LISTA 2 DE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA DISCRETA
Prof. Rodrigo Neves
1) Determine os conjuntos domínio e imagem das seguintes relações: a) R1 = {(1, a), (1, b), (3, c)}
D(R1) =
Im(R1) =
b) R2 = {(2, a), (2, b), (1, a), (1, b), (3, a), (3, b)}
D(R2) =
Im(R2) =
c) R3 = {(2, a), (2, b), (2, c), (1, c), (3, c)}
D(R3) =
Im(R3) =
d) R4 = {(a, a), (b, b), (c, c)}
D(R4) =
Im(R4) =
e) R5 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, a), (c, b), (c, c)}
D(R5) =
Im(R5) =
2) Represente as relações no diagrama cartesiano
a) A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d} e R1 = {(1, a), (1, b), (3, c)}
3) Considere os conjuntos A = {a, b, c} e B = {1, 2, 3, 4}. Determine o diagrama de Venn das seguintes relações:
a) R1 = {(a,1), (b,2), (c,4)}
b) R2 = {(a,1), (a,2), (a,4), (b,1), (c,3)}
d) R4 = A x B
4) Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4}. Represente através de diagramas de flechas as seguintes relações de A em A:
a) R1 = {(1,1), (1,2), (2,4)}
b) R2 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (3,3), (4,4), (4,3)}
c) R3 = {(2,1), (3,1), (1,2), (1,1), (1,3)}
i. R1 = { (2; 2); (2; 3); (2; 4); (3; 2); (3; 3); (3; 4)}
ii. R2 = { (1; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4)}
iii. R3 = { (1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4) }
iv. R4 = { (1; 3); (1; 4); (2; 3); (2; 4); (3; 1); (3; 4) }
5) Para cada relação da lista acima, monte a representação gráfica por Diagrama cartesiano, Tábua de relações, diagrama de Venn e Esquema de flechas.
6) Determine a relação dual para cada relação da lista acima.
7) Determine os conjuntos domínio e imagem para cada relação da lista acima.
8) Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6, 7} e R = {(x,y) є AxB/ x + y é um número par e menor que 10}. Descreva os elementos de R.
9)Seja dado o conjunto X = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7} e a relação R definida sobre X pelo diagrama
abaixo. Determine os pares da relação R:
10) Seja ℤ o conjunto dos inteiros. Sejam ainda os conjuntos A = {x єℤ / –1 < x 2} e B = {3, 4, 5}. Então, se D = {(x, y) є AxB; y x + 4}, tem que:
a) D = A x B
b) D tem um único elemento. c) D tem apenas três elementos. d) D tem apenas dois elementos.
e) As quatro afirmativas anteriores são falsas.
11) Considere a relação R = {(a, b), onde a e b são naturais; a + 2b = 6}, então R é igual a: a) {(0, 6), (1, 4), (6, 0)}
b) {(2, 2), (3, 0)}
12)Sejam A = {-1, 0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, pergunta-se quantos são os ele-mentos da relação R = {(x, y) є AxB; x2 = y2}?
a) R tem 10 elementos. b) R tem 5 elementos. c) R tem 25 elementos. d) R tem 2 elementos.
13)Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3}, os elementos dados pela relação R = {(x, y) є AxB; x < y} são:
a) {(3, 1); (2, 1)}
b) {(1, 1); (2, 2); (3, 3)} c) {(1, 2); (2, 1); (3, 2); (4, 1)} d) {(1, 2); (1, 3); (2, 3)
14)Para calcular seu número da sorte, a astróloga Zora Ionara ensinou o seguinte procedimento: primeiro deve-se substituir as letras do seu nome pelos respectivos números astrais que as representam, como mostra a tabela abaixo e somá-los; segundo, se o número obtido for maior que 9, deve-se somar seus algarismos repetidamente, até que ele esteja entre 0 e 9.
Analisando o conjunto A a seguir, contendo os nomes de alguns alunos, imagine a relação: R = {(x, y) ⋴ AxA / os alunos x e y possuem o mesmo número astral da sorte}.
Número Aluno Nome do Aluno Número da sorte
1 Alan
2 Suelen
3 Giana
4 Hélvio
5 Rodrigo
6 Rejane
a)Descreva os pares desta relação.
b)Descreva os pares da relação dual, bem como domínio e imagem.
c) Monte R em diagrama cartesiano, diagrama de Venn, tábua, matriz e esquema de flechas. Letras Número Letras Número
a, i, q, z 1 e, m, u 5 b, j, r, w 2 f, n, v 6 c, k, s 3 g, o, x 7 d, l, t 4 h, p, y 8
Exemplo: Rodrigo
r + o + d + r + i + g + o
2 + 7 + 4 + 2 +1 + 7 + 7 = 30
15) Seja A o conjunto das seguintes pessoas:
Inicial Nome Ano Nascimento R Rosana 1992
D Diego 1980 W William 1980 S Robson 1990 M Marcos 1992 T Thiago 1992
Criamos uma relação R tal que R = {(x,y) ⋴ AxA/ x tem a mesma idade que y}. a) Descreva todos os pares desta relação R.
b) Descreva os pares da relação dual ou relação inversa R-1.
c) Descreva os conjuntos domínio e imagem da relação R. d) Monte R em diagrama cartesiano.
e) Monte R em diagrama de Venn. f) Monte R em tábua das relações. g) Monte R em esquema de flechas.
16) No Rio de Janeiro, é possível se estabelecer o operadora de um celular pelos 2 primeiros números XX de sua seqüência numérica.
Por Exemplo:
Claro: 91-94 Vivo: 95-99 (21) XXNN-NNNN Tim: 81-83 Oi: 86-89 Nextel: 7X
Dado o conjunto A = {x, y, z, t, w, u, v} das pessoas abaixo, montamos a relação R = {(a,b) em AxA / as pes-soas a e b pertencem a mesma operadora}.(4,0 pontos)
Nome Sigla Número de Celular Felipe x 9780-1389 Guilherme y 8223-9980 Naiguel z 8390-7553 Renato t 9998-0035 Walace w 7689-0001 Ronaldo u 9602-3231
Hudson v 8717-5329
a)Monte os pares da relação R e os conte. b)Encontre o domínio e a imagem da relação R c) Determine a relação dual (inversa) de R.
17) Seja X o conjunto formado pelas seguintes pessoas da turma do sexto período da manhã, de Matemática Aplicada:
Iniciais Nome Bairro que Mora
J Jairo Santa Cruz
R Ronaldo Campo Grande
T Thallys Santa Cruz
L Luis Felipe Campo Grande
E Eduardo Campo Grande
P Paulo Bangu
S Sérgio Santa Cruz
Criamos uma relação R tal que R = {(x,y) em X2 / o aluno x mora em um mesmo bairro que
o aluno y}. Isto significa que se duas pessoas moram na mesma zona (Oeste, Norte ou Sul), forma-se um par com as suas iniciais.
a) Descreva todos os pares desta relação R.
b) Descreva os pares da relação dual ou relação inversa R-1.
c) Descreva o conjunto domínio e imagem da relação R. d) Faça todas as representações gráficas
e) Determine se é uma equivalência (argumente), e apresente as classes.
18) Classifique as relações de A = {a, b, c, d} em A, usando a interpretação por esquema de flechas a) R1 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (d, d)}
b) R2 = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, a), (c, d), (d, c)}
c) R3 = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, a), (b, c), (a, c)}
d) R4 = {(a, a), (b, b), (c, c) (a, b), (b, a), (b, c), (d, d)}
19) Seja A o conjunto dos carros que possuem as seguintes placas:
Carro Placa 1 ADQ 9370 2 PTR 5441 3 JYZ 3821 4 ABC 0127 5 JQR 1990 6 LKM 3740
Determine o que se pede para as relações definidas:
a) R1 = {(x, y) em A2 / o carro x e o carro y possuem a placa do carro terminan-do com o
mesmo algarismo}. Classificação
Reflexiva: Simétrica: Transitiva:
Pares da Relação R =
Esquema de Flechas
Classes de Equivalência:
Conjunto Quociente:
b) R2 = {(x, y) em AxA / o carro x e o carro y possuem a placa do carro com a mesma soma
da parte numérica}. Classificação
Reflexiva: Simétrica: Transitiva:
Relação de Equivalência?
Pares da Relação R =
Esquema de Flechas
Classes de Equivalência:
Conjunto Quociente:
c) R3 = {(x, y) em AxA / o carro x e o carro y possuem a placa do carro come-çando com o
mesmo algarismo alfanumérico}. Classificação
Reflexiva: Simétrica: Transitiva:
Relação de Equivalência?
Esquema de Flechas
Classes de Equivalência:
Conjunto Quociente:
20) Classifique as seguintes relações:
a)
b)
d)
e)
f)
21) Determine quais das propriedades: reflexiva, simétrica, transitiva, anti-simétrica são satisfeitas por cada uma das seguintes relações sobre o conjunto A ={-4, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} dos números reais:
a) R = {(x, y); y = 1 - x}
b) R = {(x, y); y2 = x2}
c) R = {(x, y); x = 2y}
22) Dê um exemplo de uma relação R sobre um conjunto A a sua escolha que seja simétrica e transitiva e não seja reflexiva.
24)Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, descreva os pares e monte o esquema de flechas de alguma relação R sobre A que seja
a. Transitiva e Reflexiva, porém não simétrica nem anti-simétrica. A relação deve possuir pelo menos 12 pares.
25) Para o conjunto A = {, , , , }, monte esquemas de flechas de relações, que satisfaçam: a. Ser reflexiva e anti-simétrica, mas não transitiva.
b. Ser transitiva e simétrica, mas não reflexiva e com pelo menos 14 pares.
26)Dado o conjunto A = {a, b, c, d}, descreva uma relação R sobre A que seja apenas simétrica, mas não reflexiva e nem transitiva.
27) Considere o conjunto dos automóveis da cidade do Recife. Dizemos que o automóvel a será rela-cionado com o automóvel b, isto é, aRb, se o último algarismo de suas respectivas placas forem iguais. Assinale a alternativa certa:
a) R é uma relação somente reflexiva. b) R é uma relação somente simétrica.
d) R é uma relação simétrica, mas não transitiva. c) R é uma relação reflexiva, mas não simétrica. e) R é uma relação transitiva, reflexiva e simétrica.
28) Dada a relação binária R = {(x, y) є IN x IN / x + y = 10}. Assinale, entre as alternativas abaixo, a única correta.
a) R é reflexiva b) R é simétrica c) R é anti-simétrica d) R é transitiva
29)Dado o conjunto A = {a, b, c, d, e}, descreva e monte o esquema de flechas de alguma relação R sobre A que seja
a) Simétrica, mas não seja transitiva.
b) Reflexiva, mas não simétrica.
c) Transitiva, porém não simétrica nem anti-simétrica.
d) Anti-simétrica, mas não transitiva nem reflexiva.
30)Dado o conjunto A = {a, b, c, d, e}, descreva os pares e monte o esquema de flechas de alguma relação R sobre A que seja
a) Transitiva e Anti-simétrica, porém não simétrica nem reflexiva. A relação deve possuir
ao menos 10 pares.
