ATRITO DE ESCORREGAMENTO E ATRITO DE ROLAMENTO: ANÁLISE DE SITUAÇÕES SIMPLES 1

ATRITO DE ESCORREGAMENTO E ATRITO DE ROLAMENTO:

ANÁLISE DE SITUAÇÕES SIMPLES ¹

SLIDING FRICTION AND ROLLING FRICTION: ANALYSIS OF SIMPLE CASES

A. V. Andrade-Neto

Departamento de F´ısica Universidade Estadual de Feira de Santana Avenida Transnordestina, s/n, Novo Horizonte, Campus Universita ´rio 44036-900 Feira de Santana, BA, Brazil. E-mail: aneto@uefs.br

No presente trabalho apresentamos uma discussa˜o elementar, mas unificada dos conceitos de atrito de escorregamento e atrito de rolamento. S˜ao exploradas algumas situa¸c˜oes simples, mas de grande riqueza conceitual e ausentes da maioria dos livros textos.

Palavras-chave: atrito de escorregamento, rolamento, atrito de rolamento.

We present an elementary but unified discussion of the concepts of sliding friction and rolling friction. Are explored some simple situations but of very conceptual wealth and absent from most textbooks.

Keywords: sliding friction, rolling, rolling friction.

INTRODU¸C˜AO

Quando as superf´ıcies de dois corpos s´olidos se tocam, esses corpos inter- agem atrav´es de for¸cas de contato. S˜ao exemplos de for¸cas de contato a for¸ca normal e as for¸cas de atrito. Enquanto a normal (como o nome indica) ´e uma for¸ca perpendicular `a superf´ıcie, as for¸cas de atrito s˜ao tangenciais `a superficie de contato. O estudo dessas for¸cas tem enorme interesse pr´atico porque o seu controle permite aumentar a eficiˆencia de m´aquinas e equipa- mentos, diminuindo o desgaste das partes m´oveis dessas m´aquinas como, por exemplo, o motor de um automo ´vel. Isso levou ao desenvolvimento de uma ciˆencia denominada tribologia, que se ocupa do estudo da interac¸˜ao entre su- perf´ıcies submetidas a cargas ou em movimentos relativos. De um ponto de vista fundamental, as for¸cas de atrito tem origem nas interac ¸o ˜es atˆomicas que ocorrem nas regio ˜es de contato entre as superf´ıcies, o que torna o problema bastante complexo, j´a que a situa¸c˜ao das superf´ıcies influencia enormemente o fenˆomeno. Dentre os diversos fatores que influenciam o comportamento das for¸cas de atrito podemos citar a natureza dos materiais e o grau de polimento das superf´ıcies em contato, a existˆencia ou n˜ao de umidade ou lubrificantes entre as superf´ıcies e a velocidade relativa entre as superf´ıcies.

Devemos inicialmente definir o que se entende por ‘contato’ entre duas superf´ıcies s´olidas.

Do ponto de vista macrosco ´pico, o contato entre dois s´olidos (considerados como r´ıgidos, i.e., indeforma´veis) pode se dar de forma pontual (e.g., uma esfera sobre um plano horizontal), segundo uma linha (e.g., um cilindro sobre um plano horizontal, cujo contato acontece ao longo de uma geratriz do cilindro) ou segundo uma ´area (e.g., um cubo com uma das faces apoiadas em um plano horizontal). Obviamente os casos de contatos pontuais e lineares s˜ao idealizac¸˜oes j´a que sempre existe uma deformac¸˜ao por contato devido a n˜ao rigidez absoluta dos corpos reais. Do ponto de vista microsco ´pico, devido `a rugosidade das superf´ıcies na escala atˆomica, as regio ˜es de efetivo contato s˜ao uma pequena parte da ´area macrosco ´pica de contato.

Quando duas superf´ıcies de corpos s´olidos est˜ao em contato, h´a uma for¸ca de atrac¸˜ao entre os corpos conhecida como adesa˜o, a qual tem origem nas for¸cas atrativas interato ˆmicas. O atrito ´e consequ ˆˆencia da necessidade de vencer estas for¸cas atrativas. Quando n˜ao h´a movimento relativo das superfic´ıes de dois corpos em contato falamos em atrito est´atico. Quando acontece movimento relativo entre as superf´ıcies dizemos que ocorre atrito cin´etico ou dina ˆmico.

O movimento relativo entre duas superf´ıcies em contato pode ser um escorregamento puro, um rolamento puro (tamb´em chamado de rolamento sem deslizamento) e, no caso mais geral, rolamento com deslizamento. Obviamente, a forma geom´etrica do corpo ´e fundamental para o tipo de movimento relativo. Um corpo s´o pode exibir rolamento puro se possuir uma se¸c˜ao circular (cilindro ou esfera, por exemplo). Desse modo as for¸cas de atrito podem ser classificadas como atrito de escorregamento e atrito de rolamento, as quais ser˜ao analisadas a seguir.

ATRITO DE ESCORREGAMENTO

O atrito ´e uma das experiˆencias mais familiares ao ser humano e possui uma longa histo ´ria. Um dos primeiros a estudar de forma sistem´atica o atrito foi o italiano Leonardo da Vinci, que analisou o movimento de um bloco retangular sobre uma superf´ıcie plana. Por volta de 1500 ele estabeleceu duas leis. A primeira afirma que as ´areas em contato n˜ao tem efeito sobre o atrito e a segunda que se o peso do objeto ´e dobrado, o atrito tamb´em ser´a dobrado. Tamb´em foi observado por da Vinci que o atrito ´e diferente para diferentes materiais.

As leis de da Vinci foram redescobertas no s´eculo XVII pelo f´ısico francˆes Guillaume Amontons. Ele teorizou que o atrito era o resultado do trabalho realizado para levantar uma superf´ıcie sobre a rugosidade da outra, bem como o trabalho para realizar a deformac¸a˜o da superf´ıcie.

Novos estudos sobre esse assunto foram realizados por Charles Coulomb, estabelecendo claramente que a for¸ca de atrito ´e proporcional `a for¸ca compressiva (forc¸a normal). Coulomb tamb´em estabeleceu que a for¸ca de atrito n˜ao depende da velocidade, uma vez iniciado o movimento.

Quando h´a movimento relativo entre as superf´ıcies em contato, dizemos que h´a uma forca de atrito cin´etica. Em outras palavras, quando existe uma velocidade relativa n˜ao nula entre o contato das superf´ıcies.

As leis fenomenol´ogicas de Amontons-Coulomb que descrevem o atrito de escorregamento podem ser expressas como

(a) A for¸ca de atrito ´e independente da ´area aparente de contato.

(b) O atrito ´e proporcional `a carga normal.

(c) O atrito cin´etico ´e aproximadamente independente da velocidade de deslizamento.

Pela segunda lei do atrito, o m´odulo da for¸ca de atrito cin´etico ´e proporcional ao m´odulo da for¸ca normal N . Matematicamente temos que:

Fc = µcN, (1)

onde µ c ´e o coeficiente de atrito cin´etico.

Mesmo quando n˜ao h´a movimento relativo entre as superf´ıcies, pode haver for¸cas de atrito. Essa

for¸ca ´e denominada atrito est´atico. Consideremos um bloco em repouso apoiado sobre uma

superf´ıcie plana horizontal. Se aplicamos uma for¸ca F Ԧ tamb´em horizontal, sabemos da experiˆencia que o bloco s´o se move em relac ¸a˜o `a superf´ıcie horizontal quando o m´odulo da forca F atinge um valor cr´ıtico que denominaremos (F _e ) _max . Esse valor m´aximo ´e proporcional a N, ou seja,

(Fe)max = µeN, (2)

onde µ e ´e o coeficiente de atrito est´atico.

Diferentemente da for¸ca de atrito cin´etico, que ´e aproximadamente constante, a for¸ca de atrito est´atico pode variar entre o valor nulo (quando n˜ao existe for¸ca paralela `a superficie) at´e o valor m´aximo (F _e ) _max . Assim,

0 ≤ F e ≤ µ e N. (3)

Os conteu ´dos acima s˜ao abordados em todos os livros de f´ısica de nivel superior e tamb´em em livros de n´ıvel m´edio de ensino. Esses conteu ´dos s˜ao apresentados sempre ap´os as leis de Newton, como uma aplicac¸˜ao dessas leis e, o que ´e importante, em um contexto te´orico no qual o corpo sob an´alise ´e modelado como uma part´ıcula. Contudo, h´a situa¸c˜oes em que o modelo de part´ıcula ´e claramente inadequado. Na referˆencia [1] ´e analisado o deslocamento lateral da for¸ca normal sobre um corpo (um bloco) em equilibrio est´atico ou dina ˆmico, apoiado sobre uma superf´ıcie plana sujeito a uma for¸ca de atrito. J´a na referˆencia [2] ´e discutido o equ´ıvoco de se utilizar o modelo de part´ıcula para se calcular o trabalho realizado pela for¸ca de atrito cin´etico que age sobre um corpo que escorrega. Outra situa¸c˜ao que mostra o limite do modelo de part´ıcula ´e o de rolamento, conforme analisado na referˆencia [3].

ROLAMENTO

Movimentos de corpos que rolam s˜ao muitos comuns no dia a dia. Como exemplos ´obvios podemos citar os movimentos das rodas de uma bicicleta ou de um automo ´vel. Tamb´em ´e muito comum o uso de esferas em experimentos em plano inclinado. O pr´oprio Galileu realizou experiˆencias desse tipo [4].

Figura 1: Distribuição de velocidade de um corpo rígido que rola sem deslizamento.

No caso de rolamento n˜ao podemos tratar o corpo como uma part´ıcula. Um modelo adequado para esse caso ´e o de corpo r´ıgido o qual, por definic˜ao, ´e um sistema no qual a dista ˆncia entre duas part´ıculas do corpo ´e inaltera´vel ou, em outras palavras, o corpo ´e indeforma´vel. Obviamente, nenhum corpo real ´e perfeitamnete r´ıgido, mas em muitos casos essa ´e uma idealizac¸a˜o conveniente.

Vamos iniciar nossa an´alise pelo caso ideal de rolamento sem deslizamento ou rolamento puro.

Rolamento puro. Cinem´atica

Quando um corpo com simetria axial (um cilindro, uma esfera, um anel) rola sobre uma

superf´ıcie plana e cada ponto da periferia da roda n˜ao desliza sobre o plano, dizemos que acontece um

rolamento sem deslizamento ou rolamento puro. Para fixar ideia, consideremos um cilindro de raio

R rolando sem deslizar sobre uma superf´ıcie horizontal. Quando ele gira de um ˆangulo θ, o ponto de contato do corpo com a superf´ıcie horizontal ter´a se deslocado de uma dista ˆncia s, tal que

s = Rθ. (4)

Essa ´e a dista ˆncia percorrida pelo centro de massa do corpo quando o mesmo gira de um ˆangulo θ. Derivando a equa¸c˜ao (4) em relac¸a˜o ao tempo obtemos que

vcm = ωR, (5)

onde v cm = ds/dt ´e a velocidade de translac¸a˜o do centro de massa e ω = dθ/dt ´e a velocidade angular de rotac ¸˜ao do corpo em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa. A eq.(5) ´e a condi¸c˜ao necessa´ria para que ocorra rolamento sem deslizamento.

Enquanto o centro de massa do corpo movimenta-se em uma trajet´oria retil´ınea, um ponto na borda do corpo descreve uma trajet´oria denominada cicl´oide [Ver Apˆendice]. Essa trajet´oria pode ser visualizada colocando-se uma fonte luminosa na borda de um cilindro que rola sobre uma superf´ıcie plana.

Vamos agora determinar a velocidade de um ponto qualquer do corpo. O movimento mais geral de um corpo r´ıgido ´e uma combinac¸a˜o de translac¸˜ao e rotac¸˜ao [5]. Desse modo, pode-se decompor a velocidade de uma part´ıcula arbitra´ria de um corpo r´ıgido em dois termos: um que representa a velocidade instantaˆnea de translac¸a˜o e outra que representa a velocidade instantaˆnea de rotac ¸a˜o. Assim, a velocidade de um ponto qualquer do cilindro ser´a

Ԧ v = Ԧ v cm + ω Ԧ × Ԧ r, (6)

onde, como j´a definido Ԧ v cm ´e a velocidade de translac¸a˜o do centro de massa e Ԧ r ´e o vetor posi¸c˜ao relativo ao centro de massa. Considerando o eixo perpendicular ao plano do movimento como sendo o eixo z, tal que ω Ԧ = −ωzˆ e Ԧ r = Ԧ z + ρ Ԧ, onde Ԧ z = zzˆ e ρ Ԧ ´e a componente de Ԧ r contida no plano de movimento, ent˜ao ω Ԧ × Ԧ r = ω Ԧ × (Ԧ z + ρ Ԧ) = ω Ԧ × ρ Ԧ, j´a que ω Ԧ × Ԧ z = 0. Assim, a eq.(6) fica

Ԧ v = Ԧ v cm + ω Ԧ × ρ Ԧ. (7)

A Figura 1 ´e uma representac¸a˜o gr´afica da eq.(7). V´arias conclus˜oes podem ser tiradas da Figura 1:

(a) O ponto de contato da roda com o plano horizontal tem velocidade resultante nula, o que significa que n˜ao ocorre deslizamento. O contato do cilindro com o plano acontece ao longo de uma geratriz, cuja velocidade no instante de contato ´e nula.

(b) A velocidade de qualquer ponto da roda possui direc¸˜ao perpendicular `a linha que liga esse ponto ao ponto de contato.

(c) O centro do corpo desloca-se com uma velocidade Ԧ v cm , enquanto o ponto superior da roda desloca-se com o dobro dessa velocidade (2 Ԧ vcm).

A conclus˜ao (a) acima nos permite realizar a seguinte discussa˜o. Como a velocidade relativa de

escorregamento entre as superf´ıcies ´e nula, isso significa que, no caso de rolamento puro, n˜ao pode

haver atrito cin´etico entre as superf´ıcies. Em outras palavras, no caso de rolamento puro de um

corpo r´ıgido, se existe atrito ele ´e necessariamente est´atico j´a que a velocidade relativa de

escorregamento ´e nula. Deve ser observado que h´a um movimento relativo entre o centro de massa do

corpo e a superf´ıcie sobre a qual o corpo rola. O que n˜ao h´a ´e um movimento relativo das

superf´ıcies em contato e essa ´e a raz˜ao pela qual, nesse caso, n˜ao h´a atrito cin´etico.

Figura 2: Forças que atuam sobre um corpo rígido de seção circular de raio R submetido a uma força F. Só uma análise posterior pode determinar se o sentido de Fat está correto.

Se a Eq. (5) n˜ão é obedecida teremos um rolamento com deslizamento. Se v _cm > ωR teremos um rolamento com deslizamento de translac¸a˜o. Isso acontece quando, por exemplo, um carro ´e freiado bruscamente, provocando derrapagem. Por outro lado, quando v cm < ωR h´a um rolamento com deslizamento de rotac¸˜ao. Um exemplo desse caso se d´a quando um carro desliza sobre uma pista de lama e os pneus giram com velocidade angular tal que v cm < ωR. Essa descric¸˜ao cinem´atica do rolamento ´e realizada pelos principais livros textos universita ´rios utilizados nos cursos de f´ısica b´asica. Supreendentemente, a an´alise dinaˆmica desse caso ´e quase completamente ignorada.

DINˆAMICA DO ROLAMENTO DE UM CORPO R´IGIDO SOBRE UM PLANO HORIZONTAL

Vamos agora analisar a dinaˆmica do rolamento em um plano horizontal. Vamos considerar ambos os corpos (o corpo que rola e o plano horizontal) ideais, i.e., corpos r´ıgidos perfeitos.

Vamos considerar o corpo se movendo sobre um plano horizontal submetido a uma for¸ca motriz horizontal F Ԧ aplicada a uma certa altura h do plano (Figura 2) e a uma for¸ca de atrito F Ԧ at a qual, provisoriamente est´a orientada para a esquerda. Apenas uma an´alise posterior pode determinar se esse sentido ´e correto ou n˜ao. As equa¸c˜oes de movimento para o s´olido s˜ao:

F − F

= Ma

(8)

F (h − R) + FatR = Iα = Mk 2

α, (9)

onde M ´e a massa do corpo, I ´e o momento de in´ercia do corpo calculado em relac ¸a˜o a um eixo passando pelo seu centro de massa, α ´e a acelerac¸a˜o angular do corpo em torno desse eixo e k ´e o raio de girac¸a˜o (para uma esfera k ² = 2R ² /5, para um cilindro k ² = R ² /2 e para um anel k ² = R ² ). Das express˜oes acima e utilizando que a cm = αR obtemos

(10)

Para a esfera, o cilindro e o anel temos explicitamente

Vemos da equa¸c˜ao acima que a depender do intervalo de h, a for¸ca de atrito pode ter sentido oposto ou n˜ao ao movimento do centro de massa do corpo e, inclusive, ser nula.

Para a esfera, por exemplo, vemos que no intervalo 0 ≤ h < 7R/5, a for¸ca de atrito ´e positiva (F at

> 0), o que significa que seu sentido coincide com aquele mostrado na Figura 2. Para h = 7R/5

temos que F at = 0, enquanto que no intervalo 7R/5 ≤ h ≤ 2R a for¸ca de atrito ´e negativa (F < 0),

logo o seu sentido ´e contra´rio ao indicado na Figura 2. Uma an´alise semelhante se aplica ao cilindro e ao anel. O ilustra a situa¸c˜ao para uma esfera de raio R = 20 cm submetida a uma for¸ca F = 5 N .

Podemos discutir v´arios aspectos interessantes a partir dos resultados acima. Em primeiro lugar vemos que existe um valor cr´ıtico de h para o qual a for¸ca de atrito se anula, independente do valor de F. Isso mostra que pode haver rolamento de um corpo sobre uma superf´ıcie plana mesmo na ausˆencia de atrito. Isso ´e importante porque, como os livros textos tratam quase exclusivamente de rolamento sobre um plano inclinado, sem tratar da dinaˆmica de rolamento sobre uma superf´ıcie horizontal, isso induz os estudantes a imaginar que a for¸ca de atrito ´e sempre uma condi¸c˜ao necessa´ria para a existˆencia do rolamento.

Vemos tamb´em que se a for¸ca F est´a aplicada a uma altura maior que esse valor cr´ıtico, a for¸ca de atrito tem o mesmo sentido do movimento do centro de massa do corpo, i.e., a for¸ca de atrito contribui para aumentar a acelerac¸˜ao do corpo. Esse resultado s´o ´e estranho quando analisado no contexto do modelo de part´ıcula. No contexto do modelo de corpo r´ıgido, no qual deve-se levar em conta outras grandezas dina ˆmicas na an´alise do movimento, como o torque, esse resultado ´e perfeitamente compreens´ıvel.

Outra consequˆencia interessante das Eqs. (10) ou (11) ´e que se a for¸ca F for nula, i.e., se n˜ao existe for¸ca motriz, a for¸ca de atrito se anula. Nesse caso ideal (so ´lidos e superf´ıcies inderforma´veis),

desprezando a resistˆencia do ar, As u ´nicas for¸cas que atuam no corpo que rola sem deslizar sobre uma superf´ıcie horizontal, s˜ao a for¸ca peso e a normal, ambas aplicadas no centro de massa do corpo.

Mas, por que raza ˜o a for¸ca de atrito ´e nula no rolamento puro em um plano horizontal? o motivo ´e que, nesse caso ideal, se houvesse uma for¸ca de atrito n˜ao nula retardando o movimento, o torque produzido por essa for¸ca aumentaria a velocidade angular do corpo mas, ao mesmo tempo, essa for¸ca de atrito diminuiria a velocidade do centro de massa do corpo, o que ´e absurdo. Enta˜o, a for¸ca de atrito deve ter o mesmo sentido do movimento de translac¸a˜o do corpo? Nesse caso, o torque produzido por F at provocaria a diminuic¸˜ao da velocidade angular do corpo enquanto a velocidade do centro de massa aumentaria com o tempo. As duas situa¸c˜oes s˜ao absurdas, o que significa que em um plano horizontal a for¸ca de atrito (entre o plano e o corpo que rola) ´e nula e, portanto, v cm = ωR = constante. Uma an´alise detalhada dessa situa¸c˜ao ´e feita na Referˆencia [3].

Gráfico 1: Fat em função de h para uma esfera de raio R = 20cm

submetida a uma força F = 5N.

Figura 3: Forças que atuam sobre um corpo deformável. Deve ser notado que a força N está deslocada em relação à posição de um corpo perfeitamente rígido.

ATRITO DE ROLAMENTO

Por que ´e muito mais f´acil deslocar um corpo que possui rodas (um m´ovel de escrit´orio, por exemplo) do que o mesmo corpo sem rodas? A resposta a essa questa˜o nos remete ao conceito de atrito de rolamento.

Sabemos da experiˆencia que um corpo s´olido que rola em um plano hor- izontal perde velocidade e p´ara ap´os certo tempo. Enta˜o por que o corpo p´ara? al´em da resistˆencia do ar (arrasto aerodinaˆmico) h´a o atrito de rolamento que surge devido ao fato de que nem o corpo nem o plano s˜ao perfeitamente r´ıgidos e, assim, no movimento de rolamento, ambos sofrem deformac¸o ˜es, o que d´a origem ao atrito de rolamento. Considermos, para fixar ideia, um cilindro que rola em um plano horizontal. Vamos considerar que as deformac¸˜oes ocorrem exclusivamente no corpo que rola.

Um exemplo dessa situa¸c˜ao seria um pneu de automo ´vel trafegando sobre uma pista hor- izontal de concreto ou asfalto. A Figura 3 mostra as for¸cas que atuam sobre o corpo onde mais uma vez desprezaremos a resistˆencia do ar. Devido ao achatamento do corpo, o ponto de aplicac ¸˜ao de N Ԧ ser´a deslocado para frente por uma distaˆncia x em relac¸˜ao ao ponto em que N Ԧ atua no caso do corpo indeforma´vel. F Ԧ

at ´e a for¸ca de atrito que se op˜oe ao movimento. As equa¸c˜oes dinaˆmicas ficam agora:

F − Fat = −Macm (12)

F at R − Nx = −Iα (13)

onde I ´e o momento de in´ercia do corpo e α a acelerac ¸˜ao angular em relac¸a˜o ao centro de massa. Na referˆencia [3] ´e desenvolvida a teoria que mostra por que o corpo p´ara.

Se o corpo se desloca com velocidade do centro de massa constante, as equa¸c˜oes de movimento ficam

F = Fat , (14)

F at R = Nx. (15)

Da Eq. (15) podemos definir uma grandeza adimensional µ _r tal que

µ r =x/R=F

/N (16)

onde µ _r ´e denominado coeficiente de atrito de rolamento ou coeficiente de resistˆencia ao rolamento. Deve ser observado que se o corpo ´e perfeitamente r´ıgido x = 0 e, desse modo, µ r = 0.

Isso explica porque no rolamneto puro de um corpo r´ıgido a for¸ca de atrito ´e nula. Valores t´ıpicos de µ r para pneus de carro sobre asfalto s˜ao da ordem de 0, 01 enquanto o coeficiente de atrito est´atico (µ _e ) ´e da ordem de 0, 9, ou seja, µ _r ´e cerca de 90 vezes menor que µ _e . Esses valores explicam porque ´e t˜ao mais f´acil deslocar um m´ovel que possui rodas em compara¸c˜ao com o mesmo m´ovel sem rodas.

CONCLUSÕES

Neste trabalho consideramos a dina ˆmica do rolamento sobre uma superf´ıcie horizontal plana, assunto ignorado pela maioria dos livros textos universit´arios de f´ısica b´asica, que, em geral, considera a cinem´atica de rolamento e a dinaˆmica de rolamento em um plano inclinado.

Consideramos duas situa¸c˜oes, a saber, o movimento de rolamento sem e com for¸ca motriz. A matema ´tica envolvida na an´alise desse movimento ´e bastante simples e ´e acess´ıvel inclusive para estudantes do ensino m´edio. Apesar de sua simplicidade matema´tica, essas situa¸c˜oes fornecem as condi¸c˜oes ´otimas para a introdu¸c˜ao e aprofundamento de importantes conceitos como o de corpo r´ıgido, a conserva¸c˜ao da energia, conserva¸c˜ao do momento angular, for¸cas de atrito, dentre outros.

APˆENDICE

Cicl´oide ´e a curva gerada por um ponto P sobre uma circunferˆencia que rola sem deslizar sobre uma superf´ıcie horizontal. Consideremos um c´ırculo de raio R que se move ao longo do eixo x, com o ponto P inicialmente na origem. As equa¸c˜oes param´etricas da curva descrita pelo ponto P (a cicl´oide) s˜ao dadas por

onde θ ´e o ˆangulo de rotac ¸a˜o do c´ırculo `a medida que o corpo gira.

A cicl´oide ´e de grande importˆancia na histo ´ria da ciˆencia porque ´e a solu¸c˜ao de dois problemas famosos. O primeiro ´e o problema da braquisto ´crona (menor tempo), o qual consiste na determinac¸a˜o da curva (trajet´oria) ao longo da qual um corpo deslizando sem atrito gastara´ o menor tempo poss´ıvel para ir de um ponto A a um ponto B, sob a¸c˜ao da gravidade. E ´ admitido que os pontos A e B n˜ao est˜ao na mesma vertical, cuja solu¸c˜ao, neste caso, seria uma reta.

O segundo ´e o denominado problema da tauto ´crona (tempos iguais), que consiste em determinar a forma da curva que faz com que um corpo atinja o ponto mais baixo da curva em intervalos de tempos iguais, independente- mente da altura em que o corpo ´e solto.

A solu¸c˜ao de ambos problemas ´e uma cicl´oide invertida.

REFERˆENCIAS

[1] Eden V. Costa e C. A. Faria Leite. Revista Brasileira de Ensino de F´ısica v. 32, n.4, 4301 (2010).

[2] Osman Rosa e Ronilson Carneiro Filho Leite. Revista Brasileira de Ensino de F´ısica v. 33, n.2, 2308 (2011).

[3] A. V. Andrade-Neto, J. A. Cruz, M. S. R. Milt˜ao e C. S. Ferreira. Revista Brasileira de Ensino de F´ısica v.

35, n.3, 3704 (2013).

[4] Michael Segre. Caderno de F´ısica da UEFS, 06, 87 (2008).

[5] H. Moys´es Nussenzveig. Curso de F´ısica B´asica 1: Mecânica. Editora Edgar Blu ¨cher, (1997).