Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Francisco Beltrão

Fun¸c˜ oes Pares e ´Impares

Universidade Tecnol´ ogica Federal do Paran´ a Cˆ ampus Francisco Beltr˜ ao

Disciplina: C´ alculo Diferencial e Integral 4A

Prof. Dr. Jonas Joacir Radtke

Lembre que g ´ e par se g (−x) = g (x), de modo que seu gr´ afico ´ e sim´ etrico em rela¸ c˜ ao ao eixo vertical. J´ a uma fun¸ c˜ ao h ´ e ´ımpar se h(−x) = −h(x).

Na s´ erie de Fourier, os termos em cossenos s˜ ao pares e os termos em senos s˜ ao ´ımpares.

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Teorema 1: S´ eries de Fourier de Cossenos e S´ eries de Fourier de Senos A s´ erie de Fourier de uma fun¸ c˜ ao par de per´ıodo 2L ´ e uma “s´ erie de Fourier de cossenos”

f (x) = a

+

∞

X

n=1

a

cos nπx

L (1)

com os coeficientes (observe que a integra¸ c˜ ao ´ e feita somente de 0 a L) a

= 1

L Z

0

f (x ) dx, a

= 2 L

Z

0

f (x) cos nπx

L dx (2)

A s´ erie de Fourier de uma fun¸ c˜ ao ´ımpar de per´ıodo 2L ´ e uma “s´ erie de Fourier de senos”

f (x ) =

∞

X

n=1

b

sen nπx

L (3)

com os coeficientes

b

= 2 L

Z

0

f (x) sen nπx

L dx (4)

Teorema 2: Soma e M´ ultiplo Escalar

Os coeficientes de Fourier de uma soma f ₁ + f ₂ s˜ ao as somas dos correspondentes coeficientes de Fourier de f ₁ e f ₂ .

Os coeficientes de Fourier de c f s˜ ao o produto de c pelos correspondentes coeficientes de Fourier de f .

Exemplo

Encontre a s´ erie de Fourier da fun¸ c˜ ao

f (x) = x + π se − π < x < π e f (x + 2π) = f (x)

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Expans˜ oes de Meia-escala

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Exemplo

Esboce as duas expans˜ oes de meia-escala da fun¸ c˜ ao “triˆ angulo” e determine a S´ erie de Fourier de Senos da expans˜ ao ´ımpar (L = 2).

f (x) =

x se 0 < x < 1

2 − x se 1 < x < 2

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Exerc´ıcio

As seguintes fun¸ c˜ oes s˜ ao pares, ´ımpares, ou nem pares nem ´ımpares?

1. |x |, x

sen nx , x + x

, e

, ln x , x cosh x

2. sen (x

), sen

x , x senh x , |x

|, e

, xe

, tg 2x , x /(1 + x

) Exerc´ıcio

As fun¸ c˜ oes a seguir, que se sup˜ oem ser peri´ odicas e de per´ıodo 2π, s˜ ao pares,

´ımpares, ou nem pares nem ´ımpares?

3. f (x) = x

(−π < x < π) 4. f (x) = x

(−π/2 < x < 3π/2) 5. f (x) = e

(−π < x < π) 6. f (x) = x

sen x (−π < x < π) 7. f (x) = x |x| − x

(−π < x < π) 8. f (x) = 1 − x + x

− x

(−π < x < π)

9. f (x) = 1/(1 + x

) se −π < x < 0, f (x) = −1/(1 + x

) se 0 < x < π

Exerc´ıcio

A fun¸c˜ ao dada ´ e par ou ´ımpar? Encontre sua s´ erie de Fourier.

Fa¸ ca um esbo¸ co ou gr´ afico da fun¸c˜ ao e de algumas parciais.

11. f (x) = π − |x| (−π < x < π) 12. f (x) = 2x|x| (−1 < x < 1) 13. f (x) =

x se −π/2 < x < π/2 π − x se π/2 < x < 3π/2 15. f (x) =

2 se −2 < x < 0 0 se 0 < x < 2 16. f (x) =

1 − |x|/2 se −2 < x < 2 0 se 2 < x < 6

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Exerc´ıcio

Encontre (a) a s´ erie de Fourier de cossenos, (b) a s´ erie de Fourier de senos.

Fa¸ ca um esbo¸ co de f (x) e de suas duas extens˜ oes peri´ odicas.

17. f (x) = 1 (0 < x < 2) 18. f (x) = x (0 < x < 1/2) 19. f (x) = 2 − x (0 < x < 2) 20. f (x) =

0 se 0 < x < 2 1 se 2 < x < 4 21. f (x) =

1 se 0 < x < 1 2 se 1 < x < 2 22. f (x) =

x se 0 < x < π/2

π/2 se π/2 < x < π

23. f (x) = x (0 < x < L)

24. f (x) = x

(0 < x < L)

25. f (x) = π − x (0 < x < π)

Respostas:

11. f (x) = π 2 +

∞

X

n=1

4

(2n − 1) ² π cos[(2n − 1)x]

12. f (x) =

∞

X

n=1

4(n ² π ² − 4)

π ³ n ³ sen [(2n − 1)πx ] − 2

nπ sen (2nπx)

13. f (x) =

∞

X

n=1

−4(−1) ⁿ

(2n − 1) ² π sen [(2n − 1)x]

15. f (x) = 1 −

∞

X

n=1

4

(2n − 1)π sen

(2n − 1)πx 2

16. f (x) = 1 4 +

∞

X

n=1

4

n ² π ² cos h nπx 4

i

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17.(a) f (x) = 1 17.(b) f (x) =

∞

X

n=1

4

(2n − 1)π sen

(2n − 1)πx 2

18.(a) f (x) = 1 4 −

∞

X

n=1

2

(2n − 1) ² π ² cos[2(2n − 1)πx]

18.(b) f (x) =

∞

X

n=1

(−1) ⁿ⁻¹

nπ sen (2nπx) 19.(a) f (x) = 1 +

∞

X

n=1

8

(2n − 1) ² π ² cos

(2n − 1)πx 2

19.(b) f (x) =

∞

X

n=1

4

nπ sen h nπx 2

i

20.(a) f (x) = 1 2 +

∞

X

n=1

2(−1) ⁿ (2n − 1)π cos

(2n − 1)πx 4

20.(b) f (x) =

∞

X

n=1

2

(2n − 1)π sen

(2n − 1)πx 4

− 2

(2n − 1)π sen

(2n − 1)πx 2

21.(a) f (x) = 3 2 +

∞

X

n=1

2(−1) ⁿ (2n − 1)π cos

(2n − 1)πx 2

21.(b)

22.(a) f (x) = 3π 8 −

∞

X

n=1

2

n ² π cos[nx]

22.(b) f (x) =

∞

X

n=1

(−1) ⁿ⁻¹

n sen (nx) − 2(−1) ⁿ

(2n − 1) ² π sen [(2n − 1)x]

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23.(a) f (x) = L 2 −

∞

X

n=1

4L

(2n − 1) ² π ² cos

(2n − 1)πx L

23.(b) f (x) =

∞

X

n=1

2L nπ sen

h nπx L

i

24.(a) f (x) = L ² 3 +

∞

X

n=1

4(−1) ⁿ L ²

n ² π ² cos nπx L

24.(b) f (x) =

∞

X

n=1

2(−1) ⁿ⁻¹ L ²

nπ sen nπx L

− 8L ²

(2n − 1) ³ π ³ sen

(2n − 1)πx L

25.(a) f (x) = π 2 +

∞

X

n=1

4

(2n − 1) ² π cos[(2n − 1)x]

25.(b) f (x) =

∞

X 2

n sen (nx)