Mat 1352 C´alculo II - Lista 3

Mat 1352 C´alculo II - Lista 3

Sylvain Bonnot

Frac¸ ˜oes parciais

Exerc´ıcio 1. Escreva as decomposic¸˜oes em frac¸˜oes parciais (sem calcular os valores num´ericos dos coeficientes (por exemplo _x2+^xx−2 = _x−^A₂+ _x−^B₁ :

1) x²

x²+x−2 (Resp.: 1− ^x+2

x²+x+2) 2) x⁴+1

x⁵+4x³ (Resp.: ^A_x + ^B

x² + ^C

x³ + ^Dx+E

x²+4)

3) x⁴

(x²−x+1)(x²+2)^{2 (Resp.:}

Ax+B

x²−x+1+^Cx+D

x²+2 + ₍^Ex+F

x²+2)²) 4) x⁶

x²−4 (Resp.: x⁴+4x²+16+ _x+^A₂+ _x−^B₂) Exerc´ıcio 2. Calcule as seguintes integrais:

1) R x⁴

x−₁^{dx (Resp.:} (1/4)x⁴+ (1/3)x³+ (1/2)x²+ln|x−1|+C)

2) R 5x+1

(_2x+₁)(_x−1)^{dx (Resp.:} (1/2)ln|2x+1|+2 ln|x−1|+C) 3) R1

0 2

2x²+3x+1dx (Resp.: 2 ln(3/2)) 4) R1

0 x−4

x²−5x+6dx (Resp.: −3 ln 2+ln 3)

5) R 1

(x+a)(x+b)^{dx (Resp.:}

1

b−aln^|_|^x_x⁺₊^a_b^|_| +Csea6=b,_x⁻₊¹_a+Csea=b) 6) R x³+4

x²+4dx (Resp.: (1/2)x²−2 ln(x²+4) +2tg⁻¹(x/2) +C)

7) R 10

(x−1)(x²+9)^{dx (Resp.: ln}|x−₁| −(_1/2)_ln(x²+₉)−(_1/3)tg⁻¹(x/3) +C) 8) R x³+x²+2x+1

(x²+1)(x²+2)^{dx (Resp.:} (1/2)ln(x²+1) + (1/√

2)tg⁻¹(x/√

2) +C)

9) R x²−3x+7

(x²−4x+6)^{2dx (Resp.:}

7√ 2 8 tg⁻¹

x√−2 2

+ _4(x2^3x₋⁻_4x⁸₊₆₎+C)

10) R

√x+1

x dx (Resp.: 2√

x+1−ln(√

x+1+1) +ln|√

x+1−1|+C) 11) R _dx

1−cosx (Resp.: −_tg(x/2¹ ₎+C) 1

Volumes

Exerc´ıcio 3. Encontre o volume do solido obtido pela rotac¸˜ao da regi˜ao limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a regi˜ao , o solido e um disco ou arruela t´ıpicos.

1) y=√

25−x², com2≤x≤4em torno do eixox (Resp.: 94π/3)

2) y=5−x²,y= (1/4)x²,−2≤x≤2em torno do eixoy (Resp.: 176π/3) 3) y=x²,y=√

xcom0≤x≤1em torno dey=1 (Resp.: 11π/30) 4) y=3,y=1+sec(x)em torno dey=1 (Resp.: 2π((4/3)π−√

3)) 5) xy=1,y=0com1≤x≤2em torno dex=−1 (Resp.: 2π(1+ln 2)) 6) Volume da esfera de raior.

7) y=√³

x,y=0comx≤1em torno do eixoy (Resp.: 6π/7)

8) y=e^−x2,y=0com0≤x≤1em torno do eixoy (Resp.: π(1−(1/e)) 9) x=y²+1,x=2em torno do eixoy=−2 (Resp.: 16π/3)

10) Volume do cone de alturah, com base um disco de raior(Resp.: (1/3)πr²h) Integrais impr ´oprias

Exerc´ıcio 4. Determine se cada integral ´e convergente ou divergente. Calcule as integrais que s˜ao divergentes.

1) R_∞

0

x²

√1+x³dx (Resp.: divergente) 2) R_∞

0

1

√4

1+_x^dx (Resp.: divergente) 3) R_∞

1

e^−x

√xdx (Resp.: 2e⁻¹) 4) R_∞

1

1

x+x²dx (Resp.: ln 2) 5) R_∞

2

1

x²+2x−3dx (Resp.: (1/4)ln 5) 6) R_∞

1

lnx

x dx (Resp.: divergente) 7) R_∞

−_∞

x²

9+x⁶dx (Resp.: (π/9) 8) R_∞

0

x.arctg(x)

(1+x²)^{2 dx (Resp.: π/8)} 9) R3

2

√ 1

3−xdx (Resp.: 2)

2

10) R9 0

1

√3

x−1dx (Resp.: 9/2) 11) R3

0

dx

x²−6x+5 (Resp.: divergente)

Exerc´ıcio 5. Determine se a integral ´e convergente ou divergente.

1) R_∞

1

x+1

√x⁴−xdx (Resp.: divergente) 2) R_∞

0

arctg(x)

2+e^x dx (Resp.: convergente) 3) R1

0

sec²x x√

xdx (Resp.: divergente) 4) R_∞

0

√ dx

x(1+x)^{dx (Resp.: π)}

Exerc´ıcio 6. Encontre os valores de ppara os quais a integral converge e calcule a integral para estes valores dep.

1) R1

0 x^p. lnxdx (Resp.: divergente sepleq−1converge para _(p⁻₊¹₁₎2 se n˜ao.) 2) R_∞

e

dx

x.(lnx)^p (Resp.: converge para _p−¹₁ sep>1, divergente se n˜ao)

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