problema de transmissão para a equação de ondas

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Universidade Federal do Rio Grande Grande do Norte - UFRN Centro de Ciˆencias Exatas e da Terra - CCET

Departamento de Matem´atica

Semana da Matem´atica - 18 a 21 de outubro de 2016

problema de transmiss˜

ao

para a equac

¸˜

ao de ondas

∗

Carlos Alberto Raposo da Cunha

†

Sum´

ario

1 Introdu¸cão 2 2 Objetivo 3 3 Metodologia 3 4 O Método de Faedo-Galerkin 7 4.1 O problema aproximado . . . 7 4.2 Estimativas a priori . . . 8 4.3 Passagem ao limite . . . 9 4.4 Unicidade de solu¸cão . . . 11 5 O Método de Energia 11 6 O problema de Transmissão 13 6.1 Preliminares . . . 13 6.2 Existencia de solu¸cão . . . 15 6.3 Estabilidade exponencial . . . 18

∗_C´_{odigo de classifica¸}_c˜_{ao matem´}_{atica: 35L25, 35L15}

Palavras-chave: Equa¸cão de ondas, método de Faedo-Galerkin, sistema dissipativo, problema de trans-missão, estabilidade de solu¸cão.

†_UFSJ _- _Universidade _Federal _de _S˜_ao _Jo˜_ao _del-Rei, _Brasil, _{raposo@ufsj.edu.br,}

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1 Introdu¸

c˜

ao

O estudo das Equa¸cões Diferenciais come¸ca com a cria¸cão do Cálculo Diferencial e Integral no século XVII e é guiado, inicialmente, por suas aplica¸cões à mecânica das part´ıculas. Nessas aplica¸cões, o uso de leis f´ısicas, como as três leis de Newton da Dinâmica e a lei da gravita¸cão universal, possibilitam obter Equa¸cões Diferenciais Ordinárias que repre-sentam os fenômenos em estudo.

O sucesso em tratar esses problemas utilizando o Cálculo foi um enorme est´ımulo aos f´ısicos e matemáticos do século seguinte em procurar modelos para problemas da Mecânica do Cont´ınuo e de outros ramos da F´ısica ( Termologia, por exemplo) que expressem fenômenos em termos de Equa¸cões Diferenciais.

Entretanto as equa¸cões resultantes, sendo Equa¸cões Diferenciais Parciais, traziam sérias dificuldades em sua resolu¸cão.

Dois problemas básicos que aparecem no estudo dos matemáticos do século XVIII são as seguintes:

(1) No problema da condu¸cão do calor em uma barra, a temperatura u(x, t) do ponto x da barra, no instante t, deve satisfazer à equa¸cão do calor

ut− k uxx = 0.

(2) No problema das vibra¸cões transversais de uma corda, a posi¸cão u(x, t) de um ponto x da corda, num instante t, deve satisfazer à equa¸cão de ondas

utt− k uxx = 0.

Para os problemas (1) e (2), k é uma constante real positiva. A obten¸cão de solu¸cões satisfazendo, além da equa¸cão diferencial, a certas condi¸cões iniciais e condi¸cões de fron-teira é uma tarefa dif´ıcil.

Para o estudo da existência de solu¸cão destes problemas os métodos anal´ıticos foram surgindo por adapta¸cão de uma idéia original de Fourier (1822), que consistiu na técnica de separa¸cão de variáveis para obter problemas de autovalor, para as Equa¸cões Diferen-ciais Ordinárias, estreitamente relacionadas com as Equa¸cões Diferenciais Parciais em questão. Em (1908) tivemos o método de Ritz para problemas variacionais e como ge-neraliza¸cão deste tivemos o método de Galerkin (1908). Explorando a idéia original de Fourier, Sandro Faedo (1945) aprimorou o método de Galerkin e desenvolveu um método conhecido atualmente como método de Faedo-Galerkin para a resolu¸cão de problemas de evolu¸cão.

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´

E portanto, de fundamental importância o futuro matemático dominar o método de Faedo-Galerkin, atualmente o mais utilizado para resolu¸cão anal´ıtica de Equa¸cões Di-ferenciais Parciais e em rela¸cão a estabilidade, dominar o Método de Energia, utilizado para fazer a análise do comportamento assintótico da solu¸cão obtida.

O ambiente natural para buscar a solu¸cão de Equa¸cões Diferenciais Parcias é o Espa¸co de Sobolev cuja referência bibliográfica classica é R. A. Adams [4]. Com rela¸cão ao com-portamento assintótico da solu¸cão a bibliografia está diretamente relacionada com o tipo de mecanismo dissipativo introduzido para a estabiliza¸cão do sistema. Neste minicurso limitaremos o estudo ao “damping” friccional, ver E. Zuazua [2].

Cabe informar que utilizaremos uma bibliografia mais recente o que permitirá ao aluno uma análise comparativa da evolu¸cão da linguagem e das técnicas aprimoradas nos últimos anos.

As id´eias centrais do que pretendemos estudar no ˆambito deste minicurso pode ser encon-trada em [5].

2 Objetivo

Nosso objetivo é estudar a existência de solu¸cão para a equa¸cão de ondas através do método de Faedo-Galerkin, estudar o comportamento assintótico para ondas com amor-tecimento friccional em todo o dom´ınio utilizando o Método de Energia e por fim a estabilidade da solu¸cão para o correspondente problema de transmissão, onde o atrito está localizado em uma pequena parte do dom´ınio.

3 Metodologia

Denotamos por L2(0, L) = u : (0, L) → R \ Z L 0 |u |2_{dx ≤ C}

e introduzimos os seguintes espa¸cos de Sobolev, que faremos uso ao longo do texto.

H1(0, L) =u ∈ L2_{(0, L)} _{tal que} _u

x ∈ L2(0, L) ,

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Inicialmente iremos considerar as pequenas vibra¸cões verticais de uma corda delgada de comprimento finito L, fixa nas extremidades. Vamos denotar por u = u(x, t) a posi¸cão da corda no ponto x ∈ (0, L) no instante t > 0. Nesta condi¸cão temos o seguinte modelo conhecido como equa¸cão da onda.

utt− k uxx = 0, x ∈ (0, L), t > 0,

u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0. (3.1) Os dados iniciais do problema (3.1) ser˜ao escolhidos nos espa¸cos de Sobolev conforme indicado abaixo

u(x, 0) = u0(x) ∈ H01(0, L)

(3.2) ut(x, 0) = u1(x) ∈ L2(0, L).

Em seguida iremos obter a solu¸cão de (3.1)-(3.2) através do Método de Faedo-Galerkin, o qual consiste em obter a solu¸cão do problema aproximado em um espa¸co de dimensão finita e usando resultados de imersões dos espa¸cos de Sobolev, gerar condi¸cões para pas-sagem ao limite e consequentemente obter a solu¸cão do problema no espa¸co onde estão localizados os dados iniciais.

Esta solu¸c˜ao com os dados iniciais em H1

0 e L2 ´e denominada solu¸c˜ao fraca enquanto

que a solu¸cão com os dados iniciais u0 ∈ H01∩ H2 e u1 ∈ H01 é denominada solu¸cão forte.

Conhecendo a solu¸c˜ao denotamos a energia total do modelo por

E(t) = 1 2 Z L 0 |ut|2dx + k 2 Z L 0 |ux|2dx,

onde a primeira parcela é a energia cinética e a segunda parcela é a energia potencial.

´

E fácil verificar que a energia total de (3.1)-(3.2) é conservativa, isto é d

dtE(t) = 0.

Acontece que em situa¸cões da vida real, a corda após ser posta em movimento, deixa de vibrar por vários motivos, tais como, o atrito, a resistencia do material, a diferen¸ca de temperatura entre a corda e o meio ambiente, a viscosidade, etc. Estaremos abordando o modelo com atrito, cuja formaliza¸cão segue abaixo.

utt− k uxx+ α ut = 0, x ∈ (0, L), t > 0,

u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0.

(3.3) u(x, 0) = u0(x)

(5)

Neste momento utilizando adequados multiplicadores, via o M´etodo de Energia construi-remos um funcional de Lyapunov, que ´e um funcional equivalente ao funcional de Energia e que decai exponencialmente.

Com o funcional de Lyapunov iremos provar a estabilidade exponencial do modelo dissi-pativo (3.3). Do ponto de vista matem´atico iremos provar a seguinte desigualdade

E(t) ≤ C E(0) e−w t

onde C e w são constantes reais, positivas e independentes dos dados iniciais. Agora observamos que o atrito tem efeito em toda a corda, isto é, o atrito está definido em todo o intervalo (0, L).

L

Atrito em todo o dom´ınio

ut(x, t), x ∈ (0, L)

Constitui-se um problema interessante do ponto de vista matem´atico localizar o atrito em apenas uma pequena parte do dominio. Neste sentido tamb´em iremos considerar o seguinte modelo

utt− k1uxx+ αut = 0, x ∈ (0, L0), t > 0, (3.4)

vtt− k2vxx = 0, x ∈ (L0, L), t > 0, (3.5)

satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes de fronteira

u(0, t) = v(L, t) = 0, t > 0, (3.6)

as seguintes condi¸c˜os de transmiss˜ao

u(L0, t) = v(L0, t), k1ux(L0, t) = k2vx(L0, t), t > 0, (3.7)

e dados iniciais

u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x), x ∈ (0, L0),

(6)

Note que agora o atrito est´a localizado no intervalo (0, L0).

L0 L−L0 Parte com atrito

u(x, t), x ∈ (0, L0) v(x, t), x ∈ (L0, L)

Parte sem atrito

Duas quest˜oes centrais surgem de modo natural:

Questão 01. A dissipa¸cão localizada em parte do dom´ınio é suficiente para estabilizar todo o sistema ?

Questão 02. Se o sistema (3.4)-(3.8) for estável, qual a taxa de decaimento da solu¸cão ?

O ponto alto deste minicurso ´e responder a estas quest˜oes.

Na prática o modelo (3.4)-(3.8) está relacionado com a descoberta de novos materiais para aplica¸cão na industria. O que estamos fazendo é “misturando” materiais de propri-edades f´ısicas diferentes, sendo um deles dotado de boas propripropri-edades f´ısicas. Estamos provando que as propriedades do material “bom” se transmitem ao outro gerando um novo material com propriedades f´ısicas boas e viável do ponto de vista econômico, posto que no modelo (3.4)-(3.8) utilizamos apenas uma pequena quantidade do material que estamos indicando como “bom”.

(7)

4 O M´

etodo de Faedo-Galerkin

Inicialmente vamos dizer o que entendemos por solu¸c˜ao fraca para o modelo

utt− k uxx = 0, x ∈ (0, L), t > 0,

u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0

(4.1) u(x, 0) = u0 ∈ H01

ut(x, 0) = u1 ∈ L2

Defini¸c˜_{ao 4.1 Dizemos que u : (0, L) → R é uma solu¸cão fraca para (4.1) quando} d dt Z L 0 utφ dx + k Z L 0 uxφxdx = 0 ∀ φ ∈ H01(0, L) e a indentidade é no sentido de D0(0, T ).

Vamos provar a existência e unicidade de solu¸cão para (4.1) utilizando o método de Faedo-Galerkin.

4.1 O problema aproximado

Considere {w1, w2, · · ·, wm, · · ·} uma base de H01(0, L). Como H01 ´e um espa¸co de Hilbert,

podemos utilizar o processo de ortogonaliza¸c˜ao de Granh-Schmidt e sem perda de gene-ralidade, podemos supor que esta base ´e ortonormal.

Seja Vm = [w1, w2, · · ·, wm] o espa¸co vetorial finito gerado pelos m-primeiros vetores

da base de tal forma que

lim

m→∞Vm = H 1 0.

O problema aproximado consiste em encontrar um _{∈ L}∞_{(0, T, V}

(8)

Fazendo φ = wi ∈ Vm em (4.2) obtemos d dt Z L 0 um_t widx + k Z L 0 um_x wi,xdx = 0 em Vm isto ´e Z L 0 um_tt widx + k Z L 0 um_x wi,xdx = 0 em Vm de onde segue m X j=1 Z L 0 g_jm00 (t)wjwidx + k m X j=1 Z L 0 gjm(t)wj,xwi,xdx = 0 em Vm.

Sendo a integral em (0, L) temos

m X j=1 g00_jm(t) Z L 0 wjwidx + k m X j=1 gjm(t) Z L 0 wj,xwi,xdx = 0 em Vm. Agora definimos Am = k m X j=1 Z L 0 wj,xwi,xdx

e usando as propriedades da base ortonormal obtemos

g00_jm(t) + Amgjm(t) = 0,

que é um Sistema de Equa¸cões Diferenciais Ordinárias de 2a ordem, que admite solu¸cão ´

unica em (0, T ), T > 0 para dados iniciais fixados.

4.2 Estimativas a priori

Vamos agora obter as estimativas que nos possibilite a passagem ao limite no problema aproximado.

Fazendo φ = wj e multiplicando a equa¸c˜ao aproximada (4.2) por g

0 jm(t) obtemos Z L 0 um_tt g_jm0 (t) widx + k Z L 0 um_x g0_jm(t) wi,xdx = 0 em Vm,

aplicando o somat´orio temos

(9)

que pode sescrito do seguinte modo 1 2 d dt Z L 0 |um t | 2_{dx +}k 2 d dt Z L 0 |um x| 2_{dx = 0} _em _V m.

Agora integramos em (0, T ), T > 0 e obtemos

1 2 Z L 0 |um t | 2_{dx +} k 2 Z L 0 |um x| 2_{dx =} 1 2 Z L 0 |um 1 | 2_{dx +}k 2 Z L 0 |um 0,x| 2_dx _em _V m. Lembrando que um₀ → u0 em H01 um₁ → u1 em L2

e que Vm ⊂ H01 ⊂ L2 temos que

1 2 Z L 0 |um t | 2_{dx +} k 2 Z L 0 |um x| 2_{dx ≤ C.} _(4.3)

Temos ent˜ao que

um_t ´e limitada em L∞(0, T ; L2) um_x ´e limitada em L∞(0, T ; L2)

logo existe uma subsequˆencia de um_{, que continuaremos denotando do mesmo modo, tal}

que um_t → ut em L∞(0, T ; L2) (4.4) um_x → ux em L∞(0, T ; L2) (4.5)

4.3 Passagem ao limite

Da equa¸c˜ao (4.2) temos d dt Z L 0 um_t w dx + k Z L 0 um_x wxdx = 0 ∀ w ∈ Vm.

Multiplicando por θ ∈ D(0, T ) e integrando em (0, T ) obtemos

Z T 0 d dt Z L 0 um_t w dx θ dt + k Z T 0 Z L 0 um_x wxdx θ dt = 0 ∀ w ∈ Vm.

Integrando por partes obtemos

(10)

Agora passando ao limite m → ∞ e utilizando as convergˆencias (4.4) e (4.5) temos − Z T 0 Z L 0 utw dx θ 0 dt + k Z T 0 Z L 0 uxwxdx θ dt = 0 ∀ w ∈ H01.

Integrando novamente por partes Z T 0 d dt Z L 0 utw dx θ dt + k Z T 0 Z L 0 uxwxdx θ dt = 0 ∀ w ∈ H01.

Logo podemos escrever

hd dt Z L 0 utw dx θ dt + k Z L 0 uxwxdx θ dt , θi = 0

onde h , i denota o produto interno em D(0, T ).

Podemos afirmar que d dt Z L 0 utw dx + k Z L 0 uxwxdx = 0 ∀ w ∈ H01 em D 0 (0, T ).

o que prova a existˆencia de solu¸c˜ao fraca.

Observa¸cão 4.1 Note que para a obten¸cão de solu¸cão fraca provamos 1 2 Z L 0 |um t | 2_{dx +} k 2 Z L 0 |um x| 2_{dx ≤ C,}

isto é, provamos que a energia de primeira ordem é limitada. Agora vamos definir solu¸cão forte. Considere o seguinte problema

utt− k uxx = 0, x ∈ (0, L), t > 0, u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0 (4.6) u(x, 0) = u0 ∈ H01∩ H 2 ut(x, 0) = u1 ∈ H01

Defini¸cão 4.2 Dizemos que u : (0, L) → < é uma solu¸cão forte para (4.6) quando d dt Z L 0 uttφ dx + k Z L 0 utxφxdx = 0 ∀ φ ∈ H01(0, L) ∩ H 2 (0, L) e a indentidade é no sentido de D0(0, T ).

Observa¸cão 4.2 Para provamos a existência de solu¸cão forte, derivamos a solu¸cão apro-ximada em rela¸cão a variável tempo e procedimos de maneira análoga ao caso de solu¸cão fraca para obtemos uma limita¸cão para a energia de segunda ordem, do tipo abaixo

1 2 Z L 0 |um_tt|2dx +1 2 Z L 0 |um_tx|2dx ≤ C,

(11)

4.4 Unicidade de solu¸

c˜

ao

Vamos supor que exista duas solu¸c˜oes u e v nas seguintes condi¸c˜oes:

utt− k uxx = 0, x ∈ (0, L), t > 0, u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0 (4.7) u(x, 0) = u0 ∈ H01∩ H 2 ut(x, 0) = u1 ∈ H01 vtt− k vxx = 0, x ∈ (0, L), t > 0, v(0, t) = v(L, t) = 0, t > 0 (4.8) v(x, 0) = u0 ∈ H01∩ H 2 vt(x, 0) = u1 ∈ H01.

Definimos z = u − v e obtemos de (4.7) e (4.8) o seguinte problema

ztt− k zxx = 0, x ∈ (0, L), t > 0,

z(0, t) = z(L, t) = 0, t > 0

(4.9) z(x, 0) = 0 ∈ H₀1∩ H2

zt(x, 0) = 0 ∈ H01.

Multiplicando (4.9) por zt, integrando por parte e usando a hip´otese que os dados iniciais

s˜ao nulos, temos que

1 2 Z L 0 |zt|2dx + k 2 Z L 0 |zx|2dx = 0,

de onde segue diretamente da desigualdade de Poincar’e que z = 0 e portanto u = v.

5 O M´

etodo de Energia

(12)

Inicialmente vamos mostrar que este modelo ´e dissipativo.

Multiplicando a equa¸c˜ao de ondas dissipativas por ut e integramdo em (0, L) obtemos

Z L 0 uttutdx − k Z L 0 uxxutdx + α Z L 0 |ut|2dx = 0.

Integrando por partes e utilizando as condi¸c˜oes de contorno obtemos

d dt 1 2 Z L 0 |ut|2dx + d dt k 2 Z L 0 |ux|2dx = − α Z L 0 |ut|2dx, isto ´e d dtE(t) = − α Z L 0 |ut|2dx, (5.2)

de onde segue que a energia total ´e decrescente e portanto o sistema ´e dissipativo.

Agora note que na expressão (5.2) conseguimos recuperar parte da energia com o sinal negativo, isto é, apenas a energia cinética. Vamos agora recuperar o restante da energia, ou seja, vamos recuperar a energia potencial.

Neste sentido, multiplicando a equa¸c˜ao de ondas dissipativas por u e integrando em (0, L) obtemos Z L 0 uttu dx − k Z L 0 uxxu dx + α Z L 0 utu dx = 0. (5.3) Note que d dtutu = uttu + |ut| 2 (5.4) d dtuxu = uxxu + |ux| 2.

(13)

O funcional L(t) = E(t) + ε E1(t) ´e denominado de funcional de Lyapunov. Por sua

cons-tru¸cão este funcional é equivalente ao funcional de energia E(t), isto é, existem constantes positivas c1 e c2 tal que

c1E(t) ≤ L(t) ≤ c2E(t). (5.7) Agora escolhendo ε = α 2 segue de (5.6) que d dtL(t) = − α [ 1 2 Z L 0 |ut|2dx + k 2 Z L 0 |ux|2dx].

Finalmente usando (5.7) na express˜ao anterior podemos concluir que

E(t) ≤ C E(0) e− w t, onde C = 1 c1

e w = α c2

.

Vamos provar que o mesmo resultado sobre o decaimento exponencial vale para solu¸cões fracas. Para isto, fixamos o dado inicial fraco, por densidade, consideremos uma sequência de dados fortes que converge na norma de E(t), ao dado inicial fraco, isto é,

E(0, un) → E(0, u) quando n → ∞. Pelo resultado anterior temos

E(t, un) ≤ C E(0, un) e− w t

onde C e w n˜ao dependem dos dados iniciais. Agora usando a semi-continuidade fraca do funcional de energia temos que

E(t, u) ≤ lim inf

n→∞ E(t, u n₎ ≤ lim inf n→∞ C E(0, u n_{) e}− w t ≤ C E(0, u) e− w t.

Na próxima se¸cão iremos localizar a dissipa¸cão em parte do dom´ınio e estudar a existência e o comportamento assintótico da solu¸cão do correspondente modelo.

6 O problema de Transmiss˜

ao

6.1 Preliminares

(14)

em todo o dom´ınio. Nesta dire¸cão, a questão natural que surge é: Qual a taxa de de-caimento quando a dissipa¸cão tem efeito apenas em uma parte do dom´ınio? O propósito deste minicurso, pelo menos em parte, é responder a esta questão. Iremos considerar a propaga¸cão de ondas sobre um corpo consistindo de dois tipos diferentes de materiais. Denominamos isto de problema de transmissão. Este tipo de problema aparece frequen-temente em aplica¸cões onde o dom´ınio é caracterizado pela existência de vários materiais, cujas propriedades elásticas são diferentes.

Vamos agora falar um pouco sobre alguns resultados relacionados com o tema. A existência, regularidade e a controlabilidade exata do problema de trasnmissão para a equa¸cão de ondas puramente elástica foi estudado por Lions [4]. O problema de transmissão para ondas viscoelásticas foi estudado por Rivera & Oquendo [8] que provaram o decaimento exponencial da solu¸cão usando resultados de regularidade da integral de Volterra e pro-priedades regularizantes da viscosidade. O comportamento assintótico para o problema de transmissão de um sistema acoplado de equa¸cões de ondas foi estudado por Raposo [1] utilizando a mesma técnica apresentada neste minicurso.

Seja k1, k2 e α n´umeros reais positivos e 0 < L0 < L. O sistema considerado aqui

´ e

utt− k1uxx+ αut = 0, x ∈ (0, L0), t > 0, (6.1)

vtt− k2vxx = 0, x ∈ (L0, L), t > 0, (6.2)

satisfazendo as condi¸c˜oes de fronteira

u(0, t) = v(L, t) = 0, t > 0, (6.3)

condi¸c˜oes de transmiss˜ao

u(L0, t) = v(L0, t), k1ux(L0, t) = k2vx(L0, t), t > 0, (6.4)

e dados iniciais

u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x), x ∈ (0, L0),

(6.5) v(x, 0) = v0(x), vt(x, 0) = v1(x), x ∈ (L0, L).

Estaremos particularmente interessados em estudar o comportamento assintótico da solu¸cão do problema acima. Nosso principal resultado é o Teorema 6.2 onde provaremos que a solu¸cão de (6.1)-(6.5) decai exponencialmente a zero, independentemente do comprimento L − L0. A idéia que utilizaremos consiste em obter adequados multiplicadores para

cosn-truir um funcional de Lyapunov para o sistema.

Denotamos o espa¸co

(15)

que dotado com o produto interno h(u1_{, v}1_{) , (u}2_{, v}2_{)i :=} Z L0 0 u1_xu2_xdx + Z L0 0 v_x1v_x2dx ´

e um espa¸co de Hilbert. As energias associadas as equa¸c˜oes (6.1) e (6.2) s˜ao,

E1(t) = 1 2 Z L0 0 [|ut|2 + k1|ux|2] dx e E2(t) = 1 2 Z L L0 [|vt|2+ k2|vx|2] dx

respctivamente. Denotaremos E(t) = E1(t) + E2(t) a energia total associada ao sistema

(6.1) - (6.5).

A seguir organizaremos o trabalho do seguinte modo: na Subse¸cão 6.2 mostraremos a existência de solu¸cão fraca e forte para o sistema (6.1) - (6.5), e na Subse¸cão 6.3 provare-mos o decaimento exponencial.

6.2 Existencia de solu¸

c˜

ao

Inicialmente vamos dizer o que entendemos por solu¸c˜ao fraca para o problema de trans-miss˜ao.

Defini¸cão 6.1 O par (u(x, t), v(x, t)) é uma solu¸cão fraca para o sistema (6.1) - (6.5) quando (u, v) ∈ L∞(0, T ; V) ∩ W1,∞(0, T ; L2(0, L0) × L2(L0, L)), e satisfaz − Z L0 0 u1φ(0) dx − Z L L0 v1ψ(0) dx − Z T 0 Z L0 0 utφtdx dt − Z T 0 Z L L0 vtψtdx dt + k1 Z T 0 Z L0 0 uxφxdx dt + k2 Z T 0 Z L L0 vxψxdx dt + α Z T 0 Z L0 0 utφ dx dt = 0 para qualquer (φ, ψ) ∈ L∞(0, T ; V)∩W1,∞_{(0, T ; L}2_{(0, L} 0)×L2(L0, L)) tal que (φ(T ), ψ(T )) = (0, 0). Teorema 6.1 Seja (u0_{, v}0_{) ∈ (H}2_{(0, L} 0) × H2(L0, L)) ∩ V e (u1, v1) ∈ V verificando as

condi¸cões de transmissão. Sob estas condi¸cões a solu¸cão (u, v) de (6.1) - (6.5) satisfaz

(u, v) ∈

2

\

k=0

(16)

Prova.- Provaremos este resultado usando o m´etodo de Faedo-Galerkin. Neste sentido considere a base {(φ0_{, ψ}0_{), (φ}1_{, ψ}1_{), (φ}2_{, ψ}2_{), · · ·} of V e seja}

(u0_m, v_m0), (u1_m, v1_m) ∈ [(φ0, ψ0), (φ1, ψ1) · · · (φm, ψm)].

Resultados conhecidos de Equa¸cões Diferenciais Ordinárias garantem a existência e uni-cidade de solu¸cão (um(t), vm(t)) := m X j=1 hj,m(t)(φj, ψj)

para o sistema aproximado,

Z L0 0 uttφidx + Z L L0 vttψidx + k1 Z L0 0 uxφixdx + k2 Z L L0 vxψixdx + α Z L0 0 utφidx = 0 (6.6)

i = 0, 1, 2, · · ·, m, com dados iniciais

(um(0), vm(0)) = (u0_m, v0_m), (um_t (0), v_tm(0)) = (u1_m, v_m1).

Iremos a seguir mostrar que a solu¸c˜ao continua limitada para todo m ∈ N. Para provar isto, primeiro multiplicamos a equa¸c˜ao (6.6) por h0_j,m(t) e somamos em i, para obter

d dtE m_{(t) = −α} Z L0 0 |um t | 2_dx.

Integrando a identidade acima de 0 a t, temos

Em(t) ≤ Em(0)

mostrando que a energia de primeira ordem Em(t) ´e limitada para todo m ∈ N. Agora denotamos a energia de segunda ordem por

Em_{(t) =} 1 2 Z L0 0 [|um_tt|2_{+ k} 1|umxt| 2_{] dx +}1 2 Z L L0 [|v_ttm|2_{+ k} 2|vmxt| 2_{] dx.}

Derivando a equa¸c˜ao (6.6) na vari´avel t, obtemos

Z L0 0 utttφidx + Z L L0 vtttψidx + k1 Z L0 0 uxtφixdx + k2 Z L L0 vxtψixdx + α Z L0 0 uttφidx = 0.

Multiplicando a equa¸c˜ao acima por h00_j,m(t) e somando em i, obtemos d dtE m_{(t) = −α} Z L0 0 |um tt| 2_dx

que ap´os integrarmos de 0 to t resulta

(17)

A próxima etapa é estimar a energia de segunda ordem. Fazendo t → 0+ na equa¸cão (6.6), e multiplicando o limite resultante por h00_j,m(t) obtemos

Z L0 0 |um tt(0)| 2_{dx +} Z L L0 |vm tt(0)| 2_{dx = −k} 1 Z L0 0 um_x(0)um_xtt(0) dx − k2 Z L L0 v_xm(0)vm_xtt(0) dx − α Z L0 0 um_t (0)um_tt(0) dx. Integrando por partes a equa¸c˜a acima, obtemos

Z L0 0 |um_tt(0)|2dx + Z L L0 |v_ttm(0)|2dx = k1 Z L0 0 um_xx(0)um_tt(0) dx + k2 Z L L0 v_xxm(0)vm_tt(0) dx − α Z L0 0 um_t (0)um_tt(0) dx. (6.7) Após aplica¸cão da desigualdade de Young na equa¸cão (6.7) encontramos

Z L0 0 |um tt(0)| 2_{dx +} Z L L0 |vm tt(0)| 2_{dx ≤ c{} Z L0 0 |um xx(0)| 2_{dx +} Z L L0 |vm xx(0)| 2_dx} + c Z L0 0 |um t (0)|2dx.

que implica que o dado inicial

(um_tt(0), v_ttm(0)) ´e limitado em L2(0, L0) × L2(L0, L)),

e portanto Em_{(0) ´}_{e limitada. Ent˜}_{ao temos}

Em_(t) _´_{e limitada para rodo m ∈ N.}

A Energia de primeira e de segunda ordem sendo limitadas implica que existe uma sub-sequˆencia de (um_{, v}m_{), a qual continuaremos denotando do mesmo modo, tal que}

(um, vm)* (u, v)∗ em L∞(0.T ; V), (um_t , vm_t )* (u∗ t, vt) em L∞(0.T ; V),

(um_tt, vm_tt)* (u∗ tt, vtt) em L∞(0.T ; L2(0, L0) × L2(L0, L))).

Nesta condi¸c˜ao o par (u, v) atisfaz

utt− k1uxx+ αut= 0

vtt− k2vxx = 0.

(18)

6.3 Estabilidade exponencial

A seguir iremos provar alguns lemas t´ecnicos que ser˜ao fundamentais para obtermos a prova do nosso principal resultado, o Teorema 6.2.

Lema 6.1 A energia total E(t) satisfaz

d

dtE(t) = −α Z LO

0

|ut|2dx.

Prova.- Multiplicando a equa¸c˜ao (6.1) por ut e fazendo a integra¸c˜ao em (0, L0) obtemos

Z L0 0 ututtdx − k1 Z L0 0 utuxxdx = −α Z L0 0 |ut|2dx

que ap´os integra¸c˜ao por partes resulta em

d dt 1 2 Z L0 0 [|ut|2+ k1|ux|2] dx = −α Z L0 0 |ut|2dx + k1ux(L0)ut(L0). (6.8)

Multiplicando a equa¸c˜ao (6.2) por vt e fazendo a integra¸c˜ao em (L0, L) obtemos

Z L L0 vtvttdx − k2 Z L L0 vtvxxdx = 0.

Ap´os integra¸c˜ao por partes obtemos

d dt 1 2 Z L L0 [|vt|2+ k2|vx|2] dx = −k2vx(L0)vt(L0). (6.9)

Somando (6.8) com (6.9) e utilizando as condi¸c˜oes de transmiss˜ao (6.4) podemos concluir que d dtE(t) = −α Z LO 0 |ut|2dx. (6.10)

Lema 6.2 Existem constantes posditivas C0 e C1 independentes dos dados iniciais, tal

que, o funcional definido por

(19)

Prova.- Multiplicando a equa¸c˜ao (6.1) by (x − L0)ux e fazendo a integra¸c˜ao em (0, L0) obtemos Z L0 0 (x − L0)uxuttdx − k1 Z L0 0 (x − L0)uxuxxdx = −α Z L0 0 (x − L0)uxutdx. (6.11) Note que d dt(x − L0)uxut= (x − L0)uxutt+ (x − L0)uxtut. (6.12) Agora usando (6.12) in (6.11) obtemos

d dt Z L0 0 (x − L0)uxutdx = Z L0 0 (x − L0) 1 2[ d dx|ut| 2_{] dx} + k1 Z L0 0 (x − L0) 1 2[ d dx|ux| 2_{] dx} − α Z L0 0 (x − L0)uxutdx

e fazendo integra¸c˜ao por partes temos

d dt Z L0 0 (x − L0)uxutdx. = − 1 2 Z L0 0 |ut|2dx − k1 2 Z L0 0 |ux|2dx − α Z L0 0 (x − L0)uxutdx + k1L0 2 |ux(0)| 2

de onde segue que

d dtJ1(t) ≤ −C1E1(t) + C0 Z LO 0 |ut|2dx + k1L0 2 |ux(0)| 2_.

Lema 6.3 Existe uma constante positiva C2, independente dos dados iniciais, tal que, o

funcional definido por

J2(t) = Z L L0 (x − L0)vtvxdx satisfaz d dtJ2(t) ≤ −C2E2(t) + k2(L − L0) 2 |vx(L)| 2 .

Prova.- Multiplicando a equa¸c˜ao (6.2) por (x − L0)vx e fazendo a integra¸c˜ao em (L0, L)

(20)

Note que

d

dt(x − L0)vxvt= (x − L0)vxvtt+ (x − L0)vxtvt. (6.14) Agora usando (6.14) in (6.13) obtemos

d dt Z L L0 (x − L0)vxvtdx = Z L L0 (x − L0) 1 2[ d dx|vt| 2_{] dx} + k2 Z L L0 (x − L0) 1 2[ d dx|vx| 2_{] dx}

e fazendo integra¸c˜ao por partes temos d dt Z L L0 (x − L0)vxvtdx. = − 1 2 Z L L0 |vt|2dx − k2 2 Z L L0 |vx|2dx + k2(L − L0) 2 |vx(L)| 2

de onde segue que d

dtJ2(t) ≤ −C2E2(t) +

k2(L − L0)

2 |vx(L)|

2_.

Agora precisamos controlar os termos pontuais |ux(0)|2 e |vx(L)|2 que apareceram nos

Lemas 6.2 e 6.3 respectivamente. Para isto introduzimos os seguintes lemas Lema 6.4 Seja p ∈ C1_{(0, L}

0) com p(0) > 0 e p(L0) = 0. Ent˜ao, existem constantes

positivas C0, C4, N0 independentes dos dados iniciais, tal que, o funcional definido por

J3(t) = N0J1(t) + Z L0 0 putuxdx satisfaz d dtJ3(t) ≤ −C4E1(t) + N0C0 Z L0 0 |ut|2dx.

Prova.- Multiplicando a equa¸c˜ao (6.1) por p uxe fazendo a integra¸c˜ao em (0, L0) obtemos

Z L0 0 p uxuttdx − k1 Z L0 0 p uxuxxdx = −α Z L0 0 p uxutdx. (6.15) Note que d dtp uxut= p uxutt+ p uxtut. (6.16) Agora usando (6.16) em (6.15) obtemos

(21)

e fazendo integra¸c˜ao por partes temos d dt Z L0 0 p uxutdx = − 1 2 Z L0 0 p0|ut|2dx − k1 2p(0) |ux(0)| 2₋ k1 2 Z L0 0 p0|ux|2dx − α Z L0 0 p uxutdx,

de onde segue que

d dt Z L0 0 p uxutdx ≤ − k1 2p(0) |ux(0)| 2_{+ C} 3E1(t). Denotando J3(t) = N0J1(t) + Z L0 0 putuxdx, temos d dtJ3(t) ≤ −N0C1E1(t) + C3E1(t) + N0k1L0 2 |ux(0)| 2₋ k1 2 p(0) |ux(0)| 2 + N0C0 Z L0 0 |ut|2dx.

Agora tomando N0 tal que N0C1 > C3 e escolhendo p(0) = N0L0 podemos concluir

d dtJ3(t) ≤ −C4E1(t) + N0C0 Z L0 0 |ut|2dx. Lema 6.5 Seja q ∈ C1_(L

0, L) com q(L0) = 0 e q(L) < 0. Ent˜ao, existem constantes

positivas C5 e N1 independentes dos dados iniciais tal que o funcional definido por

J4(t) = N1J2(t) + Z L L0 qvtvxdx satisfaz d dtJ4(t) ≤ −C5E2(t).

Prova.- Multiplicando a equa¸c˜ao (6.2) por q vx e fazendo integra¸c˜ao em (L0, L) obtemos

(22)

Note que

d

dtq vxvt = q vxvtt+ q vxtvt. (6.18) Agora usando (6.18) em (6.17) temos

d dt Z L L0 q vxvtdx = Z L L0 q1 2[ d dx|vt| 2_{] dx} + k2 Z L L0 q1 2[ d dx|vx| 2 ] dx

e fazendo integra¸c˜ao por partes temos

d dt Z L L0 q vxvtdx = − 1 2 Z L L0 q0|vt|2dx + k2 2 q(L) |vx(L)| 2₋k2 2 Z L L0 q0|vx|2dx,

de onde segue que

d dt Z L L0 q vxvtdx ≤ k2 2q(L) |vx(L)| 2_{+ C} 4E2(t). Denotando J4(t) = N1J2(t) + Z L L0 qvtvxdx, temos que d dtJ4(t) ≤ −N1C2E2(t) + C4E2(t) + N1k2(L − L0) 2 |vx(L)| 2₊k2 2q(L) |vx(L)| 2_.

Agora tomando N1 tal que N1C2 > C4 e escolhendo q(L) = −N1(L − L0) concluimos que

d

dtJ4(t) ≤ −C5E2(t).

Agora estamos em condi¸c˜oes de mostrar o principal resultado deste minicurso.

Teorema 6.2 Vamos denotar por (u, v) a solu¸c˜ao forte do sistema (6.1) − (6.5). Ent˜ao existem constantes positivas C e ω, tal que

(23)

Prova.- Definimos L(t) = N2E(t) + J3(t) + J4(t). Do lema 6.1 temos d dtE(t) = −α Z LO 0 |ut|2dx. Do lema 6.4 temos d dtJ3(t) ≤ −C4E1(t) + N0C0 Z L0 0 |ut|2dx. Do lema 6.5 temos d dtJ4(t) ≤ −C5E2(t). De fato temos d dtL(t) ≤ −C4E1(t) − C5E2(t) + (N0C0− N2α) Z L0 0 |ut|2dx.

Tomando N2 suficientemente grande segue que

d

dtL(t) ≤ −C6E(t)

Observando que L(t) ´e equivalente a E(t), podemos concluir que existem constantes positivas C e ω, tal que

E(t) ≤ C E(0)e−ω t.

O Teorema 6.2 pode ser extendido facilmente para solu¸cões fracas usando argumentos de densidade e a lei da semicontinuidade fraca do funcional de energia E(t). Neste sentido temos o seguinte corolário cuja demonstra¸cão é análoga a feita na se¸cão 5.

Corol´ario 6.1 Sob as mesmas hip´otese do teorema 6.2. Existe constantes positivas ¯C e ¯

ω, tal que

E(t) ≤ ¯C E(0)e−¯ω t.

Referˆ

encias

[1] C. A. Raposo. The transmission problem for Timoshenko’s system of memory type. Int. J. Mod. Math., 3, 271-293, (2008).

(24)

[3] J. L. Lions, Contrôlabilité Exacte Pertubations et Stabilisation de Systèmes Distribués. Collection RMA - Tomo 1, Masson , Paris (1998).

[4] R. A. Adams. Sobolev Spaces. Academic Press, New York (1975).

[5] C. A. Raposo and W. D. Bastos. Transmission problem for waves with frictional dam-ping. Eletronic Journal of Differential Equation, 2007, 1-10, (2007).

[6] C. A. Raposo, W. D. Bastos, M. L. Santos. A Transmission Problem for Timoshenko System. Computational & Applied Mathematics, 26, p. 215-234, (2007).

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[8] J. E. M. Rivera and H. P. Oquendo; The transmission Problem of Viscoelastic Waves. Acta Applicandae Mathematicae, 60, 1, 1-21 (2000).

[9] C. A. Raposo. General Decay of Solution for the Transmission Problem of Viscoelastic Waves with Memory. Advances in Differential Equations and Control Processes, 3, 103-114, (2009).

[10] J. E. M. Rivera, M. Alves, M. Sepulveda and O. Vera. The asymptotic behavior of the linear transmission problem in viscoelasticity. Mathematische Nachrichten, 287, 5-6, 483-497, (2013).

Carlos Alberto Raposo da Cunha

Depto. de Matem´atica e Estat´ıstica

UFSJ - Universidade Federal de S˜ao Jo˜ao del-Rei