Colectânea de Problemas Análise e Síntese de Algoritmos

(1)

An´

alise e S´ıntese de Algoritmos

Jo˜ao Marques Silva

Departamento de Engenharia Inform´atica

Instituto Superior T´ecnico (IST)/INESC-ID

e-mail: joao.marques.silva@dei.ist.utl.pt

Vers~

ao Inicial: Junho 2003

(2)

ciplina Análise e S´ıntese de Algoritmos (ASA), desenvolvidos ao longo dos anos lectivos de 2000/2001, 2001/2002 e 2002/2003. Os objectivos do documento são por um lado organizar os problemas por tópicos leccionados e pelo grau de dificuldade que apresen-tam, e por outro disponibilizar aos alunos uma colectânea de problemas de apoio ao estudo de ASA.

(3)

Introdu¸c˜ao 1

Revis˜ao de Algoritmos e Estruturas de Dados 3

Problemas do Tipo 1 . . . 4 Problemas do Tipo 3 . . . 7

Algoritmos para Grafos & Programa¸c˜ao Linear 9

Problemas do Tipo 1 . . . 10 Problemas do Tipo 2 . . . 70 Problemas do Tipo 3 . . . 120

S´ıntese de Algoritmos & T´opicos Adicionais 126

Completude NP & Algoritmos de Aproxima¸c˜ao 179

(4)

(5)

Introdu¸

c˜

ao

A presente colectânea de problemas agrega exerc´ıcios de avalia¸cão dos testes e exames da disciplina Análise e S´ıntese de Algoritmos, ao longo dos anos lectivos de 2000/2001, 2001/2002 e 2002/2003. Os exerc´ıcios estão organizados em quatro partes principais, que representam as partes principais da matéria leccionada:

• Revis˜ao de Algoritmos e Estruturas de Dados Os t´opicos cobertos incluem:

– Nota¸c˜ao

– Estruturas de dados elementares – Algoritmos de procura e ordena¸c˜ao • Algoritmos para Grafos & Programa¸c˜ao Linear

Os t´opicos cobertos incluem: – Representa¸c˜ao de grafos

– Algoritmos elementares em grafos – ´Arvores abrangentes de menor custo – Caminhos mais curtos

– Fluxo m´aximo

– Fluxos de custo m´ınimo

– Programa¸c˜ao linear e algoritmo Simplex • S´ıntese de Algoritmos & T´opicos Adicionais

Os tópicos cobertos incluem: – Programa¸cão dinâmica – Algoritmos greedy – Análise amortizada

– Emparelhamento de cadeias de caracteres • Completude NP & Algoritmos de Aproxima¸c˜ao

Os t´opicos cobertos incluem: – Problemas NP completos – Algoritmos de aproxima¸c˜ao

A organiza¸cão em quatro partes principais, embora de alguma forma arbitrária, pretende reflectir a organiza¸cão da disciplina ao longo dos vários anos lectivos, e agregar partes relacionadas da matéria.

Além dos problemas estarem agregados em quatro partes principais, em cada parte os problemas estão organizados por grau de dificuldade. Optou-se por classificar cada problema num de três graus poss´ıveis de complexidade:

Tipo 1 Problemas de resolu¸c˜ao simples, que exigem apenas a aplica¸c˜ao dos conceitos leccionados.

Tipo 2 Problemas de m´edia dificuldade, que requerem normalmente conhecimentos apro-fundados dos t´opicos.

Tipo 3 Problemas de dificuldade elevada, que requerem conhecimentos aprofundados dos t´opicos, e normalmente alguma criatividade.

Relativamente às solu¸cões dos problemas propostos, para os problemas de escolha múltipla apresenta-se normalmente apenas a resposta pretendida e em alguns casos al-guns comentários adicionais. Para os restantes problemas apresenta-se normalmente um esbo¸co da solu¸cão pretendida, transmitindo as ideias principais e omitindo os de-talhes. Existe um conjunto reduzido de problemas adaptado do livro da disciplina [?]

(6)

(CLRS), para os quais não se apresenta qualquer solu¸cão (por sugestão dos autores do livro). O objectivo da não inclusão de resolu¸cões detalhadas é motivar os alunos para tentarem efectivamente a resolu¸cão dos problemas. No entanto, numa futura versão deste documento antevê-se a inclusão de respostas detalhadas para todos os problemas, com o intuito de servirem de apoio ao corpo docente da disciplina.

Agradecimentos

Quero agradecer a contribui¸cão dos docentes que ao longo dos anos lectivos de 2000/2001, 2001/2002 e 2002/2003 deram apoio na lecciona¸cão da disciplina de Análise e S´ıntese de Algoritmos: Francisco Moreira Couto (em 2000/2001), Lu´ıs Guerra e Silva (em 2001/2002) e Vasco Miguel Manquinho (em 2002/2003). Esta contribui¸cão reflecte-se na sugestão de alguns dos problemas, bem como na revisão dos enunciados.

(7)

Parte I.

Revis˜

ao de Algoritmos e Estruturas de Dados

(8)

Problemas do Tipo 1

(9)

I.1.1 Considere o seguinte vector de n´umeros inteiros: h8, 14, 7, 16, 10, 6, 5, 12, 11, 15, 9i

No algoritmo HeapSort, durante a execu¸cão da fun¸cão BuildHeap, indique qual o número de vezes que a fun¸cão Heapify (ou SiftDown) é invocada.

a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 f. 7 g. 8 h. 9 i. 0

Solu¸c˜ao: A resposta certa ´e a d.

(10)

I.1.2 Na execu¸cão do algoritmo BuildHeap indique qual o número m´ınimo de execu¸cões da opera¸cão SiftDown que são necessárias para transformar a tabela:

h10, 15, 11, 8, 3, 13, 12, 6, 1, 9, 2, 7, 5, 4i num amontoado. a. 2 b. 1 c. 4 d. 3 e. 6 f. 7 g. 5 h. 9 i. 8

(11)

Problemas do Tipo 3

(12)

I.3.1 Considere uma matriz A, com dimens˜ao (n × n), em que cada entrada aij apenas

pode tomar o valor 0 ou o valor 1, aij ∈ {0, 1}. Admita que as linhas e as colunas s˜ao

monotonicamente crescentes, aij ≤ aik, 1 ≤ j ≤ k ≤ n e aij ≤ akj, 1 ≤ i ≤ k ≤ n.

Proponha um algoritmo eficiente para contar o número de 0’s na matriz A, e analise a sua complexidade. Indique também o menor e o maior número de compara¸cões de valores que o algoritmo pode realizar.

Solu¸cão: Uma solu¸cão poss´ıvel é numa primeira fase come¸car com a posi¸cão (n, 1). Se o valor for 0, deslocar para a coluna 2 (e somar n ao total de 0’s). Se o valor for 1, deslocar para a linha n − 1. O objectivo desta primeira fase é encontrar a separa¸cão entre 0’s e 1’s. Numa segunda fase, o objectivo é deslocar a análise até à primeira linha ou até à última coluna, contando a cada passo o número de 0’s por coluna. Claramente, o tempo de execu¸cão do algoritmo é O(n) (apenas O(n) posi¸cões analisadas, cada uma em tempo constante). O menor número de compara¸cões é n (toda a matriz só com 0’s ou só com 1’s), e o maior é 2n.

(13)

Parte II.

Algoritmos para Grafos & Programa¸

c˜

ao Linear

(14)

Problemas do Tipo 1

(15)

II.1.1 Considere o grafo da figura seguinte. Admita que a DFS analisa os vértices por ordem lexicográfica. Após a execu¸cão da DFS, indique o valor da expressão:

d[d] + d[e] − f [c]

b

c

a

d

e

a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7 f. 8 g. 9 h. 10 i. 11

Solu¸c˜ao: A resposta certa ´e a e.

(16)

II.1.2 Na execu¸cão do algoritmo de Prim, seja κ[u] o valor da estimativa key[u] quando o vértice u é inclu´ıdo na MST, e seja σ[u] a ordem pela qual o vértice u é inclu´ıdo na MST (σ[a] = 1). Para o grafo da figura considere que o algoritmo é executado tendo o vértice a como vértice ra´ız. Nestas condi¸cões, indique qual o valor da expressão:

σ[d] + σ[f ] + σ[b] − (κ[d] + κ[f ] + κ[b])

b

e

g

a

d

i

c

f

h

7 5 3 4 1 3 2 2 3 4 5 ₁₃ 6 8 a. 8 b. 9 c. 10 d. 11 e. 12 f. 4 g. 5 h. 6 i. 7

Solu¸c˜ao: A resposta certa ´e a a.

(17)

II.1.3 Na execu¸cão do algoritmo de Dijkstra, seja δ(s, u), o peso do caminho mais curto de s para u. Seja d[u] = δ(s, u) o peso da estimativa do caminho mais curto de s para u quando o vértice u é extra´ıdo da fila de vértices, e seja σ[u] a ordem pela qual o vértice u é extra´ıdo da fila de vértices (com σ[s] = 1). Para o grafo da figura, considere a ≡ s e indique o valor da expressão:

σ[c] + σ[e] − (d[b] + d[e])

b

d

a

e

c

1 2 3 4 4 2 1 a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 f. 6 g. 7 h. 8 i. 9

Solu¸c˜ao: A resposta certa ´e a b.

(18)

II.1.4 Considere a aplica¸c˜ao do algoritmo de Floyd-Warshall. Para o grafo da figura seguinte, calcule o valor da express˜ao:

d(0)12 + d (4) 12 + d (5) 16

2

3

1

6

4

5

10 5 9 9 2 4 3 6 7 8 a. 4 b. 9 c. 14 d. 19 e. 24 f. 29 g. 34 h. 39 i. 44

Solu¸c˜ao: A resposta certa ´e a f.

(19)

II.1.5 Considere o processo de repesagem dos arcos no algoritmo de Johnson. Para o grafo da figura seguinte, calcule o valor da express˜ao:

X (u,v)∈E ˆ w(u, v)

b

c

a

f

d

e

5 -3 2 4 5 2 3 -2 -6 a. 6 b. 11 c. 16 d. 21 e. 26 f. 31 g. 36 h. 41 i. 46

i

c

_f

_h

2 3 5 4 2 3 1 3 4 4 3 1 2 2 5 3

Qual o custo de uma MST ? a. 12 b. 22 c. 24 d. 18 e. 17 f. 19 g. 14 h. 13 i. 23

(23)

II.1.9 Para o grafo da figura, no cálculo dos caminhos mais curtos a partir do vértice 1, quantas vezes é que o algoritmo de Dijkstra actualiza as chaves dos vértices, após a inicializa¸cão?

2

4

1

3

5

4 6 2 1 4 2 3 5 a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7 f. 8 g. 9 h. 10 i. 11

(24)

II.1.10 Considere o seguinte grafo dirigido:

b

c

a

d

e

Relativamente a este grafo, indique o n´umero total de arcos no fecho transitivo G = (V, E∗_). a. 10 b. 11 c. 12 d. 13 e. 14 f. 15 g. 16 h. 17 i. 18

Solu¸c˜ao: A resposta certa ´e a g.

(25)

II.1.11 Considere a rede de fluxo representada, com fonte em a e destino em f .

b

c

a

f

d

e

5 10 10 9 6 2 6 3

Indique o par de valores que representa, respectivamente, o número de caminhos de aumento que é necessário considerar na execu¸cão do algoritmo de Edmonds-Karp, e o valor do fluxo máximo.

a. h1, 10i b. h2, 10i c. h3, 10i d. h4, 10i e. h1, 11i f. h2, 11i g. h3, 11i h. h4, 11i i. h5, 11i

Solu¸c˜ao: A resposta certa ´e a c.

(26)

II.1.12 Relativamente ao grafo seguinte, considere a aplica¸cão do algoritmo de pré-fluxo genérico, e indique qual das afirma¸cões está correcta.

b

h=1,e=0

a

h=5,e=0

c

h=0,e=0

d

h=1,e=1 2/2 2/2 1/2 2/2 1/1

a. Podemos aplicar uma opera¸cão de Relabel ao vértice a. b. Podemos aplicar uma opera¸cão de Relabel ao vértice b. c. Podemos aplicar uma opera¸cão de Relabel ao vértice c. d. Podemos aplicar uma opera¸cão de Relabel ao vértice d.

e. Podemos aplicar uma opera¸cão de Push de a para b. f. Podemos aplicar uma opera¸cão de Push de a para d. g. Podemos aplicar uma opera¸cão de Push de b para c. h. Podemos aplicar uma opera¸cão de Push de b para d.

i. Não se pode executar qualquer opera¸cão de Push ou Relabel. Solu¸cão: A resposta certa é a d.

(27)

II.1.13 Considere o grafo n˜ao dirigido da figura seguinte. 3 3 3 1 1 1 4 4 4 4 4 2 2 2

Indique qual o custo de uma MST ? a. 23 b. 24 c. 20 d. 19 e. 17 f. 21 g. 22 h. 18 i. 25

(28)

II.1.14 Considere o seguinte grafo dirigido.

r

u

x

s

v

y

t

w

z

Após a aplica¸cão da BFS (a partir do vértice s), indique o valor da expressão seguinte (considere d[s] = 0): d[t] + d[v] + d[x] + d[y] + d[z] a. 12 b. 7 c. 14 d. 10 e. 8 f. 11 g. 13 h. 9 i. 6

Solu¸c˜ao: A resposta certa ´e a h.

(29)

II.1.15 Considere a rede de fluxo seguinte.

b

r

s

u

v

w

x

z

2 1 6 5 4 5 4 3 ₅

Na execu¸cão do algoritmo de Prim (tendo como ra´ız o vértice r) indique qual a sequência de vértices analizados.

a. hr, s, w, z, x, u, vi b. hr, w, x, s, z, v, ui c. hr, w, s, x, u, z, vi d. hr, w, z, u, v, x, si e. hr, w, s, u, x, v, zi f. hr, w, u, z, x, s, vi g. hr, s, x, w, v, z, ui h. hr, w, x, z, u, v, si i. hr, s, w, x, z, v, ui

Solu¸c˜ao: A resposta certa ´e c.

(36)

II.1.22 Para o grafo seguinte, indique qual o valor da MST?

r

v

s

t

u

3 4 3 5 4 4 2 2 a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9 f. 10 g. 11 h. 12 i. 13

(37)

II.1.23 Para o grafo seguinte, e ap´os o passo de repesagem do algoritmo de Johnson, indique o valor da express˜ao:

b w(a, c) + bw(b, d) + bw(c, e)

b

d

a

e

c

1 1 2 -3 -2 2 -1 a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 f. 6 g. 7 h. 8 i. 9

(38)

II.1.24 Considere o grafo da figura seguinte.

v

1

v

3

s

t

v

2 30 30 10 10 5 30 10

Seja c(i)f (u, v) a capacidade residual do arco (u, v) ap´os a itera¸c˜ao i do algoritmo de

Edmonds-Karp. Nesta situa¸c˜ao calcule o valor da express˜ao: c(1)f (v2, t) + c (2) f (s, v1) + c (3) f (s, v1) a. 50 b. 45 c. 40 d. 35 e. 30 f. 25 g. 20 h. 15 i. 10

Solu¸c˜ao: A resposta certa ´e a.

(39)

II.1.25 _{Para o grafo seguinte, qual o valor de b}w(b, d) ap´os a aplica¸c˜ao do Algoritmo de Johnson.

b

d

a

e

c

-1 1 2 -3 -2 2 -2 a. -4 b. -3 c. -2 d. -1 e. 0 f. 1 g. 2 h. 3 i. 4

(40)

II.1.26 Considere o grafo seguinte. Quais dos valores est˜ao correctos para o algoritmo de Floyd-Warshall?

2

1

3

4

1 3 4 -2 1 4 a. D(0)_3,2 = ∞, Π(0)_3,2 = N IL, D(3)_3,2= 2, Π(3)_3,2 = 4 b. D(0)3,2 = ∞, Π (0) 3,2 = N IL, D (3) 3,2= 2, Π (3) 3,2 = 1 c. D(0)3,2 = ∞, Π (0) 3,2 = N IL, D (4) 3,2= 2, Π (4) 3,2 = 4 d. D(0)3,2 = ∞, Π (0) 3,2 = N IL, D (4) 3,2= 2, Π (4) 3,2 = 1 e. D(0)3,2 = 1, Π (0) 3,2= 3, D (3) 3,2 = 1, Π (4) 3,2= 3 f. D(0)3,2 = 1, Π (0) 3,2= 3, D (3) 3,2 = ∞, Π (3) 3,2 = N IL g. D(0)3,2 = ∞, Π (0) 3,2 = N IL, D (4) 3,2= 1, Π (3) 3,2 = 3 h. D(0)_3,2 = ∞, Π(0)_3,2 = N IL, D(4)_3,2= ∞, Π(4)_3,2= N IL i. D(0)_1,3 = ∞, Π(0)_1,3 = N IL, D(4)_1,3= ∞, Π(4)_1,3= N IL

Solu¸c˜ao: A resposta certa ´e d.

(41)

II.1.27 Considere o grafo não dirigido representado na figura, no qual os pesos dos arcos a, b, c, d, e e f são desconhecidos e formam o tuplo P =< 2, 3, 4, 5, 6, 6 >. Identifique uma permuta¸cão de P que associada a < a, b, c, d, e, f > permita obter um grafo com o maior número poss´ıvel de árvores abrangentes de menor custo (MSTs). Qual é esse número ? f a b c d e 6 1 2 3 4 5 a. 1 b. 3 c. 5 d. 7 e. 2 f. 4 g. 6 h. 8 i. Superior a 8

(42)

II.1.28 Considere um grafo dirigido G = (V, E), cuja matriz de pesos ´e dada por: W =       0 3 8 ∞ −4 ∞ 0 ∞ 1 7 ∞ 4 0 ∞ ∞ 2 ∞ −5 0 ∞ ∞ ∞ ∞ 6 0      

Considere as matrizes D(k) _{resultantes de cada itera¸c˜ao do algoritmo de}

Floyd-Warshall. Qual das seguintes hip´oteses ´e verdadeira: a. D4,5(1)= ∞, D (2) 3,4= ∞, D (4) 2,4= ∞ b. D4,5(1)= −3, D (2) 3,4 = 2, D (4) 2,4 = 1 c. D4,5(1)= −1, D (2) 3,4 = 1, D (4) 2,4 = ∞ d. D4,5(1)= −2, D (2) 3,4 = 2, D (4) 2,4 = 1 e. D4,5(1)= −2, D (2) 3,4 = 5, D (4) 2,4 = 1 f. D4,5(1)= −1, D (2) 3,4 = 3, D (4) 2,4 = 2 g. D_4,5(1)= ∞, D(2)_3,4= 3, D(4)_2,4 = 2 h. D_4,5(1)= −3, D(2)_3,4 = 5, D_2,4(4)= 1

i. Nenhuma das anteriores Solu¸c˜ao: A resposta certa ´e a e.

(43)

k itera¸c˜oes do algoritmo de Edmonds-Karp, indique o valor da seguinte express˜ao:

c(1)_f (v3, v1)/2+c(1)f (v4, v2)+c (2) f (v3, v1)+c (2) f (v4, v2)−c (3) f (v2, v1)−c (3) f (v3, t)+c (3) f (s, v1) a. 10 b. 7 c. 20 d. 22 e. 16 f. 26 g. 15 h. 2

i. Nenhuma das anteriores Solu¸c˜ao: A resposta certa ´e a e.

(44)

II.1.30 Considere o grafo n˜ao dirigido da figura. 7 5 3 4 1 3 2 2 3 4 5 13 6 8

(45)

II.1.31 Considere o grafo dirigido apresentado.

u

v

w

x

y

z

Sejam d e f os tempos de descoberta e finaliza¸cão de um algoritmo de procura em profundidade (DFS) com origem em u e que percorre os vértices por ordem lexicográfica. Indique o valor da seguinte expressão:

d(u) + f (v) + d(w) + f (x) + d(y) + f (z) a. 24 b. 26 c. 28 d. 30 e. 32 f. 34 g. 36 h. 38 i. 40

(46)

II.1.32 Considere o grafo dirigido e pesado apresentado.

b

c

a

d

e

6 5 2 ₁ 1 2 3 -2

Considerando que δ(u, v) ´e o peso do caminho de menor peso de u para v, determine o valor da seguinte express˜ao:

δ(a, b) + δ(a, c) − δ(a, e) − δ(a, d) a. -4 b. -3 c. -2 d. -1 e. 0 f. 1 g. 2 h. 3 i. 4

(47)

II.1.33 Considere a rede de fluxo representada, com fonte em a e destino em f .

b

c

a

f

d

e

5 10 9 4 2 9 3 6

Sabendo que c(k)_f (u, v) é a capacidade residual entre os vértices u e v após k passos do algoritmo de Edmonds-Karp, determine o valor da seguinte expressão:

c(1)_f (b, a)/2 + c(1)_f (d, a) + c(2)_f (b, c) + c(3)_f (e, c) + c(4)_f (e, f ) a. 10 b. 11 c. 12 d. 13 e. 14 f. 15 g. 16 h. 17 i. 18

(48)

II.1.34 Considere o seguinte grafo n˜ao dirigido. 2 4 3 3 2 2 2 3 1 7 2 3 3 2 8 6 3

(49)

II.1.35 Considere o seguinte grafo dirigido.

u

v

w

t

x

y

z

r

Sejam d e f os tempos de descoberta e finaliza¸c˜ao de um algoritmo de procura em profundidade (DFS) com origem em r, indique o valor da seguinte express˜ao:

d(u) + f (v) + d(w) + f (x) + d(y) + f (z) + d(t) + f (r) a. 69 b. 71 c. 62 d. 53 e. 24 f. 45 g. 47 h. 49 i. 33

(50)

II.1.36 Considere o seguinte grafo dirigido e pesado.

b

a

c

d

6 -3 -2 -2 2 -1

Aplicando o Algoritmo de Johnson, indique o valor da seguinte express˜ao: b w(a, b) + bw(b, c) + bw(c, a) + bw(b, d) + bw(d, c) + bw(d, a) a. 15 b. 17 c. 1 d. 3 e. 9 f. 11 g. 13 h. 5 i. 7

(51)

II.1.37 Considere a rede de fluxo representada.

b

c

a

f

d

e

5 10 9 4 2 9 3 6

Sabendo que c(k)f (u, v) é a capacidade residual entre os vértices u e v após k passos de

uma implementa¸cão do Algoritmo de Ford-Fulkerson onde em cada passo é seleccionado o caminho mais longo, determine o valor da seguinte expressão:

c(1)f (b, a) + c (1) f (d, a) + c (2) f (b, c) + c (3) f (e, c) + c (4) f (e, f ) a. 14 b. 17 c. 18 d. 10 e. 13 f. 15 g. 16 h. 11 i. 12

(52)

II.1.38 Considere o corte ({a,b},{c,d}) do grafo apresentado, e para esse corte diga qual das afirma¸c˜oes est´a correcta:

b

a

c

d

1 5 2 3 4 4

a. o arco leve tˆem peso 3

4

2 2 5 1 1 4 a. D(0)_2,4 = 4, Π(0)_2,4= 2, D(4)_2,4 = 3, Π(4)_2,4= 2 b. D(0)2,4 = ∞, Π (0) 2,4 = ∞, D (4) 2,4 = 4, Π (4) 2,4= 3 c. D(0)2,4 = ∞, Π (0) 2,4 = ∞, D (4) 2,4 = 3, Π (4) 2,4= 2 d. D(0)2,4 = 4, Π (0) 2,4= 2, D (4) 2,4 = 3, Π (4) 2,4= 3

e. Nenhuma das respostas anteriores Solu¸c˜ao: A resposta certa ´e a d.

(59)

II.1.45 Para o grafo seguinte calcule o valor do fluxo m´aximo.

v

1

s

t

v

2 20 20 10 10 5 a. 15 b. 20 c. 25 d. 30

e. Nenhuma das respostas anteriores Solu¸c˜ao: A resposta certa ´e a c.

(60)

II.1.46 Em rela¸cão ao grafo da figura, indique qual das afirma¸cões seguintes está correcta.

b

a

c

d

a. O grafo n˜ao ´e bipartido.

b. O grafo é bipartido mas o conjunto L de vértices é vazio. c. O grafo é bipartido mas o conjunto R de vértices é vazio. d. O grafo é bipartido e L = {a, b} e R = {c, d}.

e. O grafo é bipartido e L = {a, c} e R = {b, d}. f. O grafo é bipartido e L = {a, d} e R = {b, c}. g. O grafo é bipartido e L = {a} e R = {b, c, d}. h. O grafo é bipartido e L = {b} e R = {a, c, d}. i. O grafo é bipartido e L = {c} e R = {a, b, d}. Solu¸cão: A resposta certa é a e.

(61)

II.1.47 Qual o valor do maximum bipartite macthing para o grafo da figura seguinte?

b

a

c

d

a. um b. dois c. trˆes d. quatro e. cinco f. seis g. sete h. oito i. nove

(62)

II.1.48 Qual das seguintes afirma¸cões está correcta, em rela¸cão ao seguinte grafo, considerando o algoritmo de preflow-push genérico.

b

h=1,e=0

a

h=5,e=0

c

h=0,e=0

d

h=0,e=3 2/2 2/2 1/2 0/2 1/1

a. Podemos executar um relabel ao vértice a. b. Podemos executar um relabel ao vértice b. c. Podemos executar um relabel ao vértice c. d. Podemos executar um relabel ao vértice d.

e. Podemos executar um push na seta de a para b. f. Podemos executar um push na seta de a para d. g. Podemos executar um push na seta de b para c. h. Podemos executar um push na seta de b para d.

i. Não se pode executar nenhuma opera¸cão. Solu¸cão: A resposta certa é a d.

(63)

II.1.49 Considere o grafo da figura seguinte:

b

a

c

d

2 2 -1 2 2 -2

Ap´os a aplica¸c˜ao do algoritmo de Johnson obtemos: a. bw(d, c) = 1 b. bw(d, c) = 2 c. bw(d, c) = 3 d. bw(d, c) = 4 e. bw(d, c) = −4 f. bw(d, c) = −3 g. bw(d, c) = −2 h. bw(d, c) = −1 i. bw(d, c) = 0

(64)

II.1.50 Considere o grafo da figura seguinte.

2

1

3

4

2 2 1 1 5 2

Na aplica¸c˜ao do algoritmo de Floyd-Warshall a este grafo, quais dos valores seguintes est˜ao correctos? a. D(0)_2,3 = 4, Π(0)_2,3= 1, D(4)_2,3 = 4, Π(4)_2,3= 1 b. D(0)_2,3 = 5, Π(0)_2,3= 2, D(4)_2,3 = 5, Π(4)_2,3= 2 c. D(0)2,3 = ∞, Π (0) 2,3 = ∞, D (4) 2,3 = 5, Π (4) 2,3= 2 d. D(0)2,3 = ∞, Π (0) 2,3 = ∞, D (4) 2,3 = 4, Π (4) 2,3= 1 e. D(0)2,3 = 4, Π (0) 2,3= 1 D (4) 2,3= 5, Π (4) 2,3 = 2 f. D(0)2,3 = 5, Π (0) 2,3= 2, D (4) 2,3 = 4, Π (4) 2,3= 1 g. D(0)2,3 = ∞, Π (0) 2,3 = 1, D (4) 2,3= 5, Π (4) 2,3 = 2 h. D(0)2,3 = 4, Π (0) 2,3= ∞, D (4) 2,3= 5, Π (4) 2,3 = 2 i. D(0)2,3 = ∞, Π (0) 2,3 = ∞, D (4) 2,3 = ∞, Π (4) 2,3 = ∞

(65)

II.1.51 Indique qual o valor do fluxo m´aximo para o grafo seguinte.

v

1

s

t

v

2 6 6 3 3 2 a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 f. 6 g. 7 h. 8 i. 9

Solu¸c˜ao: A resposta certa ´e h.

(66)

t

v

2 2/3 2/3 0/1 0/3 0/3 2/2 a. s → t b. s → v1→ t c. s → v2→ t d. s → v1→ v2→ t e. s → v2→ v1→ t f. s → v1→ s → t g. s → t → v2→ t h. s → v1→ v2→ v1→ t i. t → v1→ v2→ s

(69)

II.1.55 _{Para o grafo seguinte, qual o valor de b}w(c, d) ap´os a aplica¸c˜ao do Algoritmo de Johnson.

b

d

a

e

c

1 1 2 -3 -2 2 -1 a. -4 b. -3 c. -2 d. -1 e. 0 f. 1 g. 2 h. 3 i. 4

(70)

v

s

t

u

3 4 3 5 4 4 2 2 a. 10 b. 9 c. 8 d. 7 e. 6 f. 5 g. 4 h. 3 i. 2

(72)

II.1.58 Calcule a solu¸c˜ao do programa linear seguinte. max x1− 2x2+ x3 s.a. x1+ 2x2+ x3 ≤ 12 2x1+ x2− x3 ≤ 6 −x1+ 3x2 ≤ 9 x1, x2, x3 ≥ 0 a. 10 b. 12 c. 14 d. 16 e. 18 f. 20 g. 8 h. 6 i. 4

(73)

II.1.59 Calcule a solu¸c˜ao do programa linear seguinte. max −x1+ 2x2 s.a. 3x1+ 4x2 = 12 2x1− x2 ≤ 12 x1, x2 ≥ 0 a. 2 b. 4 c. 6 d. 8 f. 10 e. -2 g. 0 h. 7 i. 3

(74)

Problemas do Tipo 2

(75)

II.2.1 Considere os algoritmos de fluxo m´aximo baseados em preflow-push. Admita um grafo G = (V, E), com V = {s ≡ x0, x1, x2, x3, x4≡ t} e E = {(s, x1), (x1, x2), (x2, x3), (x3, t)}.

Admita tamb´em que c(s, x1) = 10, c(x1, x2) = 10, c(x2, x3) = 5, c(x3, t) = 10. Nesta

situa¸cão qual o maior número de opera¸cões de Relabel que é poss´ıvel obter (sem contar com a inicializa¸cão de s)? a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10 f. 11 g. 12 h. 13 i. 14

(76)

II.2.2 Considere uma DAG G = (V, E), N = |V |. Seja v ∈ V um v´ertice de G, e sejam tm(v) e tM(v) respectivamente o menor e o maior ind´ıce de v para todas as ordena¸c˜oes

topológicas de G, com 1 ≤ tm(v) ≤ tM(v) ≤ N . Nestas condi¸cões indique para o vértice

v qual o menor tempo de fim (f [v]) que ´e poss´ıvel obter para qualquer DFS realizada sobre G. a. 2 tM(v) + 2 b. 2 tm(v) + 2 c. 2 (N − tM(v)) + 2 d. 2 (N − tm(v)) + 2 e. tm(v) + tM(v) f. 2(tm(v) + tM(v)) + 2 g. (tM(v)+tm(v)) 2 h. N + (tM(v)−tm(v)) 2 i. N − (tm(v) + tM(v)) + 2

(77)

II.2.3 Relativamente à execu¸cão do algoritmo DFS num grafo G = (V, E), ligado, não dirigido, com n vértices, indique qual das frases seguintes está incorrecta.

a. O número de tempos de descoberta e de fim distintos é 2n. b. A floresta de DFS tem apenas uma árvore.

c. Um arco (u, v) é um arco para trás se d[u] ≥ d[v] e v tem cor cinzenta. d. A soma do número de arcos para a frente e de cruzamento é zero.

e. Existem vértices u e v, com (u, v) ∈ E, tal que [d[u], f [u]] ∩ [d[v], f [v]] = ∅. f. Para qualquer vértice folha u numa floresta da árvore de DFS verifica-se f [u] =

d[u] + 1

g. Para qualquer vértice interno u numa floresta da árvore de DFS não se verifica f [u] = d[u] + 1.

h. A complexidade ´e O(V + E). i. A complexidade ´e O(V2_{+ E}2_).

Solu¸c˜ao: A resposta certa (i.e. a frase incorrecta) ´e a e.

(78)

II.2.4 Indique qual das frases seguintes est´a incorrecta.

a. A remo¸cão de um arco de um grafo G = (V, E) não implica um aumento do número de SCCs.

b. Na execu¸cão da DFS, o número de tempos de in´ıcio e fim é 2 n, em que n representa o número de vértices, tanto para grafos dirigidos como para grafos não dirigidos. c. Num grafo não dirigido, a existência de mais do que uma MST implica existência

de arcos com o mesmo peso.

d. O número de passos de colapsagem de árvores no algoritmo de Boruvka é limitado superiormente em log n.

e. Existem grafos, com arcos com pesos negativos, para os quais a aplica¸c˜ao do algoritmo de Dijkstra produz o resultado correcto.

f. Após a aplica¸cão do algoritmo de Bellman-Ford, é poss´ıvel enumerar os arcos de um ciclo negativo em O(V + E).

g. Admitindo que V = O(E), e recorrendo a um amontoado bin´ario, o algoritmo de Dijkstra tem complexidade O(E log V ).

h. Se numa itera¸cão do algoritmo de Bellman-Ford nenhum valor d[v] é alterado, então o algoritmo pode retornar a indica¸cão da inexistência de ciclos negativos a partir do vértice fonte s.

i. Na execu¸cão de uma DFS num DAG, não podem existir vértices com arcos de entrada que apresentem tempos de fim superiores a vértices sem arcos de entrada. Solu¸cão: A resposta certa (i.e. a frase incorrecta) é a i.

(79)

II.2.5 Considere o problema da identifica¸c˜ao do fecho transitivo de um grafo. Admita um grafo G = (V, E), com v´ertices V = {v1, v2, . . . , vn} e arcos E = {(vi, vi+1), i =

1, . . . , n − 1}. Nestas condi¸cões, qual a varia¸cão no número de arcos após o cálculo do fecho transitivo? a. n (n − 1)/2 b. n (n − 1)/2 − 1 c. n (n − 1) d. n (n − 1) − 1 e. n2_{/2 − 3 n/2 + 1} f. n2_{/2 − n/2 − 1} g. 2 n h. 2 n − 2 i. 2 n + 2

(80)

II.2.6 Considere a aplica¸cão do algoritmo Relabel-To-Front para o cálculo do fluxo máximo. Admita uma rede de fluxo G = (V, E), com vértices V = {v1≡ s, v2, . . . , vn≡

t} e arcos E = {(vi, vi+1), i = 1, . . . , n − 1}, cada arco com capacidade c(vi, vi+1) =

n − i + 1, i = 1, . . . , n − 1. Nestas condi¸cões, após a execu¸cão do algoritmo Relabel-To-Front, qual a altura máxima para os vértices no conjunto V − {s, t}?

a. 2 n − 2 b. 2 n − 1 c. 2 n d. n − 2 f. n − 1 e. n + 1 g. n h. 1 i. 2

(81)

a. Após a execu¸cão do algoritmo de Floyd-Warshall, a existência de ciclos negativos pode ser determinada em O(n).

b. Na execu¸cão do algoritmo de Bellman-Ford, se o processo de relaxa¸cão dos arcos não altera a estimativa do peso do caminho mais curto de qualquer vértice, então o algoritmo pode terminar e retornar o valor TRUE.

c. Em qualquer algoritmo de pré-fluxo a altura máxima é não superior a 2 |V | − 1. d. Para qualquer algoritmo de pré-fluxo com complexidade assimptótica Ω(|N |3_{), o}

número de opera¸cões de Push não saturante é Ω(|N |3_).

e. Existem redes de fluxo para as quais o m´etodo de Ford-Fulkerson pode n˜ao ter-minar.

f. Na execu¸c˜ao do m´etodo de Ford-Fulkerson, qualquer arco (u, v) de qualquer ca-minho de aumento p verifica (u, v) ∈ E.

g. A complexidade do algoritmo de Edmonds-Karp ´e O(|V |5_).

h. O algoritmo de Floyd-Warshall permite identificar ciclos negativos.

i. Na execu¸cão de algoritmos de fluxo máximo baseados em caminhos de aumento, se todas as capacidades têm valor inteiro, então qualquer aumento de fluxo tem valor inteiro.

Solu¸c˜ao: A resposta certa (i.e. a frase incorrecta) ´e a f.

(82)

a. A complexidade assimpt´otica do algoritmo para o fluxo de custo m´ınimo baseado em cancelamento de ciclos ´e O(V · E2_{· U · C).}

b. Dado que o problema de programa¸cão linear é resolúvel em tempo polinomial, então o problema de fluxo de custo m´ınimo também é resolúvel em tempo polino-mial.

c. Dado um qualquer programa linear, o algoritmo Simplex termina, e retorna a solu¸cão correcta ou uma indica¸cão de que o programa linear não é exequ´ıvel ou de que não tem solu¸cão limitada.

d. Sendo z a solu¸c˜ao do programa linear primal, e sendo w a solu¸c˜ao do problema linear dual, verifica-se que z ≤ w.

e. Dado que o problema de fluxo máximo é resolúvel em tempo polinomial e dado que o problema de fluxo máximo é redut´ıvel em tempo polinomial ao problema de fluxo de custo m´ınimo, então o problema de fluxo de custo m´ınimo é resolúvel em tempo polinomial.

f. A redu¸cão de um programa linear para a forma slack tem complexidade polinomial no número de variáveis e de restri¸cões do problema original.

g. No algoritmo para o fluxo de custo m´ınimo baseado em cancelamento de ciclos n˜ao ´e poss´ıvel utilizar o algoritmo de Dijkstra.

(83)

II.2.9 Relativamente à execu¸cão do algoritmo DFS num grafo G = (V, E), ligado, dirigido, com n vértices e m arcos, indique qual das frases seguintes está incorrecta.

a. O valor n representa um limite superior no número de arcos da floresta de DFS. b. O valor n representa um limite superior no número de árvores na floresta de DFS.

c. O valor n − 1 representa um limite superior no n´umero de arcos de cruzamento. d. Podem existir v´ertices u, com arcos de entrada e arcos de sa´ıda, tais que f [u] =

d[u] + 1.

e. Podem existir v´ertices u e v, com (u, v) ∈ E, tal que [d[u], f [u]] ∩ [d[v], f [v]] = ∅. f. Para cada v´ertice v, os valores poss´ıveis para os tempos de descoberta d[v] e de

fim f [v] variam entre 1 e 2n.

g. A soma do número de vértices brancos, cinzentos e pretos é constante.

h. É poss´ıvel identificar um arco para trás (u, v) tal que [d[u], f [u]] ∩ [d[v], f [v]] 6= ∅. i. O número de valores distintos de d[u] na DFS é não inferior ao número de valores distintos de d[u] na BFS, executada no mesmo grafo e relativa a um qualquer vértice inicial s.

Solu¸c˜ao: A resposta certa (i.e. a frase incorrecta) ´e a c.

(84)

II.2.10 Num grafo G = (V, E), não dirigido, ligado, o maior número de arcos para trás (back-edges) que é poss´ıvel obter após a aplica¸cão da DFS é:

a. n b. n(n−1)₂ c. 2n − 1 d. n(n+1)₂ e. (n−1)(n−2)₂ f. 2n₋₁ n−2 g. n − 1 h. 2n−1 i. 2n

(85)

II.2.11 Indique qual das seguintes frases está incorrecta. a. O número de SCCs num grafo G = (V, E), dirigido, é O(V ).

b. A complexidade de listar os elementos ligados de um grafo G = (V, E) n˜ao dirigido ´e O(V + E).

c. A complexidade para identificar SCCs num grafo G = (V, E), dirigido, ´e O((V + E) log V ).

d. A existência de múltiplas MSTs implica a existência de múltiplas ocorrências de pelo menos um valor de peso dos arcos.

e. Em grafos dirigidos, o número de ordena¸cões topológicas no pior caso é Ω(2V_).

f. Num grafo G = (V, E), dirigido, ac´ıclico, a existência de 1 única ordena¸cão to-pológica hv1, . . . , vki implica a existência de um único caminho entre v1 e vk em

G.

g. A complexidade para identificar SCCs num grafo G = (V, E), dirigido, no pior caso ´e Ω(V + E).

h. A complexidade do algoritmo de Kruskal ´e O((V + E) log V ), quando baseado na utiliza¸c˜ao de um amontoado.

i. O número de opera¸cões de colapsagem de árvores no algoritmo de Boruvka é O(log V ).

(86)

a. 4002. b. 4000. c. 2001. d. 2000. e. 1001. f. 1000. g. 999. h. 501. i. 500.

(87)

a. Para redes de fluxo em que as capacidades apresentam valores racionais, qualquer implementa¸c˜ao do algoritmo de Ford-Fulkerson termina em tempo finito e calcula o valor correcto.

b. Entre todas as implementa¸cões poss´ıveis do método de Ford-Fulkerson, e para qualquer rede de fluxo, o algoritmo de Edmonds-Karp requer o menor número de caminhos de aumento.

c. Existem redes de fluxo para as quais algumas implementa¸cões do método de Ford-Fulkerson não terminam.

d. A aplica¸cão do algoritmo de Edmonds-Karp assegura que o comprimento (no número de arcos) dos caminhos de aumento é monotonicamente crescente, ten-do como valores poss´ıveis o conjunto {1, . . . , |V | − 1}.

e. O número de caminhos de aumento na execu¸cão do algoritmos de Edmonds-Karp é O(V E).

f. Após a execu¸cão do algoritmo de Floyd-Warshall, a complexidade assimptótica adicional para identificar a existência de ciclos negativos é O(V ).

g. Na execu¸cão do algoritmo de Bellman-Ford, a complexidade assimptótica para identificar a existência de ciclos negativos é O(E).

h. Para grafos com ciclos negativos, as complexidades assimpt´oticas do algoritmo de Johnson e do algoritmo de Bellman-Ford s˜ao iguais.

i. Num grafo dirigido ac´ıclico ´e poss´ıvel encontrar os caminho mais curtos entre todos os pares de v´ertices em O(V (V + E)).

Solu¸c˜ao: A resposta certa (i.e. a frase incorrecta) ´e a b.

(88)

II.2.14 Indique qual a menor complexidade de um algoritmo eficiente para identificar um corte m´ınimo de uma rede de fluxo G = (V, E), após a execu¸cão de um algoritmo para cálculo do fluxo máximo.

a. V . b. E. c. E log V . d. E log E. e. V E. f. V E2_. g. V2_E. h. 2V_. i. 2E_.

(89)

a. Na aplica¸cão do algoritmo de Edmonds-Karp, o número de aumentos de fluxo é O(V E).

b. Para grafos onde E = O(V ), a complexidade assimptótica do algoritmo genérico de pré-fluxo não é menor do que a complexidade assimptótica do algoritmo de Edmonds-Karp.

c. A complexidade assimptótica do algoritmo Relabel-To-Front é inferior à do algo-ritmo de pré-fluxo genérico porque o número de opera¸cões de Push não saturante é menor.

d. Na aplica¸cão do algoritmo de pré-fluxo genérico a altura máxima de um vértice não excede 2|V | − 1.

e. Na aplica¸cão do algoritmo de pré-fluxo genérico, o número total de actualiza¸cões das alturas é menor do que 2|V |2_.

f. É poss´ıvel reduzir a complexidade assimptótica do algoritmo genérico de pré-fluxo através da redu¸cão do número de opera¸cões de Push saturante.

g. Para redes de fluxo com capacidades não necessariamente racionais, e por escolha adequada dos caminhos de aumento, é poss´ıvel o algoritmo de Ford-Fukerson não terminar, e ficar a uma distância arbitrariamente pequena de um valor de fluxo incorrecto.

h. A complexidade assimptótica do algoritmo de Ford-Fulkerson, para o cálculo do emparelhamento bipartido máximo, é menor do que a complexidade assimpótica do algoritmo de pré-fluxos genérico para redes de fluxo arbitrárias.

i. A complexidade assimptótica do algoritmo de Ford-Fulkerson, para o cálculo do emparelhamento bipartido máximo, é menor do que a complexidade assimpótica do algoritmo de Edmonds-Karp para redes de fluxo arbitrárias.

(90)

II.2.16 Relativamente aos problemas de caminhos mais curtos em grafos, para um grafo G = (V, E), com n = |V | e m = |E|, indique qual das seguintes frases est´a incorrecta.

a. Na aplica¸cão do algoritmo de Bellman-Ford, o número de relaxa¸cões é O(n m). b. No algoritmo de Johnson, a execu¸cão do processo de repesagem é opcional sempre

que todos os arcos tenham peso n˜ao negativo.

c. No algoritmo de Johnson, e ap´os a repesagem dos arcos, podem existir arcos com peso igual a 0.

d. No cálculo do fecho transitivo, o número de arcos adicionados é O(n2_).

e. No algoritmo de Johnson, um limite superior no valor absoluto da maior actuali-za¸c˜ao de pesos ´e max(u,v)∈E{|w(u, v)|}.

f. Na execu¸cão do algoritmo de Floyd-Warshall, a ordem pela qual os vértices são considerados pode ser qualquer, utilizando para tal uma adequada permuta¸cão dos vértices.

g. Após a aplica¸cão do algoritmo de Floyd-Warshall, a complexidade para encontrar ciclos negativos é O(n).

h. Para o problema dos caminhos mais curtos com fonte única num DAG, o número de relaxa¸cões é O(n + m).

i. É poss´ıvel encontrar o fecho transitivo de um DAG em O(n m). Solu¸cão: A resposta certa (i.e. a frase incorrecta) é a f.

(91)

II.2.17 Considere um grafo G = (V, E), dirigido, com as seguintes caracter´ısticas: • O conjunto de v´ertices ´e V = {s, x1, . . . , xn}.

• Existe um arco de s para qualquer outro v´ertice de G, i.e. (s, xi) ∈ E, 1 ≤ i ≤ n .

• Existe um arco entre os v´ertices xi e xi+1, i.e. (xi, xi+1) ∈ E, 1 ≤ i ≤ n − 1.

Nestas condi¸cões, qual o número de árvores de DFS distintas, com ra´ız s, que é poss´ıvel construir? a. 2n−1 b. n2 2 c. n + 1 d. 2n e. n f. 2n+1_{− 1} g. n(n−1)₂ + 1 h. n − 1 i. n(n+1)₂ − 1

Solu¸c˜ao: A resposta correcta ´e a a.

(92)

II.2.18 Indique qual o menor limite superior na complexidade assimptótica do algorit-mo de Edalgorit-monds-Karp para redes de fluxo onde todos os arcos têm capacidade unitária. (Admita que V = O(E).)

a. E2 b. V2_E c. V E d. V E2 e. V2 f. E log E g. E log V h. E i. V2 _{log V}

(93)

II.2.19 Considere uma rede de fluxo G = (V, E), com vértice fonte s e vértice destino t, e com a seguinte organiza¸cão:

• Os vértices estão organizados por n´ıveis. • O vértice s está colocado no n´ıvel 0. • O vértice t está colocado no n´ıvel j + 1.

• Em cada n´ıvel i, 1 ≤ i ≤ j, est˜ao colocados 2i _v´ertices.

• Cada vértice u colocado no n´ıvel i, 0 ≤ i ≤ j, apenas tem arcos para 2 vértices no n´ıvel i + 1, com 0 ≤ i ≤ j − 1, e tal que dois vértices u e v no n´ıvel i estão ligados a vértices distintos no n´ıvel i + 1. Todos os vértices no n´ıvel j têm um único arco para o vértice t.

• A capacidade de cada arco (u, v) ∈ E, com u no n´ıvel i e v no n´ıvel i+1, 0 ≤ i ≤ j, ´e dada por 22(j−i)−1.

Nestas condi¸cões, qual o valor do somatório das alturas de todos os vértices após a execu¸cão do algoritmo de pré-fluxos genérico?

Sugest˜ao: Observe quePn_i=02i_{= 2}n+1_{− 1.}

a. (2j_{+ j/2)} b. (j + 1)(2j+1_{+ j/2)} c. (2j+2_{+ j/2 + 2)} d. j(j+1)₂ e. j₂2 f. j (2j_{+ j/2)} g. (2j+1_{+ j/2 + 1)} h. j(j−1)₂ i. (j + 2) (2j+2_{+ j/2)}

Solu¸c˜ao: A resposta correcta ´e a b.

(94)

II.2.20 Indique qual das seguintes frases est´a incorrecta.

a. É poss´ıvel identificar os caminhos mais curtos no número de arcos, entre um vértice fonte e todos os restantes vértices de um grafo, em O(V + E).

b. Num grafo dirigido ac´ıclico n˜ao ´e poss´ıvel listar todos os caminhos em tempo polinomial em V e E.

c. Num grafo dirigido, o algoritmo de Dijkstra garante a correcta identifica¸cão dos caminhos mais curtos, de um vértice fonte s para todos os outros vértices, apenas se os pesos dos arcos forem não negativos.

d. A complexidade assimptótica do algoritmo de Bellman-Ford no melhor caso é sempre maior do que a complexidade assimptótica do algoritmo de Dijkstra no pior caso.

e. Para grafos esparsos, a complexidade assimptótica do algoritmo de Johnson é inferior à complexidade assimptótica do algoritmo de Floyd-Warshall.

f. O algoritmo de Floyd-Warshall pode ser executado em grafos contendo arcos com peso negativo e com ciclos negativos.

g. Na execu¸cão do método de Ford-Fulkerson, com capacidades de valores racionais, o número de caminhos de aumento é sempre finito.

h. Na execu¸cão do algoritmo de Edmonds-Karp o número de caminhos de aumento é sempre finito, e limitado assimptoticamente por O(V E).

i. A complexidade assimptótica do algoritmo de pré-fluxo genérico no pior caso é sempre menor do que a complexidade assimptótica do algoritmo de Edmonds-Karp no melhor caso.

Solu¸c˜ao: A resposta certa (i.e. a frase incorrecta) ´e a i.

(95)

II.2.21 Indique qual a menor complexidade assimptótica de um algoritmo para calcular o número de caminhos mais curtos entre um par de vértices (i, j) após a aplica¸cão do algoritmo de Floyd-Warshall. (Considere que n representa o número de vértices.)

a. n3_{log n} b. n log n c. n2log n d. n2 e. 1 f. 2n g. n3 h. n! i. n

(96)

II.2.22 Considere um grafo dirigido, G = (V, E), com n2 _{v´ertices, em que os v´ertices}

se encontram organizados por linhas e colunas (n linhas e n colunas). Um v´ertice na posi¸c˜ao (i, j), vij, tem os seguintes arcos:

• Um arco para o v´ertice na posi¸c˜ao (i + 1, j + 1), desde que 1 ≤ i ≤ n − 1, 1 ≤ j ≤ n − 1.

• Um arco para o vértice na posi¸cão (i, j + 1), desde que 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n − 1. • Um arco para o vértice na posi¸cão (i + 1, j), desde que 1 ≤ i ≤ n − 1, 1 ≤ j ≤ n. Finalmente, existem M n2 _{arcos de vértices em posi¸cões (i, j) para vértices em posi¸cões}

(k, l), com i < k, j < l, e com M constante. Cada arco do grafo entre as posi¸c˜oes (i, j) e (k, l), i.e. (vij, vkl), tem um peso ω(vij, vkl).

Nestas condi¸cões, indique qual a menor complexidade assimptótica para encontrar o caminho mais curto entre os vértices nas posi¸cões (1, 1) e (n, n).

a. n2_{log n} b. n log n c. 2n d. n3_{log n} e. n2 f. n g. n4 h. n4_{log n} i. n3

(97)

II.2.23 Indique qual das frases seguintes ´e incorrecta.

a. A complexidade assimptótica (no pior caso) do algoritmo de Floyd-Warshall é independente da existência de ciclos negativos.

b. Para grafos densos o algoritmo de Bellman-Ford tem a mesma complexidade as-simpt´otica que o algoritmo de Floyd-Warshall.

c. Para grafos densos o algoritmo de Dijkstra tem a mesma complexidade assimpt´otica que o algoritmo de Bellman-Ford.

d. No algoritmo de pré-fluxos o número de opera¸cões de Relabel é O(V2_).

e. No algoritmo de pré-fluxos a complexidade da opera¸cão de Push é O(1). f. No algoritmo de pré-fluxos a complexidade da opera¸cão de Relabel é Ω(V ). g. A complexidade assimptótica do algoritmo de Bellman-Ford no melhor caso é

sempre maior do que a complexidade assimpt´otica do algoritmo de Dijkstra no pior caso.

h. Na execu¸cão do algoritmo de Edmonds-Karp o número de caminhos de aumento é sempre finito, e limitado assimptóticamente por O(V E).

i. Na execu¸cão do método de Ford-Fulkerson, com capacidades de valores racionais, o número de caminhos de aumento é sempre finito.

Solu¸c˜ao: A resposta certa (i.e. a frase incorrecta) ´e a c.

(98)

II.2.24 Indique a menor complexidade assimptótica para identificar a existência de ciclos negativos, at´ıngiveis a partir de um qualquer vértice, em grafos dirigidos e pesados.

a. V + E. b. V log V . c. E log E. d. E log V . e. V E. f. V E log V . g. V E log E. h. V2 _{log V .} i. V2 _{log E.}

(99)

II.2.25 Indique qual a menor complexidade assimpt´otica de um algoritmo eficiente para resolver o problema dos caminhos mais curtos entre todos os pares de v´ertices num grafo dirigido ac´ıclico. (Admita E = Ω(V ).)

a. V + E. b. V log V . c. E log E. d. E log V . e. V E. f. V E log V . g. V E log E. h. V2 _{log V .} i. V2 _{log E.}

(100)

II.2.26 Considere um grafo dirigido G = (V, E), com n v´ertices, em que V = {v1, v2, . . . , vn}

e E = {(vi, vi+1), i = 1, . . . , n − 1} ∪ {(vn, v1)}. Ap´os a execu¸c˜ao de um algoritmo para

identifica¸c˜ao do fecho transitivo G∗_{= (V, E}∗_{), indique qual o valor de |E}∗_{− E|, isto ´e}

o n´umero de arcos adicionais criados pela execu¸c˜ao do algoritmo. a. 2n − 1. b. 2n. c. 2n + 1. d. n2_{− 2n + 1.} e. n2_{− n + 1.} f. n2_{− n.} g. n2_{− 2n.} h. 2n_{− n + 1.} i. 2n_{− 2n + 1.}

(101)

II.2.27 Considere o algoritmo genérico de pré-fluxo (push-relabel) para cálculo do fluxo máximo. O tuplo hmR, mP, MR, MPi representa respectivamente:

• o menor n´umero de opera¸c˜oes de relabel, mR.

• o menor n´umero de opera¸c˜oes de push, mP.

• o maior n´umero de opera¸c˜oes de relabel, MR.

• o maior n´umero de opera¸c˜oes de push, MP.

realizadas durante a execu¸cão do algoritmo, e após a inicializa¸cão. Para o grafo da figura, indique qual o tuplo hmR, mP, MR, MPi com os valores correctos.

b

a

d

c

10 1 10 10 10 a. h1, 3, 3, 5i. b. h2, 4, 3, 5i. c. h1, 3, 3, 5i. d. h2, 2, 3, 5i. e. h2, 4, 4, 6i. f. h3, 5, 4, 6i. g. h3, 4, 4, 8i. h. h3, 5, 5, 8i. i. h3, 4, 5, 8i.

(102)

II.2.28 Considere o algoritmo de Boruvka para o cálculo da árvore abrangente de menor custo, o qual mantém uma floresta de sub-árvores da MST. Admita um grafo G = (V, E) com n = |V |, n > 1, vértices e m = |E|, m > 1, arcos. Indique o menor número de itera¸cões (de colapsagem de sub-árvores) que é poss´ıvel obter na execu¸cão deste algoritmo. a. 0 b. 1 c. 2 d. log log n e. log log m f. log n g. log m h. n i. m

(103)

II.2.29 Seja G = (V, E) um grafo dirigido, com fun¸cão de pesos w : E → R, o qual não contém ciclos negativos. Considere o processo de repesagem utilizado no algoritmo de Johnson. Qual dos seguintes valores define o maior aumento nos valores dos pesos após a repesagem?

a. O menor peso entre todos os arcos de E. b. O maior peso entre todos os arcos de E.

c. O menor valor absoluto entre os pesos de todos os arcos de E. d. O maior valor absoluto entre os pesos de todos os arcos de E.

e. O menor peso de um caminho mais curto entre quaisquer dois pares de v´ertices de G.

f. O maior peso de um caminho mais curto entre quaisquer dois pares de v´ertices de G.

g. O menor valor absoluto do peso de um caminho mais curto entre quaisquer dois pares de v´ertices de G.

h. A diferen¸ca entre o maior e o menor valor de pesos em G. i. A soma de todos os pesos negativos.

(104)

II.2.30 Relativamente ao problema de cálculo do fluxo máximo indique qual das afir-ma¸cões seguintes é falsa.

a. Para redes de fluxo com capacidades inteiras, o algoritmo de Ford-Fulkerson apre-senta uma complexidade assimpt´otica em Ω(E|f∗_{|), em que |f}∗_{| ´e o valor do fluxo}

m´aximo.

b. Existem redes de fluxo para as quais o algoritmo de Ford-Fulkerson demora tempo infinito.

c. Existem redes de fluxo para as quais o algoritmo de Ford-Fulkerson tem um tempo de execu¸c˜ao em Ω(V ).

d. O número de caminhos de aumento na execu¸cão do algoritmo de Edmonds-Karp é O(V E).

e. O número de opera¸cões de Push denominadas saturating é O(V E).

f. No algoritmo Relabel-To-Front, o número de opera¸cões de Push denominadas non-saturatingé Ω(V2_E).

g. O número de opera¸cões de Relabel é O(V2_).

h. A complexidade da opera¸cão de Push é O(1). i. A complexidade da opera¸cão de Relabel é Ω(V ). Solu¸cão: A resposta certa (i.e. a frase incorrecta) é a f.

(105)

II.2.31 O par de valores hmaxbe, maxf ei representa respectivamente o n´umero m´aximo

de arcos para trás (back edges) e o número de máximo arcos para diante (forward edges) que é poss´ıvel identificar em quaisquer grafos G = (V, E) por aplica¸cão da DFS. (Obser-ve que os valores máximos para os dois tipos de arcos são obtidos para grafos diferentes.) Nesta situa¸cão, indique quais as expressões para o par de valores hmaxbe, maxf ei.

(Ad-mita que |V | = n, e que não existem arcos de um vértice para ele próprio.) a. hn(n+1)₂ ,n(n−1)₂ − ni. b. hn(n−1)₂ ,n(n−1)₂ − ni. c. hn(n+1)₂ ,n(n+1)₂ i. d. hn(n−1)₂ ,n(n−1)₂ i. e. hn(n−1)₂ − n,n(n−1)₂ − ni. f. hn − 1, n − 1i. g. hn, ni. h. hn(n+1)₂ ,n(n−1)₂ − n + 1i. i. hn(n−1)₂ ,n(n−1)₂ − n + 1i.

(106)

II.2.32 Considere os diferentes algoritmos para cálculo dos caminhos mais curtos em grafos dirigidos. Indique qual das seguintes afirma¸cões é falsa.

a. Para assegurar a correçcão do algoritmo de Dijkstra, é necessário os pesos dos arcos serem não negativos.

b. Para grafos densos o algoritmo de Johnson tem a complexidade assimpt´otica do algoritmo de Floyd-Warshall.

c. A complexidade assimptótica (no pior caso) do algoritmo de Floyd-Warshall é independente da existência de ciclos negativos.

d. Para grafos densos o algoritmo de Bellman-Ford tem a mesma complexidade as-simpt´otica que o algoritmo de Floyd-Warshall.

e. Para grafos densos o algoritmo de Dijkstra tem a mesma complexidade assimpt´otica que o algoritmo de Bellman-Ford.

f. No processo de repesagem do algoritmo de Johnson a varia¸c˜ao do peso de um arco pode ser positiva ou negativa.

g. Existem grafos, com arcos com pesos negativos, para os quais a aplica¸c˜ao do algoritmo de Dijkstra produz o resultado correcto.

h. O algoritmo de Floyd-Warshall tem complexidade O(n3_).

i. Após a aplica¸cão do algoritmo de Bellman-Ford a complexidade para enumerar os arcos de um ciclo negativo é O(V + E).

(107)

II.2.33 Considere uma rede de fluxo G = (V, E), tal que a aplica¸cão do algoritmo genérico de Push-Relabel resulta em 0 opera¸cões de envio de fluxo saturantes (i.e. satu-rating pushes). Nestas condi¸cões qual a menor complexidade assimptótica que é poss´ıvel assegurar para a aplica¸cão do algoritmo genérico de Push-Relabel)?

a. E2_. b. V . c. V2 _{log E.} d. V E. e. V2_E. f. E |f∗_|. g. E2_|f∗_|. h. V + E. i. V log V .

(108)

II.2.34 Considere uma rede de fluxo G = (V, E), tal que as capacidades c(u, v) de cada arco (u, v) verificam c(u, v) ∈ {0, 1}. Nestas condi¸cões, indique qual a menor complexidade assimptótica para a execu¸cão do algoritmo de Ford-Fulkerson.

a. V2_E. b. E2_. c. V log V . d. V2_{log E.} e. V E. f. log(E) |f∗_|. g. E2_|f∗_|. h. V . i. V + E.

(109)

II.2.35 Indique qual o número máximo de ordena¸cões topológicas distintas que podem existir num grafo G = (V, E) dirigido ac´ıclico, com |V | = n.

a. n! b. (n − 1)! c. nn d. nn−1 e. (n − 1)n f. n2 g. (n − 1)2 h. n log n i. (n − 1) log(n − 1)

(110)

II.2.36 Após a aplica¸cão do algoritmo de Floyd-Warshall num dado grafo G = (V, E), e admitindo a existência de ciclos negativos, indique qual a menor complexidade as-simptótica de um algoritmo para enumerar os vértices de um qualquer ciclo negativo. (Nota: Considere a nota¸cão V e E para representar respectivamente |V | e |E| na no-ta¸cão assimptótica.) a. V3log E b. V3_{log V} c. V3 d. V2_{log E} e. V2_{log V} f. V2 g. (V + E) log E h. (V + E) log V i. V + E

(111)

II.2.37 Determine a menor complexidade assimptótica de um algoritmo eficiente para identificar o fecho transitivo (transitive closure) num grafo dirigido ac´ıclico G = (V, E). (Nota: Considere a nota¸cão V e E para representar respectivamente |V | e |E| na nota¸cão assimptótica.) a. V3_{log E} b. V3log V c. V3 d. V2_{log E} e. V2_{log V} f. V2 g. (V + E) log E h. (V + E) log V i. V + E

(112)

II.2.38 Considere um grafo G = (V, E), dirigido, ac´ıclico, com n = |V | e m = |E|. Indique a menor complexidade assimpt´otica de um algoritmo para calcular o n´umero de caminhos existentes no grafo.

a. n + m b. n log n c. (n + m) log n d. (n + m) log m e. n2 f. n2_{log n} g. n2_{log m} h. m2_{log n} i. m2_{log m}

(113)

II.2.39 Seja G = (V, E) um grafo dirigido, com fun¸cão de pesos w : E −→ {−1, 1}, e com n = |V | e m = |E|. Indique qual a menor complexidade assimptótica de um algoritmo para determinar a existência de ciclos em que todos os arcos têm peso igual.

a. m2_{log m} b. m2_{log n} c. n2log m d. n2_{log n} e. n2 f. (n + m) log m g. (n + m) log n h. n log n i. n + m

(114)

II.2.40 A ordena¸cão topológica de um grafo G = (V, E), dirigido, com n = |V | e m = |E|, diz-se bem definida se o grafo não tem ciclos. Identifique qual o número de arcos de G que é condi¸cão necessária para a ordena¸cão topológica de G ser bem definida.

a. n − 1 b. n c. n×(n+1)₂ d. n×(n−1)₂ e. n × (n + 1) f. n × (n − 1) g. n × log n h. (n − 1) × log(n − 1) i. n2

(115)

II.2.41 Define-se uma sequência de aumento, S, como um conjunto de caminhos de aumento escolhidos durante a aplica¸cão do método de Ford-Fulkerson num grafo G = (V, E). Define-se o tamanho de uma sequência de aumento, |S|, como o número de caminhos de aumento em S. Dois tamanhos de sequências de aumento, |S1| e |S2|,

dizem-se distintos se |S1| 6= |S2|. Para o grafo seguinte indique quantos tamanhos