Edwaldo Bianchini & Herval Paccola - Matemática 1 (pdf)

~

.

a ema lea

Apresenta~ao

E

com enorme satisfayao que trazemos aos colegas de magisterio e estudantes esta nova ediyao de Matematica para0 2Q grau.

Mantivemos aqui0 compromisso de tonur mais agradaveis e produtivos tanto 0 ensino como 0 aprendizado, meta essa tambem presente na ediyao anterior.

Voce pode estar questionando a necessidade desta reediyao. Simples: 0 mundo a nossa volta torna-se a cada dia mais e mais dinamico. Dessa forma, por mais atualizado e ajustado que um livro seja, em determinado momento, ele pode estar subestimando assuntos que mereyam uma abordagem mais aprofundada.

Assim, acompanhando a moderna tendencia do ensino de estreitar a relayao aprendiza-do/cotidiano, procuramos trabalhar os conceitos de forma criativa e motivadora, privilegian-do sua aplicayao em problemas que estimulem0 interesse do aluno. Tambem nos exemplos resolvidos enos "Exerdcios propostos", sempre que possivel, procuramos trabalhar com situayoes retiradas da realidade do estudante.

A respeito dos temas estudados, destacamos a inclusao de um capitulo sobre Matematica Financeira, no volume 1, e outro sobre Estatistica, no volume 3. Foram acrescentados em vista de sua import:lncia no mundo moderno e tambem em funyao do elevado numero de questoes sobre esses assuntos nos (tltimos vestibulares.

Uma outra novidade desta reediyao e 0 "Tunel do tempo", uma seyao que, como 0

proprio nome sugere, leva0 aluno a relacionar0 tema em estudo com 0 momenta historico em que foi desenvolvido.

No final de cada capitulo, antes dos "Exerdcios complementares" e dos "Testes", urn resumo do assunto estudado auxilia0 aluno na resoluyao das atividades.

Procuramos tambem aliar linguagem comunicativa, metodologia e rigor conceitual, com vistas a atender as necessidades do estudante, tanto na qualidade de cidadao como na de futuro vestibulando.

Temos perfeita consciencia de que nenhum livro substitui 0 trabalho do professor. Mas

acreditamos que, ao proporcionar uma solida base conceitual e didatica ao estudante, estamos dando a nossa contribuiyao no sentido de auxiliar0 mestre em sua tarefa de ensinar e formar pessoas.

Atendendo a solicitayoes recebidas de diversas partes do pais, este trabalho esta sendo apresentado em duas versoes. Na versao Alfa, as progressoes aritmeticas e geometricas sao estudadas no volume 1, e a trigonometria e vista no volume 2. Na versao Beta, essa ordem se inverte.

Finalmente, queremos registrar aqui nossos sinceros agradecimentos a todos os profes-sores que, no decorrer desses anos, nos enviaram seu incentiyo na forma de criticas e su-gestoes. Esperamos continuar merecendo a mesma acolhida nesta nova ediyao e, para tanto, contamos com 0 seu apoio - e ele que, afinal, torna 0 nosso trabalho mais adequado e efi-ciente.

Sumario

Capitulo I - CONJUNTOS

1. Primeiras noc;6es 1

2. Representac;ao de conjuntos . . . 2

3. Conjuntos unitarios e conjunto vazio 4 4. Conjuntos iguais 4 5. Conjunto universo . . . 4

6. Alguns slmbolos da linguagem dos conjuntos 5 7. Subconjuntos 7 8. Operac;6es com conjuntos 10 9. Numero de elementos da reuniao entre conjuntos . . . .. 15

Capitulo 2 - CONJUNTOS NUMERICOS 1. Introduc;ao 23 2. Conjunto dos numeros naturais 23 3. Conjunto dos numeros inteiros . . . .. 24

4. Conjunto dos numeros racionais ; . . . .. 25

5. Conjunto dos numeros irracionais . . . .. 28

6. Conjunto dos numeros reais . . . .. 29

7. Intervalos 30 8. Operac;6es com intervalos ',' . . . .. 33

9. Valor absoluto ou modulo de urn numero . . . .. 35

Capitulo 3 - FUN<;:OES 1. Introduc;ao 42 2. Par ordenado . . . .. 43

3. Produto cartesiano . . . .. 44

4. Noc;ao de relac;ao . . . .. 47

5. Noc;ao matematica de func;ao 49 6. Linguagem das func;6es 51 7. Dominio de uma func;ao real de variavel real 53 8. Grafico de uma func;ao . . . .. 54

9. Analise de graficos . . . .. 57

10. Func;ao bijetora . . . .. 64

11. Func;6es inversas 67 12. Func;ao composta . . . .. 70

Capitulo 4 - FUN<;:AO DO 12_GRAU 1. Func;ao constante . . . .. 79

2. Func;ao do 1Q grau 80 3. Estudo do sinal da func;ao do 1Q grau . . . .. 86

4. InequaC;6es do 1Q grau . . . .. 87

Capitulo 5 - FUN<;:AO DO 22_GRAU

1. Introduc;ao 100

3. Vertice da parabola 104

4. Raizes da func;ao do 2Q _{grau 109}

5. Estudo do sinal da func;ao do 2Q grau . . . 110

6. Inequac;oes do 2Q _{grau 113}

Capitulo 6 - FUNC;::AO MODULAR

1. Introduc;ao 123

2. Func;ao definida por duas ou mais sentenc;as 123

3. Func;ao modular 126

4. Equac;oes modulares 132

5. Inequac;oes modulares 134

Capitulo 7 - FUNC;::AO EXPONENCIAL

1. Revisao de potencia de expoente racional 145

2. Conceito de func;ao exponencial 146

3. Grafico da func;ao exponencial 147

4. Equac;oes exponenciais 149

5. Inequac;oes exponenciais . . . 153

Capitulo 8 - LOGARITMOS

1. Introduc;ao 162

2. Definic;ao de logaritmo 162

3. Propriedades dos logaritmos 168

4. Sistemas de logaritmos '. . . 170

5. Propriedades dos logaritmos de mesma base 171

6. Mudanc;a de base 180

7. A func;ao logaritmica 183

8. Dominio da func;ao logaritmica 186

9. Inequac;oes logaritmicas . . . 189

Capitulo 9 - CALCULO E APLlCAC;::OES DOS LOGARITMOS DECIMAlS

1. Introduc;ao 197

2. Calculadora cientifica ou tabua de logaritmos? 199

3. 0 dlculo com logaritmos decimais 209

4. Algumas aplicac;oes dos logaritmos 214

Capitulo 10 - NOC;::OES SOBRE MATEMATICA FINANCEIRA

1. Porcentagem 221

2. Juros 229

Capitulo II -TRIGONOMETRIA NOTRIANGULO RETANGULO

1. Introduc;ao 239

2. Revendo conceitos ja estudados sobre triangulos redngulos 240

3. Aprendendo novos canceitos 241

4. Popriedades e relac;oes do seno, do casseno e de tangente de urn angulo agudo

de urn triangulo redngulo 244

:" . (:omo calcular os valoes das razoes trigonometricas 246

Capitulo 12 - TRIGONOMETRIA - ARCOS E ANGULOS

1. Introdus:ao 269

2. Arcos e angulos . . . 269

3. Medida de um angulo central 274

4. 0 eiclo trigonometrieo . . . 277

5. 0 arco trrigonometrieo 279

Capitulo 13 - FUNC;:OES TRIGONOMETRICAS

1. Introduc;ao 285

2. A funs:ao sene 286

3. A funs:ao cosseno 295

4. Os grafieos das funs:oes sene e eosseno 308

5. A func;ao tangente 311

6. Outt'as funs:oes trigonometrieas 318

7. Relas:oes entre as funs:oes trigonometrieas .. . . 319 8. Identidades trigonometricas ... . . . 324 9. Recorreneia a um area do primeiro quadrante .. . . 324

10. Cilculo dos valores das funs:oes trigonometrieas 332

11. Func;oes trigonometrieas inversas 336

Capitulo 14 - FORMULAS DE TRANSFORMAC;:.o.O

1. Introduc;ao 349

2. Arco soma e area diferrens:a 351

3. 0 arco duplo " 356

4. 0 area metade 359

5. Funs:oes trigonometrieas de um area que mede a, em funs:ao da tangente do area metade " . . . 362

6. Transformas:ao de soma em produto " " 364

Capitulo IS - EQUAC;:OES E INEQUAC;:OES TRIGONOMETRICAS

1. Introdus:ao 373

2. Equac;oes trigonometrieas 374

3. Inequac;oes tt'igonometrieas 384

Capitulo

I

Conjuntos

I. Primeiras

no~oes

As primeiras nos;oes sobre conjul1tos voce as adquiriu no curso de 1Q grau. Vamos reve-las e ampliar esses conhecimel1tos introduzindo novos simbolos, liteis nao somente no estu-do da matematica como tambem em outras areas.

Recordemos que se entende por conjunto qualquer coleS;ao de objetos.

Esses objetos podem ser de qualquer natureza. Podemos falar em conjul1to de casas, de alunos, de logotipos, de figuras geometricas, de numeros etc.

o

quadro abaixo mostra um conjunto de logotipos de algumas emissoras de televisao de Sao Paulo.

Wi

,r

CULTURIl

Fundat;:ao Padre Anchieta

Dm conjunto geralmente e indicado por uma letra maiuscula do alfabeto. Os objetos que compoem um conjul1to sao chamados elementos.

Assim, por exemplo, chamando deL 0 conjunto dos logotipos acima, temos que cada um

deles e elemento deL.

Indica-se que um elemento x pertence a um conjuntoA escrevendo-se:

xE A (le-se: xpertence aA)

I

Se x nao pertence ao conjuntoA, "cortamos"0 simbolo com um tras;o, escrevendo:

I

x

f/=

A (le-se: x nao pertence aA)

I

Esse tipo de indicaS;ao e utilizado em muitas outras situas;oes. Voce pode verificar isso no conjunto a seguir, onde os sinais sao cortados, indicando proibiS;ao.

Proibido fumar. Proibida apresen~a

de cachorros.

Proibido jogar latas e garrafas.

Proibido fazer fogueira.

2.

Representa~ao

de conjuntos

Existem varias maneiras de se representar um conjunto. Uma delas

e

indicar todos os seus elementos entre chaves. Vamos, como exemplo, representar os seguintes conjuntos:

a) 0 conjunto A formado pelos algarismos pares do numeral 6280 (extensao aproxima-da, em quilometros, do Rio Amazonas).

Temos: A = 10,2,6,81

Rio Amazonas.

b) 0 conjunto IN dos nllmeros naturais. Como se trata de um conjunto infinito, nao

e

pos-sivel enumerar todos os seus elementos. Escrevemos, entao, apenas as primeiros elementos, seguidos de reticencias:

IN

=

10, 1,2,3, ... }

c) 0 conjunto Bdos numeros naturais impares menores que 100. Como sao muitos os elementos do conjunto B, por comodidade escrevemos os primeiros elementos, seguidos de reticencias, e finalmente os ultimos elementos. Assim:

B = (1,3,5,7, ... ,97,991

d) 0 conjunto Tdos numeros que expressam as medidas dos lados do triangulo EDU,

sendo ED

=

15,2cm, EU

=

16,4 cm e DU

=

10,8cm:

T= (15,2; 16,4; 10,81

e) 0 conjunto H dos algarismos do numeral149 597 870 (disrancia media, em quilome-tros, entre0 centro da Terra e0 centro do Sol). a representas:ao de um conjunto nao

repe-timos os elementos. Assil11,0 conjunto H tem exatamente sete elementos. Observe:

H

=

10, 1,4,5,7,8, 9}

Ul11a outra maneira de se representar um conjunto

e

indicar entre chaves uma proprieda-de que caracteriza seus elementos. Vamos consiproprieda-derar0 conjunto:

A = (janeiro, junho, julho

I

Observe que todos os elementos desse conjunto sao meses do ana e seus nomes comec;:am pela letra j. Essa

e

uma propriedade caracteristica dos elementos desse conjunto. Podemos, entao, escrever:

A = (x

Ix

e

mes do ano cujo nome COl11ec;:a pela letra

il

(U-seA

e

0 conjunto de todo x, tal que x

e

mes do ana cujo nome comec;:a pela letraj.) Veja outros exemplos:

a) B

=

10,5,10,15,20, ... }

B=

Ixlxe

numero natural multiplo de 5}

b) M =

I

m) a) t) e)i) c}

}

,

,I

A={

Podemos ainda representar um conjunto utilizando 0 diagrama de Venn, que consiste em colocar os elementos no interior de uma curva fechada simples. Como exemplo vamos repre-sentar0 conjunto

das bandeiras dos palses finalistas da Copa do Mundo de Futebol, de 1994:

A

•

·88

EXERCiclOS PROPOSTOS

_

1. Os conjuntos a seguir estao representados por uma propriedade caracterfstica de seus elementos. Escreva-os indicando esses elementos.

a)A = {x

I

x

e

um numero natural menor que 10}. b) B= {xix

e

um numero fmpar maior que 5}.

c) C = {xlxenumero multiplo de 3, maior que 10 e menor que 100}. d) 0 = {xix

e

numero natural e3x2- 7x+2= O}.

2. Agora temos0 inverso. Os conjuntos estao escritos com seus elementos indicados. Escreva-os indi-cando uma propriedade caracterfstica de seus elementos.

a)A = {1, 3, 5, ... }

b) B= {segunda-feira, sexta-feira, sabado}

c) C= {a,4, 8, 12, ... , 60} d) 0 = {10, 15,20,25, 30}

3. Represente0 conjunto por uma propriedade que caracteriza seus elementos.

A

o

verde

o

amarelo

o

azul

'0branco

4. Indica-se 0 numero de elementos de um conjunto Apor n(A).Assim, dados os conjuntos abaixo, determinen(A), n(B)en(C).

a)A= {xix

e

numero natural ex2- 12x+35 =

a}.

b) B= {xix

e

letra da palavraRecife}.

c) C= {a,3, 6, 9, ... , 120}

5. Dados os conjuntosA = {a, 2, 4, 6} e B= {x

Ix

2- 11x+ 18= O}, use 0 sfmbolo E ou f£ para relacionar:

3. Conjuntos unitarios e conjunto vazio

A ideia de conjunto em matematica tern urn sentido mais amplo do que aquele que nor-malmente

e

sugerido pela propria palavra. Assim

e

que admitiremos conjuntos com urn so ele-mento, chamados conjuntos unitarios, e conjunto sem elementos, chamado conjunto vazio. 0 conjunto vazio

e

representado por 0 ou

I }.

Veja os exemplos:

a) 0 conjunto do mamifero voador

e

0 conjunto unitario

I

morcego }.

b) 0 conjunto dos numeros naturais maiores que 2 e menores que 3

e

0 conjunto 0.

-o

morcego

e

0unico mamffero voador.

'"

c: ~

'"

""

(/) 0- f-'" Cl Cl I ci

EXERCiclO PROPOSTO

6. Classifique cada conjunto como unitario ou vazio. a) A ={xlxe natural e 2x=5}.

b) B={xlxe natural e 2x=6}. c) C={xlxe natural e Ox=6}. d) 0 = {xlxe natural par e primo}.

4. Conjuntos iguais

Dois ou mais conjuntos sao iguais quando possuem os mesmos elementos.

Assim, se A

e

0 conjunto das letras da palavra "arte":A = la) r, t) c} eBe0 conjunto das letras da palavras "reta": B=

I

r, c) t)a}, temosA = B,pois os conjuntos possuem os mesmos elementos, nao importando a ordem em que foram escritos. SeA nao fosse igual aB, escre-veriamosA =F B(le-se: A

e

diferente deB).

EXERCiclO PROPOSTO

7. Verifique se A= Bou Ai'B,nos seguintes casos:

a) A={x

I

x

e

letra da palavra amoral e B={x

I

x

e

letra da palavra roma}. b) A={O, 1,2,3, 4} e B={xix

e

numero natural menor que 4}.

c) A={2,5} e B={xlx2 - ax

+

12=OJ.

5. Conjunto universo

o

conjunto que tern todos os elementos com os quais se deseja trabalhar chama-se con-junto universo. Geralmente, urn concon-junto universo

e

representado pela letra U.

Consideremos a pergunta: Quais sao os numeros menores que 5? A resposta ira depender do conjunto universo com que se estiver trabalhando. Vejamos:

• Se0 conjunto universo for0 conjunto dos numeros naturais, teremos como resposta os numeros 0,1,2,3 e 4. Tambem podemos indicar a resposta por S

=

10, 1,2,3,41,em que S e chamado conjunto solus:ao.

• Se0 conjunto universo for 0 conjunto dos numeros naturais pares, teremos como con-junto solu<;:ao S= 10,2,4).

• Se 0 conjunto universo for0 conjunto dos numeros inteiros, teremos: S= 1... ,-1,0,1,2,3,4}

EXERCICIOS PROPOSTOS

_

8. Considerando U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} como conjunto universo, determine0 conjunto solU9aO de:

a} {xE UI2< x< 7} c) {xE Ulx +1= 10}

b) {xE Ulx +3

=

8} d) {XE Ulx2- 9x+ 14

=

O}

9.

De

0 conjunto solU9ao da equa9ao 2x2+5x - 3=0 nos seguintes casos:

a) U = IN

b) U =

t-

1,---} , 0, 1,--}, 3}

c) U= {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3)

d) U = {-3' -1, ---}, 0, --}, 1, 3}

6. Alguns simbolos da linguagem dos conjuntos

Para darmos continuidade aos nossos estudos, vamos introduzir alguns simbolos que irao facilitar nossa linguagem, tornando-a mais precisa.

Implica~ao

e equivalencia

Quando, a partir de uma afirma~ao

p,

concluimos uma outra afirma~ao

q,

dizemos que pimplica qe escrevemosp=>q(le-se: pimplica qou sepentao q).

c) xe numero par => xe mLlltiplo de 2

(p) (q)

(Le-se: se Jose e pernambucano, entao Jose e brasileiro, ou Jose e pernambucano implica que Jose e brasileiro.)

Exemplos a) Jose e pernambucano

(p)

=> Jose e brasileiro (q) x=8-2 (q) => x2 = 25 (q) b)x = 5

(p)

d) x

+

2 = 8 =>

(p)

Observe nos exemplos c e dque tambem a partir de

q

podemos conduir

p:

xe multiplo de 2 ~ x e numero par

x=8-2~x+2=8

Nesses casos, dizemos quepeqsao equivalentes e escrevemosp ¢=} q(le-se:pe equivalente aq): xe nlimero par ¢=} xe mUltiplo de 2, ou seja,xe numero par se e somente sexe mUltiplo de 2.

x+2=8 ¢=} x=8-2

Sep ~ qeq ~ p,entaop ¢=}q

No exemploa,de Jose e brasileiro, nao podemos conduir que Jose e pernambucano (ele poderia ser. catarinense, carioca, paulista etc.). Jose e brasileiro

p

Jose e pernambucano (0 simbolo ~ le-se: nao implica).

No exemplo b, dex2 _{= 25, nao podemos conduir que x = 5 (xpoderia ser -5), pois}

(-5)2 = (-5) . (-5) = 25. Portanto: x2 _{= 25 =/> x = 5.}

Qualquer que seja

(v)

Vamos resolver a equas:ao2(3x - 1) = 6(x

+

1) - 8 no universo U= 10,1,2,31. Temos:

2(3x - 1) = 6(x

+

1) - 8 ~ 6x - 2 = 6x

+

6 - 8 ~ 6x - 6x = 6 - 8

+

2 ~ Ox= 0. Observe que a igualdade Ox =

°

se verifica para qualquer que seja x pertencente a U.

Representando a expressao qualquer que seja xpor 'r/x(le-se: qualquer que sejax ou para todo x),podemos escrever:

'r/x E U ~ Ox

=

°

A solus:ao da equas:ao proposta e0 proprio conjunto universo, isto e: S =

u.

Existe ao rnenos urn

(3)

Considere 0 conjunto A*-0.Sendo A*-0,entao existe ao menos urn x,tal quex E A.

Representando a expressao existe ao menos urnxpar3x, podemos escrever:

A*-0~3xlxEA

o

simbolo ~xle-se: nao existe xalgum. Exemplos

a) SeA = 0, entao,tlxlx EA.

b),tlxEIN12x= 3

Existe urn unico

(31)

Considerando0 conjunto universo U = 10, 1,2,3,4,5), existe urn unico valor de x que verifica a sentens:a 2

<

x

<

4. Representando a expressao existe urn ilnico valor de x por 31x, podemos escrever:

31x E UI2

<

x

<

4 Exemplos

a) SeA e conjunto unitario, entao 31x Ix E A.

EXERCICIOS PROPOSTOS

e) x2=16 ~'x=-4oux=4 f) 3xE U 12x

=

5

g) 31xE UI3x= -12

h) \lxE U=> Ox= 0

10. Sendo U = {-4, -3, -2, -1,0, 1,2,3, 4}, identifique as senten9as como verdadeiras (V) ou falsas (F). a) X= -4 => x2= 16 b) x

=

4 => x2

=

16 c) x2₌ 16 => x= -4 d) x2=16 => x=4

11. Considerando0 conjuntoA= {1, 3, 5, 6, 7, 9}, identifique as senten9as verdadeiras. a) \IxE A => x

e

numero fmpar' c) 3xE A Ix

e

divisor de 9

b) 31xE Alxepar d)

}XE

A Ix> 10

7. Subconjuntos

ul

B

Considere os conjuntosA

=

(2,3,5} eB

=

11,2,3,4,5,6, 7}. Observe que todo ele-mento deA e tam bern elemeoto deB. Nessas condi<;:6es dizemos queA e subconjunto deB

ou que A esta contido emBeescrevemosA C B.Podemos tambem dizer queB contemA

e escrevemosB ::J A.

Essa situa<;:ao pode ser graticamente representada assim:

Em simbolos, temos: _{A C B}{=} {'Ix E A ~xE B}

Voce, que dentro de pouco tempt:?, provavelmente, estara preocupado em "tirar" sua Carteira Nacional de Habilita<;:ao para dirigir veiculos motorizados, necessitara, entre outtas coisas, conhecer0 conjunto S dos sinais de transito.

o

conjunto P, dos sinais de transito que indicam proibi<;:ao, mostrado graficamente a seguir, e urn subconjunto de S.

Sentido proibido Proibido virar aesquerda Proibido virar adireita Proibido retornar Proibido estacionar Proibido parar e estacionar Proibido ultrapassar Proibido mudar de faixa de trinsito Proibido transito de veiculo de carga Proibido transito de veiculos automotores Proibido transito de velculos de tra~iioanimal Proibido trans ito de bicicletas Proibido transito de maquina agricola Proibido acionar buzina au sinal sonora Proibido transito de pedestres

Vejamos outros exemplos:

a) DadosA =

13,6,91

eB= IN,temos que: A C B,pois todo elemento deA e tambem elemento de B.

b) Sendo A

=

lxlxe animal mamiferol eB

=

lcao, baleia), temos que: A ~ B,pois todo elemento deBe tam bern elemento de A.

c) la, bl cIa, b, cl d)

121

c

121

Se A nao esta contido em B, escreve-se: A

r:t.

B. Para se ter A

r:t.

Be necessario que exista pelo menos urn elemento que pertenc;:a aA e nao pertenc;:a a B. Considere os conjun-tosA = (1,2,3,41 eB= (1,3,4, Sj ..Temos: A

r:t.

B, pois 2 E A e 2 r¢. B.

Observap:>es

1. Todo conjunto e subconjunto de si mesmo.

I

VA=}ACA

2. 0 conjunto vazio e subconjunto de qualquer conjunto.

I

VA=}0 C A

I

EXERCiclOS PROPOSTOS

_

12. Dados os conjuntosA= {1, 2}, B= {1, 2, 3, 4}, C= {2, 4}, identifique as sentenyas verdadeiras.

a) Ac B b) Ac C c) Cc B d) B~C

13. Determine os conjuntosXque satisfazem a condiyao {2, 3} C Xc {2, 3, 4, 5}.

14. Dados os conjuntosAeB,com A# B eA

c

B,identifique as sentenyas falsas. a) xE B=>xE A d) xE A=>xE B

b) xE B=>x$ A e) xE A=>x$ B

c) x$ B=> x$ A

15. Identifique as sentenyas verdadeiras em relayao aos conjuntosA, BeC.

a) SeAc Be Bc A,entaoA = B. c) Se CcAe Ac B, entao Cc B.

b) VB=>0CB. d) Sex$AeXEB,entaoAcB.

Conjuntos cujos elementos sao conjuntos

Os elementos de urn conjw1to podem tambem ser conjuntos. Considere, por exemplo, 0 conjuntoM cujos elementos sao: la), lb}, la, b}, e

Ic,

d}. Temos:

M = (la}, lb), la, b), lc) dll Nesse caso, dizemos que:

(al EM e nao lal eM

o

mesmo acontece com os outros elementos de M:

EXERCiclO PROPOSTO

j) {1, 5} E A

I) {{1, 5}} CA

m) {0, {1}, {5}} C A

16. Dado0 conjuntoA = {0, {1}, {5}, {1, 5}}, identifique as sentent;:as verdadeiras.

a)0EA d){1}EA g) {{1}}cA

b) {0,1,5}EA e)1EA h){5}EA

c) {0}C A f) {1}C A i) 5 E A

Conjunto das partes de urn conjunto

Considere, por exemplo,0 conjunto A = {a,

bl.

Vamos escrever os subconjuntos de A: • com um elemento: {a}, {bl;

• com dois elementos: {a,

bl.

o

conjunto cujos elementos sao todos os subconjuntos de A

e

chamado conjunto das

partes deA e

e

geralmente indicado porP(A) (le-se: Pde A).

Lembrando que 0 conjunto vazio

e

subconjunto de qualquer conjunto, temos:

P(A)

=

10,

(af, {b}, {a,

bll

Considerando agora, por exemplo, 0 conjunto B = (m, n,P}, vamos determinar P(B). Para isso, escreveremos os subconjuntos de B:

• com um elemento: {m), (n}, (p);

• com dois elementos: (m, n}, (m, pI, In, pI;

• com tres elementos: {m, n,pI.

Como 0 C B,temos:

P( B)

=

{0, {mf, (n}, {p}, {m, n}, {m,pI, {n,pI, {m, n,

P

II

Observe que:

• no primeiro exemplo 0 conjuntoA tem dois elementos eP(A) tem quatro elementos,

ou seja, 22 ;

• no segundo exemplo 0 conjunto Btem tres elementos e P(B) tem oito elementos, ou

seja, 23 .

De um modo geral, se urn conjuntoA tem nelementos,0 numero de elementos deP(A)

e

dado por 2".

Assim, par exemplo, se um conjunto C tem quatro elementos, entao P(C) ted. 24

ele-mentos.

EXERCiclOS PROPOSTOS

_

17. Dado0 conjuntoA = {2, 4, 6, 8}, escreva todos os subconjuntos deA que tenham:

a) um elemento b) dois elementos c) tres elementos

18. Dado0 conjuntoB= {1, 3, 4}, pede-se:

a) 0 numero de subconjuntos deB com dois elementos. b) 0 numero de subconjuntos de B.

19. Forme0conjunto das partes do conjuntoB= {8, 9}.

20. Sendo x= {a,2, 5}, determineP(x).

22.

De

0 numero de elementos de P(A) nos seguintes casos:

a) A={O,1,2,3,4} c) A={x!xepare4<x<10}

b) A={a,m,o,r} d) A={x!xefmpare3~x<18}

23. 0 numero de elementos de um conjunto A

e

dado por 2", onden

e

0 numero de elementos de A.

Entao, se P(A) tem 64 elementos, qual0 valor den?

24. 0 conjunto das partes do conjunto B tem 512 elementos. Quantos sao os elementos de B?

8.

Opera~oes

com conjuntos

Diferen~a

entre conjuntos

Dados os conjuntos A =

II,

2,3,4,5,6, 7} eB= 12,4,6,8, 9}, vamos escrever0 con-junto formado pelos elementos de A que nao pertencem ao conjunto B. Obtemos assim 0 conjunto {l,3, 5, 71, chamadodiferen~entre A eB. Indicando a diferen<;:a entreA eBpor

A - B(le-se: A menos B),temos:

A-B=(1,3,5,7}

Vamos mostrar isso graficamente:

A-B

De urn modo geral:

Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferen~ entre A e B 0 conjunto formado pelos elementos deA que nao pertencem aB.

Usando simbolos, definimos a diferen<;:a entre dois conjuntosA eBassim:

I

A - B

=

(xixE Aex

~

B)

I

Voltando aos conjuntos dados, vamos determinar a diferen<;:a B - A. Os elementos de B

que nao pertencem ao conjuntoA sao 8 e 9. Portanto:

B - A = l8,9}

I

CRA

=

B - A, em que A C B

I

Observas;oes

1. SeA e B sao conjuntos tais que A C B, entio a diferenc;:a B - A e chamada

complemen-tal' deA em Be indicada por CRA (le-se: complementar de A em B).

Em simbolo, temos:

Graficamente, temos:

A regiao colorida representa0 complementar deA emB.

2. Em particular, seAe subconjunto do conjunto universo U,0 complementar deAem rela-c;:ao a U pode ser representado por A' (le-se: A linha) ou A (le-se: A barra). Assim:

A'

=

A

=

CuA

=

U - A

u

Exemplo

DadosA

=

{a, b, d}, B

=

{a, b, c,d, c} e U= (a, b, c, d, c,j;gl,calcular:

a)CRA b)CuA=A

SolUfiio

a) ComoA C B, entao a diferenc;:a B - A eo complementar de A em relac;:ao a B: CRA

=

B - A

=

{c, c} b) CuA

=

A

=

U- A

=

lc, c,j;gl ee

eco

eo eb ed eg

er

u

EXERCiclOS PROPOSTOS

_

25. SendoA= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B= {3, 5, 7} e

e

= {5, 6, 7, 8, 9}, determine:

a) A - B c)

e -

B e)

e -

A

b) A -

e

d) B - A f)

CAB

26. Se B= {m, n}e A - B= {p, q},quais os possfveis elementos de A?

27. Se B= {V;i}eA - B= {d, a}, determineAcom0 maior numero de elementos.

28. Determinexey, sabendo que {2, 4,x, 8} - {2, 4, 5}= {6,y}.

29. DadosA = {m, n, p}, B={m, n, p, q}e

e

={m, p},determine:

a)

CaA

b)

CAe

c)

Cae

30. DadosU={1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}, A= {1, 3, 5, 7} e B={5, 6, 7, 8}, pede-se:

- -

-a)A b) B c) A - B

Intersec~ao

de conjuntos

Dados os conjuntosA = 11,2,3,4,5,6, 7} e B = 12,4,6,8, 101, vamos escrever 0 con-junto formado pelos elementos comuns ao conjuntoA e ao conjuntoB. Obtemos assim0 conjunto (2,4,61, chamado interseq:ao entre

A eB.Indicando a intersee<rao entre os conjun-tosA eBporA

n

B(le-se: A interB),temos:

An B= (2,4,6) Vejamos isso no grafico ao lado. De um modo geral:

Ana

Dados dois conjuntosA e B, chama-se interseq:ao de A com B0 conjunto formado pelos elementos comuns ao conjuntoA e ao conjunto B.A interseCli:ao entreA e

Be

indi-cada porA

n

B.

Usando simbolos, podemos definir a interseCli:ao entre os conjuntosA eBassim:

I

An B=

lxl

xE A

e

xE B}

I

Na intersee<rao deA comB,podem ocorrer tres casos, conforme nos mostram os exemplos:

a)A = (2,3,5,6, 8) B

=

13,5,8, 9} An B = 13,5,81 b)A=13,5) B= {2,3,4, 5, 6) AnB=(3,51 c) A = 12,3,5} B= 14,61 An B= 0

EXERCiclOS PROPOSTOS

_

31. DadosA={1,3, 4, 5, 7, 8}, B={1, 3, 5, 6, 9}, C={5, 6, 7, 8, 9} e0 ={6, 9, 10}, pede-se:

a) A n B c ) B n C e) (B n C) n 0

b) An C d) C n 0 f) An (B n C)

32. SendoA={4, 6, x, 8}, B={1, 2, 7,y, 9} eAn B={7, 8}, calcule x ey.

33. SendoA={x Ix

e

divisor natural de 18} e B={x Ix

e

divisor natural de 24}, determine: a) 0 conjuntoA, indicando seus elementos.

b) 0 conjunto B, indicando seus elementos. c) 0 conjuntoAn B.

d) 0 m.d.c. (18, 24).

34. DadosA

=

{x E IN' Ix

e

multiplo de 4} e B

=

{x E IN' Ix

e

multiplo de 3}, determine: a) 0 conjuntoA,indicando seus elementos.

b) 0 conjunto B, indicando seus elementos. c) 0 conjuntoAn B.

d) 0 menor mUltiplo comum de 4 e 3.

Reuniao de conjuntos

Dados os conjuntosA = 11,2,3,4,5,6, 7} eB= 12,4,6,8, IO},vamos escrever0 con-junto farmado pelos elementos que pertencem aAou aB. Obtemos assim0 conjunto 11,2, 3,4, 5,6, 7, 8, IO}, chamado reuniao ou uniao de A com'B. Indicando a uniao entre os conjuntosA eBporA U B(Ie-se: A uniao B),temos:

AU B = 11,2,3,4,5,6,7,8, IO} Vejamos isso graficamente:

De urnmodo geral:

A _B

Dados dois conjuntos A e B, chama-se reumao ou uniao deA com B 0 conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou aB. A reuniao de A com B

e

indicada porAU B.

Usando simbolos, podemos definir a uniao deA com Bassim:

Na uniao de A com B,podem ocorrer tre~scasos, conforme nos mostram os exemplos: a)A= {O,2,4,51 B= {2, 4, 5, 6} AU B =

{a,

2, 4,5, 6} b)A= {O,I,3,5,6} B= {l, 3, 51 AU B =

{a,

1,3, 5,61 c)A = {I, 3, 5} B = [2,4} AU B= {I, 2, 3,4, 5}

C)

el e5 e3

(::')

~J

OPOSTOS

_

35. Sendo A={2, 5, 8),B={3, 4, 5, 7, 8),

e

={2, 8) eO={5, 7, 8), determine: a) AU B c) BU 0 e) (eU 0) U B b)A U

e

d) A U 0 f) A U

(e

U 0)

36. Dados A={xE IN[xepar e menor que 10},B={xE IN [2< x <8} e

e

={XE INIxedivisor de 12}, determine:

a)A UB b) B U

e

c) AU

e

d) (A UB) U

e

37. SexE A exff; B, identifique as sentenyas verdadeiras.

a) xE (AU B) b) xE (An B) c) xE (A - B) d) xE (B - A)

38. Sabendo-se que A

c

S, identifique a sentenya falsa (se achar necessario, construa diagramas).

a) AUB= B b) An B=A c) A - B= 0 d) An B= B

Resolu~ao

de expressoes

que associam

opera~oes

entre conjuntos

Vamos agora resolver algumas express6es envolvendo as operac;:6es estudadas: diferenc;:a, complementar, intersecc;:ao e undo.

Exemplos

Dados os conjuntosA = {a,1,3, 41,B= {2, 3,4, 51, C= {4, 5} eD = {5, 6, 7}, determinar:

a) (A U C)

n

B b) (B

n

C) U D c) (B - A)

n

C d) (CBC) U (A

n

B) Solufao a) (A U C)

n

B=

{a,

1, 3,4,51

n

{2, 3,4,5} = {3, 4,5) \

-...,..--[ - - - _ .

b) (B

n

C) U D = {4, 5} U {5, 6, 7) = {4, 5, 6, 7} ~ c) (B-A)

n

C= {2, 5}

n

{4, 51 = {5) d) (CBC) U (A

n

B) = {2, 3) U {3, 4} = {2, 3, 4} ---+

_ J

EXERCiclOS PROPOSTOS

_

39. Dados os conjuntos A= {2, 3, 4},B= {2, 3, 5, 6, 7}, C= {5, 6, 7} e 0 = {2, 4}, determine:

a) (A n B) U C d) (C nO) U A g) B - CAD

b) (C U 0) n B e) (B - A) U 0 h) CA(A n 0)

c) (An 0) U (An C) f) B - (C U 0) i) (A - 0) U(B - C)

40. Sejam A, Be C tres conjuntos quaisquer eU0conjunto universo. Identifique, entre as seguintes afir-mayoes, aquelas que sao verdadeiras.

a) SeA n B= A, entao Ac B. b) SeAc BeAc C, entaoAc (Bn C). c) xE (A - B) .,. xE Aex(/'. B d) An B= 0 => A= 0 ou B= 0 e) An B =

A

US f) BUS= U 41. Dados A

=

{1, 2, 3}, B

=

{1, 2, 3, 4} e C

=

{2, 3, 4, 5}, calcule: a) CB(A n C) b) C(Auc)B c)

CdB-

A)

42. Se A= {xix

e

numero fmpar eO< x< 10},B= {x Ix> 0

e

divisor de 24} e C= {xix

e

numero par e 2 < x< 13}, determine:

a) (A n C) U B b) C - (An B) c) (An B) U C

43. Uma operayao.i entre os conjuntos A e

Be

definida por M.iN = (Mn N) U (M - N). Sendo M={a, b,c, d} eN={b, c, e, f}, calculeM.iN.

9. Numero de elementos

da reuniao entre conjuntos

Indicando porn(A) 0 numero de elementos do conjunto A; n(B) 0 numero de

elemen-tos B; n(A U B) 0 nllmero de elementos de A UBe n(A

n

B) 0 numero de elementos de

A

n

B,

e

valida a seguinte relas:ao:

I

n(AU B)

=

n(A)

+

n(B) - n(A

n

B)

I

Verifiquemos a validade dessa relas:ao no esquema abaixo:

A--~

.0

. b

• c

n(A U B) = n(A)

+

n(B) - n(A

n

B)

'----v---J ~

9 5

+

6 2

Essa relas:ao

e

importante na resolus:ao de certos problemas, como veremos a seguir. Exemplo 1

Sendo n(A)

=

10, n(A

n

B)

=

3 en(A UB)

=

12, calcular0 numero de elementos deB.

Soluyiio

n(A UB) = n(A)

+

n(B) - n(A

n

B),ou seja:

12

=

10

+

n(B) - 3 ~ 12

=

7

+

n(B) ~ n(B)

=

12 - 7 ~ n(B)

=

5

Exemplo 2

Em uma classe de48 alunos, cada aluno apresentou urn trabalho sobre Ecologia, tendo sido indicados dois livros sobre0 assunto. 0 livroA foi consultado por26alunos e 0 livro B,por 28 alunos. Pergunta-se:

a) Quantos alw10S consu.ltararn os dois livros? b) Quantos alunos consultararn apenas 0 livro A?

Soluyiio

a) n(AU B) = n(A)

+

n(B) - n(A

n

B)

48 = 26

+

28 - n(A

n

B) 48 = 54 - n(A

n

B)

n(A

n

B)

=

6

Os livrosA eBforam consultados por 6 alw10s.

u

b) Entre os 26 alunos que consultaram 0 livroA,existem 6 alunos que consultaram tam bern o livro B. Logo, 0 numero de alunos que consultararn apenas 0 livroA e26 - 6 = 20.

Exemplo 3

Desejando verificar qual 0 jornal preferido pelos estudantes, uma pesquisa apresentou os resultados constantes da tabela abaixo:

A 300 B 250 C 200 AeB 70 Ae C Be.C A, Be C Nenhum 65 105 40 150 Pergunta-se:

a) Quantas pessoas leem apenas 0 jornal A? b) Quantas pessoas leem0 jornalA ou B? c) Quantas pessoas nao leem 0 jornal C? d) Quantas pessoas foram consultadas?

Para resolver 0 problema vamos recorrer aos diagramas.

Em A

n

B

n

C colocaremos 40 e na regiao complementar deAU BU C,150.

u

Como n(A

n

B)

=

70 elementos e ja foram colocados40, restam 30 elementos para com-pletar a regiaoA

n

B. Da mesma forma: n(A

n

C) - 40 = 65 - 40 = 25 n(B

n

C) - 40 = 105 - 40 = 65 A

u

150

Para completar0 conjumoA,devemos colocar: 300 - (30

+

40

+

25)

=

300 - 95

=

205 Da mesma forma: n(B) - 135

=

250 - 135

=

US n(C) - 130 = 200 - 130 = 70 A 150

u

Agora, consultando0 diagrama, podemos responder as questoes: a) 205 pessoas leem apenas 0 jornal A.

b) 205

+

30

+

40

+

25

+

65

+

US

=

480 ou

n(A UB)

=

n(A)

+

n(B) - n(A

n

B)

=

300

+

250 - 70

=

480

480 pessoas leem 0 jornalA ou B. c) 205

+

30

+

US

+

150

=

500

500 pessoas nao leem0 jornal C.

d) 205

+

US

+

70

+

30

+

25

+

65

+

40

+

150 = 700 Foram consultadas 700 pessoas.

EXERCiclOS PROPOSTOS

44. Sendo n(A)=18, n(B) =22 e n(AnB) =10, calcule n(A U B). 45. Sendo n(A U B) =70, n(A) =30 e n(B) =60, calcule n(An B).

46. Num vestibular eram eliminados os candidatos que nao obtivessem a nota minima 3,0 em mate-matica e redac;:ao. Ap6s a apurac;:ao dos resultados, verificou-se que foram eliminados 330 candi-datos, sen do 236 em matematica e 210 em redac;:ao. Quantos candidatos foram eliminados nas duas disciplinas?

47. Numa pesquisa sobre as emissoras de teve a que habitualmente assistem, foram consultadas 450 pessoas, com 0 seguinte resultado: 230 preferem 0 canal A; 250, 0 canal B; e 50 preferem outros canais diferentes de A e B.

Pergunta-se:

a) Quantas pessoas assistem aos canais A e B?

b) Quantas pessoas assistem ao canal A e nao assistem ao canal B? c) Quantas pessoas assistem ao canal Be nao assistem ao canal A? d) Quantas pessoas nao assistem ao canal A?

48. Examinando as carteiras de vacinac;:ao das crianc;:as de uma creche, verificou-se que 60% receberam a vacina Sabin, 80% receberam a vacina contra0 sarampo e 10% nao foram vacinadas. Pede-se: a) a porcentagem de crianc;:as

que receberam apenas a vacina Sabin; b) a porcentagem das que

receberam apenas a vacina contra0 sarampo;

c) a porcentagem das que receberam as duas vacinas.

49. 0 quadro abaixo mostra0 resultado de uma pesquisa sobre as revistas que os estudantes do 2Q_grau costumam ler: A 50 B 54 G 40 AeB 22 AeG BeG 20 16 A,Be G 12 Nenhuma 12 Pergunta-se:

a) Quantos foram os estudantes consultados? b) Quantos estudantes leem apenas a revista A? c) Quantos estudantes leem a revista Be nao leem a C?

d) Quantos estudantes nao leem a revista A?

e) Quantos estudantes leem a revista A ou a revista C?

TUNEL DO TEMPO

Georg Cantor nasceu na Russia, na cidade de Sao

Petersburgo, em 1845. A partir dos 11 anos, mudou-se para a Alemanha, onde iniciou seus estudos de filosofia, fisica e matematica.

No campo da matematica dedicou-se especialmente ao estu-do da teoria estu-dos nlimeros. Admitinestu-do a ideia de que "nume-ras:oes definidas podem ser feitas com conjuntos infinitos tao

bern quanta com finitos", propos uma serie de definis:oes e Georg Cantor. proposis:oes que deram origem

a

teoria dos conjuntos.

Cantor, considerado hoje urn dos mais notaveis matematicos de seu tempo, recebeu naquela epoca severas criticas pelo seu trabalho. as continuos e duros ataques feitos

pe-10alemao Leopold Kronecker (1823-1891) the valeram sucessivos esgotamentos ner-vosos. Quase no final de sua vida (faleceu em 1918) recebeu0 reconhecimento pelo seu grandioso trabalho. A teoria dos conjuntos venceu e hoje e aplicada nao somente em matematica como tambem em outras areas do conhecimento humano.

Sobre a teoria dos conjuntos, David Hilbert (1862-1943), urn dos maiores matematicos alemaes do seculo XX, assim se expressou: "Ninguem nos expulsara do parafso que Cantor criou para nos".

RELEMBRANDO CONCEITOS

• x E Aindica que xpertence ao conjuntoA. • x $. A indica quexnao pertence ao conjuntoA. • A C Bindica que A esta contido em B.

• A

et.

Bindica que A nao esta contido emB. • A ::J Bindica que A cantemB.

• A

1J

Bindica que A nao cantemB. • A UBindica a uniao de A comB. • A

n

Bindica a intersecs:ao deA comB.

• A - Bindica a diferens:a entreA eB.

• CAB

=

A - Bindica a complementar de Bernrelas:ao aA.

• .If

indica a complementar de A em relas:ao ao conjunto universo U.

EXERCiclOS COMPLEMENTARES

50. SeA, B e C sao conjuntos nao-vazios e 0

e

0 conjunto vazio, quais das seguintes sentent;:as sao verdadeiras? a) {xix EO A e x EO B} = A - B b) {xix EO Aex EO B} = An B c) {xix EO A ou x EO B}= AU B d) {xix EO A ex(/.B} = A - B e) AU 0 = 0 f) AcBeBCC=> AcC

51. Dados os conjuntosA e B, assinale as proposit;:6es falsas.

a) SeA U B= B, entaoA C B d) 3A

I

A U B= A

b) Se A

c

B, entao CBA= A - B e) VA, VB,A - B

c

A

c)

VA, VB, (A

n

B) CA f) Cu(A

n

B) = CuA

n

CuB

52. Dados os conjuntosA, Be C, nao-vazios, encontre as proposit;:6es que sao verdadeiras. a) x EO A e x EO B => x EO (A n B). d) x EO A => x EO A .

b) x EO A ex(/. B => x EO (A UB). e) x EO (A UB) => x EO A ou x EO B.

c) x EO (A - B) => x EO A ex(/. B. f) SeAC B, entao x EO Be x (/. A.

53. Nas sentent;:as abaixo, assinale V para as sentent;:as verdadeiras e F para as falsas.

a) {2} C {2, 3} b) {2} EO {{2}, {3}, (2, 3)} c) 0 C {2} d) 2 EO {{2}, {3}, (2, 3)} e) 2 C {2, 3} f) {2, 3} C ({2, 3)}

54. Dados os conjuntosA= {1, 2,3, 4,5}, B= {3, 5,6} e C= {4,5},pede-se:

a) CAC b)(A - B) U C c)A - (BnC) d)(A UB) - (An B)

55. SendoA = {{1}, {2}, {1, 2}}, B= {1, 2, {1}, {2}}, pede-se:

a) AUB b)An B c)A - B d) B - A

56. Sabendo que M ={2, 3,4, 5,6}, M U N ={2, 3,4, 5, 6} e M n N = {2, 3, 4}, determine0 con-juntoN.

57. SeA= {1,3,4,5,6}, A U B= {1, 2,3, 4,5, 6, 7} eAn B= {5,6}, determine0 conjuntoB.

58. 0 conjunto das partes de um conjuntoA

e

indicado porP(A). Se A = {s, a,I, V, e}, quantos

elemen-tos tem P(A)?

59. Dados os conjuntos A

=

{n, U, m, e, r, o} e B

=

{z, e, r, a}, quantos sao os subconjuntos de

(AUB) - (An B)?

60. SendoA = {1, 3} e B= {2, 3}, determine 0 numero de elementos deP(A) n P(B).

61. Sendo P(A) 0 conjunto das partes do conjuntoA, quantos sao os elementos de P(P(0))?

62. Dados os conjuntosA, Be An B, com30, 50e 1

°

elementos, respectivamente, quantos elementos tem 0conjuntoAU B?

63. Numa escola, a area de ciencias exatas tem 16 professores, sendo que 6 leeion am apenas matema tica, 5 apenas ffsica e 7 lecionam outras disciplinas distintas de matematica e ffsica. Quantos sao os professores que lecionam matematica e ffsica?

64. Uma escola ofereceu a seus alunos aulas de refor<;:o em matematica(M), ffsica(F)e quimica(0).

a

numero de alunos matriculados constam da tabela abaixo:

~I~

Pergunta-se:

a) Quantos alunos se inscreveram apenas para as aulas de matematica? b) Quantos alunos se inscreveram apenas para as aulas de qufmica? c) Quantos alunos se inscreveram para as aulas de ffsica ou de qufmica? d) Quantos alunos se inscreveram apenas em ffsica e matematica?

65. A determinat;:ao do tipo sanguineo de uma pessoa deve-se

a

present;:a (ou nao) dos antfgenos A e Bno sangue. Se uma pessoa possuir somente0 antfgeno A, ela

e

do tipo A; se tiver somente0 antf-genoB,

e

do tipoB;se tiver ambos,

e

do tipoAB,e se nao tiver nenhum

e

do tipo0.Num grupo de 70 pessoas verificou-se que 35 apresentam 0 antfgeno A, 30 apresentam0 antfgeno Be 20 apre-sentam os dois antfgenos. Quantas pessoas sao do:

a) tipo A? b) tipoB? c) tipo AB? d) tipo O?

TESTES

_

66. (U. Cat6lica de Salvador-SA) Sejam A, B, CeOconjuntos nao-vazios e tais que A

c

Be CeO.

Nessas condit;:6es, 0conjunto (B - A) U (C - B) U (0 - C)

e

igual a:

a) 0 - A b) AU C c) Bn O d ) A e) C

67. (Unifor-CE) Se A ={1}, B=to, 1}eC=to, 1, 2},entaoeverdade que:

a) CA(An B) =(1} d)

CaA

UCcB={O, 1}

b)

CdA

U B)

=

{1, 2} e)

CdA

U B U C)

=

(O}

c) Ca(A n Bn C)= {O}

68. (UFCE) Sejam os conjuntos K={1, 2, 3, 5, 7, 8, 9}, P1 ={1, 5, 7} e P2 ={3, 7, 8}.

SeP1 ={xE K; x(/: P1}eP2 ={xE K; x(/: P2},entaoP1 n P2

e

0 conjunto:

a) {1, 2} b) {2, 9} c){3, 5} d) {5, 9}

69. (Unirio) Considerando os conjuntos A, BeC,a regiao colorida no diagrama representa: a) AU(C - B)

b) An(C - B)

c) An (B - C) d) AU (B - C) e) (A UB) - C

70. (PUC-PR) A regiao assinalada no diagrama representa: a) (AnB) U C b) (A - B) U(B - C) c) (A - C)n (B - C) d) (A - B) n(C - 0) e) (An C) - (B n C)

c

71. (Vunesp) SeAnB

=

{a} eAUB

=

{a, b, C, d},podemos afirmar que: a) Cesta emAe em B.

b) Cnao esta emA,mas esta emB. c) Cnao esta em B,mas esta emA.

d) seb

"*

a, entaobnao esta emAoubnao esta emB. e) {b, c, d}

c

A ou {b, c, d}

c

B.

72. (Imes-SP) Se A

e

um conjunto finito qualquer, indicamos porn(A) 0 numero de elementos de A. SendoBe C dois conjuntos finitos quaisquer, assinale a afirmayao verdadeira.

a) n(BU C) = n(B)+n(C) - n(Bn C) b) n(BU C) = n(B) +n(C) +n(Bn C)

c) n(Bn C) = n(B) +n(C) +n(BU C)

d) n(Bn C) = n(B) - n(C) e) n(BU C) = n(B) + n(C)

73. (U. F. Fluminense-RJ) Considerando tres conjuntos P, Q eRdiferentes, tais que P

n

Q

n

R"* 0,

sao feitas as seguintes afirmay6es:

I. Pelo menos um dos conjuntos tem mais do que um elemento.

II. Pelo menos dois desses conjuntos tem, na sua intersecyao, dois elementos.

III. A uniao dos tres conjuntos tem, pelo menos, tres elementos. Entao pode-se concluir que somente: a) a afirmativa I

e

verdadeira. d) as afirmativas I e III sao verdadeiras.

b) a afirmativa II

e

verdadeira. e) as afirmativas II e III sao verdadeiras. c) as afirmativas I e II sao verdadeiras.

74.(UEBA) Sejam os conjuntos formados por numeros naturais:

A =conjunto dos multiplos de 3, B= conjunto dos divisores de 30 e C= conjunto dos numeros pares. 0 numero de elementos de A

n

B

n

C

e:

a) 2 b) 0 c)3 d) 1 e)4

75. (UFSE) Sejam A e B subconjuntos de um conjunto X, tais que X - A = {O, 1, 5, 6) e X - B= {O,4, 6}. SeAn B= {2, 3},0 conjuntoAU Beigual a:

a) {1, 4, 5) d) {1, 2, 3, 4, 5}

b) {O, 2, 3, 5} e) {O, 2, 4, 5, 6}

c) {1, 2, 3, 4}

76. (Mackenzie-SP) SeA = {3, 7} eB= {7, 8, 9}, entao0 numero de elementos do conjunto Mtal que An M={3},B n M={8) e AU BUM={3, 7, 8, 9, 10}

e:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

77. (Unifor-CE) Indica-se porn(X)0 numero de elementos de um conjuntoX.Se dois conjuntosA e B sao tais quen(A) =7, n(B) =5 en(An B) =3, quantos elementos tem0 conjunto(A - B)U(B - A)?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

78. (Osec-SP) Os conjuntos A e B tem, respectivamente, 16 e 8 subconjuntos. 0 conjunto An B tem dois elementos. Quantos elementos tem 0 conjuntoA U B?

a) 22 b) 9 c) 7 d) 5 e) 3

79. (PUC-RJ) Dez mil estudantes fizeram exames

para as universidadesA, Be C; 50% dos estu-dantes foram aprovados na universidade A; 20% dos que passaram em A tambem passa-ram em B; apenas 10% dos estudantes que foram aprovados em Ae B tambem passaram em C. Quantos estudantes passaram somente nas universidadesAeB? a) 900 b) 100 c)3200 d) 800 e) 1 000

80. (PUC-MG) Em uma classe de45meninas, cada uma delas ou tem cabelos pretos ou olhos casta-nhos,35tem cabelos pretos e20tem olhos castanhos. 0 numero de meninas que tem cabelos pre-tos e olhos castanhos e:

a)5 b)10 c)15 d) 20 e)25

81. (Unisinos-RS) Numa pesquisa, realizada em alguns colegios de 22_{grau, sobre a preparayaO dos} alu-nos para0 concurso vestibular94, foram obtidos os seguintes resultados:

Com base nesses dados,0 numero de alunos consultados foi:

a) 378 b) 414 c)450 d) 510 e)514

82. (F. M. Pouso Alegre-MG) Numa cidade foi feito um levantamento para se saber quantas crianyas haviam recebido as vacinas Sabin, Trfplice e contra0 sarampo. Os dados obtidos foram:

Vacinas

I

Numero decrian~as ." Sabin 5428 Trfplice 4346 Sarampo 5800 Sabin e Trfplice 812 Sabin e sarampo 904 Trfplice e sarampo 721

Trfplice, Sabin e sarampo 521

Nenhuma 1644

Entre as crianyas abrangidas pela pesquisa, assinale a alternativa falsa. a) 4 233crianyas receberam apenas a Sabin.

b) 3 334crianyas receberam apenas a Trfplice. c) 4 696crianyas receberam apenas a de sarampo. d) 874crianyas receberam pelo menos duas vacinas. e) Nenhuma.

83. (Mackenzie-SP) Dez mil aparelhos de teve foram examinados depois de um ana de usa e constatou se que4 000deles apresentavam problemas de imagem,2 800tin ham problemas de som e3 500

nao apresentavam nenhum dos tipos de problemas citados.

Entao0 numero de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem e:

a)4 000 b) 3700 c)3 500

22

Capitulo

Conjuntos numericos

I.

Introdu~ao

Embora a ideia denllinero acompanhe0 homem desde os tempos mais primitivos, foram necessarios muitos milhares de anos para chegarmos aos atuais conjuntos numericos.

Urn dos responsaveis pelo sistema de numeras:ao decimal, adotado universalmente, foi 0

matematico arabe Mohammed Ibu-Musa Al-Khowarizmi (780-850).

Ele escreveu varios livros sobre astronomia e dois sobre aritmetica e algebra. Estes ultiffios tiveram importante papel na hist6ria da matematica. Seu livro De numero hindorum (Sobre a arte hindu de calcular), em que Al-Khowarizmi nos fala sobre os numerais hindus e a forma de opera-los, tornou-se 0 principal vekulo de divulgas:ao dos numeros decimais na Europa ocidental. 0 sistema hindu de numeras:ao foi tao bern exposto, que acabou passando a impressao de que 0 nosso sistema numerico e de origem arabe.

Convem ressaltar que Al-Khowarizmi em nenhum momenta manifesta a pretensao de originalidade. Ate pelo contrario: ele assume claramente que0 sistema decimal e originario

da India.

Como homenagem

a

imporrancia de sua obra, Al-Khowarizmi teve seu nome perpetuado em duas palavras do sistema de numeras:ao decimal:

• algarismo,para indicar as simbolos hindo-aribicos 0, 1,2,3,4,5,6, 7, 8 e 9; e

• algoritmo,para se referir a qualquer regra especial de processo ou operas:ao.

Neste capitulo iremos rever os conjuntos numericos estudados ao longo do curso de 1Q grau.

2. Conjunto dos numeros naturais

o

conjunto dos numeros naturais, conforme ja foi visto, e representado pela letra IN: IN = {O, 1,2, 3, ... }

Retirando-se do conjunto IN 0 numero zero, obtemos0 conjunto dos numeros naturais nao-nulos:

IN* IN - {OJ (1,2,3, ...1

Lembrando que, na representas:ao de dois numeros naturais ae b(com a

<

b) na reta numerica, 0 numeroafica situado

a

esquerda de b,temos:

EXERCiclOS PROPOSTOS

_

1. Dados os numeros naturais a eb,quais das seguintes sentenyas sao verdadeiras? a) 5e a e b forem pares, entao a+b

e

par.

b) 5e a e b forem impares, entao a+be impar. c) 5e a for par ebfor fmpar, entao a+b

e

fmpar. d) 5e a for par e b for fmpar, entao a . be impar. e) 5e a

e

fmpar, entao a2sera impar.

f) 5eb2

e

par, entaob

e

par.

g) 5e a e b forem primos entre si,0 m.m.c. de a e be0 produto a . b. h) 5e a e b forem primos entre si,0 m.d.c. de a e be 1.

2. Responda:

a) Qual0 maior numero natural de dois algarismos cUjo quadrado tern tres algarismos?

b) Escrevendo todos os numeros naturais de 1 a 100, quantas vezes escrevemos0 algarismo 3?

3. Usando quatro vezes 0algarismo 3,

e

posslvel escrever alguns numerais naturais. Por exemplo:

• 0 numero zero--->33 - 33;

• 0 numero 1--->33 : 33;

• 0 numero 2--->(3 : 3)+(3 : 3);

• 0 numero 3--->3 . (3 - 3) +3.

Usando quatro vezes,0 algarismo 4, escreva todos os numerais naturais de 1 a 10.

3. Conjunto dos numeros inteiros

o

conjunto dos numeros inteiros

e

representado pela !etra7L. 7L

= {... ,

-3, -2, -1,0,1,2,3, ... 1

Representemos 0 conjunto dos nLlmeros inteiros na reta numerada:

-3 -2 -I o 2 x

Do conjunto dos nllmeros inteiros merecem destaque os seguintes subconjuntos: a) conjunto dos nLlmeros inteiros nao-nulos:

7L* = 7L - (01 (... , -3, -2, -1, 1,2,3, ...j (xE7L1x:;i:01

-4 -3 -2 -I 2 4 x

b) conjunto dos numeros inteiros nao-positivos:

7L-

= {... ,

-3, -2, -1, OJ

=

IxE 7L

I

x:OS;

01

-4 -3 -2 -I o x

c) conjunto dos nLuneros inteiros negativos:

7L~=

I... ,

-3, -2, -lj

=

IxE 7L1 x< OJ

-4 -3 -2 -I x

d) conjunto dos nLlmeros inteiros nao-negativos:

7L+

=

10,1,2,3, ...j

=

IN

=

IxE 7L

I

x;:;': OJ

e) conjunto dos numeros inteiros positivos:

1'.t

=

{1,2, 3,4, ...J

=

fN*

=

{xE 1'.1

x>

01

2 4 x

EXERCiclOS PROPOSTOS

_

4. Usando os sfmbolosE, ri, C ou:::J, estabelec;;a relac;;ao entre: a) 3 e IN e) 0 e IN b) 3e7L f) 0e7L* c) -3elN g) Oe7L+ d) -3e7L h) 0e 7L-i)INe7L j)7L_e7L I) 7L*e7L*_ m)7L*+e7L

5. Escreva os seguintes conjuntos indicando seus elementos:

a) {xE 7L Ix> -3} e) {xE 7L1-2~ x~2}

b) {xE7Llx~ 2} f) {xE7L*_lx>-2}

c) {xE 7L*1-3< x< 3} g) {xE 7L+ Ix< -3} d) {xE 7L+ Ix~4} h) {xE L 1-3< x< 4}

6. Classifique cada sentenc;;a como verdadeira (V) ou falsa (F).

a) x2_{=36",x=6(xE IN) c) 3xE 7L}

_I

_{2x= -5}

b) x2=36",x= -6(xE 7L) d) "IxE 7L '" Ox=0

4. Conjuntos dos numeros racionais

Chama-se nfunero racional todo nllmero que pode ser colocado na forma de razao P

q '

com

p

E 1'. e

q

E 1'.*.

Observa~ao: todo numero racional pode ser representado por uma fra~ao(razao) em que 0

numerador e0 denominador sao primos entre si, ou seja, por umafra~aoirredutivel.

Assim sendo:

• Todo numero inteiro

e

racional. Veja os exemplos:

a)

°

e

racional, pois pode ser colocado na forma

°

1 b) - 3

e

racional, pois pode ser colocado na forma

~

3. c) 5

eracional, pois pode ser colocado na forma

5

1 • Todo numero decimal exato

e

racional.

Veja os exemplos:

a) 0,5

e

racional, pois pode ser colocado na forma 5 10 b) 2,21

e

racional, pois pode ser colocado na forma 221

• Todo numero decimal peri6dico

e

racional. Veja as exemplos:

a) 0,444 ... b) 3,444 ... c) 0,3444 d) 0,131 313 ... e) -0,21313 ...

Mostremos que as exemplos dadas podem ser colocados na forma : ' com qoF O.

a) 0,444 ...

Chamando 0,444 de x, podemos escrever:

x = 0,444

CD

Multiplicando as dais membros par 10, temos:

lOx

=

4,444...

@

Subtraindo

0

de

@,

vern: 4 lOx - x

=

4,444 ... - 0,444 ... ~ 9x

=

4 ~ x =

9

4

Logo, 0,444 ... =

9

Portanto

eracional.

b) 3,444... 4 Temos: 3,444 ... = 3

+

0,444... = 3

+

9

31

9

c) 0,3444 ... x

=

0,3444...

CD

lOx= 3,444...

@

100x

=

34,444 ...

@

@ -

@

=

100x - lOx

=

34,444 ... - 3,444 ...

~

90x

=

31

~

x = 31 90 d) 0,131313 ... x = 0,1313...

CD

100x= 13,1313 ...

®

® -

CD=

100x - x

=

13,1313 ... - 0,1313 ... e) -0,21313 ... x= -0,21313 . lOx

=

-2,131 3 ~ lOx

=

-2 - 0,131 3 ... ~

~

99x= 13

~

x = 13

99

~ lOx = - 2 _ 13 ~

99

lOx = -211

99

-211 ~ x = -990

Conhecidos as numeros racionais e indicando par<Qa conjunto que as representa, temos:

Vamos destacar as seguintes subconjuntos de

<0:

<0*

=

Ix

E

<01

x

*-

01->

conjunto dos numeros racionais nao-nulos;

<0-

=

I

x E

<0 I

x ~ 0)

->

conjunto dos numeros racionais nao-positivos;

<o~

=

Ix

E

<01

x

<

01->

conjunto dos numeros racionais negativos;

<0+

=

IxE

<01

x~

OJ

->

conjunto dos nllmeros racionais nao-negativos;

<O~

=

Ix

E

<01

x>

01->

conjunto dos nllmeros racionais positivos.

Representemos na reta numerada, onde ja se encontram fixados as numeros inteiros, as

. , . . -3 -1 1 1 7

segull1tes numeros raClOnalS: ~,

4 ' 3' 2

e

3'

-2 -3

•

2 -I • I • • -I 0 1 I 4" 32 I • 2 7 3 x

Com'em observar que dados as numeros raClonaIS a e b sempre existira entre eles

, a

+

b b' . 1 A . 1 1 1 . ,

a numero - - - , tam em raClona. SSlm, par exemp0,entre - e - eXlste a numero

2 4 2 ~+~ 3 _ 4 2

8

2

1 4"

•

3 8' 1 2 x

EXERCiclOS PROPOSTOS

7. Identifique as senten<;:as verdadeiras.

a) -5E IN e) 3₅ E i) 0,12 E '0 b) -5E lL f) 3₅ ElL j) 0,1222...E '0 c) -5E '0 g) -3 E'O _{I) lL E '0} 5 d)

°

E '0 h) 3 E '0* m) '0:u'0- ='0 5

8. Escreva na forma ~ ,q=1= 0, comp e q primos entre si:

a) 0,5

b) 2,4

c) -0,25

9. Calcule a valor das express5es:

a) 2-1+

~

d) 0,55 e) 0,55 .. f) 0,355 . c) 1- 3,15' 0,2 0,3737 ... g) 2,1 h) 2,111 ... i) 2,3111... d) a 2 - ab2 1 - - - - , para a= -1 e b= -2a - 3b 2

5. Conjunto dos numeros irracionais

a

fato de sempre existir, entre dois numeros racionais, urn outro numero racional nao sig-nifica que os numeros racionais preencham completamente os pontos da reta, 0 que vale di-zer que existem pontos da reta que nao representam nluneros racionais. A esses pontos asso-ciamos os nfuneros irracionais.

Urn exemplo disso e 0 nllmero

,2,

que nao e racional, e, no entanto, existe urn ponto da reta que0 representa, conforme podemos verificar pela figura:

I

!1f---,--+I---..

o 1 , [ 2 2

De acordo com 0 teorema de Pitagoras:

x2

₌

1

+

1~x2

₌

2~x

=

"\2

Mostremos que

E

nao e nllmero racional.

De fato, se

,'2

fosse racional, entao deveriam existir dois numeros

p

eqprimos entre si, tal que

-v2

=

L,

ou seja,

p

=

E

q.

q

Elevando ambos os membros ao quadrado, teremos:

p2

= 2

q2.

Logo,

p2

e par e conse-qiientemente

p

e par, pois, se

p

fosse impar,

p2

tambem seria impar.

Fazendop

=

2k (k E /l), teremos: 4k2

=

2q2~ 2k2

=

q2. Logo, q2 e par e entao qe par.

a

fato de

p

eqserem pares nos mostra que a hip6tese de

p

eqserem primos entre si e falsa. Logo, nao existe 0 numero racional : ,tal que

,12

=

L.

Portanto

,0:

e numero

irra-. al q

cIOn .

De urn modo geral, toda raiz nao-exata assim como todo nfunero decimal nao-exato e nao-peri6dico sao irracionais.

Considere como exemplo0 numero n

=

0,151617 .... Nele, ve-se claramente que a parte decimal tern uma infinidade de elementos formados por pares de numeros sucessivos. Assim, desejando expressar n com mais casas decimais, teriamos:

n

=

0,15161718 .

n

=

0,1516171819 etc.

Esse numero decimal nao e peri6dico nem exato. Ele e urn exemplo de numero irracional. Vejamos outros exemplos de numeros irracionais:

a) Escritos na forma decimal: 0,373 373 337 ... ; 0,412 413 414 ... ; 2,121 221 222 ... ;

1T = 3,14159 ...

b) Escritos na forma de radical:

.J5; -

3;

Vi;

V5; 2 E;

tfi3.

3

Observa~o: convem lembrar que todo radical pode ser escrito na forma de potencia,

como nos exemplos:

Racionaliza~ao

de denominadores

Quando0 denominador de umafra~aofor um numero irracional escrito na forma de

radi-cal,

e

POSSIVe! racionaliza-Io multiplicando 0 numerador e 0 denominador por um numero conveniente, como nos exemplos:

a) 5

=

\3 _ 5,,3 _ 5-\3

- ,32

3 -2(4

+

,f5)

EXERCICIOS PROPOSTOS

10. Classifique cada um dos seguintes numeros em racional ou irracional.

3 a) 5 d) 0,211... g) ,8 j) 24 2 1 b) 3,6 e) 0,212212221 ... h)

"\0,25

I) 42 c) "\3 f) ~8 i) ~25 m) 0,323 334 35 ...

11. Dado0conjunto {-3,1; -2;

~

; 0,050050005 ... ;

"\1;

"\"2},

dest?que0 subconjunto dos numeros racionais.

12. Assinale V para as senten<;:as verdadeiras e F para as falsas. Se8 ebsao dois numeros irracionais, entao:

a) 8 +beum numero irracional. b) 8 +bpode ser um numero racional. c) 8' beracional.

d) 8 'beirracional.

e) existem valores de8e bde modo que8 .beracional. f) 82pode ser um numero racional.

13. Racionalize0 denominador das fra<;:6es:

a) 5 c) 2 e) 2"\3 \~ "\2 - 1 3"\2 b) ~ d) 2 f) 6 \13 "\6 - "\2 2+ "\15 14. Efetue: a) ("\5 +2)2 c) (2"\5 - 3,2 )2 b) ("\5 - 2)("\5 + 2) d) \2(2"\2 - 3\3)

6. Conjunto dos numeros reais

Chama-se nu.mero real todo nllmero racional ou irracional, ou seja, 0 conjllnto dos numeros reais (IR)

e

a rellniao do conjllnto dos numeros racionais (<Q) com 0 conjllnto dos numeros irracionais (0): IR = <Q U O.

o

diagrama ao lado nos mostra a relaS;ao entre os conjuntos estudados. Observe que:

r - - - -IR ---,

A imagem de todos os nllmeros racionais, juntamente com a imagem de todos os nllme-ros irracionais, preenche completameme a reta numerada, chamada agora reta real.

Vamos construir a reta real e representarmos nela alguns de seus pontos:

---+1---+-1

---+1--+-1

J . /.

d---l--\

-+---1

- - + - - 1

---+-+1----'.

-3 - 2,6 -2 -..fi -I -1 0 I l . . f i ..f3 2 2,55 1T x

2" "4

EXERCICIOS PROPOSTOS

15. Identifique as sentenc;:as verdadeiras.

a) ~E 7L c) ~E e)

.J5

E 7L g)

.J5

E 0

4 4

b) ~E <Q d) ~E IR f)

.J5

E <Q h)

.J5

E IR

4 4

16. Resolva a equac;:ao2x2+3x - 2

=

0 de acordo com0conjunto universe dado.

a) U= 7L b) U=<Q

c) U= 0

d) U= IR

17. Resolva a equac;:ao~- 4x+ 2=0, tendo como conjunto universe: a) U=7L

7.lntervalos

b) U= <Q c) U= 0 d) U=IR

Os subconjumos dos nllmeros reais determinados por desigualdades sao chamados inter-valos. Vamos estudar alguns desses interinter-valos. Para isso vamos considerar dois nllmeros reais

IIe b, com a

<

h.

• Intervalo fechado:

e

qualquer conjunto do tipo Ix E IR

I

a~ x ~ hI, geralmente indicado por[a, b). Entao: [a, h) = IxE IRla~x~ hJ. Os nllmeros reaisaehsao chamados extre-mosdo intervalo.