙ 70% ∙ 70% = 34,3%, assim, a probabilidade pedida é dada por 100% – 34,3% = 65,7%.

7. E

Sejam os eventos A: “criança” e B: “tem problema respiratório causado pelas queimadas”. Queremos calcular P(A|B), ou seja, a probabilidade condicional de A dado B. Temos que

𝑃(𝐴|𝐵) =𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑛(𝐵) = 150

150 + 50=150

200= 0,75 8. A

Calculando:

𝑃(𝑥) = 𝐶_10,1∙ (2 3) ∙ (1

3)

9

= 10 ∙2 3∙ 1

3⁹=10 ∙ 2 3¹⁰ 9. E

Total {20% 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 → 25% ⋅ 20% 𝑓𝑟𝑎𝑢𝑑𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 80% 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 → 6,25% ⋅ 80% 𝑓𝑟𝑎𝑢𝑑𝑜𝑙𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠

𝑃(𝐼/𝐹) = 0,25 ⋅ 0,20

0,25 ⋅ 0,20 + 0,0625 ⋅ 0,80= 0,05 0,05 + 0,05=1

2= 0,5 10. C

Possíveis resultados para:

Arthur: {(1, 11); (2, 10); (3, 9); (4,8); (5,7)} – 5 possibilidades

Bernardo: {(2, 15); (3, 14); (4, 13); (5, 12); (6, 11); (7, 10); (8, 9)} – 7 possibilidades Caio: {(7, 15); (8, 14); (9, 13); (10, 12)} – 4 possibilidades

Portanto, Bernardo apresenta mais chances de vencer.