2/27/2015. Física Geral III

(1)

Física Geral III

Aula Teórica 04 (Cap. 24 parte 3/3) : 1) Cálculo do campo elétrico produzido por uma

distribuição contínua de cargas (continuação).

2) Movimento de cargas no campo elétrico.

3) Torque sobre dipolos elétricos.

Prof. Marcio R. Loos

2

Exemplo 1: campo elétrico criado por um disco de carga

• Um disco de plástico de raio R possui uma carga uniforme sobre sua superfície superior.

• Qual é o campo elétrico num ponto P a uma distância z sobre o eixo central?

Prof. Loos Física Geral III loos.prof.ufsc.br

3

Relembrando da última aula:

dicas para resolução de exercícios 1. Desenhe um sistema de coordenadas no diagrama.

2. Desenhe um elemento infinitesimal e o campo devido ao elemento.

Repita o procedimento para um elemento simétrico.

3. Escreva dq em termos do elemento infinitesimal.

4. Escolha uma variável de integração. (Ex. θ)

5. Escreva as variáveis em termos da variável de integração.

6. Escreva a integral e coloque limites.

7. Resolva a integral.

(2)

4

• O disco pode ser dividido em anéis concêntricos.

• O campo criado em P por todos os anéis é obtido por integração.

• Na fig. vemos um dos anéis de raio r e largura dr.

• O disco possui uma densidade superficial de carga uniforme dada por

• Mas,

A A q

q s

s = Þ = = s

dA dq

Exemplo 1: campo elétrico criado por um disco de carga

dr r dA = 2 p r

2

A = p dA = 2 p rdr dq = 2 ps rdr

5

• Já resolvemos o problema do campo elétrico criado por um anel carregado:

• Para calcularmos o campo dE criado pelo anel de raio r com carga dq devemos considerar na eq. acima

(

² ²

)

³^/²

4

0

z R

E qz

= + pe

Exemplo 1: campo elétrico criado por um disco de carga

(

² ²

)

³^/²

4

0

2 r z

rdr dE z

= + pe

ps 4

0

(

² ²

)

³^/²

2 r z

rdr dE z

= + e

s dE

E Þ q Þ dq = 2 ps rdr R Þ r

6

Exemplo 1: campo elétrico criado por um disco de carga

P

A eq. para o campo criado pelo anel já considera apenas componentes em z!

(3)

7

• Obtemos E devido a todos os anéis integrando a eq. de r=0 até r=R

• Usamos um artifício para resolver a integral acima

• Assumimos

Exemplo 1: O Campo Elétrico Criado por um disco de carga

( )

ò

⁼

=

+

-

=

^r^R

r

dr r z z r dE E

0

2 / 2 3 2 0

4 s e 2

1

= +

⁺

ò ^X

^m

^dx _m ^X

^m

( z

²

r

²

)

x = + m = - 3 / 2

rdr dx dr r

dx = 2 Þ = 2

8

Exemplo 1: O Campo Elétrico Criado por um disco de carga

( ) ( )

^r^R

r R

r r

r rdr z r z

=

= +

= -

ú ú û ù ê ê

ë é

+ -

= +

ò +

0 1 2 / 2 3 2

0 2 / 2 3 2

1 2 / 2 3

( )

^r^R

r

z

⁼

= -

ú ú û ù ê ê

ë é - +

=

0 2 / 2 1 2

2 / 1

( ) ( )

2 / 1 2 / 1

2 / 2 1 2 / 2 1

2 - -

+ + -

= z R z

R z z

2 2

2

+

- +

=

• Voltando à integral, temos:

9

• Voltando à expressão para E

• Temos:

• Caso limite:

R→∞ ou z→0

A equação acima se reduz a

Exemplo 1: O Campo Elétrico Criado por um disco de carga

÷÷ ø çç ö

è æ

- +

=

₂ ₂

0

2 2

4 z z R

E z e s

Campo elétrico criado por uma chapa infinita fina, não- condutora, uniformemente carregada sobre um lado.

÷÷ ø çç ö

è æ - +

=

2 2

0

2 1 z R

E z e s

2 e

0

= s E

( )

ò

⁼

=

+

-

=

^r^R

r

dr r z z r dE E

0

2 / 2 3 2 0

4 s e 2

(4)

10

Carga puntiforme num campo elétrico

11

Carga puntiforme num campo elétrico

• O que acontece com uma partícula de massa m na presença do campo gravitacional criado pela Terra?

• A partícula fica sujeita a uma força gravitacional dada por

• O que acontece com uma partícula carregada na presença de um campo elétrico criado por cargas?

• A partícula fica sujeita a uma força eletrostática dada por

• q DEVE INCLUIR SINAL já que esta eq. é vetorial.

• Esta força causará uma aceleração na partícula.

mg P =

E q F r = r

12

Carga puntiforme num campo elétrico

Definição de campo elétrico

Força em uma carga devido ao

campo elétrico F r q E r

= q E F

r r

=

• +q: F e E terão mesma direção e sentido.

A partícula acelerará na mesma direção e sentido de E.

• -q: F e E terão mesma direção mas SENTIDOS OPOSTOS.

A partícula acelerará na mesma direção mas com SENTIDO OPOSTO ao de E.

(5)

13

Carga puntiforme num campo elétrico

E

Carga positiva:

Força na carga e aceleração ocorre na mesma direção do campo E (segue E).

Carga negativa:

Força na carga e aceleração ocorre na mesma direção mas sentido oposto do campo E (oposto a E).

+ + + + + + + + +

+ + + + + + + + + – – – – – – – – – –

– – – – – – – – – –

14

Carga puntiforme num campo elétrico

m E a q

a m E q F r r

r r r

=

• Se o campo elétrico E é uniforme (magnitude e direção), a força elétrica F na partícula é constante.

Impressora a jato de tinta.

E=cte. Q das gotas varia!

E q F r r

= F r m a r

=

15

Carga puntiforme num campo elétrico

http://www.kcvs.ca/site/projects/physics.html Motion of Charged Particles in Magnetic and Electric Fields

(6)

16

Experimento de Millikan

• Realizado em 1913.

• Forneceu uma medida da carga elementar.

Millikan: Nobel 1923

http://www.kcvs.ca/site/projects/physics.html Millikan-Like Experiment

17

Experimento de Millikan

• Realizado em 1913.

• Forneceu uma medida da carga elementar.

Millikan: Nobel 1923

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Um dipolo num campo elétrico

(7)

19

Um dipolo num campo elétrico

• Um dipolo elétrico consiste de duas cargas iguais e opostas (+q e –q) separadas por uma distância d.

d +q

-q

20

Um dipolo num campo elétrico Definimos o momento de dipolo p

magnitude = qd, p

direção de -q para +q

-q

d +q p

21

Um dipolo num campo elétrico

• Suponha o dipolo é colocado em um campo elétrico uniforme (i.e.

E é o mesmo em todo ponto no espaço).

• O que acontece com o dipolo?

-q +q E

q d

(8)

22

Um dipolo num campo elétrico

• Qual a força atuando no dipolo?

-q +q E

q d

23

Um dipolo num campo elétrico

• Qual a força atuando no dipolo?

• F

_t

= F

₊

- F

_-

= 0. O centro de massa não acelera!

-q +q F-

E F+

q d

24

Um dipolo num campo elétrico

• Qual a força atuando no dipolo?

• F

_t

= F

₊

- F

_-

= 0. O centro de massa não acelera!

• As cargas irão se mover (rotacionar). Por quê?

-q +q F-

E F+

q d

(9)

25

Um dipolo num campo elétrico

• Qual a força atuando no dipolo?

• F

_t

= F

₊

- F

_-

= 0. O centro de massa não acelera!

• As cargas irão se mover (rotacionar). Por quê?

• Há um torque porque as forças não são colineares.

-q +q F-

E F+

q d

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Um dipolo num campo elétrico

- q

+q F-

F+

q

d d sin q

O torque vale: t = (magnitude da força) (braço de alavanca) Para o dipolo r=d/2

q t | | r | | F | sen

| =

q q q

t d F sen d F sen

sen

d F + =

= 2 2

27

Um dipolo num campo elétrico

Porém, nós definimos A direção de p é de -q para +q Então, o torque pode ser escrito como:

De forma vetorial

O torque ocorre no sentido horário e por notação adicionamos um sinal negativo na Eq. para o módulo de τ

-q + q q

d p ^E

qd q p =

q t = d F sen

q t = d q E sen

q t = p E sen

E p r r r = ´ t

q t = - p Esen

(10)

28

Um dipolo num campo elétrico

• O que é energia potencial?

• É a energia armazenada em um corpo devido à sua posição!

• A orientação de um dipolo num campo elétrico pode ser associada a uma energia potencial U.

• A energia potencial associada ao torque vale

• U

min

→ θ=0 (p e E tem mesma direção e sentido)

• U

máx

→ θ=180

^º

(p e E tem mesma direção mas sentidos opostos)

-q +q q

d p ^E

q

q E cos p U = -

E p U = - r × r

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2/27/2015. Física Geral III

Física Geral III

Aula Teórica 04 (Cap. 24 parte 3/3) : 1) Cálculo do campo elétrico produzido por uma

distribuição contínua de cargas (continuação).

2) Movimento de cargas no campo elétrico.

3) Torque sobre dipolos elétricos.

Prof. Marcio R. Loos

Exemplo 1: campo elétrico criado por um disco de carga

• Um disco de plástico de raio R possui uma carga uniforme sobre sua superfície superior.

• Qual é o campo elétrico num ponto P a uma distância z sobre o eixo central?

Relembrando da última aula:

dicas para resolução de exercícios 1. Desenhe um sistema de coordenadas no diagrama.

2. Desenhe um elemento infinitesimal e o campo devido ao elemento.

Repita o procedimento para um elemento simétrico.

3. Escreva dq em termos do elemento infinitesimal.

4. Escolha uma variável de integração. (Ex. θ)

5. Escreva as variáveis em termos da variável de integração.

6. Escreva a integral e coloque limites.

7. Resolva a integral.

• O disco pode ser dividido em anéis concêntricos.

• O campo criado em P por todos os anéis é obtido por integração.

• Na fig. vemos um dos anéis de raio r e largura dr.

• O disco possui uma densidade superficial de carga uniforme dada por

• Mas,

A A q

q s

s = Þ = = s

dA dq

Exemplo 1: campo elétrico criado por um disco de carga

dr r dA = 2 p r

A = p dA = 2 p rdr dq = 2 ps rdr

• Já resolvemos o problema do campo elétrico criado por um anel carregado:

• Para calcularmos o campo dE criado pelo anel de raio r com carga dq devemos considerar na eq. acima

(

)

4

z R

E qz

= + pe

Exemplo 1: campo elétrico criado por um disco de carga

(

)

4

2 r z

rdr dE z

= + pe

ps 4

(

)

2 r z

rdr dE z

= + e

s dE

E Þ q Þ dq = 2 ps rdr R Þ r

Exemplo 1: campo elétrico criado por um disco de carga

P

A eq. para o campo criado pelo anel já considera apenas componentes em z!

• Obtemos E devido a todos os anéis integrando a eq. de r=0 até r=R

• Usamos um artifício para resolver a integral acima

• Assumimos

Exemplo 1: O Campo Elétrico Criado por um disco de carga

( )

ò

ò

+

=

=

dr r z z r dE E

4 s e 2

1

= +

ò X

dx m X

( z

r

)

x = + m = - 3 / 2

rdr dx dr r

dx = 2 Þ = 2

Exemplo 1: O Campo Elétrico Criado por um disco de carga

ò ^X

^dx _m ^X