EEL-001 CIRCUITOS ELÉTRICOS ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO

(1)

EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS

ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO

CAPÍTULO 4

4 VALOR MÉDIO E VALOR EFICAZ (RMS) DE UM SINAL

4 – PROPRIEDADES DAS FORMAS DE

ONDA PERIÓDICAS 4.1 – Definições T T/2 -Vm Vm v(t) v(t_o) v(to+T) t[s] wt[rad] Fig. 1 – t .sen V v(t)= m

ϖ

Vm – valor de pico T 1 f = [2] f – freqüência T - período Exemplo 1 10[V] 10[V] 0 2π 2π 2π 2π 0 0 0 0 t T T T T 2.T=40[ms] ti=0[s] [rad] T=80[ms] Fig. 2 -Dados: f = 50 [Hz] Vm = 10 [V] Logo, [ms] 20 1000 x 50 1 T= = [rd/s] f π 2 T 2π = = ϖ [3] [rd/s] 314 50 . π . 2 = = ϖ

(2)

Diferença de Fase: v(t) i(t) Vm Im + φ_o Fig. 3 -

t

sen

.

Vm

v(t)

=

ϖ

[4] Na Fig. 3, ) φ t ( sen . Im i(t)= ϖ + ₀ [5.a] avanço em ângulo 0 → φ v(t) i(t) Vm Im −φ_o Fig. 4 – Na Fig. 4, ) φ t ( sen . Im i(t)= ϖ − ₀ [5.b] atraso em ângulo 0 → φ Valor Eficaz

Seja f(t) uma função periódica genérica, que na prática pode representar um sinal de tensão v(t) ou um sinal de corrente I(t). Define-se que o valor eficaz (rms → root mean square) é dado por,

[ ]

1/2 T 0 2

.dt

f(t)

T

1 F(rms)













=

∫

[6] Conceituação: Seja f(t) = v(t) = Vm.senωt 0 π 2π V_rms [rad] [ms] T S1 S₂ V2 m v(t) Vm Vm v2_(t) Fig. 5 -

∫

T

=

+

0 1 2 2

S

(t).dt

v

[7] rms 1/2 2 1

_V

T

S

=









+

[8]

X

v(t) v2_(t) Multiplicador Analógico Cálculo do

Valor Médio Raiz QuadradaCálculo da Vrms 1

T

Fig. 6 – Diagrama em Blocos das Funções necessárias para implementação do cálculo do valor eficaz da onda de tensão. O valor Vrms é um valor contínuo no período.

Valor Médio

O valor médio Fav (av → average) é definido como,

(3)

∫

=

T 0 av

f(t).dt

T

1 F

[9.1] Conceituação: Seja f(t) = v(t) { π) t sen( V 2π t π t sen V π t 0 m m − → ≤ ≤ → ≤ ≤ ϖ ϖ ϖ ϖ 0 π 2π T = 2 π w t Vav Vm S3 S4 S5 Vm.senwt Vm sen (wt- π) Fig. 7 -

∫

T

=

+

0

v(t).dt

S

3

S

4 [9.2] a/v 4 3

_V

T

S

=

+

[10.1]

.T

V

S

₃

+

₄

=

_a_v [10.2]

Vav.T → o valor médio retrata um valor CC

tal que S5 = S3+S4

1

T Vav

v(t)

Integrador

Cálculo do Valor Médio

Fig. 8 – Diagrama em blocos para implementação do cálculo do valor

“Fav” (Vav).

Define-se que o fator de forma (form factor) é dado por, av rms f

F

K

=

_[11]

Caso f(t) seja um sinal contínuo com um valor Fd, como indicado na figura abaixo,

tem-se que, f(t) t Fd Fig. 9 - d av rms

F

=

[12]

1 K

_f

=

[13] 4.2 – Aplicações de Fav e Frms no Cálculo de Potência e de Torque Exemplo 2

(4)

R Carga Resistiva (elemento linear) v(t) i(t) (a) v(t) i(t) (b) Fig. 10 -

Como conhecido, da lei de Ohm,

R.i(t)

v(t)

=

[14]

Aplicando a definição de potência,

(t)

R.i

v(t).i(t)

p(t)

=

2 [15]

Em relação ao valor médio de p(t), tem-se que,

∫

=

T 0 2 T 0 2 T 0 av

.dt

(t)

i

T

1 .

R

.dt

(t)

R.i

T

1 .d(t)

p(t)

T

1 P

Logo, 2 rms av

R

*

I

P

=

[W] [16] Admitindo-se que, ] [ 10 R= Ω

[A]

10 I

_rms

=

Pode-se obter a potência média da Eq. 16,

[kW]

1

10 x

10 P

_av

=

2

=

Exemplo 3 v(t) i(t) K A B Valor da FCEM [V] Fig. 11 - Da definição de potência,

K.i(t)

v(t).i(t)

P(t)

=

[17]

Em relação ao valor médio de p(t), vem que,

∫

=

T 0 T 0 T 0 av

i(t).dt

T

1 .

K.i(t).dt

T

1 p(t).dt

T

1 P

K

Logo, av av

K.I

P

=

[18] Supondo-se que, ] [V 220 K=

[A]

10 I

=

A potência média é obtida da Eq. 18,

[kW]

2 .

2

10 x

220 P

av

=

(5)

Exemplo 4 Elemento Não Linear v(t) i(t) (a) v R_t Slope Resistance Característica linearizante V_to _{Threshold Voltage} (b) Fig. 12 - Da Fig. 23.b,

.i(t)

R

V

v(t)

=

_to

+

_t [19] Da definição de potência, 2 t t0

.i(t)

R

.i(t)

V

v(t).i(t)

p(t)

=

+

Em termos de valor médio de p(t),

∫

=

T 0 av

p(t).dt

T

1 P

∫

+

=

+

=

T 0 T 0 2 t t0 T 0 2 t T 0 t0

(t).dt

i

T

1 .

R

i(t).dt

T

1 .

V

(t).dt

.i

R

T

1 .i(t).dt

v

1 T

Logo, 2 rms t av t0 av

V

.I

R

.I

P

=

+

[20] Admitindo-se que,

[V]

1 V

t0

=

R

t

=

0.5 [

Ω

]

[V]

0

1 I

_tav

=

I

_trms

=

15 .

7 [A

]

Logo, 2 av

1 x

10 0,5

*

15,7

P

=

+

[W]

133,25

P

_av

=

Exemplo 5

Calcular a potência de entrada do motor de corrente contínua que possui o circuito equivalente mostrado na Fig.24a.

Id Iav=Irms=Id Id 5[A] Pi Ra 0.5[ Ω ] 200[V] Ea MCC (a) (b) Fig. 13 -

Como os sinais de v(t) e i(f) são contínuos e da Eq. 20 vem que,

Id

.

Ea

I

.

Ra

Pi

=

2_d

+

[21]

1012.50[W]

5 *

200

5 *

0.5

2

+

=

(6)

Exemplo 6

Outros casos de utilização do valor médio e do valor eficaz:

av e

K. I

T

MCC

→

=

[22]

MCC – motor de corrente contínua

rms e

K. I

T

MIT

→

=

[23]

MIT – motor de indução trifásico

cosφ

.

I

.

V

P

=

_rms _rms [24] Potência em circuito CA v(t) i(t) φ Fig. Ex. 6

4.3 – APLICAÇÕES PARA ONDA PURAMENTE SENOIDAL

Valor Eficaz → rms (Root Mean Square)

Para uma onda de tensão:

1/2 T 0 2 rms

v

(t).dt

T

1 V

=

_



∫

_



Analogamente para uma onda de corrente:

1/2 T 0 2 rms

i

(t).dt

T

1 I

=

_



∫

_



Identidades Trigonométricas:

2 cos2a

-1

a

sen

a

sen

2

1 cos2a

a

sen

2

1 a

sen

a

cos

cos2a

b

a

senb

sena

-cosb

cosa

b)

cos(a

a

sen

1 a

cos

1 a

cos

a

sen

2 2 2 2 2 2 2 2 2

=

⇒

−

=

−

=

−

=

⇒

=

+

−

=

⇒

=

+

Diretivas:

∫

= = senu cosudu cosu -senudu

Logo para a onda de tensão senoidal,

1/2 2π 0 2π 0 m 1/2 2π 0 2 m 1/2 2π 0 2 2 m 1/2 T 0 2 2 m rms d2 . t cos2 8π 1 t d . 2 1 . 2π 1 . V t d . 2 t cos2 1 .V 2π 1 t t.d sen V ωT 1 ωtdt .sen V T 1 V     − = =     − =     = =     =

∫

t ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ

(

)

(

)

1/2 m 1/2 rms 2 1 . V sen2.0 sen2.2π 8π 1 0 2π 2 1 . 2π 1 V     = =     − − − = Logo m m rms 0.707 V 2 V . V = ≈ ∗ [25]

(7)

Im Im (b) V_rms v(t) V_m V_av o (a) wt o T Fig. 14 - Analogamente, m m rms

0.707 *

I

2 I

I

=

≈

[26]

Também de acordo com [AEG-Telefunken – Manual de Thyristors/Triac – 1977] poder-se-ia ter para a definição anterior de valor eficaz que, 2 / 1 2 0 2 0 2 m 1/2 2π 0 2 m 1/2 2 0 2 2 m rms d2 cos2 2 1 .V 4π 1 )d cos2 -(1 V 4 1 d sen V 2 1 V           − =     =     =

∫

π π π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π ϕ ϕ π d

e o valor de Vrms é também dado pela

Eq. 25.

Valor Médio →→→→ av (Average) Analogamente,

∫

⇔ = = T 0 av T 0 av i(t) .dt T 1 I dt . v(t) T 1 V Logo,

[

cos

]

0 2π V t d . t sen v 2π 1 V 2π0 2π 0 m m av =

∫

ϖ

= − = Portanto, Vav = 0 [27] e Iav = 0 [28] Exemplo 7

a) Achar os valores médio eficaz da função y(t) = Ym senωt. O período é 2π. A

representação gráfica é obtida com ωt como variável independente, conforme mostra a Fig. 26. Valor Médio:

[

cos t

]

0 Y 2π 1 t) d( t sen Y 2π 1 y(t) T 1 Y 2π 0 m 2π 0 m T 0 med = − = = = =

∫

ϖ

ω

ϖ

dt Valor Eficaz: m m 2π 0 2 m T 0 2 ef Y 0,707 2 Y t) d( ) t sen (Y 2π 1 dt y T 1 Y = = = = =

∫

ϖ ω

(8)

O valor eficaz de uma função senoidal ou co-senoidal pura é 1/ 2 ou 0,707 vezes o valor máximo. 0 _π 2π _{ω t} Y -Y m m y(t) Fig. 15 -

b) Qual a potência média P em uma resistência pura de 10 ohms, onde circula uma corrente i(t) = 14,14 sen ωt [A]?

Como p(t) = i(t) = R* i2_{(t) = 2000 sen}2_{ωt e o}

período de p(t) é π, a potência média é igual a, ] W [ 1000 t) ( d ωt sen 2000 π 1 P π 0 2 = =

∫

ϖ ] W [ 1000 2000 * 2 1 P= =

Obs.: A resolução da integral acima é análoga à referida no item 7a.

4.4 – ONDA SENOIDAL RETIFICADA

Vrms Vav v(t) T 0 π wt Vm Fig. 16 – Im π wt i(t) Fig. 17 – Valor Eficaz

Para a onda de v(t) da Fig. 27,

2 / 1 π 0 π 0 m 1/2 π 0 π 0 m 1/2 π 0 2 m rms

t

td2

cos2

8π

1 t

d

2π

1 V

t

td

cos2

4π

1 -t

d

2π

1 V

t

.d

2 t

cos2

-1

V

π

1 V









−

=









=









=

∫

ω

ϖ

ω

ϖ

ω

Logo, m m rms

0 ,

707 *

V

2 V

V

=

[29]

Analogamente, para a onda de corrente i(t), da Fig. 28, m m rms 0,707*I 2 I I = = [30]

(9)

Valor Médio

[

]

[

]

M M π 0 m π 0 m av

.V

π

2

1

1 π

V

t

cos

π

V

t

t.d

.sen

V

π

i

V

=

−

=

−

=

∫

ω

m av

.V

π

2 V

=

[31]

Do mesmo modo para a corrente da Fig. 28,

m av

.

I

π

2 I

=

_[32]

Caso

V

_m

=

180 [V]

, obtém-se da Eq. 29 e da Eq. 31,

[V]

127 V

_rms

=

[V]

114.6 V

_av

=

4.5–MEIA-ONDA SENOIDAL RETIFICADA

Vm Vrms

Vav

T(2 π)

Fig. 18 –

2 / 1 m 1/2 π 0 m 1/2 π 0 2 m rms 4 V t d 2 1 2π V t .d 2 t cos2 -1 2 V V       =       = =       =

∫

ϖ

π

Logo, m m mrs 0.5*V 2 V V = = [33] Analogamente,

π

V

t

d

t

.sen

V

2π

1 V

π m 0 m av

=

∫

ϖ

=

Portanto, π m av V V = [34]

Para um valor de pico de Vm = 180 [V]

Obtém-se da Eq. 33 e da Eq. 34 que, Vrms = 0.5*180 = 90 [V]

(10)

4.6 – FATOR DE FORMA av rms fi av rms fv

I

K

V

K

=

⇒

=

Para onda senoidal retificada:

1.11 2 2. π .V π 2 2 / V K m m fv = = = [35]

Para meia-onda senoidal retificada:

1.57 2. π .V π 1 .V 2 1 K m m fv = = = [36]

(11)

4.7 – OUTRAS FORMAS DE ONDAS

4.7.1 – Senoidal com Ângulo de Disparo – Tipo 1

(para uso em circuitos com tiristores)

α β T wt Vm v(t) - Vm α - ângulo de disparo β -Gto A C A C I_G+ A C A C IG -ângulo de término de condução Fig. 19 - π 2 T π 2 β β t α t sen . V v(t) m → = ≤ ≤ =

ϖ

Valor Eficaz 1/2 B α 2 m 1/2 2 T 0 2 m rms .d t 2 t cos2 1 .V 2π 1 t t.d .sen V 2π 1 V =_

∫

ϖ ϖ_ = _

∫

− ϖ ϖ_ 1/2 β α β α β α m rms cos2 t.d2 8π 1 t d 8π 1 -t d 4π 1 * V V = _

∫

_ϖ

∫

_ϖ −

∫

_ϖ _ϖt _ 1/2 m (sen2β-sen2α) 8π 1 -α) -(β 4π 1 * V _ _ = Logo,

(

)

1/2 m rms sen2α sen2β 2π 1 π α -β * 2 V V = _ + − _ [37] radianos em valores ,β − α Valor Médio

∫

= − = β α m m av .V (cos cos ) 2π 1 -t d t .sen V 2π 1 V ϖ ϖ β α Portanto

(12)

) cosβ (cosα 2π V V m av = − [38]

4.7.2 – Senoidal com Ângulo de Disparo – Tipo 2

(para uso em circuitos com tiristores)

α α β T -Vm Vm wt Fig. 20 Valor Médio 0 V_av = [39] Valor Eficaz

(

)

1/2 rms sen2α sen2β 2π 1 π α -β V . 2 2 V = m_ + − _ [40] Exemplo 8 wt Fig. 21 - [V] 180 V 180 β 60 α ₌ o ₌ o _m ₌ Solução [V] 43 ) 5 . 0 1 ( 2 180 ) 60 cos 1 ( 2 180 ) 180 cos 60 (cos 2 180 V_av o o = + = + = − =

π

o [V] 80.64 V ) sen360 (sen120 2π 1 π π/3 -π 2 180 V rms 2 / 1 o o rms =     − + = Exemplo 9

Seja a forma de onda da Fig. 31, com [V] 180 V 180 β 60 α m o o = = = . Solução

(13)

[V] 114 V ) sen360 (sen120 2π 1 π π/3 π .180 2 2 V ) S (S 0 V rms 1/2 o o rms 2 1 av =     − + − = = =

4.7.3 – Onda do Tipo Retangular Pulsada

Vm v(t) tp T wt t Fig. 22 - 1/2 tp T 0 2 m 1/2 T 0 2 rms m .dt V T 1 .dt v(t) T 1 V tp t 0 V v(t)     =     ≤ ≤ =

∫

→

[

]

1/2 m rms V tp/T V = [41]

∫

= = tp 0 m T 0 av V .dt T 1 .dt v(t) T 1 V T tp . V V_av = _m [42] Exemplo 10

Para a forma de onda da Fig. 22, [V] 100 V [ms] 50 T [ms] 40 t_p= = _m = Solução [V] 89,49 50 40 * 10 V [V] 40 50 40 * 100 V 1/2 rms av =       = = = Conceituação V2_m Vrms t tp T S1 V2_m Fig. 23 - 1/2 1 1/2 T 0 2 m rms T S .dt V T 1 V _

∫

_ =_ _ p 2 m 1 V .t S = [43] t tp T S2 S3 Vav V m Fig. 24 -

As áreas S2 e S3 são dadas por,

.T V S .t V S₂ = _m _p ₃ = _av Analiticamente,

(14)

T .t V T t . V dt . V T 1 V T _m p m p 0 m av=

∫

= = 2 3 p m av.T V .t S S V = ⇒ = [44]

4.7.4 – Onda do Tipo Triangular

Im to T t Fig. 25 - T t . 2 Ip I 0 av= [45] 1/2 o rms 3T t . Ip I _      = [46] Im A B T Fig. 26 - b a t B t A → → T B A . 2 I I m av + = [47] 1/2 p rms .T B B A I I       ₊ = [48] 5. MEDIDORES TRUE RMS a) Beckman / True rms

O Multímetro Beckman calcula o valor médio e o valor eficaz através da conceituação clássica. +16V t [ms] 5 S1 S2 T=20 15 -20V Fig. 26 - Valor Médio

(

16x15 5x20

)

7[V] . 20 1 V_av = − = Valor Eficaz [V] 17,08 .5 20 . 20 1 15 . 16 . 20 1 dt . 20) ( 20 1 dt . 16 20 1 V 1/2 2 2 1/2 20 15 2 15 0 2 rms =     + = =     − + =

∫

(15)

b) Fluke / True rms

Vav → idem Beckman Vav = 7 [V]

O valor eficaz é calculado da seguinte maneira: 15 5 27 7 9 20 16 t[ms] 16V -20V Parcela CA 15 5 27[V] 9[V] t'[ms] t[ms] Parcela CC 7V t' (valor médio)

+

Fig. 27 -

O valor rms da parcela CA da Fig. 39 é igual a,

[V]

15,58

x5

27 x

20

1

15 x

9 x

20

1 V

1/2 2 2 CArms

=









+

=

O valor eficaz total é dado através da parcela VAV e da parcela VCArms.

[V] 17,08 15,58

7

V_rmstot = 2 + 2 =

A freqüência do sinal é igual a, [Hz] 50 10 x 20 1 T 1 f = = ₋₃ = 6 – CONTROLADOR DE POTÊNCIA

(16)

T T m ciclos n ciclos Tt Tt I_rmst wt p(t) P_av Pavt i(t) T=1/f Po i(t) R_L Virms/f (a) (b) Irms wt Fig. 28 -

A corrente Irmst será dada por,

1/2 rms 1/2 rms rmst n m m. . I n).T (m m.T . I I t     + =       + = [49] Como, L irms rms R V I = Sendo que

t

sen

R

V

2. i(t)

L irms

_ϖ

=

Logo, obtém-se que,

2 / 1 L rms

n

m

.

R

Virms

I

t









+

=

[50]

A potência total Pavt é dada por,

nT mT mT . Pav P_avt + = [51] Como, L 2 irms 2 L irms L 2 rms L av R V R V . R I . R P _ =      = =

(17)

Finalmente,

n

m

.

R

V

P

L 2 irms avt

+

=

_[52] 20[s] 10[s]

T_ON Período de aplicação_{da potência}

5[s] T_op _{período de operação} (a) 100% da Potência (b) (c) Fig. 29 - Prova: n m m . R V n m m . R V R I R P L 2 irms 2 L 2 irms L 2 rmst L avt + = + ∗ = ∗ =

ANEXO I

∫

= T 0 av f(t)dt T 1 F (I.1)

∫

= T 0 2 (rms) i (t)dt T 1 I (I.2) ... I I I

I_S(av) = _1(av)+ _2(av)+ _3(av)+ (I.3)

∗ ∗ + + + = I I I ... I_S(rms) _1(rms)2 2_2(rms) 2_3(rms) (I.4) ** se i1(t), i2(t), i3(t), ... forem funções ortogonais. Onda Retangular F_p t_p T t Fig. I.1 - p (rm) p (av) p

I

.

d

I

.

d

I

T

t

d

=

(I.5) Pulso Trapezoidal I_B T t_p I_A Fig. I.2 -

(18)

3 I .I I d(I I 2 ) I d(1 I T t d 2 B B A 2 A rms B A av p + + = + = = Pulso Triangular I_p T t_p i(t) t Fig. I.3 – 3 d I I 2 d I I p rms p av = = Onda Senoidal α β T=2 π Ip t Fig. I.4 - T β) 2 sen α 2 (sen α) 2(β 2 1 I I T cosβ -cosα I I p rms p av − + − =     = (I.7) α, β e T em radianos [rad].