Cálculo Numérico Computaciona Delcídio Moraes Claudio

(1)

C´

alculo Num´erico

Computacional

Dalcidio Moraes Claudio Jussara Maria Marins

(2)

(3)

Sum´

ario

1 Introdu¸cão a Matemática Numérica 5

1.1 Natureza e Objetivos da Matem´atica Num´erica . . . 5

1.2 Algoritmos . . . 6

1.3 Algoritmos Num´ericos . . . 6

2 Introdu¸cão à Aritmética de Máquina 13 2.1 Sistema de Ponto Flutuante . . . 13

2.2 Arredondamentos . . . 19

2.3 Erros . . . 22

2.4 Digitos Significativos Exatos . . . 24

2.5 Precisão e Exatidão de Máquinas Digital . . . 27

2.6 Instabilidade . . . 30

2.6.1 Instabilidade dos Algaritmos . . . 30

2.6.2 Instabilidade de problemas . . . 38

3 Resolu¸cão de Sistemas de Equa¸cões Lineares 41 3.1 Revisão . . . 41

3.1.1 Coloca¸c˜ao do problema . . . 41

3.1.2 Defini¸c˜oes . . . 41

3.1.3 Aritm´etica Matricial . . . 46

3.2 Erros Computacionais no C´alculo Num´erico de SELAs . . . 47

3.2.1 Tipos de algoritmos usados no C´alculo Num´erico de SELAs . . . 47

3.2.2 Tipos de erros computacionais nos algoritmos . . . 48

3.3 Etapas de resolu¸c˜ao dos SELAs . . . 49

3.3.1 Etapa: Descomplexifica¸c˜ao dos SELAs . . . 49

3.3.2 Etapa: Os algoritmos calculadores de SELAs e suas estruturas . . . 51

3.4 M´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss . . . 52

3.4.1 Algoritmo b´asico de Gauss . . . 52

3.4.2 Etapa: Triangulariza¸c˜ao . . . 53

3.4.3 Etapa: Retrossubstitui¸c˜ao . . . 54

3.4.4 Instabilidade num´erica . . . 58

3.4.5 Algoritmo de Gauss com pivotamento . . . 60

3.4.6 Condicionamento de uma matriz . . . 63

3.4.7 Refinamento da solu¸c˜ao . . . 69

3.4.8 Equacionamento matricial . . . 76

3.4.9 M´etodos de Gauss-Jordam . . . 78

3.4.10 O refinador para Gauss-Jordam . . . 79

3.5 M´etodos Iterativos . . . 81

3.5.1 M´etodo de Jacobi . . . 81 3

(4)

3.5.2 M´etodos de Gauss-Seidel . . . 84

3.5.3 Os algoritmos preparados para o Gauss-Seidel/Jacobi . . . 86

3.5.4 Condi¸cões de convergência do método . . . 87

4 Equa¸cões e Sistemas não Lineares 99 4.1 Introdu¸cão . . . 99

4.2 Revis˜ao sobre Polinˆomios . . . 101

4.3 Enumera¸c˜ao das Ra´ızes . . . 104

4.3.1 Enumera¸c˜ao das ra´ızes de uma equa¸c˜ao polinomial . . . 104

4.3.2 Enumera¸c˜ao das ra´ızes complexas de uma equa¸c˜ao polinomial . . . 105

4.4 Localiza¸c˜ao das Ra´ızes . . . 107

4.4.1 Localiza¸c˜ao das ra´ızes reais de uma equa¸c˜ao polinomial . . . 107

4.4.2 Localiza¸c˜ao das ra´ızes complexas de uma equa¸c˜ao polinomial . . . 109

4.5 Separa¸c˜ao das ra´ızes de uma equa¸c˜ao polinomial ou transcendente . . . 111

4.6 Ordem de Covergˆencia . . . 114

4.7 Métodos Iterativos para resolu¸cão de equa¸cões polinomiais ou transcendentes . . . 115

4.7.1 M´etodos de quebra . . . 117

4.7.2 M´etodos de Ponto Ffixo . . . 126

4.7.3 M´etodos de m´ultiplos passos . . . 137

4.8 Acelera¸c˜ao de Aitken . . . 143

4.9 Compara¸c˜ao dos m´etodos do ponto de vista computacional . . . 144

4.10 Resolu¸cão de sistemas de equa¸cões algébricas ou transcedentes . . . 146

4.10.1 M´etodos de Newton . . . 147

4.10.2 M´etodos de Newton modificado . . . 150

4.11 Software para resolu¸cão de equa¸cões e sistemas de equa¸cões não lineares . . . 150

.1 Introdu¸c˜ao . . . 157

.2 Formatos . . . 158

.3 Exemplos . . . 161

.4 Exemplos . . . 163

(5)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao a Matem´

atica Num´

erica

1.1 Natureza e Objetivos da Matem´atica Num´erica

O estudo da Matem´atica do ponto de vista computacional constitui a Matem´atica Computacional.

A Matemática Numérica insere-se no contexto da Matemática Computa-cional, que pode ser visualizada pela figura 1.1.

Vir´a figura

Figura 1.1: A Matem´atica Computacional

N˜ao formalizaremos aqui a descri¸c˜ao de cada item da figura.

Por métodos construtivos entendemos todo o método que envolve ape-nas um sistema de opera¸cões elementares dadas a priori, utilizadas em um número finito de vezes e que “construirão” todo o processo de cálculo envolvido.

O sistema de opera¸cões escolhido para a Matemática Numérica é eviden-temente o conjunto básico de opera¸cões aritméticas {+, −, ·, /}, e através delas serão definidas as demais opera¸cões necessárias. Tal escolha é devida `

a facilidade de implementa¸cão, compreen¸cão universal e possibilidade de expansões que formam opera¸cões mais complexas.

A Matemática Numérica tem por objetivo estudar processos numéricos (algoritmos) para a solu¸cão de problemas, visando à máxima economia e confiabilidade em termos dos fatores envolvidos. Como estes algoritmos

(6)

serão implementados em computadores, os fatores envolvidos podem ser: tempo de execu¸cão, memória utilizada e erros de arredondamento.

1.2 Algoritmos

Para que possamos resolver um problema através de um computador é necessário ter toda a sequência de passos e opera¸cões estabelecida de modo formal para a resolu¸cão do problema ou seja um algoritmo.

• Um conceito (e não defini¸cão) de um algoritmo pode ser uma sequência de instru¸cões ordenadas de maneira a dar em seu decurso a solu¸cão para um problema espec´ıfico.

• Tais instru¸cões devem aparecer em um número finito e serem exe-cutáveis mecanicamente com uma quantidade limitada de esfor¸co. • Um algoritmo poderá depender ou não de dados iniciais (entradas),

mas ter´a obrigat´oriamente de produzir pelo menos um resultado final (sa´ıda).

• Deve ter apenas um ponto de in´ıcio e pelo menos um ponto de parada.

1.3 Algoritmos Num´ericos

São os algoritmos voltados ao processamento numérico, isto é, as ope-ra¸cões aritméticas formam o cerne do algoritmo e seu objetivo é obter um ou mais resultados numéricos. Um algoritmo numérico de boa qualidade tem as seguintes caracter´ısticas:

1. Inexistência do Erro Lógico ou Matemático

Exemplo 1.3.1. Procura-se uma solu¸c˜ao x∗ da equa¸c˜ao ax = b.

(7)

1.3. ALGORITMOS NUM ´ERICOS 7 Algoritmo 1.3.1. 1. In´ıcio 2. Ler a, b; 3. x = b/a; 4. Imprimir x; O algoritmo correto ´e:

Algoritmo 1.3.2. 1. In´ıcio 2. Ler a, b;

3. Se a = 0 ent˜ao se b = 0 ent˜ao imprimir “Identidade”

4. sen˜ao imprimir “Contradi¸c˜ao”

5. sen˜ao x = b/a;

6. imprimir x;

Os erros lógicos ocorrem quando não são verificadas as diversas possibi-lidades entre as op¸cões dos testes, principalmente quando são encadeados ou mesmo quando se faz mais testes do que o necessário. No último algoritmo, por exemplo, não é mais necessário testar se b é nulo ou não, pois não importa este resultado e teremos a solu¸cão correta. De fato isto faz parte da própria defini¸cão da equa¸cão e não da Lógica.

2. Inexistˆencia do Erro Operacional

Mesmo que não haja erro lógico ou de defini¸cão, o algoritmo pode falhar por violar restri¸cões f´ısicas da máquina e teremos erros que são detectados em tempo de execu¸cão. O próximo exemplo deixa isto mais claro.

Seja T o conjunto de n´umeros poss´ıveis de serem representados por uma m´aquina e que valha:

1. ∀x ∈ T, −x ∈ T

2. t₁ = inf {x | x ∈ T ∧ x > 0} t2 = sup{x |∈ T ∧ x > 0}

(8)

Se temos valores y, tais que |y| < t1 (underflow) ou |y| > t2 (overflow),1

ocorrerá um erro operacional. Algumas vezes tais erros não são indicados pelo sistemas operacional ou compilador em muitos computadores. Ocorre, então que se obtém um resultado mas que não possui confiabilidade.

Exemplo 1.3.2. Seja z = x + iy ∈ C, x, y ∈ R. Procuramos |z| = mz = px2 _{+ y}2_.

Se num algoritmo implementamos diretamente a f´ormula acima, con-forme forem os valores de x ou y podemos ter overflow em x2 ou y2, embora valha

p

x2 _{+ y}2 _{< t} 2

Este problema n˜ao ocorre se o algoritmo for o seguinte: Algoritmo 1.3.3.

1. In´ıcio 2. Ler x, y

3. Se x = y = 0 ent˜ao mz = 0

3.1 senão se |x| >= |y| então mz = |x| ∗ q 1 + _xy2 3.2 senão mz = |x| ∗ r 1 + x y 2 4. sa´ıda mz;

3. Quantidade finita de c´alculos

Exemplo 1.3.3. Determinar pelo m´etodo de Newton uma raiz da equa¸c˜ao: f (x) = signl(x) · p|x| = 0

onde signl(x) é a fun¸cão sinal que é definida por:

sign(x) =    1 se x > 0 0 se x = 0 −1 caso contrário Um algoritmo problemático é dado por:

(9)

1.3. ALGORITMOS NUM ÉRICOS 9 Algoritmo 1.3.4. 1. entrada {x₀, γ} 2. enquanto |f (x_i)| > γ fa¸ca: 2.1 se f0(x_i) 6= 0 então x_i+1 = x_i − f (xi) f0(xi) 3. sa´ıda {i, xi} 4. páre.

Na realidade, tal algoritmo não irá parar, além de estar incompleto, pois para diferentes valores de x0 6= 0 e de γ o método de Newton alterna

seus valores entre x0 e x1 = −x0, embora tenhamos f0(x) 6= 0 para cada

x ∈ (0, ∞).

Para corrigir tal problema precisamos estabelecer um número máximo de itera¸cões a serem executadas pelo algoritmo. Por exemplo, o comando 1 e 2 pode mudar para:

1. entrada {x0, γ, M AX}

2. enquanto |f (x_i)| > γ e i < M AX fa¸ca.

Com esta fun¸cão e a corre¸cão proposta não atingiremos a solu¸cão correta embora tenhamos evitado um loop no comando 2. Outro modo de resolver o problema é utilizar o método de Newton Intervalar que será visto no cap´ıtulo 10.

4. Existência de um critério de exatidão

Na Matemática Intervalar todos os métodos apresentam tal caracter´ıs-tica, uma vez que os resultados são sempre um intervalo que contém a solu¸cão exata e da´ı temos implicitamente o limite para o erro.

Normalmente os limites de rros são emp´ıricos e pouco confiáveis. 5. Independência da Máquina

Nos algoritmos numéricos não deve haver dados dependentes da máquina. 6. Com precisão infinita, os limites de erro devem convergir a zero

(10)

Exemplo 1.3.4. Dado a ∈ R, queremos determinar x = sin(a). Um algoritmo ingênuo, que explora o fato de que sin(x) varia sempre entre −1 e +1, onde o sinal ± pode ser determinado aleatóriamente, é dado por: Algoritmo 1.3.5.

1. Entrada:{a} 2. x = 0 ± 1; 3. Sa´ıda:{a, x}

Este algoritmo errado satisfaz as exigências de 1 a 5: não há erro lógico nem operacional, o algoritmo é finito, os dados não dependem de máquina, temos que o resultado dentro dos limites de erro; contudo para preencher o critério 6 deve haver um critério de truncamento apropriado. Se ele é satisfeito, temos o que se chama de “convergência numérica”. Para calcular a fun¸cão seno ou mesmo outras fun¸cões trigonométricas ou transcendentes devemos usar a Série de Taylor que será exemplificada para a fun¸cão expo-nencial na se¸cão de Instabilidade.

7. Eficiˆencia

Quando se deseja encontrar a solu¸c˜ao para um problema, sempre visamos obter economia de recursos envolvidos.

Sobre ele formulamos condi¸cões de rapidez, alta exatidão, trabalhar com poucos dados de referências, ocupar menor espa¸co de memória, ser facil-mente representável etc.

A eficiência como caracter´ıstica de um bom algoritmo é bem diferente das caracter´ısitcas 1 e 2 que dizem respeito a eficácia. Explicando melhor, eficácia é a qualidade de produzir um resposta de forma correta para o problema dado, enquanto a eficiência, além de intuir a idéia anterior, exige que o processo seja econômico nos termos citados.

Exemplo 1.3.5. Fazer contas com os dedos da mão. • É ineficaz para cálculos não aritméticos.

(11)

1.3. ALGORITMOS NUM ´ERICOS 11

• É eficiente para certos cálculos aritméticos triviais.

Exemplo 1.3.6. Algoritmo de Cramer para solu¸c˜ao de sistemas de Equa¸c˜oes Lineares.

De forma geral, dado o sistema n × n:        a₁₁ a₁₂ a₁₃ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ a₂₃ . . . a_2n a₃₁ a₃₂ a₃₃ . . . a_3n ... ... ... ... ... an1 an2 . . . an3 ann        ·        x₁ x₂ x₃ ... xn        =        y₁ y₂ y₃ ... yn        (1.1)

Calcula-se o determinante ∆ da matriz dos coeficientes e mais os n de-terminantes ∆xi resultantes da substitui¸c˜ao da coluna i da matriz dos

coeficientes pelo vetor dos termos independentes. Assim, pelo teorema de Cramer a solu¸c˜ao (x1, x2, ..., xn) ´e dada por:

xi =

∆x_i ∆

Tal algoritmo envolve no m´ınimo (n + 1)!(n − 1) opera¸cões aritméticas. Levando em conta. o tempo para cada opera¸cão (Adi¸cões e Subtra¸cões: 40µs e Multiplica¸cões: 400µs), temos o seguinte quadro:

n = 5 n = 10 n = 20

Cramer (∆ pela defini¸c˜ao) 2,5 s 3,4 dias 20 bilh˜oes de anos Cramer (∆ por Laplace) 0,4 s 6 min 5 meses

(12)

(13)

Cap´ıtulo 2

Introdu¸

c˜

ao `

a Aritm´

etica de M´

aquina

2.1 Sistema de Ponto Flutuante

• Introdu¸c˜ao

Os números inteiros possuem representa¸cão computacional exata, den-tro da região de representabilidade.

– Existem vários códigos mas o mais comum é o complemento de dois – Dentro da região de representabilidade, a aritmética é exata.

• Os números reais, em geral, não tem representa¸cão exata e são aproxi-mados. Exemplo 2.1.1. H = 1/2 X = 2/3 − H Y = 3/5 − H E = (X + X + X) − H F = (Y + Y + Y + Y + Y ) − H G = F/E Alguns resultados: 13

(14)

HP 48G SR 50 PC 1 H = 0.5 H = 0.5 H = 0.5 X = 0.166666666667 X = 0.1666666667 X = 0.166667 Y = 0.1 Y = 0.1 Y = 0.1 E = 0.000000000001 E = 2.0E(−13) E = 0 F = 0 F = 0 F = 0 G = F_E → 0 G = F_E →?! G = 0.5

A expressão ?! indica uma opera¸cão inválida.

Resultados de G em float ´e 0.5 e para double fica em 1.0.

Defini¸cão 2.1.1. Um n´_{umero real x ∈ R é dito um número de ponto} flutuante normalizado se valerem:

1. x = mbe

2. m = ± · d₁d₂d₃...d_n_{, n ∈ N}

3. 1 ≤ d₁ ≤ b − 1, 0 ≤ d_i ≤ b − 1, i = 2(1)n 4. e₁ ≤ e ≤ e₂ sendo e₁ ≤ 0, e₂ ≥ 1, e₁, e₂ _{∈ Z}

onde:

b ´e chamado base, b ≥ 2.

e é chamado expoente, e1 é o menor e e2 é o maior expoente.

m ´e chamado mantissa.

n é o número máximo de d´ıgitos usados na representa¸cão do número. di, i = 1(1)n, são os d´ıgitos da mantissa.

4

Defini¸cão 2.1.2. A união de todos os números de ponto flutuante com o zero, que é representado na seguinte forma:

0 = 0.000...0 | {z }

n vezes

·be1

(15)

2.1. SISTEMA DE PONTO FLUTUANTE 15

Usualmente, procuramos representar um sistema de ponto flutuante por F = F (b, n, e₁, e2)

onde e1 e e2 s˜ao respectivamente o menor e o maior expoente, b ´e a base e

n ´e a precis˜ao.

4

Exemplo 2.1.2. Sistema de Ponto flutuante da: a) HP 25 : F (10, 9, −98, 100)

b) Texas SR50 : F (10, 10, −98, 100) c) Texas SR52 : F (10, 12, −98, 100) d) HP 48G : F (10, 12, −500, 499)

Vamos indicar por L e M, respectivamente, o menor e o maior n´umero positivo de F . L = 0.1 · be1 ou ainda L = (0. 1000 . . . 0 | {z } n casas )b = b−1 M = 0.[b − 1][b − 1][b − 1] . . . [b − 1] · be2 _{= (1 − b}−n₎

Vejamos algumas propriedades dos n´umeros de ponto flutuante. Seja F um sistema de um ponto flutuante da por F = F (b, n, e₁, e₂), ent˜ao:

#F = 2 · (b − 1) · bn−1 · (e2 − e1 + 1) + 1 (2.1)

Para qualquer mantissa m vale:

b−1 ≤ |m| < 1 (2.2)

|m| < 1, pois toda mantissa tem como primeiro d´ıgito (antes do ponto) o zero.

|m| ≥ b−1, pois se |m| < b−1, não ter´ıamos um número normalizado, pois o primeiro d´ıgito após o ponto é não nulo.

(16)

Vir´a figura

Figura 2.1: O Sistema F = F (2, 3, −1, 2).

(∀x ∈ F )[−x ∈ F ] (2.3)

Exemplo 2.1.3. Seja F = F (2, 3, −1, 2).

Como a base é 2, os d´ıgitos são 0 e 1, logo, todas as mantissas são: 0.100 0.101 0.110 0.111

e os expoentes poss´ıveis s˜ao -1, 0, 1 e 2.

Assim temos os seguintes n´umeros positivos:

(0.100x2−1) = (0.01)2 = 0.20 + 0.2−1 + 1.2−2 = 1/4 (0.100x20) = (0.1)2 = 0.20 + 0.2−1 = 1/2 (0.100x21) = (1.0)2 = 1.20 + 0.2−1 = 1 (0.100x22) = (10.0)2 = 1.21 + 0.20 + 0.2−1 = 2 (0.101x2−1) = (0.0101)2 = 0.20 + 0.2−1 + 1.2−2 + 0.2−3 + 1.2−4 = 5/16 (0.101x20) = (0.101)₂ = 0.20 + 1.2−1 + 0.2−2 + 1.2−3 = 5/8

E assim, sucessivamente, teremos a seguinte tabela:

e be_{m 0.100 0.101 0.110 0.111}

-1 1/2 1/4 5/16 3/8 7/16

0 1 1/2 5/8 3/4 7/8

1 2 1 5/4 3/2 7/4

2 4 2 5/2 3 7/2

(17)

2.1. SISTEMA DE PONTO FLUTUANTE 17

• Os números do ponto flutuante de F não estão uniformemente dis-tribu´ıdos no intervalo [−7/2, 7/2];

• Mas 1/4, 5/16, 3/8, 7/16 est˜ao igualmente espa¸cados.

• Logo, entre potˆencias sucessivas da base existe uma quantidade cons-tante de n´umeros de ponto flutuante, dada por:

c = bn−1.(b − 1) (2.4)

• A Regi˜ao de Underflow est´a em torno do zero

• A região de Overflow está acima e abaixo da região de representa¸cão. Exemplo 2.1.4. Seja F = F (3, 2, −1, 2).

1. #F = 2.(3 − 1).32−1.(2 − (−1) + 1) + 1 = 49

2. As mantissas e os números de ponto flutuante positivos estão na seguinte tabela: e be_{m 0.10 0.11} 0.12 0.20 0.21 0.22 -1 1/3 1/9 4/27 5/27 2/9 7/27 8/27 0 1 1/3 4/9 5/9 2/3 7/9 8/9 1 3 1 4/3 5/3 2 7/3 8/3 2 9 3 4 5 6 7 8 3. Região de Underflow : (−1/9, 0) ∪ (0, 1/9) Região de Overflow : (−∞, −8) ∪ (8, ∞) Caracter´ısticas básicas das opera¸cões em F

As leis que valem para a aritm´etica em R n˜ao valem para F.

Exemplo 2.1.5. Seja F o mesmo sistema do exemplo 2.1.3: F = F (2, 3, −1, 2). Tomemos em F :

x = 5

4 e y = 3 8

(18)

x + y = 5 4 + 3 8 = 13 8

No entanto, 13₈ ∈ F , pois/ 13₈ = (1.625)10 = (0.1101 · 21)2 que possui

um d´ıgito a mais na mantissa do que o permitido. Na realidade, podemos escolher entre

3/2 = (1.5)10 = (0.110)2 ou

7/4 = (1.75)10 = (0.111)2

para um resultado aproximado.

x ⊕ y 6= x + y

x y 6= x · y

Tais fenˆomenos n˜ao ocorrem apenas em alguns sistemas de ponto flu-tuante restritos, conforme os vistos nos exemplos. Consideremos F = F (2, 5, −98, 100). Neste caso, temos:

(0.1)10 = (0.0001100110011...)2

ou arredondando em F para:

(0.1)₁₀ = (0.11001 · 2−3)₂

Somando (0.11001 · 2−3) sucessivamente dez vezes, teremos: (0.11111)2 = (0.96875)10 6= (1.0)10 Exemplo 2.1.6. Seja F = F (2, 3, −1, 2). Se x = 5₈, y = 3₈ e z = 3₄, ent˜ao: (x ⊕ y) ⊕ z = (0.101 · 20 ⊕ 0.110 · 2−1) ⊕ 0.110 · 20 = (0.101 ⊕ 0.011) ⊕ 0.110 = 1.000 ⊕ 0.110 = 1.11 x ⊕ (y ⊕ z) = 0.101 ⊕ (0.011 ⊕ 0.110) = 0.101 ⊕ 1.001 = 0.101 ⊕ 1.00 6 1 = 1.00 0.101 ⊕ 1.00 = 1.10 6 1 = 1.10

(19)

2.2. ARREDONDAMENTOS 19

Logo:

(x ⊕ y) ⊕ z 6= x ⊕ (y ⊕ z) Se x = 7₈, y = 5₄ e z = 3₈

Tamb´em temos que:

x (y ⊕ z) = 0.111 (1.01 ⊕ 0.011) = 0.111 1.001 = 1.0101 = 1.01 x y ⊕ x z = (0.111 1.01) ⊕ (0.111 0.011) = 1.00011 ⊕ 0.10101 = 1.101 = 1.10 Logo: x (y ⊕ z) 6= (x y) ⊕ (x z) 2.2 Arredondamentos

Defini¸c˜ao 2.2.1. Seja F = F (b, n, e₁, e₂) um sistema de ponto flutuante. Uma fun¸c˜_{ao : R → F ´e considerada um arredondamento se valer:}

(∀x ∈ F )[x = x] (2.5)

4 Como arredondar?

Tipos de arredondamentos Os mais conhecidos s˜ao:

• Arredondamento para cima ou por excesso (4x) • Arredondamento para baixo ou por falta (∇x)

• Arredondamento para o número de máquina mais próximo ( x) Exemplo 2.2.1. Seja F = F (2, 3, −1, 2).

(20)

9

8 = (1.125)10 = (0.1001 · 2 1₎

2 .

Podemos arredondar de duas maneiras: 9 8 → (0.100 · 2 1_{) = (1.0)} 10 9 8 → (0.101 · 2 1_{) =} 5 4

No primeiro caso temos: ∇(9 8) = (0.100 · 2 1₎ 4(9 8) = (0.101 · 2 1₎

Exemplo 2.2.2. Na base 10 podemos citar casos mais ilustrativos. Seja F = F (10, 4, −98, 10) e sejam:

x = 0.333333

y = 0.348436

z = 0.666666... Temos ent˜ao:

∇x = 0.3333 , ∇y = 0.3484 e ∇z = 0.6666 4x = 0.3334 , 4y = 0.3485 4z = 0.6667 x = 0.3333 , y = 0.3484 z = 0.6667 se w = 0.12345, ent˜ao:

(21)

2.2. ARREDONDAMENTOS 21 Vir´a figura Figura 2.2: Arredondamentos ∇w = 0.1234 4w = 0.1235 w = 0.1235

Podemos representar os trˆes tipos de arredondamento na Figura 2.2 Vamos deixar mais claros os conceitos anteriores.

Defini¸c˜_{ao 2.2.2. Um arredondamento : R → F ´e dito por falta, ou} por excesso se valerem, repectivamente:

(∀x ∈ R)[x ≤ x] (2.6)

(∀x ∈ R)[x ≤ x] (2.7)

Se, al´em disso, valer:

(∀x, y ∈ R)[x ≤ y → x ≤ y] (2.8)

que é também chamada propriedade monotônica, então definimos: ∇x = arredondamento monotônico por falta.

4x = arredondamento monotˆonico por excesso. 4

Se F = F (b, n, e₁, e₂) tem para a base b um número par, então o arredondamento para o número de máquina (ou ponto flutuante) mais próximo é notado por x e definido como:

(22)

∀x ∈ [0, be1−1_{),
x = 0} ∀x ∈ [be1_{, M],}        x = ∇x, para x ∈ h∇x, ∇x+4x₂ x = 4x, para x ∈ h∇x+4x₂ , 4xi (2.9) Se x < 0, x = − (−x)

A regi˜ao (−be1−1_{, 0)∪(0, b}e1−1_{) ´e chamada de Regi˜}_{ao de Underflow pois}

nestes intervalos não há representa¸cão adequada em F , e o erro relativo é grande.

A regi˜ao [−M, −be1_{] ∪ [b}e1_{, M] ´e chamada Regi˜}_{ao de}

Representabili-dade de F pois nesta regi˜ao o erro relativo ´e limitado.

A região de (−∞, −M) cup(M, ∞) é chamada de Região de Overflow e novamente nesta zona o erro relativo não é limitado.

Toda vez que executamos o arredondamento de um número que não admite uma representa¸cão exata em F fazemos um erro.

Mais detalhes podem ser vistos na Norma IEEE 754 - Standart for Binary Floating-Point Arithmetic, que foi adotado como padr˜ao a partir da d´ecada de 1980.

2.3 Erros

Existem vários tipos de erros e várias são as suas causas. Vamos es-tudar três tipos de erros: os inerentes, os de discretiza¸cão e os de arredondamento.

• Erros Inerentes

Aparecem na cria¸cão ou simplifica¸cão de um modelo matemático de determinado sistema, ou ainda nas medidas, em geral. Os valores de medidas como tempo, temperatura, distância, intensidade luminosa etc. são obtidos de instrumentos que têm precisão limitada.

(23)

2.3. ERROS 23

• Os erros de Discretiza¸c˜ao

Ou de Aproxima¸cão, ou Truncamento são os erros cometidos quando se substitui qualquer processo infinito por um processo finito ou dis-creto. Seja, por exemplo, o cálculo da constante de Euler e que é dada por: e = ∞ X i=0 1 i!

• Os erros de Arredondamento surgem quando trabalhamos com m´aquinas digitais para representar os n´umeros reais.

Em geral, trabalhamos com arredondamento para o n´umero de ponto flutuante mais pr´oximo ou com o arredondamento por falta.

A diferen¸ca entre o valor arredondado e o valor exato pode ser medida pelo erro absoluto ou pelo erro relativo.

Defini¸cão 2.3.1. O erro absoluto, que é indicado por EA, é dado por:

EA = |x − x| (2.10)

4

Defini¸cão 2.3.2. O erro relativo, que é indicado por ER, é dado por:

ER = |x − x| |x| ou ER = |x − x| |x| (2.11) 4 Exemplo 2.3.1. Se x = 0.00006 e se x = 0.00005 E_A = 0.00001 ER = 0.00001 0.00005 = 0.2 ou 20%

Neste caso podemos até dizer que EA é pequeno; no entanto, não há

(24)

Vir´a figura

Figura 2.3: Erro Relativo = |x−x|_|x| em F = F (2, 3, −1, 2)

Teorema 2.3.1. Seja F = F (b, n, e₁, e₂) um sistema de ponto flutuante e um arredondamento, ent˜ao vale:

(∀x ∈ R) be1−1 _{≤ |x| ≤ M →} |x − x| |x| ≤ µ onde: µ =    1 2b 1−n _{no caso de x =
x} bn−1 _{no caso de x = ∇x} (2.12) ◦

Exemplo 2.3.2. Nas calculadoras Hewllet Packard 48G, temos: = e para b = 10 e n = 12

µ = 1 210

−12

= 0.000 000 000 005

Observa-se que na região de underflow o erro é sempre igual a 1. Para diminuir este erro é preciso que aumentemos o número de casas na mantissa. Isto cusará maior densidade de números representáveis em F .

2.4 Digitos Significativos Exatos • Na pr´atica, n˜ao sabemos o valor exato.

(25)

2.4. DIGITOS SIGNIFICATIVOS EXATOS 25

• Precisamos, no entanto, avaliar o resultado, ou seja, saber quão exato é o resultado. revisemos o conceito de d´ıgito significante ou significativo. Defini¸cão 2.4.1. Num sistema decimal, um d´ıgito é significante se qual-quer dos d´ıgitos for 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9. O d´ıgito 0 (zero) é significante, exceto quando for usado para fixar a v´ırgula ou ponto decimal ou preencher o lugar de d´ıgitos descartados.

4

Exemplo 2.4.1. Em 0.008735 temos quatro d´ıgitos significantes ou sig-nificativos, a saber, o 8, o 7, o 3 e o 5. Em 30.457 temos cinco d´ıgitos significantes, ou seja, todos eles. Em 23.000 temos s´o dois d´ıgitos significa-tivos. 2

Defini¸cão 2.4.2. Um d´ıgito significativo é exato se, aredondando-se o número aproximado para uma posi¸cão imediatamente após aquela posi¸cão do d´ıgito, isso fizer com que o erro absoluto não seja maior do que a meia unidade naquela posi¸cão do d´ıgito. Abraviaremos D´ıgito Signifcativo Exato por Digse.

4

Exemplo 2.4.2. Os números 0.66667 e 0.666998 são aproxima¸cões para 2/3; no entanto, todos os d´ıgitos significativos do primeiro são exatos, en-quanto no segundo, só os três primeiros.

Vejamos com mais detalhes:

1. 0.66667 No primeiro d´ıgito 6 ficamos com o número 0.66 e o erro ab-soluto em rela¸cão a 2/3 é:

|0.66 − 0.666 . . . | = 0.006 66 . . . < 0.05

No segundo d´ıgito 6, temos:

|0.666 − 0.666 . . . | = 0.000 666 . . . < 0.005

No terceiro d´ıgito 6, temos:

(26)

|0.666 6 − 0.666 . . . | = 0.000 066 6 . . . < 0.000 5

No quarto d´ıgito 6, temos:

|0.666 67 − 0.666 . . . | = 0.000 003 333 . . . < 0.000 05

No d´ıgito 7, temos:

|0.666 670 − 0.666 . . . | = 0.000 003 333 . . . < 0.000 005

Logo todos os d´ıgito significativos s˜ao exatos 2. 0.666 998 Para o primeiro d´ıgito 6, temos:

|0.66 − 0.666 . . . | = 0.006 666 . . . < 0.05

No segundo d´ıgito 6, temos:

|0.666 − 0.666 . . . | = 0.000 6 . . . < 0.005

No terceiro d´ıgito 6, temos:

|0.6669 − 0.666 . . . | = 0.000 233 . . . < 0.000 5

Para o primeiro d´ıgito 9, temos:

|0.66699 − 0.666 . . . | = 0.000 323 . . . ≮ 0.000 05

Logo o d´ıgito 9 já não é exato.

Teorema 2.4.1. Se E_R ≤ 1₂b−m, então o número é correto em m d´ıgitos significativos exatos. A demonstra¸cão pode ser vista em [3].

Utilizando este teorema, vejamos a maneira mais prática que a defini¸cão para calcular o número de d´ıgitos significativos corretos. Tomemos o loga-r´ıtmo decimal da desigualdade: ER ≤ 1₂b−m e b = 10.

|x−x| |x| ≤ 1 210 −m _{→ log}|x−x| |x| ≤ log 1₂ − m → m ≤ log 1₂ − log|x−x|_|x| (2.13)

(27)

2.5. PRECIS ÃO E EXATID ÃO DE M ÁQUINAS DIGITAL 27

◦

Logo, para achar o maior n´umero de d´ıgitos significativos exatos temos:

m = − − log 1 2 + log |x − x| |x| (2.14) Se ocorrer que x = x, ent˜ao podemos aplicar a f´ormula anterior do seguinte modo: m = − − log 1 2 + log µ + |x − x| |x| (2.15) Logo, se E_R ≤ 1₂b−m para b = 10, podemos dizer que:

m = − 0.3 + log µ + |x − x| |x| (2.16) onde µ ´e a unidade de erro de arredondamento.

Genericamente podemos calcular o n´umero de d´ıgitos significativos exa-tos pelo logaritmo decimal do ER.

Quando não temos o valor exato para fazermos as compara¸cões, o que ocorre em geral, temos que: se x = lim_i→∞x_i, então podemos modificar a fórmula anterior para:

Digse(xi, xi+1) = − 0.3 + log µ + |xi+1 − xi| |x_i| (2.17) O que nos dá o número de d´ıgitos significativos exatos de xi+1 em rela¸cão

xi

2.5 Precisão e Exatidão de Máquinas Digital

Conforme vimos para cada máquina, calculadora ou computador há um sistema de ponto flutuante associado. Este sistema automaticamente define a precisão da máquina.

Defini¸cão 2.5.1. A precisão de uma máquina digital é definida como o número de d´ıgitos da mantissa dessa máquina.

(28)

Vir´a figura

Figura 2.4: Aproxima¸c˜oes para π

Portanto, a precisão é algo claro, não variável para uma máquina. Já a defini¸cão seguinte não nos dá as mesmas caracter´ısticas.

4

Defini¸cão 2.5.2. Exatidão é uma medida de perfei¸cão do resultado. A exatidão da um resultado depende da precisão da máquina e do método utilizado para obten¸cão desse resultado.

4

Exemplo 2.5.1. Vejamos várias aproxima¸cões para o número π, na figura 2.4 e a seguir o cálculo dos d´ıgitos significativos exatos das aproxima¸cões, na próxima tabela.

Aproxima¸c˜ao x_i Digse (x_i, π) Aproxima¸c˜ao x_i Digse (x_i, π)

3.410 3.4 3.415 4.2

3.411 3.5 3.416 5.3

3.412 3.6 3.417 4.2

3.413 3.7 3.418 3.7

3.414 3.9 3.419 3.6

Embora todas as aproxima¸cões possuam um precisão de cinco casas decimais, somente uma delas possui os cinco d´ıgitos significantes exatos, levando em conta o valor de π = 3.14159265359 o que confere com o valor arredondado para o número de máquina mais próximo, com 5 casas deci-mais.

Logo, a exatidão de um processo depende, além da máquina, também do algortimo. Para termos uma idéia da capacidade numérica de uma

(29)

2.5. PRECIS ÃO E EXATID ÃO DE M ÁQUINAS DIGITAL 29

máquina, devemos conhecer, além da sua precisão que, em geral, é dada em termos de d´ıgitos binários, octais ou hexadecimais, conforme for a base de funcionamento de F , qual é a sua precisão decimal. No caso de termos F = F (16, 6, −64, 63) a precisão hexadecimal é 6, mas a precisão p₁₀ decimal correspondete é:

166 = 10p10 _{→ 6 log}

1016 = p1log1010 → p1 = 6 ∗ 1.204 = 7.224 (2.18)

Da´ı, a precisão decimal de F é de 7.224,e 22.4% das vezes temos 8 casas decimais. Contudo, nem todo número que tenha uma representa¸cão exata com sete casas ou menos será exatamente representado internamente. Por exemplo, 0.1 não admite representa¸cão exata na base 2.

Além da precisão decimal, o cálculo do chamado Épsilon da Máquina nos dá uma idéia da exatidão da máquina.

O ε da máquina é o número de ponto flutuante, tal que: 1 + ε > 1

Alguns métodos para o cálculo de ε não dão seu valor exato, mas isto nem sempre é necessário, pois o que importa é a sua oredem de grandeza.

O programa Pascal seguinte calcula uma aproxima¸c˜ao de ε da m´aquina: PROGRAM EPSMAQ (OUT PUT);

VAR EPSILON, EPS : REAL; BEGIN

EPS: = 1;

REPEAT EPSILON: = EPS; EPS: = 0.5 * EPS UNTIL EPS + 1 = 1;

WRITELN(’EPSILON DA M´AQUINA = ’:30, EPSILON : 30); END.

O resultado ´e ε ∼= 0.7105427357601 · 10−14

(30)

1. 1.4142 ´e mais preciso e mais exato que 1.41, pois o primeiro tem maior n´umero de casas e aproxima melhor √2.

2. 1.4149 é mais preciso que 1.414, pois tem mais casas decimais, porém é menos exato do que 1.414, pois o d´ıgito 9 do primeiro não é exato.

2.6 Instabilidade

Veremos agora uma série de problemas cujos diferentes modos de solu¸cão podem acarretar diferentes resultados. É claro que para muitos problemas não importa qual a solu¸cão utilizada que teremos sempre o mesmo e bom resultado. Quando não temos um bom resultado, os erros podem ser cau-sados pelos modelos ou entrada de dados (inerentes), pelo truncamento e pelo arredondamento conforme já citamos anteriormente. Não trataremos aqui dos erros inerentes. Na realidade, podemos ver os problemas do ponto de vista da instabilidade. Esta instabilidade pode ser entendida como uma “sensibilidade a perturba¸cões” e pode ocorrer tanto no problema em si como

no algoritmo, isto ´e, na maneira de resolvˆe-lo.

2.6.1 Instabilidade dos Algaritmos

Comecemos com dois exemplos que s˜ao citados em [2].

Exemplo 2.6.1. Calcular e e e−5.5 pela expansão na série de Taylor. Dado que: ex = 1 + x + x 2 2 + x3 3! + x4 4! + . . . Então para x = 1 temos:

e ∼= 1 + 1 + 0.5 + 0.16667 + 4.1667E − 2 + 8.3333E − 3+ +1.3889E − 3 + 19841E − 4 + 2.4801E − 5+

+2.7557E − 6 = 2.7183

(2.19)

Comparando a soma anterior com a valor 2.718281828, temos um erro relativo de 6.6E − 6, que ´e bem pequeno.

(31)

2.6. INSTABILIDADE 31 Para x = −5.5 temos: e−5.5 ∼= 1 − 5.5 + 15.125 − 27.730 − 27.730 + 38.129− 41.942 + 38.446 − 30.208 + 20.768 − 12.692+ 6.9803 − 3.4902 + 1.5997 − . . . = 0.0026363 (2.20)

Comparando agora com e−5.5 dado por uma calculadora, temos que: e5.5 = 0.004 086 771 439

E o erro relativo ´e de 0.35 que ´e bem maior que o erro anterior. Qual a causa da diferen¸ca?

Observando os termos da soma do segundo caso, vemos que h´a uma combina¸c˜ao de dois fatores:

• somas de grandezas de diferentes ordens; • subtra¸c˜ao e grandezas quase iguais.

Este fenômeno é chamado de cancelamento subtrativo ou con-celamento catastrófico, que é bastante comum em cálculos. se não houvéssemos arredondado cada parcela, o erro seria sensivelmente menor.

• Temos s´o esta causa?

O cancelamento subtrativo n˜ao ´e a real causa do erro final da soma; • Como melhorar?

Se mudamos o c´alculo de e−5.5 para 1/e−5.5 e utilizarmos as mesmas parcelas, teremos 0.0040865 e o erro relativo ´e 6.6E − 5.

• Logo, podemos utilizar a s´erie de taylor para argumentos positivos. Exemplo 2.6.2. Calcular I_n = R₀1xnex−1dx para n = 1, 2 . . .

Solu¸c˜ao: integrando por partes:

Z 1 0 xn |{z} u ex−1dx | {z } dv = xnex−11₀− Z 1 0 n xn−1ex−1dx = 1−nIn−1, n = 2, 3, . . . (2.21)

(32)

Ou seja: I_n = Z 1 0 xnex−1dx = 1 − n I_n−1 onde: I1 = Z 1 0 xex−1dx = 1 e

Usando F = F (10, 6, −98, 99), temos os seguintes valores: I1 ∼= 0.367879 I6 ∼= 0.127120

I2 ∼= 0.264242 I7 ∼= 0.110160

I₃ ∼= 0.207274 I8 ∼= 0.118720

I₄ ∼= 0.170904 I9 ∼= -0.068480

I₅ ∼= 0.145480

Olhando o integrando I9 = R x9ex−1, verificamos que ´e sempre positivo

em [0, 1] e, no entanto, o valor computado foi Negativo. O que causou tal erro?

Notemos que só foi feito um erro de arredondamento em I₁quando 1/e foi tomado por 0.367879 em vez de 0.3678794412. Como a fórmula está correta, o erro final é devido apenas a este erro feito em I1. Observemos como tal

ocorreu: em I2 o erro foi multiplicado por −2, depois em I3 foi multiplicado

por −3,1 etc. Ent˜ao, o erro de I9 ´e exatamente (−2)(−3) . . . (−9) = 9!

Sendo:

E₁ = [1/e − 0.367879] = 4.412 · 10−7 (2.22) Temos no final:

4.412 · 10−7 · 9! ∼= 0.1601 Na realidade, o valor correto de I9 ´e:

I₉ = −0.06848 + 0.1601 = 0.00916

que é uma valor razoável para I9. Logo, embora a fórmula 2.21 esteja

(33)

2.6. INSTABILIDADE 33

gerado é de má exatidão. Um algoritmo estável é dado pela fórmula equiv-alente:

I_n−1 = 1 − 1n

n n = . . . , 4, 3, 2 (2.23) Nesta fórmula, a cada passo, o valor do erro em I_n é decrescido por _n1, (em vez de multiplicado por n). Se nós come¸camos por n 1, voltaremos e então o erro inicial ou erros de arredondamento diminuirão a cada passo. Resta-nos saber qual será o valor final para In. Observemos que:

I_n = Z xnex−1dx ≤ Z 1 o xndx = x n+1 n + 1 1 0 = 1 n + 1 (2.24)

Portanto, I_n tende a zero quando n tende ao infinito. se aproximadamamos I₂₀ para zero e o usamos como valor inicial, temos:

I₂₀ ∼= 0 I₁₄ ∼= 0.0627322 I₁₉ ∼= 0.0500000 I13 ∼= 0.0669477 I18 ∼= 0.0500000 I12 ∼= 0.0717733 I17 ∼= 0.0527778 I11 ∼= 0.0773523 I16 ∼= 0.0557190 I10 ∼= 0.0838771 I15 ∼= 0.0590176 I9 ∼= 0.0916123

Majorando o erro em I₂₀ por ₂₁1 , temos: para E19 = 1 20 · 1 21 ∼ = 0.0024 para E₁₈ = 1 19 · 1 20 · 1 21

Em E15 temos 4 · 10−8, o que mostra que o erro inicial est´a praticamente

dilu´ıdo. Continuando o algoritmo dado por 2.23, temos: I8 = 0.1009320 I4 = 0.1708934

I7 = 0.1123835 I3 = 0.2072767

I6 = 0.1268024 I2 = 0.2642411

(34)

Exemplo 2.6.3. Calcular a média aritmética de dois números a e b. Algoritmo 1: 1. entrada {a, b} 2. s ← a + b 3. m ← s/2 4. sa´ıda {m} Algoritmo 2: 1. entrada {a, b} 2. s1 ← a/2 3. s2 ← b/2 4. m ← s₁ + s₂ 5. sa´ıda {m} Algoritmo 3: 1. entrada {a, b} 2. d₁ ← a − b 3. d1 ← d1/2 4. m ← b + d1 5. sa´ıda {m}

Para um dado F = F (b, n, e1, e2) podemos ter, conforme a, b ∈ F os

seguintes problemas:

• Algoritmo 1: overflow em 2. • underflow em 2 e 3.

(35)

No algoritmo 3 n˜ao teremos provavelmente nenhum erro operacional, mas poderemos ter um erro no comando 2 se houver cancelamento subtrativo.

Vejamos agora um algoritmo clássico para calcular as ra´ızes de equa¸cão do 2o grau cujas as fórmulas são dadas pelas equa¸cões seguintes:

x1 = −b + √b2 _{− 4ac} 2a (2.25) x2 = −b −√b2 _{− 4ac} 2a (2.26)

Vamos analisar alguns cassos a serem resolvidos em F = F (10, 8, −50, 50)

Exemplo 2.6.4. Caso a:

a = 1 , b = −105 , c = 1

As ra´ızes exatas corretamente arredondadas para 11 d´ıgitos s˜ao: x₁ = 99999.999990

x2 = 0.000010000000001

Se as ra´ızes forem calculadas por (22), teremos: x₁ = 100000.0 (muito boa)

x2 = 0 (ruin)

Na realidade, no cálculo de x₂ fomo v´ıtimas do chamado “cancelamento catastrófico”. Fa¸camos um parêntese para explicar tal fenômeno.

Considerando x = 12345678.0 e y = 12345677.0, temos uma diferen¸ca x − y = 1.00000000, por´em, com uma pequena mudan¸ca de x para ¯x = 12345678.1 e de y para ¯y = 12345676.9, obtemos uma diferen¸ca de:

˜

(36)

Portanto, uma mudan¸ca no nono d´ıgito de um dado causou uma mu-dan¸ca no segundo d´ıgito da resposta. Neste caso, quando estamos sub-traindo grandezas aproximadamente iguais e h´a um erro muito grande, dizemos que houve um cancelamento subtrativo (o mesmo vale para somar grandezas iguais, mas de sinais diferentes).

Voltando para o exemplo inicial, para calcular x₂ por 2.25 ocorre:

x2 =

+105 − √1010

2 =

0

2 = 0 (2.27)

Que ´e identificado cancelamento subtrativo.

Uma forma de evitar tal problema, ´e usar o seguinte algoritmo:

x1 =

−b − sign(b)√b2 _{− 4ac}

2a (2.28)

Como ax2+bx+c = a(x−x1)(x−x2) implica que ax1 x2 = c, podemos

calcular a raiz por:

x2 =

c ax1

(2.29) Aplicando este algoritmo, não tão ingênuo como 2.25, temos:

• x1 = 10000.00

• x₂ = 1.0000000/100000.00 = 0.000010000000 Caso b:

a = 6 , b = 5 , c = −4

Aqui n˜ao h´a dificuldades em calcular para x₁ e x₂ os valores: • x₁ = 0.50000000

• x₂ = −1.3333333

Seja qual for a f´ormula utilizada. Caso c:

(37)

a = 6x1030 , b = 5x1030 , c = −4x1030

Desde que os coeficientes foram multiplicados por 1030 não há mudan¸ca nas ra´ızes. Contudo, a aplica¸cão das fórmulas pode levar a um problema de overflow, desde b2 > 1050 (considerando o F dado).

Caso d:

a = 10−30 , b = −1030 , c = 1030

Aqui, x₁ está muito perto de 1, enquanto x₂ está perto de 106. Portanto, nosso algoritmo deve determinar x₁ muito aproximadamente, mas irá falhar para x₂.

Caso e:

a = 1.0000000 , b = −4.0000000 , c = 3.9999999 As ra´ızes verdadeiras s˜ao:

• x₁ = 1.999683772 • x₂ = 2.000316228

Mas aplicando a f´ormula 2.28, obtemos x1 = x2 = 2.0000000, com

quatro d´ıgitos corretos.

Exemplo 2.6.5. Seja o sistema:

0.117 · 10−2 _{x + 0.648} _{y = 0.649}

0.512 x − 0.920 · 10−3 y = 0.511 (2.30) Que, resolvidos em F = F (10, 3, −3, 3) com arredondamento para o número de máquina mais próximo, temos:

0.117 · 10−2 _{x + 0.648} _{y = 0.649}

0x + 0.284 · 103 y = 0.511 (2.31) E da´ı y = 0.996 e x = 3.42.

(38)

Trocando a ordem das equa¸cões e resolvendo no mesmo sistema de ponto flutuante, temos x = 1 e y = 1, a qual se acha bem mais próxima da solu¸cão exata que é:

x = 0.999843279 . . . e y = 0.999737937 . . .

Voltaremos a apresentar este exemplo no Cap´ıtulo 3 quando veremos o M´etodo de Elimina¸c˜ao de gauss com Pivotamento Parcial.

Com os exemplos anteriores vemos que os algoritmos podem gerar, sob certos dados, erros consider´aveis de modo a tornar in´util o resulstado.

Vejamos agora outro tipo de instabilidade.

2.6.2 Instabilidade de problemas

Consideremos a tarefa de colocar um lápis comum, de base plana, em pé. Se a base for colocada para baixo, a terefa será fácil; contudo, se a parte cônica da ponta ficar para baixo, a tarefa é quase imposs´ıvel (sem truques). A primeira tarefa constitui um problema estável, enquanto a segunda é dita instável, pois, efetivamente, se o lápis ficar em pé, será apenas por algumas fra¸cões de segundo e depois cairá. Algo semelhante ocorre com problemas numéricos.

Veremos agora um problema clássico em metemática Numérica que é citado em |26| Wilkinson.

Exemplo 2.6.6.

p(x) = x20− 210x19+ . . . = (x − 1)(x − 2)(x − 3) . . . (x − 19)(x − 20) = 0 ´

E claro que as ra´ızes s˜ao 1, 2, 3, . . . , 19 e 20 e est˜ao bem separadas. Computando as ra´ızes de p(x) + 2−23 · 210x19 _{= 0, num computador com}

(39)

2.6. INSTABILIDADE 39 R1 = 1.000 000 000 R2 = 2.000 000 000 R3 = 3.000 000 000 R4 = 4.000 000 000 R5 = 4.999 999 928 R₆ = 6.000 006 944 R₇ = 6.999 697 234 R₈ = 8.007 267 603 R9 = 8.917 250 249 R10, R11 = 10.095 266 145 ± 0.643 500 904i R12, R13 = 11.793 633 881 ± 1.652 329 728i R14, R15 = 13.992 358 137 ± 2.518 830 070i R16, R17 = 16.730 737 466 ± 2.812 624 894i R₁₈, R₁₉ = 19.502 439 400 ± 1.940 330 347i R₂₀ = 20.846 908 101

Notemos que um termo da equa¸cão mudou de −21019 para −210 + 2−23x19, ou seja, uma mudan¸ca no trigésimo d´ıgito da base 2 em apenas um dos coeficientes. O resultado é completamente inesperado e as mu-dan¸cas nas ra´ızes são grandes. A razão dessa mudan¸ca drástica não é arredondamento nem o algoritmo e sem problema de condicionamento.

Há certos problemas que, quando sofrem pequena altera¸cão nos dados de entrada, têm na sua resposta pequena diferen¸ca proporcional, enquanto outros mostram grande varia¸cão no resultado do mesmo com uma pequen´ıs-sima altera¸cão nos dados de entrada. Os primeiros problemas são ditos bem condicionados e os segundos são ditos mal condicionados.

No caso de polinˆomio podemos analisar o seguinte: Seja p(x, α) = x20 − αx19 + . . .

Deferanciando p(x, α) = 0 em rela¸c˜ao a α, temos: ∂p(x, α) ∂x ∂x ∂α + ∂p(x, α) ∂α = 0

(40)

∂x ∂α = − ∂p/∂α ∂p∂α ∂x ∂α = x19 P20 i=1 Q20 j=1, j6=i(x − j)

Calculando em cada raiz, temos:

∂x ∂α x=i = i19 Q20 j=1, j6=i(i − j) , i = 1, 2, . . . , 20. (2.32)

Vejamos a seguinte tabela:

Raiz _∂α∂x|x = i Raiz _∂α∂x|x = i 1 −8.2x10−18 11 −4.6x107 2 8.2x10−11 12 2.0x108 3 −1.6x10−6 13 −6.1x108 4 2.2x10−3 14 1.3x109 5 6.1x10−1 15 −2.1x109 6 5.8x101 16 2.4x109 7 −2.5x103 ₁₇ _−1.9x109 8 6.0x104 18 1.0x109 9 −8.3x105 ₁₉ _−3.1x108 10 7.6x106 20 4.3x107

Estes números dão uma medida direta da sensibilidade ou condiciona-mentodas ra´ızes para o coeficiente α. Logo, as ra´ızes maiores são as mais sens´ıveis. Na unidade quatro voltaremos a falar do condicionamento das ra´ızes de equa¸cões não lineares.

Exemplo 2.6.7. Dada uma curva y = f (x), determinar a tangente a essa curva em x = x0, assim como a ´area limitada por esta curva e as retas

(41)

Vir´a figura

Figura 2.5: Estabiladade da integra¸c˜ao e instabildade da diferencia¸c˜ao

Se pequenas varia¸cões ocorrerem em f (x) em virtude, por exemplo, de arredondamento ou truncamento, podemos ter grandes varia¸cões no cálculo da tangente à curva no ponto (x0, f (x0)), como pode ser visto na Figura

2.5, onde a curva g constitui uma perturba¸c˜ao na curva f .

No entanto, a ´area sob a curva f ou g mant´em-se praticamente a mesma.

Exemplo 2.6.8. Consideremos a equa¸c˜ao diferencial:

y0(x) = y 0 ≤ x ≤ 1.0

y(0) = 1 (2.33)

Aproximando y0()x por:

(h/2)[−3y(x) + 4y(x + h) − y(x + 2h)]

Obtido pela aproxima¸c˜ao de y(x) por um polinˆomio do 2ograu e asso-ciando y(x) com y_i, y(x + y) com y(x + 2y) com y_i+2, temos:

yi+2 = 4yi+1 − 3yi − 2hyi i = 0, 1, 2, . . .

Onde y₀ = 1 e y₁ = eh.

(42)

y2 = 1.220 683 672 y3 = 1.346 187 75 y4 = 1.478 563 25 y5 = 1.606 452 2 y6 = 1.694 406 4 y₇ = 1.636 978 56 y₈ = 1.225 813 76 y₉ = -0.735 076 352 y10 = -6.542 909 44

E da´ı dever´ıamos ter em uma aproxima¸c˜ao para y(1) = e. Contudo, y₁₀ nada tem a ver com y(1).

Os dois últimos exemplos mostram que a diferencia¸cão pode ser um problema numéricamente mais instável do que a integra¸cão. Contudo, do ponto de vista anal´ıtico o processo da diferencia¸cão de fun¸cões que surgem na prática é mais simples do que a integra¸cão.

Com isso, concluimos esta unidade mostrando alguns problemas que a Matemática Numérica lida em fun¸cão da aritmética feita numa máquina como um computador digital. Felizmente, os problemas causados pelo arredondamento ou pelo condicionamento dos problemas não são maiores que as vantagens do uso do computador. Estes exemplos devem levar-nos a pensar que não devemos em qualquer hipótese confiar cegamente nos resultados produzidos pela máquina.

(43)

.1. INTRODU ¸C ˜AO 157

T´opicos sobre a Norma IEEE 754

.1 Introdu¸c˜ao

Históricamente existem alguns marcos na representa¸cão dos números tanto dos naturais ou inteiros como dos racionais como reais. Na nota¸cão decimal o uso do zero e o sistema posicional foi um deles. Isto facilitou não só a representa¸cão em si, como também os algoritmos de opera¸cões aritméticas tornaram-se mais simples. Neste sistema a representa¸cão de números de forma finita ou de fra¸cões periódicas ou não, está bem estabelecido e usado de modo mundial.

Com o advento dos computadores e sua memória com palavras de tamanho finito tornaram-se necessários criar novas representa¸cões. Os números in-teiros são representados com sistemas de ponto fixo. Para estes, usualmente temos a representa¸cão usando o código de complemento de dois, para re-presentar adequadamente o zero, os positivos e negativos. Para os números racionais são usados os sistemas de ponto flutuante. Os números reais, são aproximados por racionais. De fato em qualquer sistema de ponto flutuante só temos representa¸cões para racionais. Isto traz vários problemas com os arredondamentos.

Até a década de 80 cada fabricante de computador escolhia um sistema de representa¸cão e o implementava e todos os demais aplicativos de software que usariam estas máquinas usavam necessariamente este sistema. Por exemplo, no software básico de mainframes com IBM usava-se um tipo de representa¸cão, com base interna de 16, onde o número de ponto flutuante era representado com mantisa, sinal da mantissa e caracter´ıstica que re-presentava o exponte sem sinal, fazendo um deslocamento. Já nos antigos computadores Burroughs ou CDC, usava-se base 8 e o número de ponto flutuante possui, sinal da mantissa, mantissa, expoente e sinal do expoente. Com a difusão de computadores de pequeno porte onde a flexibilidade de aplicativos tornou-se maior, foi necessário desenvolver um padrão para viabilizar o uso, reuso e intercâmbio de informa¸cões sobre a aritmética de

(44)

ponto flutuante de modo mais uniforme. Estes problemas foram estudados por um comite do Instituto de Engenharia Elétrica e Eletrônica do Estados Unidos da América do Norte. 3

O objetivo da Norma IEEE 754 é estabelecer as diretivas para a imple-menta¸cão da aritmética binária de ponto flutuante. Ela especifica formatos, opera¸cões básicas: adi¸cão subtra¸cão, multiplica¸cão, divisão, raiz quadrada, compara¸cões, conversões, e quais são as situa¸cões de excessão. A norma IEEE 854-1987 generaliza a 754 e abrange a aritmética de ponto flutuante na base decimal, que é usada principalmente nas calculadoras.

Embora a Norma propicie suporte para para diagnosticar certas situa¸c˜oes de risco, isto nem sempre ´e implementado pelo fabricante em sua totalidade.

O link da IEEE onde pode-se comprar a norma ´e www.ieee.org. ou http://standards.ieee.org/

O link para mais informa¸c˜oes e onde existem artigos como o do David Goldberg e outros ´e http://grouper.ieee.org/groups/754/

Um link muito interessante, criada por Quanfei Wen ´e: http://babbage.cs.qc.edu/courses/cs341/IEEE-754.html

.2 Formatos

Toda a máquina ou qualquer instrumento material tem implicitamente uma limita¸cão f´ısica. Por exemplo, uma fita métrica comum não serve para medir corretamente com mil´ımetros e sim apenas com cent´ımetros; se usarmos um paqu´ımetro, podemos medir corretamente com mil´ımetros. Uma máquina como um carro tem um limite máximo de velocidade. Para atingir veloci-dades maiores temos que usar outro tipo de carro ou até mesmo outro tipo de ve´ıculo, como um avião. Estas limita¸cões estão associadas à precisão. No caso de cálculos feitos em máquinas digitais temos a chamada precisão simples, dupla ou precisão extendida que dependem de vários parâmetros estabelecidos pelo hardware, como tamanho em bits da palavra de memória,

3_{Institute of Electrical and Electronics Engineers: IEEE ou ”EYE triple E.”O IEEE ´}_{e uma sociedade cujos membros}

são técnicos profissionais da área de engenharia eletrônica, elétrica e atualmente de computa¸cão e outras tecnologias emergentes.

(45)

.2. FORMATOS 159

tamanho de registradores especiais, número de bits extras da palavra de memória, como os “tags” bits ou “flags” que indicam a paridade, qual o tipo de conteúdo, underflow, overflow, divisão por zero, opera¸cão inválida ou outros indicadores para o sistema operacional.

Na Norma são assumidos as seguintes defini¸cões: • Número de Ponto Flutuante Binário

´

E uma seqüência de d´ıgitos binários armazenados em bits, composto de 3 campos, O bit mais significativo é o sinal da mantissa, 0 para positivo e 1 para negativo; um expoente deslocado (biased em inglês) e uma mantissa que contém a parte fracionária.

• N´umero Normalizado ´

E o número de ponto flutuante cujo expoente esta dentro dos limites e a mantissa representa qualquer fra¸cão binária.

• Expoente ´

E o mesmo expoente da defini¸cão usual de número de ponto flutuante, ou seja, é o expoente da base 2 não deslocado, ou seja, “not-biased”. • Expoente “biased” ou Caracter´ıstica

´

E a soma de uma constante“bias”com o expoente gerando um expoente deslocado, para evitar que tenhamos que armazenar um sinal para o expoente, o que dificulta os algoritmos aritméticos. Nas máquinas IBM era chamado de Caracter´ıstica para não confundir com o expoente normal.

• N´umero Desnormalizado ´

E um número não nulo cujo expoente tem um valor reservado, usual-mente o valor m´ınimo e cujo primeiro bit da mantissa é 0. É útil para representar os números que ficam na região de underflow.

(46)

´

E uma seqüência de bits que representa a mantissa da defini¸cão usual e que de fato possui como primeiro bit o valor 1 que se torna impl´ıcito, antes do ponto separador que também é impl´ıcito.

• Infinitos e Zeros

Com as possibilidades de bits temos duas configura¸cões para o zero: +0 e −0, o que é comum em certos códigos, e dois infinitos: +∞, −∞.

• NaN: Não é um número de ponto flutuante ´

E uma seqüência de bits que possui valores indefinidos e representam opera¸cões inválidas.

Para cada formato temos a seguinte express˜ao:

(−1)S2e(b0.b1b2b3. . . bn−1)

onde S=0 se a mantissa for positiva ou S=1, se for negativa, Emin ≤ e ≤

E_max, o valor b₀ tem o valor 1, na base binária e assume-se que este ‘10 ećonstante e fica subentendido e não ocupa um espa¸co ou bit; os demais d´ıgitos binários são nulos ou 1.

No formato simples temos 32 bits dispostos na seguinte fˆorma:

Quantidade de bits 1 8 23

Conte´udo Sinal Expoente fra¸c˜ao Bits 31 30, 29, . . . 23 22,21 . . . 1, 0

(47)

.3. EXEMPLOS 161

Classe Sinal Exp Fra¸c˜ao

Zeros 1 0 0

0 0 0

Número Normalizado 0 1-254 qualquer 1 1-254 qualquer Número Desnormalizado 0 0 não nulo 1 0 não nulo

Infinitos 0 255 0

1 255 0

NaN( Not a Number) 255 n˜ao nulo

No formato duplo temos 64 bits dispostos na seguinte fˆorma:

Quantidade de bits 1 11 52

Conte´udo Sinal Expoente fra¸c˜ao Bits 63 62, 61, . . . 50 51,50 . . . 1, 0 Para outros formatos temos o seguinte resumo:

Parˆametro Formato

B´asico B´asico Duplo Duplo “single” Estendido “double” Estendido

n (precisão) 24 ≥ 32 53 ≥ 64 Emax +127 ≥ 1023 +1023 ≥ 16383 Emin -126 −1022 ≤ −16382 Bias +127 Não +1023 Não especificado especificado Bits do expoente 8 ≥ 11 11 ≥ 15 Total em bits 32 ≥ 43 64 ≥ 79 .3 Exemplos

Estes exemplos se referem ao formato simples, que correspondem ao tipo float na linguagem C ou Real em Pascal nos atuais PC com palavra

(48)

básica de 32 bits ou 4 bytes. Na linguagem C, através das bibliotecas de I/O a especifica¸cão de formato % converte o conteúdo apontado para a sa´ıda desejada.

especificador o argumento ´e convertido para a d ou i int nota¸c˜ao decimal de

inteiro com sinal

o int valor octal sem sinal

sem os zeros finais

x ou X int nota¸c˜ao hexadecimal, sem os zeros n˜ao significativos

u int nota¸c˜ao decimal sem sinal e ou E float or nota¸c˜ao decimal cient´ıfica

double com [−]m.mmm . . . mE[±]nnn f float or nota¸c˜ao decimal

double com [−]mmmm.nn . . . n

g ou G float or usa a forma mais curta dentre e ou f double e sem os zeros n˜ao significativos u int nota¸c˜ao hexadecimal, sem sinal p pointer endere¸co armazenado num ponteiro

O formato %p.qf indica que serão usadas p espa¸cos para o número, con-tando o sinal e o ponto, e q indica o número de casas decimais após o ponto.

Observa¸c˜oes:

Muito cuidado é necessário ao usar os formatos adequados ao tipo de variável.

1. No caso de inteiros a linguagem C, como normalmente ´e implementada n˜ao avisa sobre o overflow ou underflow.

2. A divisão por zero não causa uma interrup¸cão em si, embora quando o valor é impresso temos: (1/0) = 1.#IN F 00. e seu conteúdo fica: 7f 800000x = (0|111 1111 1|00000 . . . 0)2 que sinaliza +∞. Se este

(49)

.4. EXEMPLOS 163

valor for reusado o processo de indertermina¸c˜ao continua.

3. Se por exemplo, o valor (1.0/0.0) ´e somado a 10.0 temos: (1/0 ∗ 1 + 10)f = 1.40445e + 306

4. No caso de float ....

.4 Exemplos

Exemplo .4.1. Indicar a configura¸c˜ao de bits que assumem os seguintes valores:

1. float num=357.8125;

(a) Convertendo para bin´ario:

(357.8125)10 = (1 0110 0101.1101)2

(b) Deslocar o ponto fracion´ario:

(357.8125)₁₀ = (1.0110 0101 1101)₂ · 2+8

(c) Completar a mantissa at´e completar os 23 bits ou preencher com zeros o que faltar

m = 011 0010 1110 1000 0000 0000

Lembrar que o primeiro 1 fica subentendido e foi cortado, e come¸camos a preecher do bit mais significativo, da esquerda para direita.

(d) Deslocando o expoente: Somar a constante do “bias=127´´ 127 + 8 = 135 = (1000 0111)2

(e) Preencher o expoente com o resultado do item anterior. Se n˜ao houver 8 bits preencher com zeros.

(f) Determinar o sinal da mantissa. S = 0

(50)

(g) Juntando as partes:

(357.8125)₁₀ = 0|100 0011 1|011 0010 1110 1000 0000 0000 ou ainda em hexa:

(357.8125)10 = 43b2e800x

Se o n´umero fosse negativo, ficar´ıamos com: (357.8125)10 = c3b2e800x

Aten¸cão, isto não é converter o número para a base 16.

Exemplo .4.2. Seja agora o caso de n´umeros inteiros: int i=-357; int j=357;

Usa-se o complemeto de 2.

1. Convertendo para bin´ario e completando com zeros:

357 = (1 0110 0101)₂ 357 = (0 . . . 0 0001 0110 0101)2 2. Fazendo o complemento de 2: 1 . . . 1 0 1001 1010 + 1 1 . . . 1 1110 1001 1011

3. para o valor positivo, não é necessário nenhuma outra conta, além da conversão inicial.

Logo:

(357)10 = 00000165x

(51)

.4. EXEMPLOS 165

Exemplo .4.3. Outro n´umero real f loat num = −951.339 843 75; 1. Convertendo para bin´ario:

(−951.33984375)10 = (11 1011 0111.0101 0111)2

2. Deslocar o ponto fracion´ario:

(−951.33984375)10 = (1.11011011101010111)2) · 29

3. Completar a mantissa at´e completar os 23 bits ou preencher com zeros o que faltar

m = 1.11011011101010111000000

4. Deslocando o expoente: Somar a constante do “bias=127´´ 127 + 9 = 136 = (1000 1000)2

5. Preencher o expoente com o resultado do item anterior. Se n˜ao houver 8 bits preencher com zeros.

6. Determinar o sinal da mantissa.

S = 1 7. Juntando as partes:

(−951.33984375)10 = 1|100 0100 0|110 1101 1101 0101 1100 0000

ou ainda em hexa:

(−951.33984375)10 = c46dd5c0x

Se o n´umero fosse positivo, ficar´ıamos com:

(52)

Exemplo .4.4. Consideremos um n´umero real com precis˜ao dupla: 1. double x=245.;

2. Convertendo para bin´ario:

(245.)₁₀ = (1111 0101)₂ 3. Deslocar o ponto fracion´ario:

(245.)10 = (1.111 0101)2 · 2+7

4. Completar a mantissa at´e completar os 52 bits ou preencher com zeros o que faltar

m = 111 0101 0000 000 . . . 0000

Lembrar que o primeiro 1 fica subentendido e foi cortado, como na precis˜ao simples e come¸camos a preecher do bit mais significativo, da esquerda para direita.

5. Deslocando o expoente: Somar a constante do “bias=1023 = 210− 1´´ 1023 + 7 = 1030 = (100 0000 0110)₂

6. Preencher o expoente com o resultado do item anterior. 7. Determinar o sinal da mantissa.

S = 0 8. Juntando as partes:

(245.)₁₀ = 0|100 0000 0110 1110 1010 0000 . . . 0000 ou ainda em hexa:

(53)

.5. ARREDONDAMENTOS 167

.5 arredondamentos

O arredondamento é um ponto cr´ıtico da aritmética de ponto flutuante. Para fazer o arredondamento de modo correto é necessário evitemente con-hecer os demais d´ıgitos do resultado. De fato nas unidades de aritmética existem mais informa¸cões do que é mostrado na palavra de memória. É a aprtir destas informa¸cões que é calculado o arredondamento.

Existem 4 tipos de arredondamento definidos na norma. • “Unbiased:” arredonda para o mais pr´oximo

• Direcionado ao Zero

• Direcionado ao infinito positivo • Direcionado ao infinito negativo

Será continuado. Revisão de Cálculo

O seguintes resultados são vistos nos cursos básicos e as referências estão na Bibliografia.

(54)

(55)

Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

[1] Lamport, L., LaTeX : A Documentation Preparation System User’s Guide and Reference Manual, Addison-Wesley Pub Co., 2nd edition, August 1994.

[2] Forsythe, G.E.;Malcom, M.A. & Moler

” C.B. Computer Methods for mathematical computations Englewood Clifs, Prentice Hall, 1977. [3] Pennington, R.H. Introductory computer methods and numerical

analysis. New York, MacMilan, 1965.