MAT0311 - C´alculo V - Recupera¸c˜ao

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MAT0311 - C´ alculo V - Recupera¸c˜ ao

Esta prova possui inúmeras regras diferentes. Entendê-las corretamente é responsabilidade dos alunos interessados, e dúvidas quanto a estas regras podem e devem ser tiradas por e-mail com o professor.

A nota desta prova será 10^{N C}_{N T} onde N C é Nota obtida na Corre¸cão e N T a soma máxima de pontos poss´ıveis, informados a cada questão.

A entrega é até até sexta-feira 10/02/2012 durante o expediente na secretaria do MAT, onde pedirei que as secretárias as recebam. Não serão aceitas de outra forma, a menos que entregues pessoalmente ANTES disso, diretamente ao professor.

A corre¸cão exige a presen¸ca do aluno. O professor pode, e provavelmente fará, ao menos uma questão sobre algum ponto de cada uma das questões – ou grupo de questões – abaixo. A pergunta buscará clarificar seu entendimento sobre sua própria solu¸cão.Solu¸cões incorretas que pare¸cam ter sido assim por engano de escrita poderão ter suas notas melhoradas, mas respostas totalmente desconexas ou imprecisas do conteúdo e suas solu¸cões resultarão em atribui¸cão imediada de 0 à questão. A ausência do aluno na corre¸cão implicará na não resposta a todas as questões, e 0 na prova, portanto.

Desta forma, até 10/02/2012, o aluno em recupera¸cão também deverá ter contatado o professor por escrito via e-mail para providenciar o agendamento até 17/02/2012 de sua corre¸cão. Procurarei ser flex´ıvel, mas para que você se programe, a corre¸cão poderá tomar algumas horas e ATENÇ ÃO: no caso de muitos alunos fazendo rec, serão agendados até 2 dias em comum a todos, arbitrariamente, na semana entre 10 e 17 de fevereiro, a critério do professor. Acompanhem e se informem com o professor!

Questão 1. ( 7,0 pontos) Seja Σ = {0,1,2,3,4,5}^N o espa¸co de todas as sequências de com letras {0,1,2,3,4,5} munido da métrica

d(x, y) =

∞

X

i=0

|x_i−y_i| 2ⁱ

onde |x_i−y_i|´e mesmo o m´odulo da diferen¸ca em cada coordenada.

1. Mostre que Σ é um espa¸co métrico (isso é, que dé de fato uma métrica).

2. Mostre que Σ ´e completo.

3. Prove que Σ ´e desconexo.

4. Prove que Σ ´e perfeito.

5. Sejaσ: Σ→Σ definida por (σ(x))_i =x_i+1para todoi≥0, ou seja,σ(x) = σ(x₀x₁x₂x₃. . .) = (x1x2x3. . .). Mostre que σ ´e cont´ınua e sobrejetora. σ ´e aberta?

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6. Um conjuntoXé dito totalmente desconexo se para qualquerx∈X, temos que a componente conexa que contém xé o unitário {x}. Mostre que Σ é totalmente desconexo. (se você ainda sofrer com esta defini¸cão, seja mais formal e mostre que: dado x ∈ Σ, o único conjunto conexo U ⊂Σ tal quex∈U é{x}.)

7. Mostre que Σ é sequencialmente compacto (lembrando que isso significa que toda sequência em Σ possui uma subsequência convergente a um ponto de Σ). Conclua que Σ, portanto, é compacto.

Questão 2. (2,0 pontos) Estenda a fórmula de Taylor de ordem 2 para fun¸cões C^k até ordem k (entender esse enunciado faz parte do exerc´ıcio).

Questão 3. (2,0 pontos) Mostre que C(X) o espa¸co de fun¸cões cont´ınuas de um espa¸co métrico compacto X em R com a métrica induzida pela norma do supremo (ie, dado f em C(X), temos que kfk:= sup{f(x) :x∈X}) é completo.

Questão 4. (1,0 ponto) ConsidereX =R^k com a métrica usual eY =R^k com a métrica discreta.

O que vocˆe pode dizer sobre as fun¸c˜oes cont´ınuas de X em Y? E de Y em X?

Quest˜ao 5. (1,0 ponto) Determine os pontos cr´ıticos de f(x, y) = cos(x² +y²) e de g(x, y) = x³−y³−x+y. Calcule tamb´em suas matrizes Hessianas nestes pontos.

Questão 6. (1,0 ponto) Verifique que (1,1,1) é ponto cr´ıtico de f(x, y, z) =x⁴+y⁴+z⁴−4xyz e determine sua natureza (máximo, m´ınimo, etc) através da análise da Hessiana.

Quest˜ao 7. (1,0 ponto) Dados a1, a2, . . . , ak em Rⁿ, determine o ponto em que f(x) = Pk

i=1kx−a_ik² assume valor m´ınimo.

Quest˜ao 8. (1,0 ponto) Encontrar os extremos absolutos de f(x, y) =x²−y²+ 2xy no conjunto D={(x, y)∈R² :x²+y² ≤1}.

Quest˜ao 9. (1,0 ponto) Determine o paralelep´ıpedo de faces paralelas aos planos coordenados inscrito no elips´oide x²+ ^y₄² + ^z₉² = 1 de maior volume poss´ıvel.

Quest˜ao 10. (1,0 ponto) Para x, y reais, sejam d₁(x, y) = (x − y)², d₂(x, y) = p

|x−y|, d₃(x, y) = |x² −y²|, d₄(x, y) = |x−2y| e d₅(x, y) = |x−y|

1 +|x−y|. Determine (justificando, claro) quais são métricas e quais não são.

Quest˜ao 11. (2,0 ponto) SejamA e B conjuntos separados de R^k (isso ´e, ¯A∩B =A∩B¯ =∅), e sejama ∈A eb ∈B. Defina

p(t) = (1−t)a+tb , para t∈R. Seja A₀ =p⁻¹(A) e B₀ =p⁻¹(B).

a) Prove queA₀ e B₀ s˜ao separados em R.

b) Prove que existet₀ ∈]0,1[ tal que p(t₀)∈/ A∪B.

c) Prove que todo subconjunto convexo deR^k ´e conexo.

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Questão 12. (2,0 ponto) Seja X um espa¸co métrico. Prove que E ⊂ X é compacto se, e so- mente se, é sequencialmente compacto. Lembre-se: E é compacto se toda cobertura por abertos admite subcobertura finita. E é sequencialmente compacto se toda sequência em E possui uma subsequência convergente a algum ponto de E.

Questão 13. (1,0 ponto) Sejamf e g fun¸cões cont´ınuas de um espa¸co métrico X em um espa¸co métrico Y. Suponha queE ⊂X é um conjunto denso em X. Mostre que f(E) é denso em f(X) e que se f(x) = g(x) para todo x∈E, então f(x) = g(x) para todo x∈X.

Quest˜ao 14. (1,0 ponto) Sejam D e A_i, i≥1, subconjuntos de Rⁿ. Mostre que a) ¯D e ∂D s˜ao fechados;

b) se D⊂F e F ´e fechado de Rⁿ, ent˜ao ¯D⊂F; c)

n

[

i=1

A_i =

n

[

i=1

A¯_i e

∞

[

i=1

A_i ⊃

∞

[

i=1

A¯_i

d) dˆe um exemplo em que

∞

[

i=1

A_i 6=

∞

[

i=1

A¯_i

Quest˜ao 15. (1,0 ponto) Mostre que se K ⊂A⊂ Rⁿ, com K compacto e A aberto, ent˜ao existe K1 compacto tal que K ⊂

◦

K1⊂K1 ⊂A.

Quest˜ao 16. (1,0 ponto) Mostre que toda cobertura deD⊂Rⁿpor abertos admite subcobertura finita ou enumer´avel.

Questão 17. (1,0 ponto) Dê exemplos de abertos A e B de R², disjuntos, não vazios, conexos e limitados com ∂A =∂B.

Quest˜ao 18. (2,0 pontos) Dada L ∈ L(Rⁿ,R^k), defina kLk₁ = sup{|Lx| : |x| ≤ 1} e kLk=q

P

i,ja²_ij, onde (aij) é a matriz de Lna base canônica. Mostre que a) k k ek k₁ são normas em L(Rⁿ,R^k).

b) kLk1 ≤ kLk ≤√

nkLk1.

c) kL◦Tk ≤ kLkkTk ekL◦Tk₁ ≤ kLk₁kTk₁, ondeT ∈L(R^m,Rⁿ).

Questão 19. (1,5 pontos) É poss´ıvel definir cada fun¸cão em (0,0) de modo que fique cont´ınua nesse ponto?

a) f(x, y) = e^x²^+y² −1 x²+y² b) f(x, y) = x³y

x⁴+y² c) f(x, y) = x⁴y⁴

(x² +y⁴)³

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Quest˜ao 20. (1,0 ponto) Sejam F =

x, 1 x

:x∈R^∗

e π :R² →R, π(x, y) =x. Mostre que F é fechado deR² mas π(F) não é fechado de R.

Quest˜ao 21. (2,0 pontos) Mostre que

a) E ⊂Rⁿ conexo (compacto) e p∈Rⁿ =⇒ p+E conexo (compacto).

b) E ⊂Rⁿ aberto (fechado) e p∈Rⁿ =⇒ p+E aberto (fechado).

c) S subespa¸co vetorial deRⁿ =⇒ S ´e fechado e conexo.

d) N˜ao existe f :R² →R cont´ınua e injetora.

Quest˜ao 22. (1,0 ponto) Seja f : R² → R tal que, para toda curva γ :]−δ, δ[→ R² cont´ınua com γ(0) = (0,0), tem-se (f ◦γ)(t) cont´ınua em t = 0. Pergunta-se: f ´e cont´ınua em (0,0)?

(Justifique!)

Quest˜ao 23. (1,0 ponto) Seja f :Rⁿ→R^k diferenci´avel emp. Existe lim

h→0

f(p+h)−f(p) khk ? Quest˜ao 24. (1,0 ponto) Seja f :Rⁿ→R^k diferenci´avel eF(x, y) =f(3x−y).

a) Calcule ∂F

∂(h, k)(x₀, y₀) usando a defini¸c˜ao de derivada direcional.

b) Mostre que F ´e diferenci´avel em (x₀, y₀) usando a parte anterior. Explicite F⁰(x₀, y₀).

c) CalculeF⁰(x₀, y₀) ((1,1,1,1),(1,0,1,0)) para f(x₁, x₂, x₃, x₄) =x₁ −2x₂+x₃−2x₄. d) CalculeF⁰(x₀, y₀)(x₀,5x₀), no caso em f(x₁, x₂, x₃) = (x₁,2x₃) e x₀ = (1,2,3).

Quest˜ao 25. (2,5 pontos) Estude a diferenciabilidade explicitando DF(p) e sua matriz:

a) F(x) = (x, f(x)), sendo f :Rⁿ→R^k diferenci´avel.

b) F(x, y) = (x, f(y)), sendo f :Rⁿ→R^k diferenci´avel ex∈R^m. c) F(x) =< x, x₀ >, com x₀, x∈Rⁿ.

d) F(x) =hL(x), xi, com x∈Rⁿ e L∈L(Rⁿ,Rⁿ).

e) F(x, y) =f(x) +g(y), com f :Rⁿ→R^k eg :R^m →R^k diferenci´aveis.

Questão 26. (1,0 ponto) Considere A ∈ M3×3(R) como elemento de R³ ×R³ ×R³, onde cada linha a_i ∈R³. Mostre que det :M3×3(R)→Ré diferenciável e explicite (det)⁰(A)(I).

Questão 27. (1,0 ponto) Seja f : A ⊂ Rⁿ → R^n+p de classe C¹ no aberto A. Mostre que o conjunto {x∈A:f⁰(x) é injetora}é um aberto.

Quest˜ao 28. (1,0 ponto) Mostre que f(x, y) =





 x³

x²+y² se (x, y)6= (0,0) 0 se (x, y) = (0,0)

não é diferenciável em (0,0), mas f ◦ γ é diferenciável em t = 0, qualquer que seja a curva γ :]−δ, δ[→R², com γ(0) = 0, derivável em t= 0.

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Questão 29. (1,0 ponto) Seja f :Rⁿ→Rⁿ diferenciável. Mostre que a) F(x) =< f(x), f(x)>é diferenciável e expliciteDF(x₀)(h);

b) kf(x)k= 1 para todo x∈Rⁿ =⇒ detf⁰(x) = 0. Interprete geometricamente.

Quest˜ao 30. (1,0 ponto) Seja f :Rⁿ→R diferenci´avel com h∇f(u), ui>0, para todo u tal que kuk= 1. Mostre que existe p, kpk<1 tal que Df(p) = 0.

Questão 31. (1,0 ponto) Se f : Rⁿ → Rⁿ é de classe C¹, kf⁰(x)k1 ≤ c < 1 para todo x, mostre que g(x) =x+f(x) é sobrejetora.

Quest˜ao 32. (1,0 ponto) Seja f : R^p → R^p de classe C¹ e tal que para todo x ∈ R^p vale f⁰(f(x))◦f⁰(x) = I, e suponha ainda que existex0 ∈R^p tal quef(f(x0)) =x0. Mostre que f tem inversa e f⁻¹ =f.

Questão 33. (1,0 ponto) Para cada constante c ∈ R, a reta dada pela interse¸cão de z = y−x e y = (1−c)x+c intercepta a superf´ıcie z = x² −y² no ponto p = (1,1,0). Use o Teorema da Fun¸cão Inversa para mostrar que se c6= 0, então p é ponto isolado da interseçcão da reta com a superf´ıcie.

Questão 34. (1,0 ponto) Seja F : R² → R de classe C¹ e G(x, y) = (F(F(x, y), y), F(x, y)). Dê condi¸cões sobre F para queG seja um difeomorfismo local e calcule J G⁻¹ nesse caso.

Quest˜ao 35. (1,5 pontos) Seja f(z) =ze^xy +z³(x² +y²)−1. Mostre que a) f ´e estritamente crescente,

b) existe um ´unicoz =z(x, y) tal quef(z) = 0,

c) z(x, y) ´e de classeC^∞ e determine as derivadas parciais de segunda ordem dez =z(x, y) em (0,0).

Quest˜ao 36. (1,0 ponto) Podexye^xz−zln(y) = 0 ser resolvida localmente no ponto (0,1,0) como z =z(x, y)? E x=x(y, z)? Ey =y(x, z)? Determine o plano tangente em (0,1,0).

Quest˜ao 37. (1,0 ponto) Encontre os 4 pontos onde∇f = 0 sendof(x, y) = 2x³−3x²+ 2y³+ 3y². Encontre os pontos da curva f(x, y) = 0 onde ela n˜ao pode ser resolvida unicamente por y=y(x) nem por x=x(y).

Questão 38. (1,0 ponto) Dê condi¸cões sofre f : R² →R, de classe C¹ e f(2,−1) = −1 para que a curva γ dada pela interseçcão de f(x, y) +z² = 0 com xz + 3y³+z³ = 0 possa ser resolvida por x=x(y) e z =z(y), ambas de classe C¹ localmente em (2,−1,1). Dê a reta tangente àγ em (2,−1,1) supondo que f⁰(2,−1) = (1,−3). Calcule z⁰(−1) e x⁰(−1).

Quest˜ao 39. (1,0 ponto) Seja f(x, y, z) = (x²+y²−z², x−y−a). Para que valores de a, (0,0)

´

e valor regular de f?

Quest˜ao 40. (2,0 pontos) SeM ={(x, a₀, . . . , an−1)∈Rⁿ⁺¹ :xⁿ+an−1xⁿ⁻¹+· · ·+a₁x+a₀ = 0}, prove:

a) M ´e uma superf´ıcie de dimens˜aon e de classe C^∞ de Rⁿ⁺¹;

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b) a restri¸c˜ao a M da proje¸c˜aoπ :Rⁿ⁺¹ →Rⁿ definida por

π(x, a₀, . . . , an−1) = (x, a₁, . . . , an−1)

é um homeomorfismo sobre Rⁿ cuja inversa é uma imersão de classe C^∞.

Quest˜ao 41. (1,0 ponto) Determine o paralelep´ıpedo de faces paralelas aos planos coordenados inscrito no elips´oide x²+ y²

4 +z²

9 = 1 de maior volume poss´ıvel Quest˜ao 42. (1,0 ponto) Seja SL(3) ={A∈M3×3(R) : detA= 1}.

a) Mostre que SL(3) ´e superf´ıcie de M_3×3(R), dando sua dimens˜ao.

b) Determine o plano tangente aSL(3) na identidade I.

Quest˜ao 43. (1,0 ponto) Dada f(x, y, z, t) = (x²+y²−z²+t², t²),

a) determine os valores regulares (a, b) de f e descreva os conjuntos f⁻¹(a, b);

b) para que (a, b), f⁻¹(a, b) ´e superf´ıcie em R⁴? Quest˜ao 44. (1,0 ponto)

a) Determine os extremos de f(x, y) = hx, yi, para todos x, y ∈ Rⁿ condicionados a kxk²+kyk² = 1 (como sempre, com a norma usual).

b) Use (a) para provar a desigualdade de Cauchy–Schwarz emRⁿ.

Questão 45. (2,0 ponto) Seja O(n) = {A ∈ Mn×n(R) : Aé ortogonal} (lembre-se que A é ortogonal seAA^t=I). Mostre queO(n) é uma superf´ıcie de classeC^∞, dê sua dimensão, determine o plano tangente a O(n) em I e mostre que O(n) é compacto.