А. М. Савчук, А. А. Шкаликов, О свойствах отображений, связанных с обрат- ными задачами Штурма–Лиувилля, Труды МИАН, 2008, том 260, 227–247

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. М. Савчук, А. А. Шкаликов, О свойствах отображений, связанных с обрат- ными задачами Штурма–Лиувилля, Труды МИАН, 2008, том 260, 227–247

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 10:25:43

УДК 517.984

О свойствах отображений, связанных с обратными задачами Штурма–Лиувилля

c 2008 г. А. М. Савчук

, А. А. Шкаликов

Поступило в августе 2007 г.

Пусть LD — оператор Штурма–Лиувилля на конечном отрезке [0, π], порожденный дифферен- циальным выражением Ly=−y+q(x)yи краевыми условиями Дирихле. Предполагается, что потенциал q принадлежит пространству Соболева W₂^θ[0, π] при некотором θ ≥ −1. Известно, что по спектру и нормировочным числам оператора LD можно однозначно восстановить по- тенциал q. В настоящей работе строятся специальные пространства последовательностей l₂^θ, в которые помещаются регуляризованные спектральные данные{sk}^∞_−∞ оператораLD. Доказана основная теорема: отображение F q={sk}из пространстваW₂^θ вl₂^θ является слабо нелинейным (т.е. компактным возмущением линейного отображения). Аналогичный результат получен для оператора LDN, порожденного тем же дифференциальным выражением и краевыми условиями Дирихле–Неймана. Эти результаты служат основой для решения задачи о равномерной устойчи- вости восстановления потенциала, которая ранее в литературе не рассматривалась. Результаты о равномерной устойчивости формулируются здесь, но их доказательство будет представлено в другой работе.

1. ВВЕДЕНИЕ. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ

В классических постановках обратных задач для оператора Штурма–Лиувилля на конеч- ном интервале

Ly=−y+q(x)y, x∈[0,1], (1.1)

потенциал оператораq(x)восстанавливается по спектральным данным операторов LD иLDN, порождаемых краевыми условиями Дирихле и Дирихле–Неймана соответственно. Имеются постановки обратных задач и для операторов с более общими краевыми условиями (см., напри- мер, [15, 5]), но здесь для простоты мы ограничимся только этими классическими случаями.

Цель настоящей работы — получить точную и равномерную асимптотику спектральных дан- ных для классических задач Штурма–Лиувилля в предположении, что потенциал изменяется в шаре фиксированного радиуса в пространстве Соболева W₂^α[0,1] при некотором α > −1.

Эти результаты мы получим не в традиционной форме, а в терминах аналитических отоб- ражений функциональных пространств. Основное значение полученных в работе результатов состоит в том, что они позволяют в новой более общей форме (в полной шкале соболевских пространств) получить результаты об обратных задачах. Равномерность получаемых оценок и аналитичность отображений важны для получения результатов о равномерной устойчиво- сти при восстановлении потенциала по спектральным данным. Ранее для соответствующих обратных задач были известны только локальные априорные оценки (см. работу [18] и моно- графию [5, Ch. 1.8], где имеются другие ссылки).

1Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 07-01-00283) и INTAS (проект 05-1000008-7883).

2Механико-математический факультет, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия.

3E-mail: artem_savchuk@mail.ru 4E-mail: ashkalikov@yahoo.com

В этой статье мы выполним только первую (но основную) часть работы. Результаты об об- ратных задачах мы только сформулируем, а простое их доказательство (на основе доказанной здесь теоремы об отображении) мы представим в другой статье.

Напомним определения операторов LD и LDN для случая потенциалов-распределений.

Пусть q(x) принадлежит пространству Соболева W₂^α(0,1) при некотором α ≥ −1. Положим σ(x) =

q(x)dx, где первообразная понимается в смысле теории распределений. Следуя на- шей работе [20] (см. также [21], где приведены другие определения), оператор LD определим равенством

L_Dy=Ly=− y^[1]

−σ(x)y^[1]−σ²(x)y, y^[1](x) :=y(x)−σ(x)y(x), (1.2) на области

D(L_D) =

y, y^[1] ∈W₁¹[0, π]y(0) =y(π) = 0 .

Аналогично определяется оператор Дирихле–Неймана: LDNy=Ly на области D(L_DN) =

y, y^[1]∈W₁¹[0, π]y(0) =y^[1](π) = 0 .

Для гладкой функции σ правые части (1.1) и (1.2) совпадают и мы получаем классиче- ские операторы Штурма–Лиувилля с краевыми условиями Дирихле и Дирихле–Неймана (во втором случае наш оператор совпадает с классическим оператором Дирихле–Неймана, если _π

0 q(x)dx=σ(π)−σ(0) = 0).

Известно [20], что в случае вещественного потенциала q операторы L_D и L_DN самосопря- женные и их спектры состоят из простых собственных значений. Обозначим их{λ_k}^∞₁ и{µ_k}^∞₁ соответственно. В пионерской работе Борга [1] показано, что эти два спектра однозначно опре- деляют потенциал (если q ∈ L₂), а полное решение обратной задачи по двум спектрам для потенциаловq ∈L₂ было дано В.А. Марченко [16, 17] и Б.М. Левитаном [14, 15].

Другие постановки и решения обратных задач предложили И.М. Гельфанд и Б.М. Леви- тан [3]. А именно, они дали полное решение задачи восстановления вещественного потенциалаq из пространства L₂ по спектру и нормировочным числам одного из операторов L_D или L_DN (отметим, что спектр и нормировочные числа однозначно определяют спектральную функцию оператора и наоборот). Нормировочные числа этих операторов определяются равенствами

α_k= π 0

s²(x, λ_k)dx, β_k= π 0

s²(x, µ_k)dx, (1.3)

гдеs(x, λ)— единственное решение уравненияLy−λy, удовлетворяющее условиямs(0, λ) = 0, s^[1](0, λ) =√

λ. Более того, Гельфанд и Левитан нашли явную процедуру восстановления веще- ственного потенциала по спектральным данным{λ_k},{α_k}или{µ_k},{β_k}(с помощью уравне- ния Гельфанда–Левитана–Марченко). В недавней работе Р.О. Гринива и Я.В. Микитюка [10]

соответствующие результаты были доказаны для потенциалов распределенийq ∈W₂^θ[0,1]при

−1 ≤ θ ≤ 0. Здесь мы предложим другой подход к решению указанных обратных задач.

Результаты будут получены в другой (явной) форме и во всей шкале соболевских пространств

−1≤θ <∞. Этот подход позволит получить дополнительную полезную информацию (о рав- номерной устойчивости решения обратных задач).

Отметим, что исследование операторов Штурма–Лиувилля или Шрёдингера с потенциа- лами-распределениями было предпринято в последние годы многими математиками. Здесь укажем на работы Каппелера и Мора [12], Гринива и Микитюка [6–11], Коротяева [13], Дьякова и Митягина [2].

Важно определить функциональные пространства, в которые следует поместить спек- тральные данные. Нам будет более удобно работать с регуляризованными спектральными данными, которые для оператора L_D определим следующим образом:

s_−k= λ_k−k, s_k=α_k−π/2, k= 1,2, . . . (1.4) Здесь мы считаем, что значения корня выбираются так, чтобы аргументы чисел√

λ_kлежали в промежутке(−π/2, π/2]. Фиксируемθ≥0и обозначим черезl^θ₂(Z0)пространство, состоящее из двусторонних последовательностей комплексных чиселx ={. . . , x₋₂, x₋₁, x₁, x₂, . . .}таких, что

k∈Z0

|x_k|²|k|^2θ <∞

(здесь Z0 =Z\ {0} — множество целых чисел без нуля). Введем специальные последователь- ности

e^2s−1=

|2k|^−(2s−1)

k∈Z−∪ {0}k∈Z+, e^2s={0}k∈Z−∪

(2k)^−2s

k∈Z+, s= 1,2, . . . При заданном θ ≥ 0 найдется единственное натуральное число m такое, что m−1/2 ≤ θ <

< m + 1/2. Для этого числа θ определим пространство l₂^θ как конечномерное расширение пространства l^θ₂(Z0), а именно

l₂^θ=l₂^θ(Z0)⊕span e^km

1 . Тем самымl₂^θ состоит из элементов x=x+_m

k=1cke^k, гдеx∈l^θ₂(Z0) и {ck}^m1 — комплексные числа. Скалярное произведение элементов x,y∈l₂^θ определяется формулой

(x,y)θ= (x, y)θ+ m k=1

ckdk,

где (x, y)_θ — скалярное произведение в l^θ₂(Z0), аd_k — коэффициенты элемента yпри элемен- тах e^k. В частности, l₂^θ =l^θ₂(Z0) при0≤θ <1/2 иl₂^θ =l^θ₂(Z0)⊕span{e¹} при 1/2≤θ <3/2.

Теперь сформулируем основные результаты работы.

Основная теорема (для оператораL_D). Пусть {λ_k}^∞1 и {α_k}^∞1 — последовательности собственных значений и нормировочных чисел оператора L_D с комплексным потенциалом q(x)∈W₂^θ−1 (или σ(x) ∈W₂^θ), θ >0. Пусть последовательность {sk}k∈Z0 определена равен- ствами (1.4). Тогда F(σ) ={s_k}k∈Z⁰ является отображением из W₂^θ в l₂^θ,причем

F(σ) =Sσ−Φ(σ), где линейный оператор S определен равенствами

(Sσ)_−k =−1 π

π 0

σ(t) sin(2kt)dt, k= 1,2, . . . , (1.5)

(Sσ)_k =− π 0

(π−t)σ(t) cos(2kt)dt, k= 1,2, . . . , (1.6)

а нелинейное отображение Φ переводит W₂^θ в l^τ₂, где τ =

2θ, если 0< θ≤1, θ+ 1, если 1≤θ <∞.

При этом отображение Φ :W₂^θ →l₂^τ является ограниченным в каждом шаре, т.е.

Φ(σ) _τ ≤C σ _θ, (1.7)

где постоянная C зависит от R, но не зависит от σ в шаре σ _θ ≤R.

Аналогичная теорема справедлива для регуляризованных спектральных данных операто- ра LDN, нужно лишь изменить конструкцию пространств, в которые помещаются эти спек- тральные данные. А именно введем последовательности

e^2s−1 =

|2k+ 1|^−(2s−1)

k∈Z−∪ {0}k∈Z+, e^2s ={0}k∈Z−∪

(2k−1)^−2s

k∈Z⁺, s= 1,2, . . . , и рассмотрим пространства

l₂^θ =l^θ₂(Z0)⊕span e^k_m

1 ,

где натуральное число mопределено так, что выполнены неравенства m−1/2≤θ < m+ 1/2.

Регуляризованные спектральные данные для оператора LDN определим равенствами s_−k =√

µ_k−(k−1/2), s_k=β_k−π/2, k= 1,2, . . .

Как и ранее, значения корня выбираются так, чтобы аргументы чисел √µ_k лежали в проме- жутке(−π/2, π/2].

Основная теорема (для оператора L_DN). Отображение G(σ) = {s_k}k∈Z0 является отображением из W₂^θ в l₂^θ, причем

G(σ) =T σ−Ψ(σ), где линейный оператор T определен равенствами

(T σ)_−k=−1 π

π 0

σ(t) sin((2k−1)t)dt, k= 1,2, . . . ,

(T σ)_k=− π 0

(π−t)σ(t) cos((2k−1)t)dt, k= 1,2, . . . ,

а нелинейное отображение Ψ переводит W₂^θ в l^τ₂,где τ =

2θ, если 0≤θ≤1, θ+ 1, если 1≤θ <∞.

При этом отображение Ψ :W₂^θ →l₂^τ является ограниченным в каждом шаре, т.е.

Ψ(σ) _τ ≤C σ _θ,

где постоянная C зависит от R, но не зависит от σ в шаре σ _θ ≤R.

Заметим, что вложения l₂^η → l₂^τ иl^η₂ →l^τ₂ являются компактными при η > τ, поэтому из сформулированных теорем вытекает следующий результат: при любом θ > 0 отображения F и G являются слабо нелинейными, т.е. компактными возмущениями линейных отобра- жений.

Явно описать образ отображения F (или G) не удается даже в классическом случаеθ= 1 (т.е. q ∈ L₂). Однако образ множества всех вещественных функций из W₂^θ[0, π] можно точ- но описать. Далее через W_R^θ_,2 будем обозначать множество всех вещественных функций σ∈W₂^θ,для которых _π

0 σ(x)dx= 0.

Фиксируем числоh≥0. В пространствеl₂^θ выделим множество последовательностей {sk} таких, что s_k > 0, а числа λ_k = (s_−k +k)² ∈ R при всех k = 1,2, . . . и образуют строго возрастающую последовательность. Из этих последовательностей выделим такие, что

s_k> h, λ_k+1−λ_k > h при k≥1.

Множество последовательностей, обладающих указанными свойствами и лежащих в шаре ра- диуса r пространства l₂^θ (т.е. {s_k} θ< r), обозначим через Σ^θ_r,h.

Теперь мы можем сформулировать теорему, дающую важную информацию для решения обратной задачи.

Теорема А. При любом θ ≥ 0 отображение F: W_R^θ_,2 → Σ^θ_∞,0 является биектив- ным. Это отображение является вещественно аналитическим в каждой точке σ ∈ W_R^θ_,2. При θ > 0 производная dσF этого отображения равномерно ограничена в любом шаре B_R^θ = {σ ∈ W_R^θ_,2 | σ _θ ≤ R}. О браз F(B_R^θ) содержится в множестве Σ^θ_r,h при некоторых r, h > 0, зависящих только от R. Обратно, прообраз F⁻¹(Σ^θ_r,h) содержится в некотором шаре B_R^θ, где R зависит только от r и h. Для всех последовательностей {s_k},{s_k} ∈ Σ^θ_r,h справедливы оценки

C₁ σ−σ _θ ≤ {s_k} − {s_k} θ≤C₂ σ−σ _θ, (1.8) где σ=F⁻¹({s_k}), σ =F⁻¹({s_k}), а постоянные C₁ и C₂ зависят только от r и h.

Аналогичное утверждение справедливо для отображенияG, связанного с обратной задачей для оператора LDN.

Теорема B. Все утверждения теоремы А сохраняются для отображения G, если мно- жества Σ^θ_r,h определить так же, как и ранее, но вместо последовательностей l₂^θ брать последовательности {s_k} ∈l₂^θ.

Приθ= 1первое утверждение в сформулированных теоремах эквивалентно теореме Гель- фанда–Левитана о полной характеризации спектральных данных для операторов L_D и L_DN, а пр и 0 ≤θ≤1 наше описание спектральных данных уточняет описание этих данных в тео- реме Гринива–Микитюка [10]. Другие утверждения теорем являются новыми при всех θ >0.

Особый интерес представляют равномерные оценки (1.8), которые являются новыми и в клас- сическом случаеθ= 1.

Доказательство последних двух теорем (которое здесь полностью не приводится) базиру- ется на основных теоремах о слабой нелинейности отображений F и G при θ > 0. В случае θ= 0 нелинейная добавка в этих отображениях не является относительно компактной и наш метод не проходит. Вопрос о том, сохраняют ли силу равномерные априорные оценки (1.8) в случае θ= 0, остается открытым и представляется нам весьма трудным.

2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Далее мы будем проводить доказательство основной теоремы для оператора LD. Изме- нения, которые нужно сделать в случае оператора L_DN, несложные, все вычисления вполне аналогичны. Для целых m ≥ 0 обозначим через H^m = W₂^m[0, π] {1} множество функций из W₂^m c нулевым средним. При всех неотрицательных θ ≥0 пространства H^θ определим по интерполяции (см., например, [25, гл. 1]). Следующая теорема объясняет наш выбор функци- ональных пространств, в которые помещаются спектральные данные.

Теорема 2.1. При всех θ≥0линейный операторS,определенный равенствами (1.5), (1.6) и рассматриваемый как оператор из пространства H^θ в l₂^θ, является ограниченным и огра- ниченно обратимым.

Доказательство. Определим оператор U: H⁰ →l₂⁰ =l2(Z0)равенствами (U σ)₋k=

2 π

π 0

σ(t) sin(2kt)dt, (U σ)k= 2

π π 0

σ(t) cos(2kt)dt, k= 1,2, . . .

Очевидно, оператор U ограничен, его образ совпадает со всем пространствомl₂^θ, а потому он обратим (более того,U — унитарный оператор). Интегрируя по частям, получим, чтоU огра- ничен и ограниченно обратим и как оператор U:H^m→l₂^m для всех m ∈N (здесь становится ясным, почему в конструкцииl₂^mмы расширяли пространство l^m₂ элементами{e^s}^m_s=1). Теперь покажем, что оператор A=U⁻¹S:H^m→H^m ограничен и ограниченно обратим.

Обозначим черезH₁^m иH₂^mподпространства вH^mнечетных и четных относительно точки π/2 функций соответственно. ТогдаH^m =H₁^m⊕H₂^m.

Заметим, что система функций{sin(2kx)}^∞1 образует ортогональный базис вH1, а система {cos(2kx)}^∞₁ — в H₂. Заметим также, что

π 0

cos(2kt)(π−t)f(t)dt= π 2

π 0

cos(2kt)f(t)dt+ π 0

cos(2kt)(π/2−t)f(t)dt. (2.1) Обозначим через f₁ и f₂ ортогональные проекции элемента f на подпространства H₁ и H₂ соответственно. Из соотношения (2.1) и определений (1.5), (1.6) оператора S легко следует, что матрица оператора A имеет вид

A=− 1/√

2π 0

B π/2

,

гдеB — оператор умножения на функциюπ/2−t. Из полученного представления следует, что A:H^m →H^m обратим. Но тогдаS:H^m→l^m₂ есть изоморфизм.

Теперь заметим, что пространства l₂^θ образуют шкалу интерполяционных пространств.

Этот факт не очевиден, но его доказательство можно провести точно так же, как в лемме 1 работы [22]. Утверждение теоремы теперь получается из теоремы об интерполяции (см. [25, гл. 1]).

Нам понадобятся еще несколько утверждений.

Лемма 2.2. Пусть s(x, ρ) — решение уравнения Ly =−y+q(x)y=ρ²y, σ(x) =

q(t)dt,

с начальными условиями s(0, ρ) = 0, s^[1](0, ρ) =ρ. Обозначим через ρ_n нули функции s(π, ρ), занумерованные в порядке возрастания. Тогда λn=ρ²_n являются собственными значениями оператора LD и для нормировочных чисел αn справедливо представление

αn= 1

2ρ_ns(π, ρ˙ n)s^[1](π, ρn). (2.2) Здесь точка над буквой обозначает производную по переменной ρ, а s^[1](x, ρ) = s(x, ρ) −

−σ(x)s(x, ρ) — квазипроизводная по переменной x.

Доказательство. В случае классических потенциалов эта формула для нормировочных чисел известна [15, гл. 2, § 10]. Для потенциалов-распределений доказательство сохраняется, но нужно воспользоваться обобщенным тождеством Лагранжа (см. лемму 1 работы [20]):

ρ²_n π

0

s(x, ρ_n)s(x, ρ)dx= π

0

L(s(x, ρ_n))s(x, ρ)dx=

=−s(x, ρ)s^[1](x, ρn)^π

0 +s^[1](x, ρ)s(x, ρn)^π

0 + π 0

s(x, ρn)L(s(x, ρ))dx=

=−s(π, ρ)s^[1](π, ρ_n) +ρ² π

0

s(x, ρ_n)s(x, ρ)dx. (2.3)

Перенесем последний интеграл в левую часть, разделим на ρ²_n−ρ² и устремим ρ → ρ_n. Получим формулу (2.2).

Лемма 2.3. Пусть число ρ∈Cтакое, что существует решение θ=θ(x, ρ) уравнения

θ(x, ρ) =ρx+ x

0

σ(t) sin(2θ(t, ρ))dt+ 1 2ρ

x 0

σ²(t)dt− 1 2ρ

x 0

σ²(t) cos(2θ(t, ρ))dt. (2.4)

Тогда решение s(x, ρ) уравнения

Ly=ρ²y,

удовлетворяющее условиям s(0, ρ) = 0, s^[1](0, ρ) =ρ, допускает представление

s(x, ρ) =r(x, ρ) sinθ(x, ρ), (2.5)

где

r(x, ρ) = exp

⎧⎨

⎩− x 0

σ(t) cos(2θ(t, ρ))dt− 1 2ρ

x 0

σ²(t) sin(2θ(t, ρ))dt

⎫⎬

⎭. (2.6)

Доказательство этого утверждения имеется в § 2 работы [21]. Функции r и θ названы мо- дифицированными функциями Прюфера, а представление (2.5) — полярным представлением.

Лемма 2.4. Пусть σ(x)∈L2, σ L2 ≤R, а ν — фиксированное число. Положим

υ(x, ρ) = x

0

σ(t) sin(2ρt)dt+ 2 x

0

t 0

σ(t)σ(s) cos(2ρt) sin(2ρs)ds dt+ 1 2ρ

x 0

σ²(t)(1−cos(2ρt))dt, (2.7) Υ(ρ) = max

0≤x≤π

⎛

⎝ x 0

σ(t) sin(2ρt)dt +

x 0

σ(t) cos(2ρt)dt

⎞

⎠+R²(1 +κ+Rκ²)

2|ρ| , (2.8) где κ = ch(2πν). Тогда найдется абсолютная постоянная ε > 0 (можно взять ε = 2⁻⁷) такая, что для всех ρ, лежащих в полосе |Imρ| ≤ν и удовлетворяющих условию

Υ(ρ)< ε(1 + 64R²κ²)⁻², (2.9)

уравнение (2.4) имеет единственное решение θ(x, ρ), которое представимо в виде

θ(x, ρ) =ρx+f(x, ρ), |f(x, ρ)| ≤CΥ(ρ), (2.10) где C — абсолютная постоянная. Более того,

θ(x, ρ) =ρx+υ(x, ρ) +r(x, ρ), |r(x, ρ)| ≤C(R)Υ²(ρ). (2.11) Доказательство этого утверждения также имеется в § 2 работы [21].

3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ОПЕРАТОРА L_D В СЛУЧАЕ 0< θ <1/4

При0< θ <1/4 основная теорема эквивалентна следующему утверждению.

Теорема 3.1. Пусть σ(x)∈W₂^θ, 0< θ <1/4, {λ_n}^∞1 — собственные значения операто- ра L_D,а {α_n}^∞₁ — его нормировочные числа. Обозначим

b_k = 2 π

π 0

σ(t) sin(kt)dt.

Тогда

ρ_n= λ_n=n−(1/2)b_2n+γ_n,

∞ k=1

k^4θ|γ_k|²< C, (3.1)

αn= π 2 −

π 0

(π−t)σ(t) cos(2nt)dt+γ_n,

∞ k=1

k^4θ|γ_k|² < C, (3.2) где постоянная C зависит только от радиуса R шара σ _θ ≤R,в котором находится функ- ция σ =

q(x)dx∈L₂(0, π).

Доказательство. Асимптотическая формула (3.1) для чисел ρ_n с равномерной оценкой остатка доказана в работе [23]. Покажем теперь, как, опираясь на эту формулу и сформули- рованные выше леммы, получить асимптотическую формулу для нормировочных чисел.

В силу представления (2.5) имеем αn=

π 0

s²(x, ρn)dx= 1 2

π 0

r²(x, ρn)dx−1 2

π 0

r²(x, ρn) cos(2θ(x, ρn))dx. (3.3)

Сначала, опираясь на (2.6), выведем асимптотическое равенство дляr²(x, ρ). Легко видеть, что exp

⎛

⎝−ρ⁻¹ x 0

σ²(t) sin(2θ(t, ρ))dt

⎞

⎠= 1−1 ρ

x 0

σ²(t) sin(2θ(t, ρ))dt+O(Υ²),

где величина Υопределена равенством (2.8). В силу (2.10) имеем

cos(2θ(x, ρ)) = cos(2ρx) cos(2f(x, ρ))−sin(2ρx) sin(2f(x, ρ)) =

= cos(2ρx)−2f(x, ρ) sin(2ρx) +O(Υ²) =

= cos(2ρx)−2υ(x, ρ) sin(2ρx) +O(Υ²). (3.4)

Здесь и далее черезO(Υ²)обозначаются величины, допускающие оценку≤CΥ² с константой, зависящей только от радиусаR шара σ _θ ≤R. Аналогично

sin(2θ(x, ρ)) = sin(2ρx) + 2υ(x, ρ) cos(2ρx) +O(Υ²).

Эти равенства позволяют получить представления 1

ρ x

0

σ²(t) sin(2θ(t, ρ))dt= 1 ρ

x 0

σ²(t) sin(2ρt)dt+O(Υ²), x

0

σ(t) cos(2θ(x, ρ))dt= x

0

σ(t) cos(2ρt)dt−2 x 0

σ(t)υ(t, ρ) sin(2ρt)dt+O(Υ²).

(3.5)

Подставив представление (2.7) для функцииυ(x, ρ)в последний интеграл, получим сумму трех интегралов

2 x 0

σ(t)υ(t, ρ) sin(2ρt)dt= 2 x

0

t 0

σ(t)σ(s) sin(2ρt) sin(2ρs)ds dt+

+ 4 x 0

t 0

s 0

σ(t)σ(s)σ(τ) sin(2ρt) cos(2ρs) sin(2ρτ)dτ ds dt+

+1 ρ

x 0

t 0

σ(t)σ²(s)(1−cos(2ρs)) sin(2ρt)ds dt. (3.6) Первый из этих интегралов симметричен по переменнымsи t, а потому равен

x 0

x 0

σ(t)σ(s) sin(2ρt) sin(2ρs)ds dt=O(Υ²).

Во втором интеграле поменяем порядок интегрирования и воспользуемся предыдущей оцен- кой. Получим, что он равенO(Υ²). В третьем интеграле также поменяем порядок интегрирова- ния и воспользуемся равенством 1/ρ=O(Υ). Получим, что этот интеграл также оценивается величиной O(Υ²). Итак,

r²(x, ρ) = 1−2 x 0

σ(t) cos(2ρt)dt− 1 ρ

x 0

σ²(t) sin(2ρt)dt+O(Υ²).

Подставим это выражение в равенство (3.3) (здесь ρ=ρ_n):

α²_n= π 2 −

π 0

x 0

σ(t) cos(2ρt)dt− 1 2ρ

π 0

x 0

σ²(t) sin(2ρt)dt−

−1 2

π 0

⎛

⎝1−2 x 0

σ(t) cos(2ρt)dt− 1 ρ

x 0

σ²(t) sin(2ρt)dt

⎞

⎠cos(2ρx)−2υ(x, ρ) sin(2ρx) dx+

+O(Υ²). (3.7)

Раскрыв скобки в последнем интеграле, получим сумму шести слагаемых. Первые пять представим в виде

−1 2

π 0

cos(2ρx)dx=−1

4ρsin(2πρ), 1 2ρ

π 0

x 0

σ²(t) sin(2ρt) cos(2ρx)dx=O(Υ²), π

0

x 0

σ(t) cos(2ρt) cos(2ρx)dx dt=− 1 4ρ

π 0

σ(t) sin(4ρt)dt+sin(2πρ) 2ρ

π 0

σ(t) cos(2ρt)dt+O(Υ²),

− π 0

⎛

⎝2 x

0

σ(t) cos(2ρt)dt+1 ρ

x 0

σ²(t) sin(2ρt)dt

⎞

⎠υ(x, ρ) sin(2ρx)dx=O(Υ²).

Последнее слагаемое имеет вид π

0

υ(x, ρ) sin(2ρx)dx= π

0

x 0

σ(t) sin(2ρt) sin(2ρx)dx dt+

+ 2 π 0

x 0

t 0

σ(t)σ(s) cos(2ρt) sin(2ρs) sin(2ρx)ds dt dx+

+ 1 2ρ

π 0

x 0

σ²(t)(1−cos(2ρt)) sin(2ρx)dx dt. (3.8)

Поменяв в трех последних интегралах порядок интегрирования, получим, что второй и третий интегралы оцениваются величиной O(Υ²), а первый интеграл равен

1 4ρ

π 0

σ(t) sin(4ρt)dt−cos(2πρ) 2ρ

π 0

σ(t) sin(2ρt)dt.

В итоге получим

α²_n= π 2 −

π 0

(π−t)σ(t) cos(2ρ_nt)dt− 1 2ρn

π 0

(π−t)σ²(t) sin(2ρ_nt)dt− 1 4ρn

sin(2πρ_n) +

+ cos(2πρ_n) 2ρ_n

π 0

σ(t) sin(2ρ_nt)dt+sin(2πρ) 2ρ_n

π 0

σ(t) cos(2ρ_nt)dt+O(Υ²(ρ_n)). (3.9)

Теперь воспользуемся следующим утверждением, доказанным в работе [23]: при θ ∈ (0,1/4) последовательность {Υ²(ρn)}^∞n=1 лежит в пространстве l^2θ₂ , причем ее норма в этом про- странстве оценивается постоянной C, зависящей только от радиуса шара σ _θ ≤R, в ко- тором лежит функция σ. Заметим также, что в силу асимптотической формулы (3.1) для собственных значений имеемsin(2πρn) =−πb2n+γ_n,cos(2πρn) = 1 +γ_n, где_∞

k=1k^4θ|γ_k|² < C.

Примем также во внимание, что при θ ∈ (0,1/4) последовательность {n⁻¹}^∞1 лежит в про- странстве l^2θ₂ . Тогда из (3.1) и (3.9) получим (3.3). Теорема доказана.

4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ В СЛУЧАЕ θ= 1

Приθ= 1имеем классический потенциалσ(x) =q(x)∈L2. Естественно, этот случай наи- более прост, хотя техническая работа требуется и в этом случае. Отметим, что для всех целых θ≥1асимптотические формулы для собственных значений и нормировочных чисел известны (см., например, [15] и [5]), но в сравнении с классическими формулами мы выписываем на один член больше в асимптотических выражениях (в этом основная трудность), кроме того, мы следим за равномерной оценкой остатка.

Основная теорема в случае θ= 1 вытекает из следующего утверждения.

Теорема 4.1. При σ(x) =

q(t)dt∈W₂¹[0, π] справедливы формулы ρ_n=n+s_n=n+ h₀

2n − a_2n 2(2n) +γ_n

n²,

|γ_n|² < C, (4.1)

α_n= π 2 +b_2n

2n + g₀ 4n² +γ_n

n²,

|γ_n|² < C, (4.2) где

h0 = σ(π)−σ(0)

π = 1

π π

0

q(x)dx, g0 =π³h²₀−π π

0

q(t)σ(t)dt,

a_p = 2 π

π 0

q(t) cos(pt)dt, b_p = π 0

((π−t)σ(t))sin(pt)dt, а постоянная C зависит только от R= q ≤ σ ₁.

Доказательство. Если мы докажем утверждение этой теоремы, то утверждение основ- ной теоремы при θ = 1 получится после интегрирования по частям формул (1.5) и (1.6) и сравнения полученных равенств с (4.1) и (4.2). Формула (4.1) уже доказана в работе [23], поэтому нужно доказать только формулу (4.2).

Используя метод последовательных приближений, представим функциюs(x, ρ) в виде s(x, ρ) =

∞ n=0

S_n(x, ρ), (4.3)

где

S0(x, ρ) = sin(ρx), Sn(x, ρ) = x

0

sin(ρ(x−t))

ρ q(t)Sn−1(t, ρ)dt, n= 1,2, . . . В частности,

S₁(x, ρ) =−cos(ρx) 2ρ

x 0

q(t)dt+ x 0

cos(ρ(x−2t))

2ρ q(t)dt, (4.4)

S₂(x, ρ) =−sin(ρx) 4ρ²

x 0

σ(t)q(t)dt− x 0

sin(ρ(x−2t))

(2ρ)² σ(t)q(t)dt+

+ x 0

q(t) sin(ρ(x−t)) t

0

cos(ρ(t−2ξ))

2ρ² q(ξ)dξ dt. (4.5)