Lista 4.1 Derivadas Parciais

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Lista 4.1 – Derivadas Parciais

1. k f: D_f n a a₁, … ,a_k, … ,a_n f_xk a δf δx_k

Derivada parcial de 1ª ordem em ordem a x_k de uma função escalar num ponto a, interior do seu domínio (f_xk a ): 

Taxa de variação da função quando há um desvio infinitesimal na coordenada x  a partir do  ponto a.       a lim_{h 0} f a1… ,ak h, … ,an f a1, … ,ak, … ,an h   2. k f: D_f n a a₁, … ,a_k, … ,a_n fxk a δf δxk  

Derivada parcial lateral de 1ª ordem em ordem a x_k de uma função escalar num ponto a, interior do seu domínio (f_xk a e f_xk a ): 

Taxa  de  variação  da  função  quando  há  um  desvio  infinitesimal  positivo  ou  negativo  na  coordenada x  a partir do ponto a.       a lim_{h 0} f a1… ,ak h, … ,an f a1, … ,ak, … ,an h   f_xk a δf δxk a lim_{h 0} f a1… ,ak h, … ,an f a1, … ,ak, … ,an h   3. a1,a2 f: Df 2 f_x a₁,a₂ δf δx

Derivada parcial de 1ª ordem em ordem a x (y) de uma função de 2 em num ponto a₁,a₂ , interior do seu domínio: 

Taxa de variação da função quando há um desvio infinitesimal na coordenada x (y) a partir  do ponto  .     a₁,a₂ lim_{h 0} f a1 h,a2 f a1,a2 h   f_y a₁,a₂ δf δy a1,a2 limh 0 f a1,a2 h f a1,a2 h   4. k  

Derivada parcial de 1ª ordem em ordem a x_k de uma função vectorial num ponto a, interior do seu domínio: 

2 f: Df n m f x f₁ x , … ,f_m x a a₁, … ,a_k, … ,a_n fx_k a δf δxk       a   lim_{h 0} f1 a1… ,ak h, … ,an , … , fm a1… ,ak h, … ,an f1 a , … , fm a h   lim_{h 0} f1 a1… ,ak h, … ,an f1 a h , … , limh 0 fm a1… ,ak h, … ,an fm a h   5. j x_ix_j a i f: Df n a a1, … ,ak, … ,an fx_ix_j a δ2f δxiδxj  

Derivada parcial de 2ª ordem em ordem a xi e x de uma função escalar num

ponto a, interior do seu domínio (f ):

Taxa de variação da derivada parcial de 1ª ordem da função em ordem a x  quando há um  desvio infinitesimal na coordenada x_j a partir do ponto a.       a lim_{h 0} fxi a1… ,aj h, … ,an fxi a1, … ,ak, … ,an h   6. _{i1 i2 ip} x_i1px_i2…x_ip a p 1 _{i1 i2} x_{ip 1 ip} f: Df n a a1, … ,ak, … ,an f_xi1p_xi2…x_ip a δ f δx_i1δx_i2… δx_ip  

Derivada parcial de pª ordem em ordem a x , x ,... e x de uma função escalar num ponto a, interior do seu domínio (f ): 

Taxa de variação da derivada parcial de  ª ordem da função em ordem a x , x ,... e   quando há um desvio infinitesimal na coordenada x  a partir do ponto a.       p a lim_{h 0} f_xi1p 1_xi2…x_{ip 1} a1… ,aip h, … ,an fxi1xi2…xip 1 p 1 _a 1, … ,aip, … ,an h   7. n m a

Matriz Jacobiana de uma função de em num ponto a, interior do seu domínio (Jf ): 

3 f: Df n m f x₁, … ,x_n f₁ x₁, … ,x_n , … , f_m x₁, … ,x_n Jf a     f_1x 1 a f1x2 a … f1xn a f_2x 1 a f2x2 a … f2xn a … … … … f_mx 1 a fmx2 a … fmxn a   8. n n f: D_f n n f x₁, … ,x_n f₁ x₁, … ,x_n , … , f_n x₁, … ,x_n Jf a  

Jacobiano de uma função de em num ponto a, interior do seu domínio:  Determinante da matriz Jacobiana da função num ponto a, interior do seu domínio.      f_1x 1 a f1x2 a … f1xn a f_2x 1 a f2x2 a … f2xn a … … … … f_nx 1 a fnx2 a … fnxn a   9. f _a f: Df n Jf a f a fx₁ a fx₂ a … fx_n a 10. 2 _a 1,a2 f: D_f 2 Jf a1,a2 f a1,a2 fx a1,a2 fy a1,a2 11. f _a f: Df n

Vector gradiente de uma função escalar num ponto a, interior do seu domínio

( ):

Matriz  Jacobiana  da  função  no  ponto  a,  constituída  apenas  por  1  linha  e,  por  isso,  uma  matriz linha. 

Vector gradiente de uma função de em num ponto , interior do seu domínio: 

Matriz Hesseana de uma função escalar num ponto a, interior do seu domínio (H ):

Matriz  que  contém  todas  as  derivadas  de  2ª  ordem  da  função  no  ponto  a.  Cada  linha  é  preenchida  com  as  derivadas  de  1ª  ordem  em  ordem  às  diferentes  variáveis  de  cada  derivada de 1ª ordem da função e cada coluna é preenchida com as derivadas de 1ª ordem  das diferentes derivadas de 1ª ordem da função em ordem a cada variável. 

4 Hf a f_x1x1 a f_x1x2 a … f_x1xn a f_x2x1 a f_x2x2 a … f_x2xn a … … … … f_xnx1 a f_xnx2 a … f_xnxn a   12. 2 _a 1,a2 a₁,a₂ f: Df 2 Hf a fxx a fxy a fyx a fyy a   13.

Matriz Hesseana de uma função de em num ponto , interior do seu domínio: 

Matriz  que  contém  as  4  derivadas  de  2ª  ordem  da  função  no  ponto  .  Cada  linha  é  preenchida com as derivadas de 1ª ordem em ordem a x e a y de cada derivada de 1ª ordem  da  função  e  cada  coluna  é  preenchida  com  as  derivadas  de  1ª  ordem  das  derivadas  de  1ª  ordem da função em ordem a x e a y em ordem a cada variável.      Teorema de Schwarz:  Se:  2 f: Df   i a a1,a2 nt Df   f

ε 0: 0 x,y a₁,a₂ ε f_x x,y , f_y x,y , _xy x,y    é contínua em    fxy a1,a2 f_yx a₁,a₂ f_xy a₁,a₂ 14. Então:   

5 Produto:  f x .g x   _{f x .g x f x . g x}   Produto por uma constante:  k.f x   k.f x   Quociente:  f x g x   _{f x .g x f x .g x} g2 _x   Composta:  fog x   f g x . g x   Potência:  f x  k _{k. f x . f x}  k 1  Exponencial:  k f x ln k . f x .k f x   Logaritmo:  log_k f x f x ln k .f x  Módulo: |f x |  f x .sinal f x , se f x 0  Seno:  sen f x f x .cos f x