Janniele Aparecida Soares Universidade Federal de Ouro Preto

(1)

Heur´ısticas Baseadas em Programa¸

c˜

ao

Inteira para o Problema de

Escalonamento de M´

ultiplos Projetos

com M´

ultiplos Modos e Restri¸

c˜

oes de

Recursos

Janniele Aparecida Soares

Universidade Federal de Ouro Preto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO

Orientador: Haroldo Gambini Santos

Coorientador: T´ulio ˆAngelo Machado Toffolo

Disserta¸cão submetida ao Instituto de Ciências Exatas e Biológicas da Universidade Federal de Ouro Preto para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Ciência da Computa¸cão

(2)

(3)

Heur´ısticas Baseadas em Programa¸

c˜

ao

Inteira para o Problema de

Escalonamento de M´

ultiplos Projetos

com M´

ultiplos Modos e Restri¸

c˜

oes de

Recursos

Janniele Aparecida Soares

Universidade Federal de Ouro Preto

Orientador: Haroldo Gambini Santos

(4)

Catalogação: sisbin@sisbin.ufop.br S676h Soares, Janniele Aparecida.

Heurísticas baseadas em programação inteira para o problema de escalonamento de múltiplos projetos com múltiplos modos e restrições de recursos [manuscrito] / Janniele Aparecida Soares – 2013.

113 f.: il. graf.; tab.

Orientador: Prof. Dr. Haroldo Gambini Santos.

Coorientador: Prof. Dr. Túlio Ângelo Machado Toffolo.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Instituto de Ciências Exatas e Biológicas. Departamento de Computação. Programa de Pós-graduação em Ciência da Computação.

Área de concentração:Ciência da Computação.

1. Problemas conjugados (Sistemas complexos) - Teses. 2. Programação inteira - Teses. 3. Programação heurística - Teses. I. Santos, Haroldo Gambini. II. Toffolo, Túlio Ângelo Machado. Universidade Federal de Ouro

Preto. III. Título.

(5)

(6)

(7)

Dedico este trabalho a Deus e aos meus pais José Geraldo e Rosângela, pessoas de suma importância em minha vida.

(8)

(9)

Heur´ısticas Baseadas em Programa¸

c˜

ao Inteira para o

Problema de Escalonamento de M´

ultiplos Projetos com

M´

ultiplos Modos e Restri¸

c˜

oes de Recursos

Resumo

O Problema de Escalonamento de Projeto,Project Scheduling Problem (PSP), é tema de diversas pesquisas em ciências da computa¸cão, matemática e pesquisa operacional de-vido a sua dificuldade de resolu¸cão e importância prática. O PSP representa problemas de diversas áreas, tais como engenharia desoftware, engenharia civil, arquitetura de pro-cessadores, entre outras. Neste trabalho, é apresentada a versão abrangente do problema conhecida como Escalonamento de Múltiplos Projetos com Múltiplos Modos e Restri¸cão de Recursos. A solu¸cão deste problema consiste basicamente em um cronograma de execu¸cão das tarefas dos diversos projetos, de forma que as aloca¸cões de recursos re-nováveis e não rere-nováveis não extrapolem os limites estabelecidos. Para isto, deve-se elencar um modo de execu¸cão para cada tarefa, visto que sua dura¸cão e a quantidade de recursos consumidos variam de acordo com o modo selecionado. Por fim, o cronograma deve também levar em conta restri¸cões de precedência entre as atividades. No presente trabalho são propostas heur´ısticas de programa¸cão inteira para a resolu¸cão de um amplo conjunto de instâncias disponibilizadas na competi¸cão internacional MISTA2013

-Multidisciplinary International Scheduling Conference. O solver desenvolvido foi um dos

vencedores da competi¸cão, sendo capaz de encontrar solu¸cões viáveis e competitivas para todas as instâncias.

(10)

(11)

Heuristics Based on Integer Programming for the

Multi-Mode Resources Constrained Multi-Project

Scheduling Problem

Abstract

The Project Scheduling Problem (PSP) is subject of several studies in computing sci-ence, mathematics and operations research, given its hardness to solve and practical importance. The PSP is present in many areas such as software engineering, construc-tion engineering, processor architecture, among others. This work presents an extended version of the problem known as Multi-Mode Resources Constrained Multi-Project Sche-duling Problem. A solution for this problem basically consists of a schedule of jobs from various projects, so that the job allocations does not exceed the stipulated limits of renewable and non-renewable resources. To accomplish this, a set of execution modes for the jobs must be chosen, as its duration and amount of needed resources varies de-pending on the selected mode. Finally, the schedule must also consider the precedence constraints between jobs. This work proposes heuristics methods based on integer pro-gramming to solve a wide range of instances made available in international MISTA2013 challenge - Multidisciplinary International Scheduling Conference. The developed solver was one of the winners of the competition, being able to find feasible and competitive solutions for all instances.

(12)

(13)

Declara¸

c˜

ao

Esta disserta¸cão é resultado de meu próprio trabalho, exceto onde referência expl´ıcita é feita ao trabalho de outros, e não foi submetida para outra qualifica¸cão nesta nem em outra universidade.

Janniele Aparecida Soares

(14)

(15)

Agradecimentos

Primeiramente, eu agrade¸co a Deus pelas vit´orias que obtive, por renovar minhas for¸cas e me dar prote¸c˜ao em cada etapa.

Agrade¸co principalmente ao meu orientador Haroldo Gambini Santos e ainda ao meu coorientador Túlio Toffolo pelas valiosas contribui¸cões para o presente trabalho, pela oportunidade concedida, pelas orienta¸cões e por terem acreditado em mim. Sou grata também aos professores Anderson Ferreira, Gustavo Peixoto e, novamente, Haroldo Santos pelo conhecimento transmitido através das disciplinas ministradas.

Por fim, agrade¸co à minha fam´ılia, em especial à minha mãe Rosângela Soares Pessoa, ao meu pai José Geraldo Soares, ao meu namorado Ítalo Campos Araújo e ao meu amigo Arthur de Assis, pessoas que sempre acreditaram em mim e que me deram for¸cas para seguir em frente durante essa caminhada.

Agrade¸co a todos que me ajudaram direta ou indiretamente neste trabalho.

(16)

(17)

Sum´

ario

Lista de Figuras xix

Lista de Tabelas xxi

Lista de Algoritmos xxiii

Lista de Abreviaturas 1

1 Introdu¸c˜ao 3

1.1 Justificativa . . . 4

1.2 Objetivos . . . 5

1.2.1 Objetivo Geral . . . 5

1.2.2 Objetivos Espec´ıficos . . . 5

2 Problema de Escalonamento de Projetos 7 2.1 Tipos de Problemas . . . 7

2.2 Fun¸c˜oes Objetivo . . . 9

2.3 Restri¸c˜oes . . . 10

2.4 MISTA2013 Challenge . . . 10

2.4.1 Participantes . . . 11

2.4.2 Resultados . . . 11

(18)

3 Revis˜ao Bibliogr´afica 15

3.1 O M´etodo do Caminho Cr´ıtico . . . 15

3.1.1 Constru¸c˜ao da Programa¸c˜ao Temporal . . . 17

3.2 Tipos de Programa¸c˜ao . . . 18

3.3 Esquema de Programa¸c˜ao em S´erie . . . 22

3.4 Regras de Prioridades . . . 23

3.5 Abordagens Vencedoras da Competi¸c˜ao MISTA2013 . . . 24

3.6 Formula¸c˜oes de Programa¸c˜ao Inteira . . . 27

3.7 M´etodos Heur´ısticos . . . 32

4 Modelos de Programa¸c˜ao Inteira 35 4.1 Dados de Entrada . . . 35

4.2 Modelos Orientado a Eventos e Discreto no Tempo . . . 36

5 Abordagem Proposta 41 5.1 Sele¸c˜ao do Conjunto de Modos . . . 42

5.1.1 C´alculo de Caminhos Priorit´arios . . . 43

5.1.2 Modelo de Sele¸c˜ao do Conjunto de Modos . . . 44

5.2 Heur´ıstica Construtiva . . . 46

5.2.1 Modelo Construtivo . . . 47

5.3 Heur´ıstica H´ıbrida de Busca Local . . . 50

5.3.1 Forward-Backward Improvement . . . 51

5.3.2 Modelo de Perturba¸c˜ao de Modos . . . 53

5.3.3 Perturba¸c˜ao e Altera¸c˜ao de Modo . . . 54

5.3.4 Gera¸c˜ao de Vizinhos . . . 55

5.3.5 Algoritmo H´ıbrido de Busca Local . . . 56

(19)

6 Experimentos Computacionais 59

6.1 Caracter´ısticas das Instâncias . . . 60 6.2 Experimentos com a Heur´ıstica H´ıbrida Proposta . . . 63 6.3 Desempenho de Formula¸cões de Programa¸cão Inteira com Resolvedor

In-dependente . . . 66 6.4 Estruturas de Vizinhan¸cas . . . 69

7 Considera¸c˜oes Finais 73

7.1 Trabalhos Futuros . . . 73

Referˆencias Bibliogr´aficas 75

A Apˆendices 79

A.1 Publica¸cões . . . 79 A.2 Formatos de Arquivos . . . 79 A.3 Evolu¸cão dos Limites Inferiores e Superiores no Resolvedor de Programa¸cão

Inteira . . . 81

(20)

(21)

Lista de Figuras

2.1 Representa¸c˜ao por Grafo da Instˆancia A-1 . . . 8

2.2 Solu¸cão da instância A-1 representada pelo Gráfico de Gantt . . . 9

3.1 Caminho Cr´ıtico . . . 16

3.2 Programa¸c˜ao Temporal . . . 19

3.3 Exemplo para Ilustrar Procedimentos Heur´ısticos. Adaptada de (Demeu-lemeester e Herroelen, 2002) . . . 19

3.4 Programa¸c˜ao Fact´ıvel. (Demeulemeester e Herroelen, 2002) . . . 20

3.5 Programa¸c˜ao Semi-ativa. (Demeulemeester e Herroelen, 2002) . . . 20

3.6 Programa¸c˜ao Ativa. (Demeulemeester e Herroelen, 2002) . . . 21

3.7 Programa¸c˜ao Sem Atraso. (Demeulemeester e Herroelen, 2002) . . . 21

3.8 Programa¸cão Esquema de Gera¸cão em Série, Adaptada de (Demeuleme-ester e Herroelen, 2002) . . . 23

5.1 Composi¸c˜ao da abordagem . . . 42

5.2 Composi¸c˜ao da Busca Local . . . 51

5.3 Exemplo para Ilustrar o M´etodo Forward-Backward. . . 51

5.4 Exemplo do passo Forward aplicado `a Figura 5.3. . . 52

5.5 Exemplo do passo Backward aplicado `a Figura 5.3. . . 52

5.6 Movimento de Troca . . . 56

(22)

5.7 Movimento de Deslocamento para Frente . . . 56 5.8 Movimento de Deslocamento para Trás . . . 56 A.1 Exemplo do formato do arquivo de solu¸cão . . . 80 A.2 Exemplo do formato do arquivo de Multi-Projeto . . . 80 A.3 Exemplo do formato do arquivo de Mono-Projeto . . . 82 A.4 Convergência da Instância A-4 . . . 83 A.5 Convergência da Instância A-5 . . . 83 A.6 Convergência da Instância A-6 . . . 84 A.7 Convergência da Instância A-7 . . . 84 A.8 Convergência da Instância A-8 . . . 85 A.9 Convergência da Instância A-9 . . . 85 A.10 Convergência da Instância A-10 . . . 86 A.11 Convergência da Instância B-1 . . . 86 A.12 Convergência da Instância B-2 . . . 87 A.13 Representa¸cão Gráfica da Solu¸cão da Instância B-3 . . . 87

(23)

Lista de Tabelas

2.1 Participantes da MISTA2013 Challenge . . . 12 2.2 Classifica¸cão da fase de qualifica¸cão . . . 13 2.3 Classifica¸cão da fase final . . . 13 6.1 Caracter´ısticas das instâncias da primeira e segunda etapa . . . 61 6.2 Caracter´ısticas das instâncias da fase final . . . 62 6.3 Melhores resultados do método . . . 64 6.4 Resultados de 10 execu¸cões com tempo limite de 15 minutos cada uma . 65 6.5 Primeiro conjunto de experimentos formula¸cão adaptada Kolisch . . . 67 6.6 Segundo conjunto de experimentos formula¸cão adaptada Kolisch . . . 68 6.7 Percentual de melhora do melhor vizinho entre diferentes tamanhos de

vizinhan¸cas - Troca . . . 70 6.8 Percentual de melhora do melhor vizinho entre diferentes tamanhos de

vizinhan¸cas - Deslocamento para Tr´as . . . 71 6.9 Percentual de melhora do melhor vizinho entre diferentes tamanhos de

vizinhan¸cas - Deslocamento para Frente . . . 72

(24)

(25)

Lista de Algoritmos

3.1 Cálculo de Dados do Caminho Cr´ıtico . . . 17 5.1 Caminhos . . . 43 5.2 Calcula Distâncias . . . 44 5.3 Heur´ıstica Construtiva . . . 47 5.4 Calcula Distâncias com Base no Modo M´ınimo . . . 50 5.5 Heur´ıstica H´ıbrida de Busca Local . . . 57

(26)

(27)

“You’ve got to find what you love.”

— Steve Jobs

(28)

(29)

Nomenclatura

AG Algoritmos Gen´eticos

CPM Critical Path Method

EFT Earliest Finish Time

EST Earliest Start Time

FBI Forward-Backward Improvement

GOAL Grupo de Otimiza¸c˜ao e Algoritmos

LST Latest Start Time

LFT Latest Finish Time

MIP Mixed Integer Program (Programa¸c˜ao Inteira Mista)

MISTA Multidisciplinary International Scheduling Conference

MMRCPSP Multi-Mode Resource-Constrained Project Scheduling Problem

MMRCMPSP Multi-Mode Resource-Constrained Multi-Project Scheduling Pro-blem

PI Programa¸c˜ao Inteira

PSP Project Scheduling Problem

PSPLIB Project Scheduling Problem Library

RCPSP Resource-Constrained Project Scheduling Problem

SA Simulated Annealing

SGS Schedule Generation Scheme

TPD Total Project Delay

TMS Total Makespan

(30)

(31)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

No contexto atual da sociedade e no ambiente competitivo, é fundamental oferecer pro-dutos e servi¸cos de alta qualidade levando em considera¸cão tempo e or¸camento viáveis. Garantir a boa utiliza¸cão de recursos e o cumprimento de prazos requer um bom plane-jamento para realizar as atividades que originam os produtos e servi¸cos.

Este trabalho aborda o Problema de Escalonamento de Projetos, ou PSP (Project

Scheduling Problem). Um projeto ´e composto por um conjunto de atividades, onde cada

atividade possui rela¸cões de precedência e requer tempo e recursos para ser executada. Uma solu¸cão para o problema consiste em uma programa¸cão das atividades de forma que nenhuma infrinja suas rela¸cões de precedência e não extrapole as quantidades de recursos dispon´ıveis. Cada atividade pode possuir um ou mais modos de execu¸cão, com diferentes dura¸cões e consumo de recursos em cada modo.

Algumas varia¸cões do PSP consideram ainda algumas questões que vão além da dependência entre atividades e múltiplos modos de execu¸cão de cada atividade. São elas: a utiliza¸cão de recursos renováveis e não-renováveis e o compartilhamento de al-guns recursos renováveis entre diferentes projetos. Neste trabalho, é abordada uma versão abrangente do problema conhecida como Escalonamento de Múltiplos Projetos com Múltiplos Modos e Restri¸cão de Recursos.

Um modelo gen´erico para descrever um PSP composto por diversos projetos e res-tri¸c˜oes foi proposto pela MISTA2013 (Multidisciplinary International Scheduling

Con-ference, 2013) tornando-se desafiador para a comunidade acadˆemica.

Métodos baseados em programa¸cão inteira já foram propostos para o PSP, no

(32)

4 Introdu¸c˜ao

tanto, esses métodos são capazes de resolver apenas um subconjunto bastante restrito de instâncias em um tempo viável. Tendo em vista estas considera¸cões, o conteúdo deste trabalho inclui, além da apresenta¸cão de conceitos fundamentais e de formula¸cões, métodos heur´ısticos. São apresentadas heur´ısticas construtivas para a gera¸cão de uma solu¸cão inicial e heur´ısticas de busca local baseadas em programa¸cão inteira (PI) para o Problema de Escalonamento de Múltiplos Projetos com Múltiplos Modos e Restri¸cão de Recursos (MMRCMPSP - Multi-Mode Resource Constrained Multi-Project Scheduling

Problem).

As técnicas apresentadas consideram instâncias espec´ıficas do problema mono-projeto que estão dispon´ıvel no site da PSPLIB1(Project Scheduling Problem Library) e instâncias do problema com múltiplos projetos dispon´ıveis no site da competi¸cão MISTA20132_.

Assim qualquer instˆancia especificada neste formato pode ser trabalhada pelas t´ecnicas apresentadas.

A organiza¸cão desta disserta¸cão é apresentada a seguir. Nas subse¸cões seguintes são apresentadas as justificativas e os objetivos. A defini¸cão do problema é apresentada no Cap´ıtulo 2. No Cap´ıtulo 3 é apresentada a revisão bibliográfica. Nos cap´ıtulos 4 e 5 são apresentados, respectivamente, os modelos de programa¸cão inteira e as metodologias heur´ısticas. O Cap´ıtulo 6 relata os experimentos e resultados. Por fim, no Cap´ıtulo 7 são apresentadas as conclusões e trabalhos futuros.

1.1 Justificativa

O MMRCMPSP pertence à classe de problemas NP-Dif´ıceis (Demeulemeester e Herro-elen, 2002) e o progresso na resolu¸cão de tais problemas é objeto de estudo de inúmeras pesquisas em computa¸cão, matemática aplicada e pesquisa operacional. É importante ressaltar que a gera¸cão da solu¸cão inicial para esse problema também é NP-Dif´ıcil, de-vido ao fato de que o uso excessivo dos recursos não-renováveis podem facilmente tornar a solu¸cão infact´ıvel.

Métodos exatos são limitados para resolver tais problemas, por isso é proposto heur´ısticas que utilizam programa¸cão inteira para resolver subproblemas em um tempo satisfatório.

1_{http://www.om-db.wi.tum.de/psplib/}_{, acessado em Julho de 2013.}

(33)

Introdu¸c˜ao 5

Esse problema é encontrado em diversas áreas, tais como gestão de projetos em empresas de tecnologia da informa¸cão, agendamento de instru¸cões para arquitetura de processadores, constru¸cão civil, programa¸cão de produ¸cão de lingotes de rolamento, mon-tagem de loja, entre outras, sendo assim de suma importância prática (Demeulemeester e Herroelen, 2002).

Gra¸cas aos avan¸cos nos resolvedores, é tendência que métodos de programa¸cão inteira sejam utilizados para auxiliar na resolu¸cão desses problemas.

1.2 Objetivos

1.2.1 Objetivo Geral

O principal objetivo desse trabalho é propor heur´ısticas baseadas em programa¸cão in-teira para o Problema de Escalonamento de Múltiplos Projetos com Múltiplos Modos e Restri¸cão de Recursos, a fim de encontrar solu¸cões fact´ıveis que minimizem o tempo de execu¸cão dos projetos.

1.2.2 Objetivos Espec´ıficos

Os objetivos espec´ıficos desse trabalho est˜ao elencados a seguir:

• analisar trabalhos da literatura;

• analisar modelos de programa¸c˜ao inteira;

• propor novas formula¸c˜oes matem´aticas;

• desenvolver heur´ısticas;

• aplicar as heur´ısticas desenvolvidas nas instˆancias disponibilizadas pela competi¸c˜ao

MISTA2013;

• aplicar testes e experimentos;

(34)

(35)

Cap´ıtulo 2

Problema de Escalonamento de

Projetos

De forma abrangente, pode-se dizer que para realizar o escalonamento ou programa¸cão do projeto cada atividade deve ser alocada em um determinado instante de tempo e modo. O formato utilizado pela PSPLIB permite que uma grande quantidade de problemas reais seja representada. Os diversos problemas possuem um determinado número de atividades, um horizonte de tempo, bem como a quantidade de modos que cada atividade pode ser executada e rela¸cões de precedência bem definidas. Nas instâncias ainda são disponibilizadas as informa¸cões detalhadas sobre recursos dispon´ıveis.

2.1 Tipos de Problemas

Alguns tipos de problemas são apresentados na literatura — na PSPLIB existem instân-cias dispon´ıveis para cada tipo de problema. Kolisch e Sprecher (1996) definem alguns tipos de PSP. São eles:

• RCPSP (Resource-Constrained Project Scheduling Problem): cada atividade do

projeto tem de ser realizada de uma forma prescrita usando os recursos fornecidos — as atividades pertencentes ao projeto possuem apenas um modo de execu¸c˜ao;

• MMRCPSP (Multi-Mode Resource-Constrained Project Scheduling Problem): cada

atividade possui vários modos de execu¸cão e pode ser alocada em apenas um deles — estes modos possuem diferentes dura¸cões e quantidades de recursos necessários

(36)

8 Problema de Escalonamento de Projetos

para a execu¸c˜ao da atividade;

• MMRCMPSP (Multi-Mode Resource-Constrained Multi-Project Scheduling

Pro-blem): é derivado doMMRCPSP, vários projetos são programados podendo com-partilhar recursos — o mesmo foi definido na competi¸cão MISTA2013 pelo grupo de pesquisa CODeS da KAHO (Engineering Technology, KU Leuven) com o obje-tivo de fornecer um modelo genérico capaz de atender diversos problemas.

Na Figura 2.1 é apresentado um grafo gerado a partir de uma instância de múltiplos projetos. Nesta figura, as atividades são representadas pelos nós e as rela¸cões de precedência pelas arcos de conexão. Arcos paralelas indicam os diferentes modos de execu¸cão de uma atividade e o custo indica o tempo de execu¸cão de uma atividade neste modo. 0 1 0 2 0 3 0 11 12 13 0 14 0 15 0 23 4

1 5 6

10

1

5 6

8

9 9 4

5

1 8 10

6

1 8 10

3 7 10

3 3 4 3 6 8 2 2 10

9

2 2 10

5 6 10

7

5 6 10

2 7 10 1 3 8 1 3 8

21

1 1 8 1 3 6

16

1 4 9

4 6 10

17

7 8 9

18

7 8 9

19

7 8 9

22

1 5 9 5 6 9

20

5 6 9 5

6 9 5 6 9 5 6 9

6 9 9 1 4 4

Figura 2.1: Representa¸c˜ao por Grafo da Instˆancia A-1

(37)

Problema de Escalonamento de Projetos 9 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Figura 2.2: Solu¸cão da instância A-1 representada pelo Gráfico de Gantt

2.2 Fun¸

c˜

oes Objetivo

Em geral, a fun¸c˜ao objetivo do problema procura minimizar um dos itens a seguir:

• TPD (Total Project Delay): é a soma dos atrasos dos projetos em rela¸cão à dura¸cão do caminho cr´ıtico (dura¸cão m´ınima do projeto se não houvessem restri¸cões de recursos) – as equa¸cões (2.1) e (2.2), representam respectivamente o atraso dos projetos e a soma dos mesmos;

P Dj =M Sj−CP Dj (2.1)

T P D=

n

X

j=1

P Dj (2.2)

• TMS (Total Makespan): é o tempo de término do último projeto –makespanindica

(38)

2.3 Restri¸

c˜

oes

O PSP envolve a atribui¸cão de atividades em determinados instantes de tempo em um horizonte, levando em considera¸cão algumas restri¸cões que devem ser satisfeitas obrigatoriamente.

No problema abordado neste trabalho s˜ao consideradas as seguintes restri¸c˜oes:

• restri¸cão de precedência: cada atividade j não pode iniciar até que todas as ativi-dades antecessoras a ela tenham sido finalizadas;

• restri¸c˜ao de recursos: deve-se respeitar os limites de recursos. Os recursos s˜ao classificados da seguinte forma:

• recursos renováveis (renewable resources): as quantidades dispon´ıveis são renova-das de per´ıodo em per´ıodo (hora, dia, semana, mês), a disponibilidade por per´ıodo é constante - exemplo: mão de obra, máquinas;

• recursos não-renováveis (nonrenewable resources): o consumo dos recursos não-renováveis é limitado para todo o projeto - exemplo: dinheiro, energia e matéria prima;

• recursos globais (global resources): no caso do problema com múltiplos projetos, são considerados ainda recursos globais, que são renováveis e compartilhados entre todos os projetos.

2.4 MISTA2013 Challenge

Para a 6a _{Conferˆencia Internacional Multidisciplinar de} _Scheduling _{(MISTA2013), o}

grupo de pesquisa CODeS da KAHO (Tecnologia Engenharia, KU Leuven) organizou um desafio com o objetivo de estimular a pesquisa no problema.

(39)

Problema de Escalonamento de Projetos 11

A primeira etapa representa a fase de qualifica¸cão, onde as equipes registradas apre-sentaram solu¸cões para um primeiro conjunto de instâncias. Nessa etapa, das vinte e uma equipes registradas, somente dezesseis foram qualificadas para prosseguir.

Na segunda etapa, todas as equipes qualificadas tiveram a oportunidade de melhorar os algoritmos para serem aplicados a um segundo conjunto de instˆancias. Das dezesseis qualificadas somente nove foram para fase final.

Os algoritmos finais enviados na segunda etapa foram avaliados pelos organizadores sobre um terceiro conjunto de instˆancias secretas para determinar o vencedor.

Os vencedores do desafio foram anunciados na conferˆencia realizada na cidade de Ghent, B´elgica, entre os dias 27 e 30 de agosto de 2013.

Todas as regras e procedimentos da competi¸c˜ao foram divulgados publicamente no site da competi¸c˜ao1 _{desde o in´ıcio de modo a promover a lisura da mesma.}

2.4.1 Participantes

Vinte e uma equipes participaram da competi¸c˜ao. A seguir s˜ao apresentados na Tabela 2.1 os representantes de cada equipe e o pa´ıs de origem.

2.4.2 Resultados

As tabelas 2.2 e 2.3 apresentam as classifica¸cões das equipes durante a fase de quali-fica¸cão e a fase final. A abordagem proposta no presente trabalho foi a única, entre as vencedoras, que fez uso de programa¸cão inteira.

(40)

Tabela 2.1: Participantes da MISTA2013 Challenge

ID Integrantes Pa´ıs

1 T.A.M. Toffolo, H.G. Santos, M.A.M Carvalho, J.A. Soares Brasil 2 G. De Smet, LukáˇsPetrovický Belgica 3 N. R. Sabar Malásia 4 F. Salassa, F. Della Croce, M. Garraffa Itália 5 Draˇzen Popović Serbia 6 L. Wang China 7 M. Laskova Russia 8 M.J. Geiger Alemanha 9 S. Smit Holanda 10 P. De Bruecker, J. Van den Bergh Bélgica 11 A. Kheiri, S. Asta, E. Ozcan, D. Karapetyan, A. Parkes Dinamarca 12 J. Espasa, M. Bofill, M. Villaret, J. Suy, M. Palah´ı, P. Pericay,

C. Ans´otegui Espanha 13 L. M. Borba, A. J. Benavides, T. Zubaran, G. Carniel, M. Ritt Brasil 14 H. Bouly, D.-C. Dang, A. Moukrim, H. Xu

15 F. Alonso-Pecina, J.E. Pecero-Sanchez, D. Romer

(41)

Problema de Escalonamento de Projetos 13

Tabela 2.2: Classifica¸c˜ao da fase de qualifica¸c˜ao

Pos. Membros M´edia

1 M.J. Geiger 2,4

2 T.A.M. Toffolo, H.G. Santos, M.A.M Carvalho e J.A. Soares 3

3 C. Artigues e E. H´ebrard 3,1

4 L.M. Borba, A.J. Benavides, T. Zubaran, G. Carniel e M. Ritt 3,5 5 Z. Lu e B. Peng 6,65 6 M. López-Ibáñez, M.-E. Marmion, F. Mascia e T. Stützle 7

7 A. Schnell 8

8 F. Alonso-Pecina, J.E. Pecero-Sanchez e D. Romer 9,25

9 A. Bloemen 9,4

10 H. Bouly, D.-C. Dang, A. Moukrim e H. Xu 9,45 11 V. Van Peteghem 10,2 12 G. De Smet e L. Petrovick´y 10,6 13 J. Espasa, M. Bofill, M. Villaret, J. Suy, M. Palah´ı, P. Pericay e C. Ans´otegui 11,8 14 A. Kheiri, S. Asta, E. Ozcan, D. Karapetyan e A. Parkes 12,6 15 P. De Bruecker e J. Van den Bergh 13,35 16 F. Salassa, F. Della Croce e M. Garraffa 15,7

Tabela 2.3: Classifica¸c˜ao da fase final

Pos. Membros M´edia

1 A. Kheiri, S. Asta, E. Ozcan, D. Karapetyan e A. Parkes 1,1

2 M.J. Geiger 2,55

(42)

(43)

Cap´ıtulo 3

Revis˜

ao Bibliogr´

afica

3.1 O M´

etodo do Caminho Cr´ıtico

O método do caminho cr´ıtico, ou CPM (Critical Path Method), fornece um meio anal´ıtico para programar as atividades (Tavares et al., 1996). O CPM considera dura¸cões deter-min´ısticas das atividades e seu resultado final é a constru¸cão da programa¸cão temporal para o projeto. É importante ressaltar que o método não leva em considera¸cão as res-tri¸cões de recursos.

O caminho cr´ıtico é definido a partir de uma ordena¸cão topológica das atividades, no qual as atividades são alocadas no menor tempo poss´ıvel levando em considera¸cão as rela¸cões de precedência. As atividades são classificadas como cr´ıticas e não cr´ıticas. Uma atividade é denominada cr´ıtica caso o seu deslocamento em um estante de tempo, em qualquer dire¸cão, interfira diretamente no tempo de conclusão do projeto. As atividades não cr´ıticas por outro lado podem ser deslocadas sem interferir no término do projeto.

A partir do caminho cr´ıtico ´e poss´ıvel obter estimativas dos tempos que representam o tempo mais cedo EST (Earliest Start Time) e o mais tarde LST (Latest Start Time)

em que uma atividade pode iniciar e o tempo mais cedo EFT (Earliest Finish Time) e o mais tarde em que uma atividade pode terminar LFT (Latest Finish Time).

Na Figura 3.1 é apresentado um grafo G = (N, A), onde N representa o conjunto de atividades j e A representa as rela¸cões de precedência entre as atividades j. Assim tem-se os conjuntosPj de atividades antecessoras imediatas eSj de atividades sucessoras

imediatas aj. d_j representa a dura¸c˜ao de cada atividadej.

(44)

16 Revis˜ao Bibliogr´afica

Figura 3.1: Caminho Cr´ıtico

Os passos para cálculo do caminho cr´ıtico consistem em obter os valores para os dados através do pseudocódigo apresentado no Algoritmo 3.1 (Demeulemeester e Herroelen, 2002). O algoritmo tem como dados de entrada: (i) um conjunto P de predecessores, (ii) um conjunto S de sucessores, (iiI) um conjunto de dura¸cões das atividades e (iv) o número de atividades.

Primeiramente inicia-se os tempos de in´ıcio e término mais cedo das atividades para 0 (linha 1), o tempo de in´ıcio mais cedo e mais tarde das atividades serão atualizados (linhas 2-6), posteriormente inicia-se os tempos de in´ıcio e término mais tarde das ativi-dades para um valor grande (linha 7) e por fim os tempos de in´ıcio e término mais tarde das atividades serão atualizados (linhas 9-12).

(45)

Revis˜ao Bibliogr´afica 17

Algoritmo 3.1: C´alculo de Dados do Caminho Cr´ıtico

Entrada: PredecessoresPj, Sucessores Sj, Dura¸c˜aodj, N´umeron

Sa´ıda: EST, EF T, LST,LF T

EST₁ =EF T₁ = 0;

1

j ←2;

2

enquanto j ≤n fa¸ca

3

ESTj ←max(EF Ti ∀i∈Pj); 4

EF Tj ←ESTj+dj;

5

j ←j+ 1;

6

LSTn =LF Tn =∞;

7

j ←n−1;

8

enquanto j ≥1fa¸ca

9

LF Tj ←min(LSTi∀i∈Sj); 10

LST_j ←LF T_j−d_j;

11

j ←j−1;

12

3.1.1 Constru¸

c˜

ao da Programa¸

c˜

ao Temporal

Através dos cálculos obtidos na se¸cão anterior, pode-se reconhecer que para uma ati-vidade j o ESTj representa o tempo mais cedo de in´ıcio e LF Tj representa o tempo

mais tarde de conclus˜ao. Isso significa que (ESTj, LF Tj) determina o intervalo m´aximo

durante o qual a atividade poder´a ser programada sem atrasar o projeto inteiro.

Duas observa¸cões são necessárias para obter uma programa¸cão temporal (Demeule-meester e Herroelen, 2002):

• as atividades cr´ıticas devem ser alinhadas uma depois da outra para garantir que o projeto seja conclu´ıdo dentro de sua dura¸c˜ao especificada (por exemplo na Figura 3.1 as atividades cr´ıticas s˜ao representadas por linhas em negrito);

• as atividades não cr´ıticas possuem intervalos de tempo maiores do que suas res-pectivas dura¸cões, o que permite uma folga para programá-las dentro de seus in-tervalos de tempo permitidos (por exemplo na Figura 3.1 as atividades não cr´ıticas são representadas pelas linhas que não estão em negrito).

(46)

Duas folgas conhecidas s˜ao apresentadas na literatura, folga total (T Fj) e folga livre

(F Fj), tal que F Fj ≤T Fj. S˜ao elas (Demeulemeester e Herroelen, 2002):

• folga total (T Fj): define o excesso do intervalo de tempo entre a ocorrˆencia mais

cedo e mais tarde da atividade j;

T Fj =LSTj − ESTj = LF Tj − EF Tj

• folga livre (F Fij): define o atraso permitido para o fim da atividadej, tal que n˜ao

afete o tempo de in´ıcio de suas atividade sucessoras imediatas.

F Fj =min(ESTi) − EF Tj ∀i∈Sj

Para uma atividade n˜ao cr´ıtica j tem-se a regra da bandeira vermelha, conforme (Demeulemeester e Herroelen, 2002):

• se F Fj =T Fj ent˜ao a atividade pode ser programada em qualquer tempo dentro

de seu intervalo (ESTj, LF Tj) sem causar conflito na programa¸c˜ao;

• seF Fj ≤T Fj, então a atividade pode ser atrasada por no máximoF Fj em rela¸cão

ao seu tempo mais cedo de in´ıcio, sem causar conflito de programa¸c˜ao — qualquer atraso maior que F F_j e menor queT F_j deve ser acoplado com um atraso igual em rela¸c˜ao ao ESTj no tempo de in´ıcio de todas as atividades que se origina a partir

do n´o j.

A Figura 3.2 apresenta a programa¸cão temporal resultante do método do caminho cr´ıtico. As atividades cr´ıticas para o projeto de rede da Figura 3.1 estão representadas na cor mais forte.

3.2 Tipos de Programa¸

c˜

ao

(47)

Figura 3.2: Programa¸c˜ao Temporal

procedimentos heur´ısticos apresentados nas próximas se¸cões. Para ilustrar os tipos de programa¸cão, será considerado o grafo apresentado na Figura 3.3.

Sobre cada nó são indicadas as informa¸cões do tempo de execu¸cão e o consumo de recursos de cada atividade, neste exemplo é considerado apenas um modo de execu¸cão. Para conseguir representar todos os tipos de programa¸cão, a dura¸cão da atividade 3 mostrada na figura é tracada para 1 instante.

(48)

• programa¸cão fact´ıvel (feasible schedule): é uma programa¸cão viável, que consiste em ser completa e nenhuma das restri¸cões de precedência ou de recursos podem estar violadas — uma programa¸cão é completa quando todas as atividades j do projeto são alocadas em algum tempo de in´ıcio poss´ıvel — uma programa¸cão viável para o problema da Figura 3.3 é apresentado na Figura 3.4 obtida pela atribui¸cão dos seguintes horários de in´ıcio para cada atividade: 1→0, 2→0, 3→7, 4→4, 5→0, 6→2, 7→3, 8 →3 e 9→8;

Figura 3.4: Programa¸c˜ao Fact´ıvel. (Demeulemeester e Herroelen, 2002)

• programa¸cão semi-ativa (semi-active schedule): uma programa¸cão semi-ativa é ob-tida através de deslocamentos locais à esquerda das atividades, até que nenhuma outra mudan¸ca local à esquerda possa ser realizada — o operador de deslocamento local corresponde ao decremento repetitivo unitário no tempo inicial de uma ati-vidade — a Figura 3.5 apresenta uma programa¸cão semi-ativa para o problema apresentado na Figura 3.3 obtida pelos deslocamentos locais à esquerda das ativi-dades 3, 4, 6 e 7;

(49)

• programa¸cão ativa (active schedule): uma programa¸cão ativa é obtida quando não há mais deslocamentos para a esquerda a serem realizados — a redu¸cão do tempo de in´ıcio de uma atividade em pelo menos um instante, de forma a não violar as restri¸cões de recursos é chamada de deslocamento global à esquerda — a Figura 3.6 apresenta uma programa¸cão ativa para o problema da Figura 3.3 obtida pelo deslocamento global à esquerda da atividade 3;

Figura 3.6: Programa¸c˜ao Ativa. (Demeulemeester e Herroelen, 2002)

• programa¸cão sem atraso (non-delay schedule): é uma programa¸cão fact´ıvel onde não existe qualquer per´ıodo de tempo tal que uma atividade eleg´ıvel poderia ter sido alocada no in´ıcio do per´ıodo e não foi — uma atividade é eleg´ıvel se não viola rela¸cões de precedências e nem restri¸cões de recursos em um dado instante — a Figura 3.7 representa uma programa¸cão sem atraso para o problema da Figura 3.3.

(50)

3.3 Esquema de Programa¸

c˜

ao em S´

erie

Dois esquemas para gera¸cão de programas são apresentados (Demeulemeester e Her-roelen, 2002), são eles, em série e paralelo.Os esquemas de programa¸cão determinam a maneira como a programa¸cão será constru´ıda através da atribui¸cão de tempos de in´ıcio para as atividades. Dois esquemas para gera¸cão de programas são apresentados (Demeu-lemeester e Herroelen, 2002), são eles, em série e paralelo. Nesta se¸cão é apresentado os detalhes sobre o esquema serial que será utilizado.

O SGS (Schedule Generation Scheme) em série, acrescenta sequencialmente uma atividade à programa¸cão até que a mesma esteja completa e fact´ıvel, conceitos intro-duzidos na se¸cão 3.2. A cada itera¸cão, a próxima atividade da lista de prioridades é escolhida e atribu´ıda ao primeiro tempo de in´ıcio poss´ıvel, de tal forma que não viole nenhuma restri¸cão de precedência ou recurso. Para gerar um esquema em série é preciso (Demeulemeester e Herroelen, 2002):

• escolher a atividade de acordo com a prioridade;

• alocar a atividade no menor instante de tempo vi´avel;

• apenas uma atividade pode ser alocada a cada itera¸c˜ao;

• possuir dois conjuntos disjuntos, Sj de atividades j´a programadas e Dj de

ativi-dades eleg´ıveis — uma atividade é eleg´ıvel se ela não viola nenhuma restri¸cão de precedência ou recursos.

Aplicando o esquema de gera¸cão em série na Figura 3.3 e levando em considera¸cão a lista de prioridade <1,2,6,5,7,4,8,3,9>, é obtida uma programa¸cão fact´ıvel apresentada na Figura 3.8 com um makespan de 8 unidades.

(51)

Figura 3.8: Programa¸cão Esquema de Gera¸cão em Série, Adaptada de (De-meulemeester e Herroelen, 2002)

3.4 Regras de Prioridades

As regras de prioridade determinam as atividades que serão selecionadas durante o processo de busca da heur´ıstica. Estas regras de prioridade podem ser classificadas em cinco categorias apresentadas em Demeulemeester e Herroelen (2002), com base no tipo de informa¸cão que é necessário para calcular a lista de prioridades. São elas:

• regras de prioridade baseadas em atividades: consideram as informa¸cões que estão relacionadas com as atividades e não com o projeto;

• regras de prioridade baseadas em rede: consideram apenas as informa¸cões que estão contidas na rede — nenhuma informa¸cão sobre recursos podem ser utilizadas para as regras de prioridade nesta categoria;

• regras de prioridade baseadas no caminho cr´ıtico: s˜ao baseadas nos c´alculos do caminho cr´ıtico;

• regras de prioridade baseadas em recursos: consideram o uso de recursos das dife-rentes atividades;

• regras de prioridade baseadas em composi¸cão: podem ser obtidas através da soma ponderada dos valores de prioridade obtidos nas regras das três categorias anteri-ores.

(52)

A terceira categoria, regra de prioridade baseada no caminho cr´ıtico, possui seis regras de prioridades estáticas, regras estáticas precisam ser calculadas no in´ıcio do processo de programa¸cão, são elas EST (Earliest Start Time), EFT (Earliest Finish Time), LST (Latest Start Time), LFT (Latest Finish Time), MSLK (Minimum Slack) e RSM (Resource Scheduling Method) e três regras de prioridades dinâmicas, que de-pendem de uma programa¸cão parcial para poderem atualizar os tempos das atividades, são elas ESTD (Dynamic Earliest Start Time), EFTD (Dynamic Earliest Finish Time) e MSLKD (Dynamic Minimum Slack).

Abaixo s˜ao apresentadas as listas de prioridade geradas para as regras mais utilizadas na literatura, em rela¸c˜ao ao problema da Figura 3.3.

• EST: < 1,2,3,4,5,6,7,8,9 >

• EFT: < 1,2,3,6,5,4,8,7,9 >

• LST: < 1,2,5,6,7,4,8,3,9 >

• LFT: < 1,2,6,5,3,4,7,8,9 >

3.5 Abordagens Vencedoras da Competi¸

c˜

ao MISTA2013

Dentre as abordagens apresentadas na competi¸cão, é discutido nesta se¸cão as propostas finalistas. O terceiro lugar foi obtido pela autora deste trabalho juntamente com uma equipe pertencente ao GOAL (Grupo de Otimiza¸cão e ALgoritmos) da Universidade Federal de Ouro Preto (Toffolo et al., 2013) e será descrita no decorrer do trabalho. Mais detalhes sobre as abordagens podem ser consultados no MISTA2013 Proceedings

27-29 de agosto de 2013.

Asta et al. (2013), vencedores da competi¸cão, propuseram uma abordagem combi-nando os métodos Monte-Carlo (método estat´ıstico, no qual se utiliza uma sequência de números aleatórios para a realiza¸cão de uma simula¸cão (Metropolis, 1949)) e Hy-per-Heur´ıstica (heur´ıstica que pode ser utilizada para lidar com qualquer problema de otimiza¸cão, desde que sejam fornecidos alguns parâmetros, como estruturas e abstra¸cões, relacionados ao problema considerado (Sucupira, 2007)).

(53)

pro-Revis˜ao Bibliogr´afica 25

grama¸cão alocando as atividades uma a uma no tempo mais cedo poss´ıvel. Essa repre-senta¸cão é vantajosa por ser mais fácil obter programa¸cões viáveis. Duas etapas são necessárias para produzir solu¸cões fact´ıveis e de alta qualidade.

Na primeira etapa referente à constru¸cão, através de inspe¸cões realizadas sobre as boas solu¸cões, Asta et al. (2013) definiram que um bom construtor deve criar sequências iniciais que imitam uma ordena¸cão de uma programa¸cão parcial (in´ıcio, meio e fim). Logo, foi utilizado um método rápido que gera programa¸cões aleatórias, onde a ordem das atividades dentro de cada programa¸cão parcial é escolhida ao acaso respeitando as precedências. Essas programa¸cões são usadas como amostragem na tomada de decisão. Na segunda etapa referente à melhoria, os movimentos são controlados por uma combina¸cão de metaheur´ıstica e hyper-heur´ıstica, com uma base populacional e ideias de algoritmos meméticos (incorpora conceitos culturais e de aprendizagem, permitindo precisão e convergência mais rápida (Ong et al., 2010)). Todos os movimentos geram sequências que respeitam as rela¸cões de precedência. Os movimentos citados foram (Asta et al., 2013):

1. SwapJobs: troca duas atividades em uma sequˆencia .

2. InsertJob: insere uma atividade em um novo local na sequˆencia da solu¸c˜ao.

3. SetMode: altera o modo de uma atividade para outro modo escolhido

aleatoria-mente .

4. MoveUniform: um conjunto de atividades ´e selecionado uniformemente de forma

aleatória. O movimento tem três op¸cões: mover atividades, alterar modos ou am-bos. Ao mover as atividades selecionadas as mesmas são embaralhadas aleatoria-mente. Ao alterar os modos, os mesmos são atribu´ıdos às atividades selecionadas de maneira aleatória.

5. MoveLocal: ´e semelhante ao MoveUniform, com a diferen¸ca que as atividades s˜ao

selecionadas usando uma distribui¸cão não uniforme, mas que está centrada em torno de uma posi¸cão e largura em cada sequência.

6. MoveOneProject: é semelhante aoMoveUniform, mas a sele¸cão das atividades está

voltada para um projeto selecionado aleatoriamente.

7. MoveBiasedGlobalResource: ´e semelhante aoMoveUniform, mas favorece a sele¸c˜ao

(54)

8. MoveEndBiased: ´e semelhante aoMoveBiasedGlobalResource, mas favorece as

ati-vidades que possui a posi¸c˜ao perto do fim de seu projeto.

9. FILS swapJobs/insertJobs/setMode: esses trˆes movimentos s˜ao os primeiros

pro-cedimentos de melhoria de busca local com base na troca, inser¸c˜ao ou altera¸c˜ao dos modos dos vizinhos.

10. SwapTwoProjects: troca dois projetos selecionados aleatoriamente na sequˆencia.

11. MutationOneExtreme: as atividades, de um projeto selecionado aleatoriamente,

são todas realocadas em uma posi¸cão aleatoriamente selecionada na sequência.

12. MutationOne: troca todas as atividades, de um projeto selecionado

aleatoria-mente, por um número fixo de posi¸cões na sequência.

13. MoveProjects: extrai a sequˆencia dos projetos em uma solu¸c˜ao (com base nas

posi¸cões das últimas atividades em cada projeto) e seleciona vários projetos para então movê-los tanto para o in´ıcio como para o fim da sequência.

Basicamente essa abordagem consiste em construir um método que trabalha a se-quência na qual as atividades são passadas para um construtor de programa¸cão. A constru¸cão de uma sequência da atividade inicial é feita por um h´ıbrido que gera pro-grama¸cões aleatórias e particionamento dos projetos. A fase de melhoria usa um grande número de movimentos através de vizinhos controlados por metaheur´ısticas, algoritmos meméticos e hyper-heur´ısticas em um contexto multi-thread.

Geiger (2013), segundo colocado na competi¸c˜ao, propˆos um VNS Iterativo Variable

Neighborhood Search (método de busca local que explora o espa¸co de solu¸cões através

de trocas sistemáticas de estruturas de vizinhan¸ca (Mladenović e Hansen, 1997)). Nessa abordagem é apresentado um conjunto de programa¸cões viáveis X associado a dois vetores, M = (m1, ..., mn) e S = (S1, ..., SN). Onde M representa o modo de execu¸cão escolhido m_j para cada atividade j e S é a permuta¸cão dos ´ındices das atividades.

(55)

A busca local é aplicada à programa¸cão X constru´ıda, baseada no VNS e ILS

(Ite-rated Local Search) (Louren¸co et al., 2010), onde atrav´es de uma programa¸c˜ao inicial,

vizinhos são gerados por meio de vários movimentos e testados para aceita¸cão. Caso seja alcan¸cada uma programa¸cão que não pode mais ser melhorada é realizada uma perturba¸cão e a busca continua. Quatro movimentos de vizinhan¸ca foram propostos:

1. Troca (EX): troca a posi¸c˜ao de duas atividades emS, o conjunto dos vizinhos deX

´e denotado por EX e o operador porEX(X). Uma solu¸c˜ao vizinhaX′

∈EX(X) ´e aceita seF(X′

)< F(X).

2. Inversão (INV): inverte uma subsequência de atividades em S. É aceito X′

∈

IN V(X) se, e somente se, F(X′

)< F(X).

3. Troca de modo único (SMC): altera o modo de atribui¸cão de um único modo em

M. X′

∈SM C(X) ´e aceito se F(X′

)< F(X)∧X′

∈X.

4. Altera dois modos (TMC): altera a atribui¸c˜ao do modo de dois elementos em M. ´

E aceito X′

∈T M C(X) se, e somente se, F(X′

)≤F(X)∧X′

∈X, esta regra de aceita¸c˜ao difere das demais, pois aceita alternativas de igual qualidade, podendo resultar em um efeito ben´efico para o movimento.

A busca local é executada em paralelo. Uma vez que o ótimo local é atingido a melhor alternativa encontrada até então é atualizada e a busca continua com essa melhor alternativa conhecida. Através do paralelismo todos os núcleos ficam concentrados em uma única solu¸cão, dividindo-se somente na investiga¸cão das vizinhan¸cas.

3.6 Formula¸

c˜

oes de Programa¸

c˜

ao Inteira

Várias formula¸cões do RCPSP baseadas em MILP (Mixed Integer Linear Programming) são encontradas na literatura, porém as mesmas são capazes de resolver somente um conjunto bem restrito de instâncias.

(56)

P : conjunto de projetos;

J : conjunto de todas as atividades pertencentes a todos os projetos;

Mj : conjunto de modos pertencentes a cada atividade j ∈J;

K : conjunto de recursos n˜ao-renov´aveis;

R : conjunto de recursos renov´aveis;

T : horizonte de tempo m´aximo para todos os projetos;

Tj : horizonte de tempo para a atividadej ∈J, definido ap´os pr´e-processamento;

Tjm : horizonte de tempo para a atividadej ∈J ser executado no modom ∈Mj,

definido ap´os pr´e-processamento;

P red : rela¸c˜ao de precedˆencia entre a atividade predecessora j ∈ J e sucessora

l ∈J;

djm : dura¸c˜ao da atividade j ∈J executada no modo m ∈Mj;

qkjm : quantidade necessária do recurso não-renovávelk para executar a atividade

j ∈J no modo m;

qrjm : quantidade necess´aria do recurso renov´avelrpara executar a atividadej ∈J

no modo m;

q_kdisp : quantidade dispon´ıvel do recurso não-renovável k ∈ K, considerando a quantidade de recursos futuros necessários para concluir o projeto e a quan-tidade de recursos já consumidos por outras atividades que não pertencem ao conjunto de atividades do modelo;

qdisp

r : quantidade dispon´ıvel do recurso renov´avel r ∈ R, considerando a

quanti-dade de recursos j´a consumidos por outras ativiquanti-dades que n˜ao pertencem ao conjunto de atividades do modelo.

up : ´ultima atividade do projeto p.

A primeira formula¸cão para o problema foi proposta por Pritsker et al. (1969). Esta formula¸cão básica contém apenas um tipo de variável de decisão binária, xjt, indexada

(57)

s˜ao definidas de forma que xjt ´e igual a 1 se a atividade j termina no tempo t e 0 caso

contrário. Pritsker et al. (1969) propuseram a seguinte formula¸cão matemática:

Minimizar:

X

t∈T_up

t·xupt (3.1)

Sujeito a

X

t∈Tj

xjt = 1 ∀j ∈J (3.2)

X

t∈Tj

t·xjt ≤

X

t∈Tj

(t·xlt−dj) ∀(j, l)∈P red (3.3)

X

j∈J

min(t+dj−1,Tj)

X

h=max(t,Tj)

q_rj·x_jh ≤ qdisp_r ∀r ∈R, ∀t∈T (3.4)

xjt ∈ {0,1} ∀j ∈J,∀t ∈Tj (3.5)

A fun¸cão objetivo (3.1) minimiza o tempo da atividade artificial de término do pro-jeto. A equa¸cão (3.2) garante que cada atividade será executada apenas uma vez. É inclu´ıda a equa¸cão (3.3) para garantir as rela¸cões de precedência entre as atividades. A equa¸cão (3.4) garante a viabilidade de consumo dos recursos renováveis. Por fim a equa¸cão (3.5) especifica como binária as variáveis de decisão.

Kolisch e Sprecher (1996) propuseram uma abordagem baseada na ideia de Prits-ker et al. (1969), com um único tipo de variável de decisão binária. A diferen¸ca dessa abordagem é que, além de controlar o tempo de término, um ´ındice a mais foi acrescen-tado para controlar o modo em que cada atividade é executada. Por defini¸cão, xjmt é

igual a 1, se a atividade j executa no modo m e termina no tempo t e xjmt ´e igual 0,

caso contrário. Essa formula¸cão modela restri¸cões de recursos renováveis e recursos não renováveis. Kolisch e Sprecher (1996) propuseram a seguinte formula¸cão matemática:

Minimizar:

X

m∈Mj

X

t∈Tjm

(58)

Sujeito a

X

m∈Mj

X

t∈Tjm

xjmt = 1 ∀j ∈J (3.7)

X

m∈Ml

X

t∈Tjm

(t−dlm) ·xlmt ≥

X

m∈Mj

X

t∈Tjm

t·xjmt ∀(j, l)∈P red (3.8)

X

j∈J

X

m∈Mj qjmr

min(t+djm−1,T jm)

X

q=max(t,Tjm)

xjmq ≤ qrdisp ∀r ∈R,∀t∈T (3.9)

X

j∈J

X

m∈Mj qjmk

X

t∈Tjm

xjmt ≤ qkdisp ∀k ∈K (3.10) xjmt ∈ {0,1}

∀j ∈J,∀m∈Mj,

∀t ∈Tjm

(3.11) A fun¸cão objetivo (3.6) minimiza o tempo da atividade artificial de fim do projeto. A equa¸cão (3.7) garante que cada atividade será executada apenas uma vez. Para garantir as rela¸cões de precedência é incu´ıda a equa¸cão (3.8). As equa¸cões (3.9) e (3.10) garantem respectivamente a viabilidade de consumo dos recursos renováveis e não renováveis. Por fim a equa¸cão (3.11) especifica como binária as variáveis de decisão.

Kone et al. (2011) propuseram uma formula¸cão baseada em eventos denominada OOE (On/Off event-based). Esta formula¸cão utiliza apenas um tipo de variável binária por evento zje. Por defini¸cão, zje recebe 1 se a atividade j come¸ca no evento ou se

ele ainda est´a sendo processada imediatamente ap´os o evento e. Assim, zje permanece

igual a 1 no decorrer do tempo de execu¸cão da atividade j. Neste modelo o número de eventos é exatamente igual ao número de atividades n. Uma determinada variável cont´ınua te representa a data do eventoe, outra variável cont´ınua extraymax é utilizada

para representar o makespan. Através da formula¸cão OOE as restri¸cões de recursos são modelados de uma forma muito simples. Kone et al. (2011) propuseram a seguinte formula¸cão matemática:

Outro dado de entrada ´e necess´ario para o modelo:

ξ : conjunto de eventos.

Minimizar:

(59)

Sujeito a

X

e∈ξ

zje ≥ 1 ∀j ∈J(3.13) te+ (zje−zj,e−1)dj ≤ ymax ∀e∈ξ,∀j ∈J (3.14) t₀ = 0 (3.15)

te+1 ≥ te ∀e6=n−1∈ξ (3.16) te+ ((zje−zj,e−1)−(zjf −zj,f−1)−1)dj ≤ tf

∀(e, f, j)∈ξ2

×J, f > e

(3.17)

e(1−(zje−zj,e−1)) ≥ e−1

X

e′₌₀

zje′ ∀j ∈J,∀e∈ξ\ {0}(3.18)

(n−e) (1 + (zje−zj,e−1)) ≥ n−1

X

e′_=e

zje′ ∀j ∈J,∀e ∈ξ\ {0}(3.19)

1 + (1−z_je)e ≥ z_je+

e

X

e′₌₀ z_le′

∀e∈ξ,

∀(j, l)∈P red

(3.20)

n−1

X

j=0

q_jrz_je ≤ q_rdisp _∀_e_∈_ξ,_∀_r _∈_R(3.21)

Tj·zje ≤ te ∀e∈ξ,∀j ∈J (3.22) Tj(zje−zj,e−1) +

Tup(1−(zje−zj,e−1))

≥ te ∀e∈ξ,∀j ∈J (3.23) Tup ≤ ymax (3.24) ymax ≤ Tup (3.25) te ≥ 0 ∀e∈ξ (3.26) zje ∈ {0,1} ∀j ∈J,∀e∈ξ (3.27)

(60)

cada par de atividades e evento. As restri¸cões (3.21) garantem a viabilidade de recursos. As restri¸cões (3.22) e (3.25) restringem o tempo de in´ıcio de qualquer atividade j entre o seu tempo de in´ıcio mais cedo e o seu tempo de in´ıcio mais tarde. As restri¸cões (3.26) garantem que a data de todos os eventos será maior ou igual a 0. Por fim, a equa¸cão (3.27) especifica que as variáveis de decisão zje são binárias.

3.7 M´

etodos Heur´ısticos

Seis métodos heur´ısticos como referência para o RCPSP são apresentados em Kolisch e Hartmann (2005), os mesmos utilizam o conjunto de instância disponibilizados pela PSPLIB:

Alcaraz et al. (2004) desenvolveram um algoritmo genético com base na representa¸cão de lista de atividades. É utilizado um gene para a indica¸cão de qual SGS (Schedule

Ge-neration Scheme) ser´a utilizado, o SGS define a maneira em que a programa¸c˜ao das

ati-vidades será gerada. Um gene adicional indica qual dos métodos (forward oubackward) será utilizado para fazer o deslocamentos nos instantes de tempo das atividades conti-das na lista. O operador de crossover para listas de atividades se estende de tal forma que pode ser constru´ıda de forma bidirecional, combinando forward ebackward, ou seja, programa as atividades tanto para frente como para trás. Nessa abordagem aplica-se o FBI (Forward-Backward Improvement), método que será detalhado na se¸cão 5.3.

Debels et al. (2004) usaram abordagens baseadas em popula¸cão. É aplicada pesquisa de dispersão baseado na popula¸cão, uma variante dos algoritmos genéticos. Essa abor-dagem utiliza SGS em série e faz uso da representa¸cão topológica, que é a ordena¸cão dos nós de forma linear, aonde cada nó vem antes dos nós ligados aos seus arcos de sa´ıda. Foi definido um novo operador de recombina¸cão que consiste na combina¸cão linear das solu¸cões. Essa abordagem faz o uso do método FBI.

(61)

Kochetov e Stolyar (2003) elaboraram um algoritmo evolutivo que combina o algo-ritmo genético, reconexão de caminhos e busca tabu. As solu¸cões são evolu´ıdas esco-lhendo duas solu¸cões e construindo um caminho através das conexões entre as selecio-nadas. A melhor solu¸cão do caminho é escolhida e melhorada através da busca tabu. A melhor solu¸cão a partir da busca tabu é adicionada à popula¸cão e a pior solu¸cão é removida da popula¸cão.

Vallsa et al. (2005) introduziram vários esquemas baseados em popula¸cão não-padrão em um estudo que incide sobre o FBI. A popula¸cão não-padrão é a diferen¸ca na forma como os pais são selecionados para a reprodu¸cão e na quantidade de descendentes pro-duzidos por cada par de pais. O operador de mudan¸ca substitui posi¸cões aleatórias do primeiro progenitor com as posi¸cões correspondentes ao segundo progenitor.

Tormos e Lova (2001) aplicaram FBI para melhorar as programa¸cões constru´ıdas por metaheur´ısticas ou X-pass, heur´ıstica construtiva que combinam regras de prioridade e SGS para construir solu¸cões (Kolisch e Hartmann, 1998). Nesse procedimento as atividades são simplesmente deslocadas para a direita dentro da programa¸cão e, em seguida, para a esquerda, esse método produz excelentes resultados e pode ser combinado com quase qualquer outra abordagem.

(62)

(63)

Cap´ıtulo 4

Modelos de Programa¸

c˜

ao Inteira

Neste cap´ıtulo são apresentados modelos de Programa¸cão Inteira (PI) para o MMRCMPSP. Estes modelos auxiliam na descri¸cão do problema, uma vez que contemplam todas as restri¸cões contidas nas instâncias da competi¸cão MISTA.

A se¸cão 4.2 apresenta adapta¸cões para que os modelos de Kone et al. (2011) e Ko-lisch e Sprecher (1996) possam resolver instâncias do tipo MMRCMPSP de maneira a respeitar todas as restri¸cões impostas ao problema.

4.1 Dados de Entrada

Esta se¸cão contempla a descri¸cão dos conjuntos e dados de entrada que são comuns entre os modelos apresentados neste e nos cap´ıtulos seguintes.

P : conjunto de projetos;

J : conjunto de todas as atividades pertencentes a todos os projetos;

Mj : conjunto de modos pertencentes a cada atividade j;

Jp : conjunto de atividades pertencentes a cada projeto p;

C : conjunto de caminhos que come¸cam das atividades artificiais de in´ıcio at´e as atividades artificiais de t´ermino de cada projeto;

J_cC : conjunto de atividades pertencentes a cada caminho c;

(64)

36 Modelos de Programa¸c˜ao Inteira

K : conjunto de recursos n˜ao-renov´aveis;

R : conjunto de recursos renov´aveis;

T : horizonte de tempo m´aximo para todos os projetos;

Tjm : horizonte de tempo para a atividade j ser executado no modo m, definido

ap´os pr´e-processamento;

P red : conjunto de rela¸c˜ao de precedˆencia imediata entre duas atividades;

P redl : conjunto de predecessores imediatos da atividade l;

djm : dura¸c˜ao da atividade j executada no modo m;

qkjm : quantidade necess´aria do recursok para executar a atividade j no modo m;

qrjm : quantidade necess´aria do recursor para executar a atividadej no modo m;

q_kdisp : quantidade dispon´ıvel do recurso não-renovável k, considerando a quanti-dade de recursos futuros necessários para concluir o projeto e a quantiquanti-dade de recursos já consumidos por outras atividades que não pertencem ao con-junto de atividades do modelo;

qdisp

r : quantidade dispon´ıvel do recurso renov´avelr, considerando a quantidade de

recursos j´a consumidos por outras atividades que n˜ao pertencem ao conjunto de atividades do modelo.

4.2 Modelos Orientado a Eventos e Discreto no Tempo

Nesta se¸cão são apresentadas adapta¸cões para o modelo discreto no tempo proposto por Kolisch e Sprecher (1996) e para o modelo baseado em eventos proposto por Kone et al. (2011). Estas adapta¸cões são necessárias para que seja poss´ıvel resolver as instâncias do MMRCMPSP disponibilizadas pela MISTA2013. Os modelos originais estão dispon´ıveis na se¸cão 3.6.

No modelo proposto por Kolisch e Sprecher (1996) foi necessário acrescentar somente uma variável inteiraymax _{para indicar o maior tempo de término entre todos os projetos.}

(65)

Modelos de Programa¸c˜ao Inteira 37

modo miniciando no instante de tempo t e 0 caso contrário. Assim, as restri¸cões foram modificadas para trabalhar com o ´ındice t indicando o tempo de in´ıcio das aloca¸cões. O termo up representa a atividade final do projeto p, e os termos relp e lbp

represen-tam, respectivamente, o release date (menor tempo poss´ıvel de in´ıcio) e o lower bound

(distância do caminho cr´ıtico) de cada projeto. A fun¸cão objetivo (3.6) foi modificada para trabalhar no padrão proposto pela MISTA2013, o pesoω1 é definido como 100000.

O modelo adaptado ´e apresentado abaixo.

Minimizar:

ω1·

X

p∈P

X

t∈T_up0

xup0t· (t−relp−lbp) +ymax (4.1)

Sujeito a

y ≥ X

t∈T_up0

t·x_up0t ∀p∈P (4.2)

X

m∈Mj

X

t∈Tjm

xjmt = 1 ∀j ∈J (4.3)

X

m∈Mj

X

t∈Tjm

(t+dj,m) ·xjmt ≤

X

m∈Ml

X

t∈Tlm

t·xlmt ∀(j, l)∈P red (4.4)

X

j∈J

X

m∈Mj qjmr

t

X

q=(t−djm+1)

xjmq ≤ qrdisp ∀r ∈R,∀t∈T (4.5)

X

j∈J

X

m∈Mj

q_jmk X

t=Tjm

x_jmt ≤ q_kdisp _∀_k _∈_K (4.6)

xjmt ∈ {0,1}

∀j ∈J,∀m∈Mj,

∀t∈Tjm

(4.7) Um pré-processamento para indicar o menor e maior tempo poss´ıvel de in´ıcio de cada atividade foi executado conforme explicado nos parágrafos seguintes. Este pré-processamento é capaz de reduzir, de forma significativa, o número total de variáveis do modelo.

(66)

38 Modelos de Programa¸c˜ao Inteira

inferior do caminho cr´ıtico e umTPD obtido por qualquer outra heur´ıstica. Este maior tempo de in´ıcio pode ser limitado mais fortemente caso considere-se, além do limite superior do TPD, o caminho mais longo da atividade em questão até a atividade final, calculado sobre os modos mais rápidos.

No modelo proposto por Kone et al. (2011), foi necessário acrescentar dois novos conjuntos de variáveis. O primeiro conjunto é das variáveis binárias wjm e o outro,

das vari´aveis inteiras ymax_{. Al´em disso, um ´ındice} _m _{foi acrescentado ao conjunto de}

variáveis binárias zjme. Essas modifica¸cões são necessárias para controlar, além dos

eventos relacionados às atividades, os modos em que cada atividade pode ser executada e também o término dos projetos. Outra adapta¸cão é relacionar uma variável inteira

ymax _{para cada projeto existente nas instâncias. A fun¸cão objetivo (4.8) também foi}

modificada para trabalhar no padr˜ao proposto pela MISTA2013, o peso ω1 ´e definido

como 100000.

Com essas novas adapta¸cões foi necessário acrescentar algumas restri¸cões. A equa¸cão (4.10) garante a rela¸cão entre as variáveis we z. É necessária uma equa¸cão (4.11) para garantir que cada atividade seja alocada em apenas um modo. A equa¸cão 4.9 relaciona o término dos projetos ao makespan. Por fim, foi acrescentada a equa¸cão (4.21) para garantir a viabilidade dos recursos não-renováveis que não era contemplada no modelo original. As demais restri¸cões foram adaptadas para trabalhar com os modos. O modelo adaptado é apresentado abaixo.

A seguir são definidas as variáveis de decisão:

zjme : vari´avel bin´aria: 1 se a atividadej esta alocada no modo me pertence

ao eventoe, 0 caso contr´ario;

wjm : vari´avel bin´aria: 1 se a atividade j esta alocada no modo m, 0 caso

contr´ario;

te : vari´avel inteira: tempo referente ao evento e;

yp : vari´avel inteira: makespan referente a cada projeto p;

ymax _{: vari´avel inteira: maior instante de t´ermino entre os projetos} _p_; Minimizar:

ω₁· X

p∈P

(67)

Modelos de Programa¸c˜ao Inteira 39

Sujeito a

ymax ≥ yp ∀p∈P (4.9)

X

e∈E

zjme ≤ n·wjm ∀j ∈J, ∀m ∈Mj(4.10)

X

m∈Mj

wjm = 1 ∀j ∈J (4.11)

X

m∈Mj

X

e∈E

z_jme ≥ 1 ∀j ∈J (4.12)

te+

X

m∈Mj

((zjme−zjm,e−1)·djm) ≤ yp ∀p∈P,∀j ∈J,∀e∈E (4.13) t0 = 0 (4.14) t_e+1 ≥ te ∀e6=n−1∈E (4.15) te+

X

m∈Mj

(((zjme−zjm,e−1)−

(zjmf −zjm,f−1)−wjm)·djm)

≤ tf

∀j ∈J, ∀e∈E,

∀f ∈E, f > e

(4.16)

e· X

m∈Mj

(1−(zjme−zjm,e−1)) ≥

X

m∈Mj e−1

X

e′₌₀ zjme′

∀j ∈J,

∀e∈E\{0}

(4.17) (n−e)· X

m∈Mj

(1 + (zjme−zjm,e−1) ≥

X

m∈Mj n−1

X

e′_=e zjme′

∀j ∈J,

∀e∈E\{0}

(4.18)

X

m∈Mi zime+

e

X

e′₌₀

X

m∈Mj

zjme′ ≤ 1 + (1−

X

m∈Mi zime)e

∀(i, j)∈J,

∀e∈E

(4.19)

X

j∈J

X

m∈Mj

qrjm·zjme ≤ qrdisp ∀r∈Rj,∀e∈E (4.20)

X

j∈J

X

m∈Mj

qkjm·wjm ≤ qkdisp ∀k ∈Kj (4.21)

X

m∈Mj

(68)

(69)

Cap´ıtulo 5

Abordagem Proposta

O uso de Programa¸cão Inteira Mista (MIP) na produ¸cão de solu¸cões de boa qualidade com alta restri¸cão de tempo vem sendo uma crescente tendência em otimiza¸cão junta-mente com heur´ısticas (Martins et al., 2009; Santos et al., 2012; Uchoa et al., 2012), essa tendência é denominada Matheuristic (Maniezzo et al., 2010). Os modelos das se¸cões 5.1.2, 5.2.1, 5.3.2 fazem parte da nova abordagem proposta no presente trabalho e são baseados na abordagem de Kolisch e Sprecher (1996).

Um termo abrangente nesta área é a otimiza¸cão de subproblemas. Para gerar novas solu¸cões, ou mesmo acelerar a melhora de solu¸cões fact´ıveis, resolvedores trabalham em problemas menores que podem ser resolvidos rapidamente. Neste trabalho, a otimiza¸cão de subproblemas foi utilizada tanto na heur´ıstica construtiva quanto na de busca local. A heur´ıstica construtiva come¸ca a partir do zero e adiciona as atividades, uma a uma, até que uma programa¸cão fact´ıvel seja obtida. As atividades são programadas utilizando regras de prioridade, como as apresentadas na se¸cão 3.4.

A heur´ıstica de busca local, por outro lado, melhora uma programa¸cão fact´ıvel obtida pela heur´ıstica construtiva. As se¸cões seguintes detalham as heur´ısticas desenvolvidas neste trabalho. Na Figura 5.1 é apresentado um diagrama com os métodos que compõe a abordagem proposta neste trabalho.

(70)

42 Abordagem Proposta

Seleciona Conujunto de Modos

Modelo de Seleção de Modos

Heurística Construtiva

Modelo Construtivo

Heurística Híbrida de Busca Local

Instância

Conjunto de Modos

Solução Inicial

Solução Final

Figura 5.1: Composi¸c˜ao da abordagem