Teoria dos Conjuntos
Introdução aos conjuntos
No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição.
Alguns conceitos primitivos •Conjunto
•O conjunto de todos os brasileiros
•O conjunto de todos os números naturais
•O conjunto de todos os números reais tal que x2-4=0
•Elemento
•José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros. •1 é um elemento do conjunto dos números naturais.
•-2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x 2 - 4 = 0.
•Pertinência
•José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros. •1 pertence ao conjunto dos números naturais.
•-2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x 2 - 4 = 0.
Algumas notações para conjuntos
Um conjunto é denotado, muitas vezes com elementos dentro de duas chaves { e }, através de duas formas básicas e de uma forma geométrica:
•Apresentação
Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }. •A = { a, e, i, o, u }
•N = { 1, 2, 3, 4, ... }
•Propriedade
O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades. •A = { x : x é uma vogal}
•N = { x : x é um número natural}
•Diagrama de Venn-Euler
Subconjuntos
Alguns conjuntos especiais •Conjunto vazio
•Conjunto que não tem elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.
•Conjunto universo
Operações com Conjuntos
• Conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B:
}
:
{
x
x
A
ou
x
B
B
A
• Conjunto dos elementos que pertencem a A e B:
}
:
{
x
x
A
e
x
B
B
A
•Conjunto dos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B (diferença de A e B ou seja A \ B):
}
:
{
\
B
x
x
A
e
x
B
A
•Conjunto dos elementos que não pertencem a B:
}
,
:
{
x
x
U
x
B
Leis da Álgebra dos Conjuntos
A
A
A
A
A
Leis IdempotentesA
Leis Associativas
B
C
A
)
(
A
(
B
C
)
B
C
A
)
Leis Comutativas
B
A
B
A
B
A
B
A
Leis Distributivas
(
B
C
)
A
(
A
B
)
(
A
C
)
(
B
C
)
Leis de identidade
A
AA
U
A
U
A
U
A
Leis dos Complementos
A
CA
U
A
A
C
C C
A )
(
A
U
C
C
Conjuntos Finitos e Enumeráveis
•Seja S o conjunto dos dias da semana {segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo}
O conjunto S é finito
•Seja Y o conjunto dos inteiros pares positivos, ié:
Produto Cartesiano
Sejam A e B dois conjuntos. O produto cartesiano de A por B, representado por A x B, consiste de todos os pares ordenados (a, b), onde e :
A x B =
Ex.: Sejam A= {1, 2, 3} e B = {a, b}. Então
A x B =
}
,
:
)
,
{(
a
b
a
A
b
B
Classes de Conjuntos
Constantemente, os elementos de um conjunto, são eles mesmos conjuntos. Para elucidar estas
situações, são usadas a palavra classe ou família para tais conjuntos.
•Os elementos da classe {{2, 3}, {2}, {5, 6}} são os conjuntos {2, 3}, {2} e {5, 6}.
•Consideremos um conjunto A qualquer. O conjunto das partes de A, representado por P(A), é a classe de todos os subconjuntos de A. Em particular, se A= {a, b, c} então:
Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações: “Helena”, “Senhora” e “A Moreninha”. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas:
600 leram A Moreninha; 400 leram Helena;
300 leram Senhora;
200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e Helena;
20 leram as três obras.
Usando seus conhecimentos sobre Teoria de Conjuntos, calcule:
a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras. b) O número de pessoas que não leu nenhuma obra. c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.
