Parametrização e Movimentação de Curvas e Superfícies para uso em Modelação Matemática DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC-SP

Marcos de Miranda Paranhos

Parametrização e Movimentação de Curvas e Superfícies

para uso em Modelação Matemática

DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC-SP

Marcos de Miranda Paranhos

Parametrização e Movimentação de Curvas e Superfícies

para uso em Modelação Matemática

DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Tese apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de Doutor em Educação Matemática sob a orientação da Profa. Dra. Ana Lúcia Manrique.

Dedicatória

Dedico essa pesquisa ao professor Richard Parris da Phillips Exeter Academy, USA, que desenvolveu e disponibilizou gratuitamente o software Winplot. Sua competência e disponibilidade foram fundamentais para a motivação e realização desta pesquisa.

Dedico também a todos que tenham contato com ela e que como eu, se encantem com suas ideias e possibilidades.

Agradecimentos

Agradeço à minha orientadora Profa. Dra. Ana Lúcia Manrique, por sua rara qualidade profissional de conduzir sem jamais determinar o que se deva fazer, de respeitar ideias, de saber voltar atrás e saber ser firme quando preciso. Por sua lealdade e companheirismo nos momentos difíceis.

Agradeço à Banca Examinadora que se debruçou sobre minha pesquisa e apresentou valiosas contribuições.

Agradeço à PUC-SP, onde me graduei, me licenciei, me tornei mestre e exerço minha profissão de Professor Universitário. Pela excelência da formação que me ofereceu e pelas oportunidades que proporcionou ao meu desenvolvimento profissional, incluindo bolsa de estudo na formação e auxílio de capacitação docente na forma de horas de estudo remunerado.

Agradeço aos amigos e chefes, Profa. Dra. Cristiana Abud da Silva Fusco, do departamento de Matemática da Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologia da PUC-SP e Prof. Dr. Giuseppe Milone, do departamento de Atuárias e Métodos Quantitativos da Faculdade de Economia e Administração da PUC-SP, pela oportunidade que me deram de vivenciar o ensino dos conteúdos tratados nesta pesquisa.

Agradeço aos meus pais Mário e Nair, pela educação que me proporcionaram, na qual o valor da cultura, a condição e o estímulo para desenvolvê-la, sempre estiveram presentes. Agradeço também a eles, pelos sacrifícios que fizeram ao me proporcioná-la e o apoio que sempre me deram.

PARAMETRIZAÇÃO

E

MOVIMENTAÇÃO

DE

CURVAS

E

SUPERFÍCIES PARA USO EM MODELAÇÃO MATEMÁTICA

Marcos de Miranda Paranhos

Resumo

Esta pesquisa tem como tema conteúdos tradicionalmente ministrados nas disciplinas matemáticas do Ensino Superior. As curvas e superfícies estudadas no Cálculo Diferencial e Integral e na Geometria Analítica e as transformações da Álgebra Linear são alguns desses conteúdos. A questão proposta é quais são as possibilidades de elaboração de atividades de sistematização, articulação e aplicação de objetos matemáticos estudados nas disciplinas de CDI, GA e AL, para aprofundar o estudo dessas disciplinas?

Verificou-se a forma como eles são ensinados para apresentar propostas de aprofundamento, articulação e aplicação dos mesmos, na perspectiva da Modelação Matemática, a fim de aprimorar os resultados obtidos no seu aprendizado e utilização. Foram desenvolvidas com o uso da metodologia da Engenharia Didática atividades de Modelação Matemática em ambiente computacional para serem trabalhadas com alunos que já cursaram essas disciplinas. Em uma primeira etapa foram propostas quatro atividades para familiarizar o aluno com a parametrização de curvas e superfícies, com as transformações e com o uso do software Winplot. Essa etapa visou a habilitar os alunos a descrever e movimentar objetos da realidade em ambiente computacional, usando expressões e objetos da Matemática. Na segunda etapa, foram propostas quatro atividades para reproduzir situações da realidade, que podem ser expressas e modificadas por meio dos objetos matemáticos estudados e modelados na primeira etapa. As formas de trabalho apresentadas na pesquisa não dispensam aquilo que já é realizado, mas apresentam perspectivas favoráveis especialmente em dois aspectos: na profundidade que se pode dar aos objetos estudados, trazendo questões difíceis de se tratar em outros contextos, e na forma de trabalho que se mostra agradável e estimulante.

PARAMETERS AND DRIVE CURVES AND SURFACES FOR USE IN

MATHEMATICAL MODELLING

Marcos Miranda Paranhos

Summary

This research is themed content traditionally taught in mathematical disciplines of Higher Education. The curves and surfaces studied in the Differential and Integral Calculus and Analytic Geometry and transformations of Linear Algebra are some content. The proposed question is what are the development of systematic activities possibilities, articulation and application of mathematical objects studied in the disciplines of CDI, GA and AL, for further study of these subjects?

It was the way they are taught to present deepening proposals, articulation and application thereof, in view of Mathematical Modelling in order to enhance the results achieved in their learning and use. Were developed using the methodology of Didactic Engineering Mathematical Modelling activities in computational environment to be worked with students who have studied these disciplines. In the first stage there were four proposed activities to familiarize the student with the parameterization of curves and surfaces, with the changes and using the Winplot software. This step aimed to enable students to describe and move objects of reality in computing environment, using expressions and objects of mathematics. In the second stage, were proposed four activities to reproduce situations of reality, which can be expressed and modified by means of mathematical objects studied and modeled in the first stage. The forms of work presented in the survey do not dispense what is already done, but have favorable prospects especially in two respects: the depth that can be given to the objects studied, bringing difficult issues to deal with in other contexts, and in the form of work shown enjoyable and stimulating.

SUMÁRIO

Capítulo 1

Justificativa

1.1 Tema . . . .01

1.2 Problemática . . . .01

1.3 Hipótese . . . 03

1.4 Objetivos . . . .06

Capítulo 2

Fundamentação Teórico-Metodológica

2.2 Modelagem Matemática no âmbito Escolar . . . 09

2.3 Revisão bibliográfica sobre o tema. . . 17

2.4 Engenharia Didática. . . .23

Capítulo 3

Análises Preliminares

3.2 Justificativa das atividades propostas . . . .29

3.3 Justificativa do Ambiente Computacional . . . .33

Capítulo 4

Concepção e Análise a Priori

4.2 Atividade com Equações Paramétricas no Espaço Tridimensional. . . .51

4.3 Atividade com Curvas Espaciais . . . .87

4.4 Atividade com Transformações no Espaço Bidimensional . . . .96

4.5 Atividade com o Modelo Helicoidal. . . 117

4.6 Atividade com o Modelo de Gravitação Circular. . . 123

4.7 Atividade com o Modelo de Animação 3D. . . .129

4.8 Atividade com o Modelo de Antena Parabólica . . . 134

Considerações

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Capítulo 1

Justificativa

Neste capítulo apresenta-se o Tema, a Problemática, a Hipótese e os Objetivos da pesquisa.

1.1 Tema

Esta pesquisa tem como tema alguns conteúdos tradicionalmente ministrados nas disciplinas matemáticas do Ensino Superior. As disciplinas de Álgebra Linear (AL), Cálculo Diferencial e Integral (CDI) e Geometria Analítica (GA) são domínios importantes da Matemática do Ensino Superior, especialmente da área de Ciências Exatas e apresentam conteúdos que serão utilizados pelos futuros profissionais. As curvas e superfícies estudadas no CDI e na GA e as transformações da AL são alguns desses conteúdos.

Pretende-se verificar a forma como eles são ensinados e as dificuldades encontradas, para apresentar propostas de aprofundamento, articulação e aplicação dos mesmos, na perspectiva da Modelação Matemática, a fim de aprimorar os resultados obtidos no seu aprendizado e utilização.

1.2 Problemática

Neste tópico observa-se como a Matemática está presente no cotidiano de alguns profissionais e como foram formados. É nesse contexto que se insere a questão da pesquisa.

Segundo Braumann (2002), a curiosidade do Homem, aliada às ideias e necessidades das diversas Ciências, é um dos fatores que faz com que o conhecimento evolua. Isso ocorre com a Matemática e com as Ciências que dela fazem uso. Nesse processo muito conteúdo matemático foi desenvolvido e, apesar de se produzir Matemática independente das aplicações, grande parte do que foi feito e aprimorado se deu no contexto das aplicações. Essa ideia está presente no pensamento de pesquisadores da área de Educação Matemática:

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No que se refere ao desenvolvimento profissional, Bassanezi (1999) defende que é consenso entre vários profissionais, que o bom desempenho de especialistas como o Físico ou o Engenheiro está ligado à sua formação Matemática. A consciência da necessidade da Matemática nas formações profissionais está bastante difundida na sociedade atual. O aluno de hoje, que vive em um mundo tecnológico, necessita da integração entre as diversas áreas das Ciências e a Matemática.

O professor de Matemática, ao ministrar determinado conteúdo, deve ter em mente que este será utilizado futuramente, em conjunto com outros tantos, na realização de tarefas ligadas àquela área de formação. Fazer essa conexão entre a Matemática e as diversas áreas que dela fazem uso, não é tarefa simples e, o professor, muitas vezes não consegue realizá-la adequadamente. Como consequência, há uma situação bem conhecida no ambiente educacional, em que aquilo que se ensina fica desvinculado da realidade e sem o menor interesse e significado para a maior parte dos alunos.

Possíveis razões para isso são a falta de vínculo dos conteúdos com as realidades dos cursos em que são ministrados e a falta de vínculos entre esses conteúdos.

Para Bassanezi (1999), a dificuldade do professor de Matemática não está nos conteúdos matemáticos que ele estudou, muitas vezes, estudou conteúdos além dos que utilizará como professor. O problema está no processo que orientou sua formação. Em geral, as disciplinas são tratadas de modo independente uma das outras, consideradas como prontas e acabadas, sem origem e sem futuro. São quase sempre apresentadas e desenvolvidas de maneira formal, através de teoremas e demonstrações. As aplicações, quando feitas, só exigem o conteúdo recém-ensinado.

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integração dos conhecimentos. Ou seja, não é apresentada a ele a interdisciplinaridade.

Para Teodoro (1997), apesar da prática dominante nos processos de ensino-aprendizagem ser ainda a que corresponde a um modelo de transmissão de conhecimento, há hoje um consenso generalizado na investigação em Educação de que é necessário substituir essa prática por outra que esteja mais de acordo com um modelo construtivista da aprendizagem. Segundo ele, de acordo com a perspectiva construtivista da aprendizagem, é fundamental reconhecer que o aluno constrói o seu próprio conhecimento, a partir do que já sabe e do que é capaz de fazer, inserido em contextos sociais, culturais e funcionais.

Nesse contexto, a questão proposta é: Quais são as possibilidades de elaboração de atividades de sistematização, articulação e aplicação de objetos matemáticos estudados nas disciplinas de CDI, GA e AL, para aprofundar o estudo dessas disciplinas e torná-lo mais significativo?

1.3 Hipótese

As formas de trabalho dos professores, de maneira geral, não têm atingido os resultados desejados e propostas no sentido de melhorar esses resultados são investigadas na Educação Matemática.

De acordo com Gravina (1998), baseado na teoria do desenvolvimento cognitivo proposta por Piaget, pode-se perceber que o pensamento matemático é assim como o pensamento humano, requer intuição, senso comum, apreciação de regularidades, senso estético, representação, abstração, generalização, entre outros.

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Nesse processo que se baseia inicialmente nas ações concretas sobre objetos concretos e, finalmente nas ações abstratas sobre objetos abstratos, é que se constrói os esquemas e conceitos do aprendizado. Nos desequilíbrios entre as experiências e estruturas mentais já definidas e a nova experiência, é que se faz o sujeito avançar no desenvolvimento cognitivo e do conhecimento. Piaget propõe que esse processo é bastante natural. O novo objeto de conhecimento é assimilado pelo sujeito, por meio de esquemas e conceitos pré-existentes e é percebido de certa maneira. Esse novo objeto produz conflitos internos que são superados pela acomodação das estruturas cognitivas e ele passa a ser percebido de outra forma. Nesse processo é construído o novo conhecimento.

Na formação matemática dos alunos, além de levá-los a obter conhecimento na área, é preciso estar atento ao desenvolvimento cognitivo do sujeito no processo de fazer matemática, que é um processo de assimilação versus acomodação, de construção simultânea de conhecimento matemático e de estruturas mentais.

Se por um lado a teoria de Piaget mostra uma continuidade natural na formação das estruturas cognitivas, desde os primeiros esquemas até as estruturas que respondem pelo pensamento formal abstrato, por outro, o processo de ensino e aprendizagem que se tem institucionalizado não leva em conta essa naturalidade. No momento em que as crianças ingressam na escola, em geral, são privadas de suas ações e experiências de caráter concreto e também de caráter abstrato, criando, ao longo da vida escolar, um processo de recepção de informação, em vez de aprendizado. Esta situação pode explicar os baixos níveis de pensamento abstrato dos alunos ao chegarem ao Ensino Superior, segundo Gravina (1998).

Nessa concepção Construtivista, a Modelagem Matemática é uma proposta que busca em situações da realidade, formas de utilizar objetos matemáticos, dar-lhes significado, criando e usando modelos que se adaptem ao objeto de estudo.

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de ambiente adequado e de recursos diferenciados dos da sala de aula já podem ser superadas. A autora afirma que:

É um desafio que envolve aspectos como a própria construção dos ambientes, a formação de professores e novas propostas curriculares. Mas por outro lado, não é difícil pensar num futuro para a educação em que os ambientes informatizados vão ultrapassar sua função de simples ferramentas de apoio ao pensar, na forma que a psicologia cognitiva hoje explica, passando então, a ter papel fundamental no próprio desenvolvimento de novas capacidades cognitivas do indivíduo; ainda hoje não imaginadas. E com consequências sobre a própria natureza do conhecimento e do conhecimento matemático, em particular (GRAVINA, 1998, p.22).

Segundo Valente (1993), os softwares gráficos são extremamente úteis tanto para o aluno quanto para o professor. Essa é uma das maiores mudanças ocorridas no ensino. Como aconteceu com o cinema, que resultou da junção do teatro e da câmera, o mesmo está acontecendo com o uso dos computadores na educação. Com a criação de programas de manipulação da informação, vê-se mudar a maneira como se ensina e como se relaciona com os fatos e com o conhecimento.

Os profissionais da Educação Matemática, que já estão cientes do ensino sem significado que, na maioria das vezes, praticam e dos recursos de que dispõem na atualidade não podem se omitir às mudanças a serem realizadas. Combinando as alternativas apresentadas, a hipótese da pesquisa é:

Atividades de Modelação Matemática, desenvolvidas em ambiente computacional, envolvendo objetos matemáticos das disciplinas de CDI, GA e AL devem possibilitar a sistematização, articulação e o aprofundamento do estudo dessas disciplinas. Além disso, a utilização desses objetos matemáticos, na modelagem de situações da realidade, pode dar-lhes significado e aplicabilidade.

Vai ao encontro dessa hipótese a seguinte afirmativa:

Uma outra parte da Matemática é a de construir teorias ou modelos

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1.4 Objetivos

Considerando a hipótese de que atividades de Modelação Matemática, desenvolvidas em ambiente computacional, apresentam-se como alternativa na sistematização, articulação, aprofundamento e significação dos objetos matemáticos estudados, tem-se como objetivo geral:

Desenvolver atividades de Modelação Matemática para alunos do Ensino Superior da área de Ciências Exatas, realizando a sistematização, a articulação e a aplicação de objetos matemáticos estudados nas disciplinas de CDI, GA e AL, promovendo o aprofundamento e o significado do estudo dessas disciplinas.

Mais especificamente:

• Eleger entre os conteúdos tradicionalmente ministrados nas disciplinas de AL,

CDI e GA objetos matemáticos que se prestem à modelação e à aplicabilidade.

• Modelar esses objetos matemáticos em ambiente computacional para

sistematizá-los, articulá-los e aprofundar os estudos.

• Criar modelos usando esses objetos matemáticos em ambiente computacional,

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Capítulo 2

Fundamentação Teórico-Metodológica

Neste capítulo apresenta-se a Modelagem Matemática no âmbito das Ciências, como prática de pesquisa e no âmbito Escolar, como prática educativa. Apresenta-se ainda um panorama geral das pesquisas já realizadas sobre o tema e uma análise de alguns trabalhos selecionados em consulta ao Banco de teses da CAPES1. Por fim, apresenta-se a metodologia da pesquisa, evidenciam-se suas características e justifica-se o uso de parte de seus pressupostos.

2.1 Modelagem Matemática no âmbito das Ciências

Os Platonistas2 _{já afirmavam que os objetos matemáticos existem} independentemente do conhecimento que se tem sobre eles e que os matemáticos não inventam nada, apenas descobrem o que já existe. Isso significa que se pode afirmar que em situações da realidade, estão implícitos modelos matemáticos e que eles precisam ser desvendados. Um bom exemplo, é o estudo do movimento de um objeto em queda livre ou jogado verticalmente para cima, que resulta em uma parábola: um objeto matemático que pode ser representado por uma equação ou gráfico. Existe um paralelo entre as propriedades matemáticas dessa função e o fenômeno da realidade, pois o ponto de máximo da função é a altura máxima atingida pelo objeto, as raízes da função correspondem aos tempos inicial e final do movimento e o coeficiente angular da reta tangente à curva em algum ponto, corresponde à velocidade naquele ponto. As relações entre conceitos matemáticos e fenômeno físico já estavam presentes na Natureza antes de o Homem se interessar por seu estudo e formalizá-lo.

Na história do desenvolvimento da Matemática, essas situações são recorrentes. A busca por solução de problemas de outras áreas de conhecimento, fez com que surgisse o desenvolvimento de Matemática de caráter abstrato e desenvolvimentos teóricos, acabam apresentando-se como ferramentas para tratar de problemas de aplicabilidade de outras áreas de conhecimento. Trata-se da Modelagem Experimental, originada nas Ciências Naturais e desenvolvida na

1 _{A Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior é uma agência de fomento à}

pesquisa brasileira que atua na expansão e consolidação da pós-graduação stricto sensu (mestrado e doutorado), em todos os estados do país.

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Matemática Aplicada, na qual os pesquisadores têm o objetivo de modelar situações empíricas e possuem um grande ferramental matemático para a resolução dos mais variados problemas.

Nesse processo, é comum buscar modelos que facilitem as pesquisas e, segundo Sodré (2007), conceitualmente um modelo matemático ou simplesmente modelo, pode ser apresentado como uma representação de um sistema real, o que significa que um modelo deve representar o sistema e a forma como ocorrem as modificações nele. Ainda, segundo o autor, o ato de modelar, conhecido como modelagem, pode ser aplicado a um grande número de problemas. Por exemplo, a forma da asa de um avião, um estudo populacional, um estudo físico e até mesmo, um sistema matemático, como o conjunto dos números naturais. Existem pelo menos dois tipos de modelos em pesquisa: o modelo real e o modelo abstrato. Ao realizar um modelo sobre a forma da asa de um avião, o usual é construir um modelo físico e nele realizar a pesquisa. Já no estudo de uma população, deve-se usar um modelo abstrato e empregar a linguagem matemática para defini-lo.

Um modelo abstrato pode ser construído pela divisão de um sistema real em várias partes, tentando entender o seu comportamento através da interação que ocorre entre as partes. Ao construir o modelo é necessário construir algumas hipóteses, com as quais devem estar relacionadas as variáveis e descrevê-las matematicamente. Um modelo abstrato também pode ser construído de maneira intuitiva, fazendo alguma suposição inteligente acerca do sistema real a ser modelado, na forma de um conjunto de equações, que poderão ser usadas caso a resposta seja adequada. _É bastante comum uma mistura dos dois métodos nas práticas de modelagem.

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questões das hipóteses alternativas. Informações do mundo real podem ser passadas para o modelo matemático, dando uma abordagem unificada e, muitas vezes, estimulando a colaboração e o trabalho em equipe.

Com frequência, o modelo proporciona um resumo conveniente dos dados e, em um modelo, pode-se usar métodos de interpolação, aproximação, extrapolação e previsão de dados. Um bom modelo pode ser usado para sugerir prioridades para a pesquisa e desenvolvimentos aplicados. Se a sugestão for usada com cautela, pode ajudar o responsável pela pesquisa a tomar decisões importantes.

2.2 Modelagem Matemática no âmbito Escolar

A Modelagem na escola não tem os mesmos parâmetros da Modelagem Experimental das Ciências Naturais e da Matemática Aplicada, pois é entendida como uma concepção de ensino e aprendizagem.

Para Baggio (2008), a Modelagem Matemática é um método de pesquisa bastante utilizado que analisa situações e fenômenos existentes na vida real e que tem como objetivo chegar a um modelo que representa a situação estudada. Atualmente esse método está presente nas discussões de Educação Matemática, pois o processo para se chegar a um modelo contribui para o aprendizado do aluno, que tem a oportunidade de aprender conceitos matemáticos, utilizando-os em algum contexto da realidade.

Atividades e estudos de Modelagem Matemática no contexto da Educação internacional, são relativamente recentes. No final dos anos 1970 e início dos anos 1980, precursores brasileiros como Rodney Carlos Bassanezi e Ubiratan D’Ambrosio apresentaram suas primeiras ideias de como fazer um modelo matemático e ensinar Matemática ao mesmo tempo. Atualmente diversos pesquisadores brasileiros se dedicam ao tema como alternativa ao chamado “método tradicional”. Examinando algumas dessas ideias, percebem-se diferentes concepções a respeito do uso da Modelagem Matemática na Educação.

Para um dos precursores,

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Isso propicia ao aluno aprender matemática de forma contextualizada, integrada e relacionada a outros conhecimentos. Nesse processo, o aluno é quem procura ativamente compreender o mundo que o rodeia, por meio da ação com o objeto da realidade. Já o professor é o mediador que auxilia e orienta as ações entre o aluno e o objeto, fazendo com que haja reflexão sobre o que se pretende aprender.

Para outro precursor, D’Ambrósio (1986), a Modelagem Matemática se caracteriza pela dinâmica “realidade-reflexão sobre a realidade”, partindo do que já é conhecimento do aluno para se chegar a um saber mais elaborado e constituído historicamente. Em seguida, voltar à mesma realidade, agindo sobre ela com um olhar mais reflexivo e crítico. Sua proposta implica apresentar uma situação problema capaz de motivar os estudantes a aprender a teoria matemática, ensinar a teoria e retornar à situação problema para modelá-la e respondê-la.

Para outro pesquisador do tema,

A Modelagem Matemática constitui-se em um conjunto de procedimentos cujo objetivo é construir um paralelo para tentar explicar matematicamente, os fenômenos presentes no cotidiano do ser humano, ajudando-o a fazer predições e a tomar decisões

(BURAK, 1992, p.62).

Ao utilizar a Modelagem Matemática com os alunos, os professores encontram algumas dificuldades. Biembengut (2003) observa que o professor não sabe que caminhos o modelo poderá tomar e talvez venha a fornecer um modelo com dificuldades de adequação ao currículo estabelecido. Diante desse obstáculo Biembengut faz uma adaptação da Modelagem Matemática para Modelação Matemática, em que o professor pode optar por determinados modelos, fazendo sua recriação em sala de aula, juntamente com os alunos, de acordo com o nível em questão e obedecendo ao currículo inicialmente proposto.

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Frente às diferentes concepções, no uso da modelagem como alternativa didática, pode-se concordar que:

Em relação às aplicações da Matemática na Modelagem, duas

alternativas mostram-se bem delineadas: Uma primeira visão consiste em adaptar conceitos e estruturas matemáticas aos fenômenos da realidade, muitas vezes, sujeitando essa realidade a tender aos modelos matemáticos que lhes são atribuídos. Numa segunda alternativa temos situações da realidade servindo como fonte para a obtenção de novos conceitos e estruturas matemáticas. Assim, em se tratando da investigação em Matemática, é comum a combinação das duas alternativas(BASSANEZI, 1999, p.11).

Duas visões distintas podem ser identificadas nas concepções de modelagem apresentadas pelos autores citados. A primeira, em concordância com Burak e D’Ambrósio, nos leva a concluir que o currículo deve ser organizado em torno das aplicações, já que a ênfase é colocada no processo de resolução de problemas aplicados. A segunda, baseada na proposta de Biembengut, orienta-se pelo ensino do conteúdo programático a partir de modelos matemáticos aplicados nas diversas áreas do conhecimento. Bassanezi propõe a mescla das duas e busca estabelecer relações com outras áreas, com base na própria Matemática. Considera a Matemática e sua estrutura como um guia e a modelagem como uma forma de introduzir novos conceitos.

Esta pesquisa identifica-se tanto com a ideia de reproduzir um fenômeno da realidade com possibilidades de manipulação, como com a ideia de que nesse processo possa-se estudar e compreender melhor as estruturas matemáticas envolvidas. Uma base sólida em Matemática, aliada às práticas de Modelagem, além de reforçar a compreensão da própria Matemática, pode trazer excelentes resultados em termos de aplicabilidade e crítica à realidade.

Cabe aqui uma posição quanto às concepções e uso das terminologias Modelagem Matemática e Modelação Matemática.De acordo com Barbosa (2001), a alteração de foco proposta por Biembengut pode gerar uma argumentação pela mudança da terminologia de Modelagem para Modelação. Apesar disso, na Educação Matemática brasileira, em geral, o termo reconhecido continua sendo Modelagem.

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Entende-se também, conforme Biembengut, que a Modelação Matemática é o ensino do conteúdo programático com base em modelos matemáticos aplicados. Portanto, no âmbito da Educação Matemática, pode-se pensar que a Modelação Matemática é um aspecto da Modelagem Matemática, pois:

Sempre que se trabalha com uma situação real, está necessariamente explícito ou implícito um modelo dessa situação. O conhecimento do alcance dos limites do processo de modelação matemática, e a capacidade para compreender, explorar, construir e analisar criticamente modelos matemáticos simples; são importantes objetivos que o desenvolvimento da Matemática e de suas aplicações na sociedade moderna colocam como da maior relevância educativa. Valorizar claramente esta perspectiva, é um dos mais sérios desafios que presentemente se põe no ensino dessa disciplina (PONTE, 1992, p.19).

Em conformidade com o apresentado, esta pesquisa usa a terminologia Modelagem Matemática para tratar do processo de ensino e aprendizagem, que se baseia em contextos da realidade, que apresentam ou inspiram modelos matemáticos. Já a terminologia Modelação Matemática é usada no processo de ensino e aprendizagem, que utiliza modelos matemáticos pré-determinados e que podem ser aplicados na reprodução de contextos da realidade. É importante ressaltar que a concepção e terminologia Modelação Matemática é a que melhor se aplica ao que se desenvolve nesta pesquisa.

Cabe ainda acrescentar, conforme Teodoro (1997), que frequentemente confunde-se Modelação Matemática e Simulação Matemática. Pode-se considerar um espectro de situações possíveis desde uma situação de modelação até uma situação de simulação. O que caracteriza a simulação é a representação visual de um processo ou de um fenômeno, sem a manipulação do modelo. A modelação é a representação formal, através de expressões quantitativas (ou qualitativas), de relações entre variáveis, que descrevem o processo ou o fenômeno. A característica determinante da modelação é a manipulação das expressões que traduzem as relações entre as variáveis.

Analisando os estudos nacionais e internacionais sobre Modelagem Matemática, Barbosa (2001) faz uma classificação de casos de Modelagem.

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dados fora da sala de aula, todo o trabalho se dá partindo de uma situação e de um problema oferecido pelo professor.

No segundo caso, o professor traz para a sala um problema de outra área da realidade, cabendo aos alunos a coleta das informações necessárias à sua resolução. Eles buscam dados fora da sala de aula e fazem simplificações que ajudem a resolver o problema.

No terceiro caso, a partir de temas não-matemáticos, os alunos formulam e resolvem problemas. Eles também são responsáveis pela coleta de informações e simplificação das situações-problema.

Em todos os casos o professor participa na investigação dos alunos, dialogando com eles, acerca de seus processos, porém em cada caso, as participações de ambos são descritas pelo autor, conforme quadro abaixo:

Quadro 1 ₋ Participação dos alunos e dos professores nas etapas da modelagem

Elaboração da

situação problema Simplificação Dados qualitativos e quantitativos Resolução

Caso 1 professor professor professor professor e aluno

Caso 2 professor professor e aluno professor e aluno professor e aluno

Caso 3 professor e aluno professor e aluno professor e aluno professor e aluno

fonte: Baseado em Barbosa (2001)

Para o desenvolvimento de uma atividade com Modelagem Matemática, Burak (1992) sugere cinco etapas:

1) Escolha do tema: o professor deve apresentar aos alunos alguns temas ou incentivá-los a escolherem algum de seu interesse.

2) Pesquisa exploratória: após a escolha do tema, os alunos e o professor buscam dados e informações sobre o que desejam investigar.

3) Levantamento dos problemas: de posse dos dados coletados os alunos são incentivados a levantar questões pertinentes ao tema.

4) Resolução dos problemas com o desenvolvimento do conteúdo matemático: busca-se respostas para os problemas levantados, com o auxílio dos conteúdos matemáticos a serem sistematizados.

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Já Biembengut (2003) propõe as seguintes etapas: 1) escolha do tema central a ser desenvolvido pelos alunos;

2) pesquisa para coletar dados quantitativos e informações que possam auxiliar a apresentação de hipóteses;

3) elaboração de problemas que serão distribuídos para os grupos de interesses comuns;

4) abstração no sentido de selecionar as variáveis essenciais envolvidas nos problemas e formular as hipóteses;

5) sistematização dos conceitos que serão usados na resolução dos modelos matemáticos e que fazem parte do conteúdo programático do curso em questão; 6) interpretação da solução de maneira analítica e com possíveis representações

gráficas;

7) validação dos modelos que devem ser os mais coerentes possíveis com a realidade pesquisada. Caso o Modelo não seja adequado, o sistema deve ser retomado com novas pesquisas, tornando assim o processo dinâmico;

8) e quando o Modelo é satisfatório deve-se procurar utilizá-lo fazendo previsões, análises, ou qualquer outra forma de ação sobre a realidade.

Biembengut acrescenta que, o processo de Modelagem quando aplicado em cursos regulares, precisa sofrer algumas alterações levando em conta: o grau de escolaridade dos alunos, o tempo disponível que existe para o trabalho extraclasse, o programa a ser cumprido, o estágio em que o professor se encontra em relação à Modelagem e o nível de apoio dado pela escola ao professor para implantar a Modelagem.

Percebe-se, nessas propostas, que as etapas são semelhantes, porém, na proposta de Biembengut, o mais importante não é a obtenção do modelo, mas o caminhar pelas etapas de onde vão emergindo os conteúdos matemáticos.

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a Matemática desenvolve na sociedade, no sentido de questionar e melhorar a realidade.

Quanto à realização de atividades de modelagem em ambientes informatizados, Teodoro (1997) acrescenta que essas podem promover:

• a interação entre os colegas, uma vez que por escassez de recursos ou porque a

maioria dos professores reconhece que a prática de atividades em grupo é fundamental para o desenvolvimento dos alunos;

• a oportunidade de o aluno manipular objetos formais como entidades reais. Uma

função não é mais uma sequência de símbolos, é um objeto com que se pensa e que pode representar relações quantitativas de determinadas situações;

• a facilidade do aluno em se concentrar no significado dos objetos formais em vez

de se concentrar nos processos de resolução de relações entre variáveis. Uma equação diferencial é algo que representa o modo como uma grandeza varia e o conhecimento do processo de resolução dessa equação não é obrigatoriamente necessário para se utilizá-la;

• a possibilidade de manipulação de diferentes representações de um objeto

matemático, facilita a construção de relações entre essas representações. Uma função pode ser representada por uma equação ou por um gráfico e estes estão relacionados;

• a escrita sobre as características dos comportamentos dos modelos, que é um

processo determinante na construção do conhecimento;

• a análise do mesmo modelo em contextos diferentes. Uma função quadrática

pode representar diversas situações;

• a correção e a adaptação de modelos incorretos; • a previsão da influência das variáveis no modelo.

Por outro lado, a modelação computacional também permite a familiarização do aluno com os aspectos formais dos processos e dos fenômenos. E a familiarização é um fator determinante nos processos de compreensão.

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• os cursos regulares possuem um programa já definido e a proposta de cumpri-lo

na íntegra, frente ao processo da modelagem que pode ser lento, torna o tempo disponível não suficiente;

• o uso de modelagem foge da rotina do ensino tradicional e os alunos, que estão

habituados a ver o professor como aquele que transmite o conhecimento, podem não compreender sua nova posição de co-responsáveis pelos resultados;

• a formação heterogênea dos alunos, pode dificultar o relacionamento entre os

conhecimentos teóricos adquiridos com a situação estudada;

• o professor não se sente confiante em desenvolver modelagem em seus cursos,

por falta de conhecimento do processo, ou por medo de ser colocado em situação embaraçosa quanto às aplicações da matemática em áreas que desconhecem.

Barbosa (2001) deixa as seguintes questões acerca do desenvolvimento do ambiente de Modelagem Matemática:

• quais as dificuldades decorrentes da implementação da Modelagem nos

currículos?

• quais as dificuldades dos alunos nas atividades de Modelagem?

• como o conhecimento prévio interfere na prática das atividades de Modelagem? • de que maneira os alunos constroem suas argumentações matemáticas?

• como os alunos transitam da situação-problema para o conceito matemático? • que impacto as atividades de Modelagem podem ter nas concepções

matemáticas dos alunos?

• como a intervenção do professor interfere nas atividades dos alunos? • de que forma os professores conduzem atividades de Modelagem? • como os professores conduzem as atividades de Modelagem?

• como os programas de formação em Modelagem podem influir nas práticas dos

professores?

• que saberes podem ser produzidos no ambiente de Modelagem?

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de dificuldades previamente planejadas, aplicar o material produzido em algum contexto da realidade para aprofundar e dar maior significado ao estudo convencionalmente realizado.

2.3 Revisão bibliográfica sobre o tema

Segundo mapeamento realizado por Biembengut (2008) sobre pesquisas apresentadas nas dissertações e teses acadêmicas, sobre Modelagem Matemática no ensino brasileiro, no período de 1976 a 2007; quase todas apontam vantagens na relação ensino e aprendizagem com o uso da Modelagem. Apesar disso ainda há resistência por parte de estudantes e professores da Educação Básica e Superior em adotá-la, já que eles têm dificuldade em compreender e solucionar situações que requerem algum tipo de raciocínio matemático. O fenômeno ocorre também no âmbito internacional. Na Alemanha, segundo Schwarzkopf apud Biembengut (2009), os estudantes não seguem uma lógica na resolução de um problema, mas sim seguem a tendência da sala de aula. No Japão, conforme Osawa apud Biembengut (2009), os estudantes são bonsem resolver questões matemáticas, mas na utilidade dessa matemática são fracos.

Biembengut observa que as ações pedagógicas do movimento de Modelagem Matemática da educação brasileira inauguraram um novo modo de promover conhecimentos e formas de transmitir experiências e concepções matemáticas. As primeiras experiências apontaram possibilidades, avanços e dificuldades. Novas concepções e novos caminhos contribuíram para aumento de pesquisas e experiências.

A autora ainda aponta que, apesar do crescente interesse pela Modelagem, há poucas evidências sobre mudanças na educação frente ao número de adeptos e interessados. Não se dispõe de mapeamento de todas as ações de Modelagem e de como é entendida e adotada pelos professores na educação brasileira. O que tem sido possível identificar é a produção acadêmica que está em bibliotecas e eventos deEducação Matemática.

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A autora evidencia que a maior parte das pesquisas apresentadas nas dissertações e teses utiliza práticas de salas de aula como campo de pesquisa e que existe uma forte defesa em relação ao método.

Para Biembengut, há concepções distintas de Modelagem Matemática no ensino entre os autores. Nos primeiros trabalhos da década de 80, sob orientação de Bassanezi ou D’Ambrosio, a concepção era apresentar uma situação problema capaz de motivar os estudantes a aprender a teoria matemática, ensinar a teoria, e então retornar à situação problema para modelá-la e respondê-la. Não esbarrava em questões de ordem curricular como objetivos, ementas ou avaliações. Os trabalhos, a partir de 1990, passam por outras duas concepções, uma defendida por Biembengut (Modelação) em que o professor pode optar por determinados modelos, de acordo com o currículo proposto e outra voltada às aplicações matemáticas e não ao processo clássico de modelagem.

Os trabalhos experimentais que constam nestas pesquisas são realizados com alunos de 5ª e 6ª séries do Ensino Fundamental, 1ª série do Ensino Médio e em alguns casos, com alunos de Cálculo Diferencial Integral I na Educação Superior. São raras as aplicações utilizando matemática mais complexa ou situações de outras áreas do conhecimento que requerem modelos matemáticos.

Em consultas realizadas no banco de teses da CAPES, usando como tema Álgebra Linear, Cálculo Diferencial e Integral, Geometria Analítica, Modelagem Matemática e Modelação Matemática, obtiveram-se várias pesquisas distribuídas nas diversas áreas do conhecimento. Dessas, por afinidade de tema e nível escolar, optou-se por uma leitura aprofundada de algumas que são comentadas a seguir:

A produção matemática dos alunos em ambiente de modelagem. Ana Paula dos Santos Malheiros

Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Rio Claro Educação Matemática, Mestrado, 01/04/2004

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Biorritmo, Alimentação dos Peixes, Cloroplastos, Leveduras e Vaca Louca). Conclui-se que conteúdos já aprendidos são utilizados pelos alunos e que novos conceitos associados ao Cálculo Diferencial e Integral podem ser introduzidos e desenvolvidos com o uso da Modelagem.

A pesquisa foi selecionada por apresentar o tema da Modelagem Matemática e por envolver a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral. Nela a ênfase foi colocada na análise dos resultados obtidos, em termos de aprendizado matemático, com o uso da Modelagem, não sendo abordadas questões de integração das disciplinas matemáticas.

Modelagem Matemática e Tecnologias de Informação e Comunicação. Fabio Vieira dos Santos

Universidade Estadual de Londrina

Ensino de Ciências e Educação Matemática, Mestrado, 01/03/2008

A pesquisa foi sobre atividades de Modelagem Matemática mediadas pelo uso do computador, com alunos do 2.º ano do Curso de Licenciatura em Matemática que cursavam a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II.

Foram analisados documentos produzidos pelos alunos, gravações de áudio e vídeo e o diário de uma testemunha de campo. Nas atividades (Plantando grama em um jardim, Financiamento da casa própria, Exposição ao ruído no restaurante universitário, O desflorestamento da Amazônia, Tanques dos postos de combustível e Crescimento da população brasileira) os softwares utilizados foram Modellus, Maple, Curve Expert e Excel.

As informações coletadas permitiram verificar o uso que os alunos fizeram do computador na exploração ou construção de um modelo matemático, bem como observar aspectos que puderam contribuir para aprendizagem da Matemática. Elas sinalizaram que a associação da Modelagem com as Tecnologias de Informação e Comunicação (mais especificamente o computador) favorece a compreensão e estimula atividades que contribuem para o desenvolvimento da criatividade no que diz respeito à busca por soluções de problemas que a sociedade atual pode colocar.

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e nos conteúdos matemáticos trabalhados. Não foram abordadas questões de integração das disciplinas matemáticas.

Cálculo, Tecnologias e Modelagem Matemática: As Discussões dos Alunos. Jussara de Loiola Araújo

Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Rio Claro

Educação Matemática, Doutorado, 01/04/2002

Nessa pesquisa faz-se uma análise detalhada da postura do professor e dos alunos de Cálculo Diferencial e Integral I, em um curso de Química, de uma universidade pública do Estado de São Paulo, enquanto estão desenvolvendo projetos de Modelagem Matemática em ambientes computacionais. O software utilizado foi o Maple e os temas eram clássicos em cursos de Cálculo.

Foi analisada a postura do professor e dos alunos durante as aulas e as atividades de modelagem. Utilizaram-se gravações de áudio e vídeo e entrevistas individuais. Foi apontado que o ambiente de ensino e aprendizagem de Cálculo, no qual a Modelagem Matemática e as Tecnologias Informáticas estavam presentes, é fértil em possibilidades levantadas pela Educação Matemática.

A pesquisa foi selecionada por apresentar o tema da Modelagem Matemática, por envolver a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral e o ambiente computacional. Nela a ênfase foi colocada na análise da postura do professor e dos alunos frente aos projetos de Modelagem Matemática em ambientes computacionais, não sendo abordadas questões de integração das disciplinas matemáticas.

Como sobrevivem as diferentes noções de Álgebra Linear nos cursos de Engenharia Elétrica e nas Instituições

Joelma Iamac Nomura

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo Educação Matemática, Mestrado, 01/10/2008

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Os resultados foram obtidos com base em pesquisas bibliográficas, documentos oficiais vigentes para os cursos de Engenharia Elétrica, entrevistas com professores desta graduação e exercícios aplicados citados nas entrevistas. Para a análise, buscou-se, na Teoria Antropológica do Didático (TAD) de Chevallard (1999), articular as diversas noções expostas que constituem a tríade objeto-pessoa-instituição.

Entre os resultados obtidos, verificou-se que a aprendizagem de conceitos de Álgebra Linear como Matrizes, Sistemas Lineares e Transformações Lineares, está atrelada às relações existentes com outras disciplinas da graduação como Circuitos Elétricos, Processamento de Sinais, Teoria Eletromagnética, entre outras. Após análise das informações obtidas, percebeu-se que a antecipação de determinados conteúdos específicos da graduação poderia ser trabalhada com exemplos propostos em livros atuais de Álgebra Linear. Outra sugestão, apontada no discurso dos professores, faz referência a projetos integrados que tratem a interdisciplinaridade inerente a esse curso

A pesquisa foi selecionada por envolver a disciplina de Álgebra Linear. Nela a ênfase foi colocada na análise dos conteúdos estudados e na questão da utilidade desses conteúdos em disciplinas não matemáticas, não sendo abordadas questões de integração das disciplinas matemáticas.

Formação Básica em Engenharia: a articulação das disciplinas pelo Cálculo Diferencial e Integral

Janice Valia de Los Santos

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo Educação (Currículo), Doutorado, 01/10/2009

A pesquisa teve por objetivo estudar a articulação das disciplinas de formação básica nos cursos de engenharia por meio do Cálculo Diferencial e Integral. Propôs-se uma metodologia que orientasPropôs-se as atividades de cálculo e que fosPropôs-se uma experiência integrativa no curso. Estudou-se também a postura do professor junto à aprendizagem do aluno. Desenvolveu-se uma pesquisa de campo com a disciplina Cálculo Diferencial e Integral que pertence à formação básica dos cursos de Engenharia da Universidade Cruzeiro do Sul.

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aluno adquiriu conhecimento científico, desenvolveu criatividade como também conceitos básicos para a resolução de problemas em sua formação específica.

A pesquisa foi selecionada por envolver a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral e atividades integrativas. Nela a ênfase foi colocada na questão da utilidade dos conteúdos de Cálculo Diferencial e Integral em disciplinas não matemáticas, não sendo abordadas questões de articulação das disciplinas matemáticas.

Mobilização e Articulação de Conceitos de Geometria Plana e de Álgebra em estudos da Geometria Analítica

Adnilson Ferreira de Paula

Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões Educação Matemática, Mestrado, 01/12/2011

A pesquisa teve como objetivo principal investigar a mobilização e articulação de conceitos de Geometria Plana e de Álgebra em estudos da Geometria Analítica por alunos de um curso de Licenciatura em Matemática. Para tanto, elaborou-se uma sequência de atividades, fundamentada nos princípios da Engenharia Didática e embasadas na Teoria dos Registros de Representação Semiótica.

Com a intenção de provocar e favorecer as conversões entre registros, utilizou o software Grafeq, além do papel e lápis. Os dados utilizados para análise foram coletados com base na observação de escrita, áudio e vídeo dos alunos, atuando durante a sequência didática realizada em um laboratório de informática.

Os resultados obtidos permitiram concluir que os alunos apresentaram dificuldades tanto no tratamento quanto na conversão entre registros. As conversões entre os registros não ocorreram de forma imediata e observaram-se dificuldades de tratamento praticamente em todos os conceitos trabalhados. Foi possível perceber que as retroações oferecidas pelo software foram fundamentais para que os alunos manifestassem algum tipo de evolução em suas estratégias.

A pesquisa foi selecionada por envolver as disciplinas de Álgebra e Geometria. Nessa pesquisa, embora haja integração de disciplinas matemáticas, a ênfase foi colocada na análise dos resultados obtidos em ambiente computacional na conversão entre registros, sem preocupação com as questões da Modelagem Matemática.

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metodologia da Engenharia Didática, propostas na hipótese desta pesquisa, apresentam aspectos pouco explorados. A ênfase da proposta está na sistematização, na articulação e no aprofundamento de conteúdos ministrados nas disciplinas de AL, CDI e GA, além de sua significação na modelagem de contextos da realidade, diferentemente do que foi encontrado.

2.4 Engenharia Didática

A Engenharia Didática é uma metodologia de pesquisa que surgiu no início da década de 1980, com a finalidade de analisar situações didáticas que são objeto de estudo da Didática da Matemática. Ela foi concebida para organizar procedimentos metodológicos nas pesquisas em Educação Matemática e é formada em parte por conceitos de teorias existentes no campo da Educação Matemática.

Conforme Pommer (2013), a Engenharia Didática foi idealizada por Brousseau como suporte metodológico para as pesquisas em Didática de Matemática e desenvolvida e descrita por Artigue (1996). Posteriormente, ela se difundiu em nível mundial e no Brasil, Autores como Almouloud (2007), Machado (2002) e Pais (2002), realizam pesquisas sobre esse assunto.

O termo Engenharia Didática faz uma analogia ao trabalho do engenheiro quanto à concepção, planejamento e execução de um projeto. Trata-se da execução de um projeto no pleno sentido, que envolve desde a gestação inicialdas ideias, até a execução prática que será quase sempre na sala de aula.

A Engenharia Didática é uma metodologia de pesquisa traduzida como:

Uma sequência de aulas concebidas, organizadas e articuladas no tempo, de forma coerente, por um professor-engenheiro para realizar um projeto de aprendizagem para uma certa população de alunos. No decurso das trocas entre professor e alunos, o projeto evolui sob as reações dos alunos e em função das escolhas e decisões do professor (Douady apud MACHADO, 2002, p. 198).

E ainda:

Como um esquema experimental baseado sobre “realizações didáticas” em sala de aula, isto é, sobre a concepção, a realização, a observação e a análise de sequências de ensino (MACHADO, 2002, p. 199).

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• Numa primeira fase, conhecida como “Análises Preliminares”, são feitas

ponderações envolvendo o quadro teórico, o contexto de ensino, as concepções e as dificuldades encontradas pelos alunos. O levantamento dos diversos obstáculos a serem considerados permitirá a análise dos fatores que irão superar os problemas observados na aprendizagem, em conformidade com os objetivos da pesquisa.

• Numa segunda fase ocorre a “Concepção e Análise a Priori” das situações

didáticas. Nesta fase a pesquisa delimita as variáveis de comando, que são as variáveis didáticas, para as quais as escolhas de valores provocam modificações nas estratégias de resolução de problemas; de modo a fazer evoluir o desempenho dos alunos.

• A terceira fase da Engenharia Didática corresponde à “Experimentação”, que

consiste basicamente no desenvolvimento da aplicação da Engenharia Didática, aplicada a um grupo de alunos, objetivando verificar as ponderações levantadas na análise a priori.

• A quarta fase, que corresponde à “Análise a Posteriori e Validação”, se apóia

sobre o conjunto de dados obtidos ao longo da experimentação pelo pesquisador. Esta fase se caracteriza pelo tratamento dos dados colhidos e a confrontação com a análise a priori, permitindo a interpretação dos resultados e em que condições as questões levantadas foram respondidas. Nessa fase é possível analisar se ocorrem e quais são as contribuições para a superação do problema, caracterizando a validação interna do objetivo da pesquisa.

O papel do professor na elaboração de uma Engenharia Didática é buscar situações de aprendizagem em que os alunos possam dar sentido ao conhecimento, através da aplicação dos saberes adquiridos em situações de realidade e também pelo movimento inverso de obtenção de saberes pelo estudo de situações de realidade que possam apresentar novos saberes. Na realização dessas atividades, o professor deve criar um ambiente propício e estimular os alunos a tomar a iniciativa na busca do conhecimento.

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entender que o professor elaborou uma situação possível de ser resolvida, mesmo que em parte, de acordo com os conhecimentos que ele já possui.

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Capítulo 3

Análises Preliminares

Neste capítulo apresenta-se um breve histórico sobre funções e suas representações, com o propósito de justificar as áreas e conteúdos matemáticos abordados bem como as dificuldades apresentadas no seu ensino. Justificam-se os tipos de atividades propostas e o ambiente adequado à sua realização.

3.1 Justificativa das áreas e dos conteúdos matemáticos abordados

De acordo com informações extraídas de Botelho e Rezende (2007), o conceito de função, que hoje é utilizado pelos diversos ramos da ciência, teve origem nas tentativas de filósofos e cientistas de encontrar métodos para descrever e estudar fenômenos da realidade. Embora já houvesse tentativas anteriores de expressar a ideia, o conceito de função levou muito tempo para ser aperfeiçoado e apenas a partir do século XVIII começou a ser usado de forma explícita.

Em 1673, Leibniz (1646-1716) utilizou pela primeira vez a palavra “função” para indicar quantidades que variavam ao longo de uma curva. Para chegar a esse conceito de relação entre grandezas que variam, foi necessária a definição do conceito de variável, o que ocorreu a partir da simbolização da Álgebra. René Descartes (1596-1650) usou as primeiras letras do alfabeto para quantidades conhecidas e as últimas para as desconhecidas, como fazemos até hoje. A associação de curvas a equações algébricas e o uso de um sistema de coordenadas para relacionar as variáveis envolvidas nas equações, deu origem ao que hoje chamamos de Geometria Analítica.

No século XVII os principais temas em estudo eram as curvas e os conceitos a elas associados. Para Bernoulli (1667-1748), cada função poderia ser representada por uma única expressão analítica. Já para Fourier (1768-1830), uma grande quantidade de funções poderia ser representada por outra expressão analítica (série de Fourier), num dado intervalo. Esclarecia-se a confusão entre dois conceitos aparentemente idênticos, mas bem diferentes: o conceito de “função” e o conceito de “sua representação analítica”.

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curva como a tangente num ponto, a área sob a curva, o comprimento e a velocidade de um ponto ao longo de uma curva, levou a estabelecer relações entre estas variáveis. Grandes matemáticos desse tempo estudaram a variação das grandezas associadas às curvas e prepararam o terreno para que Newton e Leibniz estabelecessem os fundamentos do Cálculo Diferencial e Integral.

Observando a História percebe-se que para expressar alguma situação da realidade em linguagem matemática, geralmente utilizam-se variáveis relacionadas por relações ou funções. O estudo dessas relações e funções está no campo do CDI, originando curvas e superfícies que precisam ser parametrizadas e necessitam de conhecimentos de GA. A movimentação dessas curvas e superfícies, requer os fundamentos da AL.

Em conformidade com o apresentado sobre o estudo das relações e funções do CDI e da parametrização de curvas e superfícies da GA, os conteúdos a serem abordados nesta pesquisa são: as Equações Explícitas, Equações Implícitas e Equações Paramétricas (nos Espaços Bidimensional e Tridimensional). Já da AL os conteúdos a serem abordados são os Espaços Vetoriais e as Bases e Matrizes de Transformação.

Para verificar como é realizado o estudo desses conteúdos nos livros e como isso se reflete na sala de aula, optou-se pela análise de livros que são mais utilizados.

No domínio do CDI, os livros analisados foram “Cálculo A” (Flemming, 2007) e “Cálculo B” (Flemming, 2007).

No primeiro volume, há um tópico sobre parametrização de curvas, denominado: “Coordenadas Polares”. Nele há uma definição, acompanhada de ilustração, de coordenada polar. São apresentadas parametrizadas em coordenadas polares, acompanhadas de ilustrações, retas, circunferências, limaçons, rosáceas e espirais. Os exemplos e exercícios propostos estão no contexto da Matemática.

No segundo volume há outros tópicos sobre parametrização de curvas e superfícies. No tópico “Representação Paramétrica de Curvas” é apresentada, acompanhada de ilustração, a parametrização vetorial de algumas curvas planas (reta, circunferência, elipse) e de outras espaciais (hélices). Os exemplos e exercícios propostos estão no contexto da Matemática.

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esfera, cilindro e plano. Os exemplos e exercícios propostos também estão no contexto da Matemática.

Ainda no segundo volume, no tópico “Representação Paramétrica de Algumas Superfícies”, é apresentada, acompanhada de ilustração, a parametrização vetorial de algumas superfícies (esfera, cilindro, cone, e paraboloide). Mais uma vez, os exemplos e exercícios propostos estão no contexto da Matemática.

No domínio da GA o livro analisado foi “Vetores e Geometria Analítica” (Winterle, 2000). Neste também existem tópicos sobre parametrização de curvas, denominados “A Reta”, “O Plano” e “Cônicas”. Neles se faz um estudo mais completo acerca das diferentes possibilidades de parametrização, relacionando as diferentes equações, porém em um número limitado de curvas. Os exemplos e exercícios propostos estão no contexto da Matemática.

Da análise desses tópicos, pode-se perceber que não é apresentada uma justificativa para cada tipo de parametrização realizada, não é possível fazer variações nos objetos estudados para modificá-los, não são propostos exercícios em que se possa aplicar esse conteúdo em contextos da realidade e não é explorada a possibilidade de movimentar os objetos pelas transformações da AL.

No domínio da AL, o livroanalisado foi “Álgebra Linear” (Stenbruch e Winterle, 1997). Nos tópicos, “Rotação” e “Rotações”, são estudadas as rotações planas e espaciais respectivamente. São realizadas rotações em pontos do R2 _{e do R}3_{, não} se trabalhando com objetos matemáticos mais elaborados, como uma elipse ou um paraboloide. A parametrização de curvas é abordada no tópico, “Formas Quadráticas”. As equações do plano e das cônicas são utilizadas, as rotações são realizadas com objetos mais sofisticados como a elipse, no contexto da AL, por meio de autovalores e autovetores, sem articulações com o CDI ou com a GA.

Essa articulação pode ser pensada no estudo de uma mola helicoidal, um objeto matemático que apresenta vários aspectos e pode ser abordado nas três disciplinas. Na GA, pode-se tratar da parametrização da mola; no CDI pode-se tratar do comprimento da mola e na AL pode-se movimentar a mola pelas transformações. A articulação das disciplinas permite decidir qual tipo de parametrização é a mais adequada para a finalidade do CDI ou a finalidade da AL. A falta de articulação limita o estudo e a visão que o aluno pode ter da Matemática.

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foge ao apresentado, pode-se pensar que o que se realiza em aula, não é muito diferente do apresentado. Isso não significa que o que se realiza seja dispensável, muito pelo contrário. Trata-se de uma etapa importante do aprendizado, onde os conteúdos são apresentados de maneira formal e necessária. Porém, poucas vezes esses conteúdos são articulados, especialmente se estão em disciplinas diferentes. Poucas vezes, é sugerida uma situação mais complexa, que obrigue experimentações que exijam Modelos.

Essa análise reforça o pressuposto desta pesquisa de que atividades de Modelação Matemática, desenvolvidas em ambiente computacional, podem complementar aquilo que já é feito com livros e aula convencional, proporcionando as articulações e aplicações mais sofisticadas que podem aprofundar e justificar o estudo de determinados conteúdos.

3.2 Justificativa das atividades propostas

A Modelagem Matemática traduz em linguagem matemática situações de diversos contextos para se fazer experimentações e aprofundar o seu estudo. Algumas dessas situações estão no campo da Física, como a descrição de um movimento; outras no campo da Matemática Aplicada, como a descrição de um comportamento populacional e assim por diante.

As atividades propostas nesta pesquisa estão no contexto da própria Matemática, pois em conformidade com a hipótese e objetivos da pesquisa, faz-se uso e articulam-se objetos matemáticos estudados nas disciplinas AL, CDI e GA. Porém, as atividades também se estendem a outros contextos, pois fornecem modelos com possibilidades de aplicação prática.

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Em uma primeira etapa, são propostas quatro atividades para familiarizar o aluno com a parametrização de curvas e superfícies do CDI e da GA com as transformações da AL e com o uso do software Winplot. Essa etapa visa habilitar os alunos a descrever e movimentar objetos da realidade em ambiente computacional, usando expressões e objetos da Matemática.

Na segunda etapa, são propostas quatro atividades de reprodução de situações da realidade, que podem ser expressas e modificadas por meio dos objetos matemáticos estudados e modelados na primeira etapa.

Primeira Etapa

Atividade com Equações Paramétricas no Espaço Bidimensional

Nesta atividade propõe-se aos alunos a determinação das Equações Paramétricas de algumas curvas do Espaço Bidimensional, usando o software Winplot. Sua realização fornece fundamentos para expressar matematicamente objetos do Espaço Bidimensional.

A abordagem paramétrica apresenta uma equação para cada coordenada, o que possibilita tratar dos objetos como vetores e sujeitá-los às transformações da AL (em atividade a ser realizada posteriormente).

Atividade com Equações Paramétricas no Espaço Tridimensional

Nessa atividade, propõe-se aos alunos a determinação das Equações Paramétricas de algumas curvas e superfícies do Espaço Tridimensional, usando o software Winplot. Sua realização fornece fundamentos para expressar matematicamente objetos do Espaço Tridimensional.

A abordagem paramétrica apresenta uma equação para cada coordenada, o que possibilita tratar dos objetos como vetores e sujeitá-los às transformações da AL (em atividade a ser realizada posteriormente).

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Atividade com Curvas Espaciais

Nesta atividade propõe-se aos alunos a determinação de equações de hélices circulares, usando o software Winplot. Sua realização fornece fundamentos para expressar matematicamente objetos ou comportamentos com essa forma.

As curvas espaciais (equações paramétricas com um único parâmetro) também se caracterizam por apresentarem uma equação para cada coordenada.

A abordagem paramétrica permite tratar os objetos como vetores e sujeitá-los às transformações da AL (em atividade a ser realizada posteriormente).

Um aspecto importante dessa atividade é que nas hélices circulares, duas das coordenadas devem ser as funções periódicas seno e cosseno e a terceira é livre, em torno de seu eixo se desenvolve a curva.

Atividade com Transformações no Espaço Bidimensional

A atividade destina-se a realizar transformações em objetos matemáticos com o uso do software Winplot. Sua realização fornece fundamentos para expressar e realizar matematicamente movimentos de translação e rotação em objetos dos Espaços Bidimensional e Tridimensional.

Algumas transformações da Álgebra Linear, que podem ser utilizadas na Modelação Matemática, são desenvolvidas em ambiente computacional. O propósito é a sistematização e exploração de ideias já estabelecidas na Matemática para uso na modelagem. A estratégia consiste do uso do software, associado à justificativa conceitual da Matemática, resultando em uma situação modelada com possibilidades de variação e aplicabilidade.

Um aspecto importante da atividade é a percepção de que, operando vetores de espaços vetoriais distintos e isomorfos, realiza-se a transformação pretendida em um dos vetores.

Segunda Etapa

Atividade com o Modelo Helicoidal

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paramétricas de curvas, ponto do R3_{, além de gerar um modelo com possibilidades} de aplicação prática.

Atividade com o Modelo de Gravitação Circular

A atividade destina-se a construção do modelo de Gravitação Circular que pode ser aplicado na reprodução e estudo de diversos comportamentos, tais como o dos sistemas planetários e do núcleo dos átomos. O objetivo da construção desse modelo é a reprodução, sistematização e variação da rotação circular no ambiente computacional. Ao realizá-lo, pode-se fazer uso e aprofundar o estudo de equações paramétricas de circunferência, equações paramétricas de esfera, ponto do R3, matrizes de transformação, além de gerar um modelo com possibilidades de aplicação prática.

Atividade com o Modelo de Animação 3D

A atividade destina-se a construção do modelo de Animação 3Dque faz uma justificativa matemática do funcionamento dos softwares de animação e permite uma gama de aplicabilidades em situações da realidade. O objetivo da construção desse modelo é a reprodução, sistematização e variação do movimento helicoidal cônico no ambiente computacional. Ao realizá-lo, pode-se fazer uso e aprofundar o estudo de equações paramétricas de reta, de hélice cônica, de matrizes de transformação, além de gerar um modelo com possibilidades de

Atividade com o Modelo de Antena Parabólica