MAE0524: An´alise Bayesiana de Dados

MAE0524: An´ alise Bayesiana de Dados

Aula 4: Introdu¸c˜ao ao Pensamento Bayesiano Gualberto Segundo Agamez Montalvo Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica - USP

25 de fevereiro de 2016

Sum´ ario

1 Introdu¸c˜ao

2 Uso do histograma para constru¸c˜ao da priori subjetiva

3 Aplica¸c˜ao.

4 Referˆencias.

Introdu¸c˜ao

Sum´ ario

1 Introdu¸c˜ao

2 Uso do histograma para constru¸c˜ao da priori subjetiva

3 Aplica¸c˜ao.

4 Referˆencias.

Introdu¸c˜ao

Introdu¸c˜ ao

Introdu¸c˜ao

Introdu¸c˜ ao

Introdu¸c˜ao

Introdu¸c˜ ao

Introdu¸c˜ao

Introdu¸c˜ ao

Exemplo: Suponha que uma pessoa est´a interessada em aprender os h´abitos de sono de estudantes universit´arios americanos. Ela ouve que os m´edicos recomendam oito horas de sono para um adulto m´edio.

Pergunta de interesse: qual ´e a propor¸c˜ao de estudantes universit´arios que tˆem pelo menos oito horas de sono?

Introdu¸c˜ao

Introdu¸c˜ ao

O valor da propor¸c˜ao p ´e desconhecido. No ponto de vista Bayesiano, as cren-

¸cas de uma pessoa sobre a incerteza nessa propor¸c˜ao s˜ao representadas por uma distribui¸c˜ao de probabilidade (a priori).

Suponha-se que a densidade a priori parap´e denotado porG(p). Se considerarmos um“sucesso” como dormir pelo menos oito horas e tomamos uma amostra aleat´oria comssucessos ef fracassos, ent˜ao a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca ´e dada por

L(p)∝p^s(1−p)^f, 0< p <1.

Introdu¸c˜ao

Introdu¸c˜ ao

A densidade a posteriori parap´e proporcional ao produto da densidade a priori e a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca, isto ´e,

g(p|dados)∝g(p)L(p).

Assim, para uma amostra de 27 alunos, onde 11 deles tinham dormido pelo menos oito horas de sono na noite anterior, temos que:

g(p|dados)∝g(p)p¹¹(1−p)¹⁶.

Uso do histograma para constru¸c˜ao da priori subjetiva

Sum´ ario

1 Introdu¸c˜ao

2 Uso do histograma para constru¸c˜ao da priori subjetiva

3 Aplica¸c˜ao.

4 Referˆencias.

Uso do histograma para constru¸c˜ao da priori subjetiva

M´ etodo de “for¸ca bruta”

Um m´etodo de “for¸ca bruta” de resumir c´alculos computacionais posteriores para uma densidade a priori arbitr´ariag(p)´e dado por

Escolher uma grade de valores depsobre um intervalo que cobre a densidade a posteriori.

Calcular o produto da verossimilhan¸caL(p)e a priori g(p)sobre a grade.

Normalizar cada produto pela divis˜ao da soma dos produtos. Este passo ´e a aproxima¸c˜ao da densidade a posteriori de uma distribui¸c˜ao de probabilidade discreta sobre a grade.

Uso do histograma para constru¸c˜ao da priori subjetiva

M´ etodo de “for¸ca bruta”

Usando o comandosampledo softwareR, obtemos uma amostra aleat´oria com substitui¸c˜ao de uma distribui¸c˜ao discreta.

O resultante obtido ao aplicar este m´etodo pode ser interpretado como uma amostra aproximada da distribui¸c˜ao a posteriori.

Uso do histograma para constru¸c˜ao da priori subjetiva

M´ etodo de “for¸ca bruta”

Exemplo: Uma abordagem simples para avaliar uma a priori parap´e escolher uma lista de plaus´ıveis valores deste e depois atribuir pesos aos mesmos. A pessoa no nosso exemplo divide o rango depem dez subintervalos:

(0.0,0.1), (0.1,0.2), · · · , (0.9,1.0).

Isto pode ser visto com uma a priori continua parap.

Com base em seu conhecimento pr´evio, s˜ao atribu´ıdos a estes valores os seguintes pesos

1.0,5.2,8.0,7.2,4.6,2.1,0.7,0.1,0.0,0.0

Uso do histograma para constru¸c˜ao da priori subjetiva

Exemplo

Passo 1:

> library(LearnBayes)

> midpt <- seq(0.05, 0.95, by = 0.1)

> prior <- c(1, 5.2, 8, 7.2, 4.6, 2.1, 0.7, 0.1, 0, 0)

> prior <- prior/sum(prior)

> curve(histprior(x,midpt,prior), from=0, to=1, + ylab="Prior density",ylim=c(0,.3))

Uso do histograma para constru¸c˜ao da priori subjetiva

Exemplo

Uso do histograma para constru¸c˜ao da priori subjetiva

Exemplo

Passo 2:

> s <- 11

> f <- 16

> curve(histprior(x,midpt,prior) * dbeta(x,s+1,f+1), + from=0, to=1, ylab="Posterior density")

Uso do histograma para constru¸c˜ao da priori subjetiva

Exemplo

Uso do histograma para constru¸c˜ao da priori subjetiva

Exemplo

Passo 3 e 4:

> p <- seq(0, 1, length=500)

> post <- histprior(p, midpt, prior) * dbeta(p, s+1, f+1)

> post <- post/sum(post) #Probabilidades a posteriori

> ps <- sample(p, replace = TRUE, prob = post)

> hist(ps, xlab="p", main="" ,breaks=60)

Uso do histograma para constru¸c˜ao da priori subjetiva

Exemplo

Aplica¸c˜ao.

Sum´ ario

1 Introdu¸c˜ao

2 Uso do histograma para constru¸c˜ao da priori subjetiva

3 Aplica¸c˜ao.

4 Referˆencias.

Aplica¸c˜ao.

Aplica¸c˜ ao

Estima¸c˜ao da m´edia da distribui¸c˜ao normal com uma a priori discreta: ´e de interesse estimar a m´edia da queda de neve por anoµ (em polegadas) para uma grande cidade na costa leste dos Estados Unidos.

Suponha quey1,· · ·, yn (queda de neve anual) segue uma distribui¸c˜ao normal com m´ediaµe desvio padr˜ao conhecidoσ= 10polegadas.

Aplica¸c˜ao.

Aplica¸c˜ ao

Usando a fun¸c˜ao discint, encontrar um intervalo de 80% de probabilidade para µ dado que sabemos a priori que

µ 20 30 40 50 60 70

g(µ) 0.10 0.15 0.25 0.25 0.15 0.10

e que foi observado que a queda de neve anual atinge a38.6,42.4,57.5,40.5,51.7, 67.1,33.4,60.9,64.1,40.1,40.7 e6.4 polegadasem diferentes anos.

Aplica¸c˜ao.

Aplica¸c˜ ao

> sigma <- 10

> mu <- c(20, 30, 40, 50, 60, 70)

> prior <- c(0.10, 0.15, 0.25, 0.25, 0.15, 0.10)

> y <- c(38.6, 42.4, 57.5, 40.5, 51.7, 67.1, 33.4, + 60.9, 64.1, 40.1, 40.7, 6.4)

> L <- function(mu,sigma,y){

+ ybar <- mean(y) + n <- length(y)

+ exp(-(n*(mu-ybar)^2)/(2*sigma^2))

Aplica¸c˜ao.

Aplica¸c˜ ao

> like <- L(mu,sigma,y)

> post <- prior*like/sum(prior*like)

> dist <- cbind(mu,post)

> discint(dist,0.8)

$prob

[1] 0.9999959

$set [1] 40 50

> cumsum(post)

Referˆencias.

Sum´ ario

1 Introdu¸c˜ao

2 Uso do histograma para constru¸c˜ao da priori subjetiva

3 Aplica¸c˜ao.

4 Referˆencias.

Referˆencias.

Albert, Jim (2009). Bayesian Computation with R. Springer, 2a.Edi¸c˜ao.