Sef tem derivadas de 1a ordem cont´ınuas:
I Duˆf(P0) =∇f(P0)·uˆ=k∇f(P0)kcos](∇f(P0),u)ˆ
I max
kuk=1ˆ Duˆf(P0) =k∇f(P0)k (com ˆu= k∇f1(P
0)k∇f(P0))
I min
kuk=1ˆ Duˆf(P0) =−k∇f(P0)k (com ˆu=−k∇f1(P
0)k∇f(P0))
d dt
f(x(t),y(t))
= ∂f
∂x dx dt +∂f
∂y dy
dt, ou seja, para (x0,y0) = x(t0),y(t0) ,
d dt
f(x(t),y(t))
(t0) =∂f
∂x(x0,y0)dx
dt(t0) +∂f
∂y(x0,y0)dy dt(t0)
Oacr´escimode f em (a,b) que resulta dos acr´escimos ∆x e ∆y ´e
∆f =f(a+ ∆x,b+ ∆y)−f(a,b)
Sef tem derivadas parciais de 1a ordem cont´ınuas, podemos usar a aproxima¸c˜ao linear (para ∆x e ∆y “pequenos”) e escrever:
∆f ≈∆L=fx(a,b)∆x+fy(a,b)∆y
Diferencialde f em (a,b) (“df”) ´e a express˜ao df =fx(a,b)dx+fy(a,b)dy
(o diferencial representa, com uma nota¸c˜ao ligeiramente diferente, a rela¸c˜ao entre ∆L, ∆x e ∆y)
Em qualquer ponto, o gradiente ´e perpendicular `a superf´ıcie de n´ıvel que passa nesse ponto.
A equa¸c˜ao do plano tangente `a superf´ıcie de n´ıvelF(x,y,z) =k no ponto (x0,y0,z0) (tal queF(x0,y0,z0) =k) ´e:
(x−x0)Fx(x0,y0,z0) + (y−y0)Fy(x0,y0,z0) + (z−z0)Fz(x0,y0,z0) = 0
Se∇f(a,b) =~0 ef tiver derivadas parciais de 2a ordem cont´ınuas numa vizinhan¸ca de (a,b), tem-se
I se
fxx(a,b) fxy(a,b) fxy(a,b) fyy(a,b)
<0 ent˜ao (a,b) ´e ponto de sela
I se
fxx(a,b) fxy(a,b) fxy(a,b) fyy(a,b)
= 0 nada se pode concluir a partir das derivadas de segunda ordem;
I se
fxx(a,b) fxy(a,b) fxy(a,b) fyy(a,b)
>0 ent˜ao h´a um extremo local em (a,b)
(m´aximo sefxx(a,b)<0 e m´ınimo sefxx(a,b)>0).
I Se o problema a resolver for o de encontrar o m´aximo e o m´ınimo globaisde uma fun¸c˜aocont´ınua num conjunto fechado e limitado, n˜ao precisamos de usar derivadas de 2a ordem(ao contr´ario do que acontece com problemas de extremos locais).
I Basta calcular (e comparar) o valor da fun¸c˜ao em pontos onde esses extremos podem ser atingidos:
I pontos do interior do conjunto onde o gradiente se anula
I pontos da fronteira do conjunto onde o gradiente ´e perpendicular `a fronteira
I pontos onde n˜ao existe gradiente ou n˜ao existe recta/plano tangente `a fronteira
Z Z
D
f(x,y)dA= Z β
α
Z h2(θ)
h1(θ)
f(rcosθ,rsinθ)rdr dθ
x =rcosθ y =rsinθ z =z
Z Z Z
E 1
z }| {
f(x,y,z)dx dy dz = Z Z Z
E∗
1
z }| {
f rcosθ,rsinθ,z
r dz dr dθ ondeE∗=
(r, θ,z) : (rcosθ,rsinθ,z)∈E
Z Z Z
E 1
z }| {
f(x,y,z)dxdydz = Z Z Z
E∗
1
z }| {
f ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ
ρ2sinφdρdθdφ
ondeE∗=
(ρ, θ, φ) : (ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ)∈E
Z Z Z
E 1
z }| {
f(x,y,z)dxdydz = Z Z Z
E∗
1
z }| {
f ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ
ρ2sinφdρdθdφ
ondeE∗=
(ρ, θ, φ) : (ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ)∈E
Paraz =x+iy, ondex,y∈R, x+iy =x−iy,
|x+iy|=p
x2+y2,
|z|2=zz Exerc´ıcios:
