Compara¸
c˜
ao entre dois m´
etodos de GPS diferencial
implementados atrav´
es do filtro de Kalman
Leandro Baroni
H´
elio Koiti Kuga
,Divis˜ao de Mecˆanica Espacial e Controle, Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais,
12227-010, S˜ao Jos´e dos Campos, SP
E-mail: leandrobaroni@yahoo.com.br, hkk@dem.inpe.br,
Resumo
O Sistema de Posicionamento Global (GPS) ´e um sistema de navega¸c˜ao baseado em sat´elites que per-mite ao usu´ario determinar sua posi¸c˜ao e tempo com precis˜ao. O sinal do GPS est´a sujeito a diversas fon-tes de erros em sua medida. O efeito combinado destes erros na propaga¸c˜ao causa uma degrada¸c˜ao na precis˜ao do posicionamento. Entretanto, existem m´etodos de melhorar a precis˜ao do posicionamento, como o GPS diferencial (DGPS) e o posicionamento por dupla diferen¸ca. Este trabalho prop˜oe comparar os resultados e precis˜oes obtidos atrav´es do filtro de Kalman para duas implementa¸c˜oes: GPS diferencial e dupla diferen¸ca. Estas compara¸c˜oes incluem dados obtidos de receptores est´aticos e m´oveis. Os dados foram coletados por dois receptores Ashtech Z12.
Palavras-chave
GPS, GPS diferencial, filtro de Kalman, tempo real.
Introdu¸
c˜
ao
No sistema GPS, as medidas de pseudodistˆancia, que s˜ao as medidas de distˆancia entre o sat´elite e o receptor mais os efeitos dos erros de propaga¸c˜ao do sinal, s˜ao freq¨uentemente usadas para estimar as coordenadas de posi¸c˜ao e desvio do rel´ogio. Infeliz-mente, h´a uma variedade de erros nas medidas que impedem o sistema GPS de alcan¸car alta precis˜ao exigida por certas aplica¸c˜oes. Portanto, a precis˜ao com que os erros de propaga¸c˜ao do sinal s˜ao com-pensados s˜ao de extrema importˆancia [1]. H´a diver-sas t´ecnicas para tratar estes erros, dentre os quais pode-se citar GPS diferencial e o posicionamento por dupla diferen¸ca. Estas t´ecnicas implementadas com o filtro de Kalman se tornam uma ferramenta poderosa para se lidar com esses erros.
O filtro de Kalman ´e um conjunto de equa¸c˜oes matem´aticas que fornece uma solu¸c˜ao recursiva do problema de estimar o estado de um sistema ba-seado em medidas de dados com ru´ıdos. Ele com-bina todas as medidas, o conhecimento a priori da dinˆamica do sistema e equipamentos de medidas, es-tat´ısticas do ru´ıdo do sistema dinˆamico e erros de medidas, al´em de informa¸c˜oes da condi¸c˜ao inicial para produzir uma estimativa do estado, de tal ma-neira que o erro ´e minimizado estatisticamente [2].
Uma vantagem de se utilizar o filtro de Kalman ´e que o filtro ´e um estimador em tempo real e, desse modo, n˜ao ´e necess´ario fazer armazenamentos de da-dos em matrizes de ordem elevada.
A t´ecnica de GPS diferencial consiste de duas eta-pas bem definidas: 1) gerar corre¸c˜oes na base de re-ferˆencia; 2) aplicar as corre¸c˜oes no receptor “user”. A base de referˆencia tem suas coordenadas preci-samente conhecidas. Sendo assim, pode-se calcular quais s˜ao os valores reais da pseudodistˆancia para cada sat´elite. A compara¸c˜ao da pseudodistˆancia cal-culada com a medida pela base fornece o fator de corre¸c˜ao que deve ser aplicado `as pseudodistˆancia medidas pelo receptor usu´ario. A solu¸c˜ao da posi¸c˜ao para o receptor “user”´e obtida aplicando o filtro de Kalman nas medidas de pseudodistˆancia corrigidas pelo receptor “base”.
Os observ´aveis de dupla diferen¸ca s˜ao obtidos atrav´es da combina¸c˜ao das medidas de pseudo-distˆancia de ambos os receptores referentes a dois sat´elites. A vantagem do posicionamento por dupla diferen¸ca ´e a elimina¸c˜ao de erros das medidas, como desvios de rel´ogio, erros orbitais e, se a linha de base for pequena, desvios atmosf´ericos. Este m´etodo, ao contr´ario do DGPS, estima a linha de base entre os receptores. O posicionamento do receptor “user”´e conseguido atrav´es do conhecimento da posi¸c˜ao da “base”.
Dada a proximidade da referˆencia e do usu´ario, o princ´ıpio do GPS diferencial sup˜oe que os efeitos ambientais (troposfera, ionosfera principalmente) s˜ao os mesmos, para linhas de base pr´oximas. Com isso efeitos de modelagem complexa s˜ao evitados e a t´ecnica d´a origem a um posicionamento relativo de grande precis˜ao.
Este trabalho prop˜oe comparar os resultados ob-tidos atrav´es do filtro de Kalman para duas imple-menta¸c˜oes: GPS diferencial e dupla diferen¸ca. Estes algoritmos foram testados em dois casos: est´atico, no qual ambos os receptores s˜ao mantidos fixos; e dinˆamico, no qual o receptor usu´ario est´a montado em uma aeronave.
Ambos os conjuntos de dados (est´atico e dinˆamico) foram coletados por dois receptores GPS de dupla freq¨uˆencia e qualidade geod´esica Ashtech Z12. Estes dados s˜ao processados por meio do fil-tro de Kalman, e os resultados comparados com os marcos do IBGE previamente catalogados e com a trajet´oria de referˆencia da aeronave. Assim sendo, os resultados desse trabalho permitem desenvolver
um m´etodo de estima¸c˜ao da posi¸c˜ao de um recep-tor e verificar as precis˜oes obtidas com a t´ecnica de DGPS e dupla diferen¸ca
Modelagem
A pseudodistˆancia ´e uma medida da distˆancia en-tre o sat´elite, no instante de envio do sinal, e a antena do receptor no instante de recep¸c˜ao, obtida atrav´es da medida do tempo de percurso do sinal, afetada por algumas fontes de erros. O modelo ma-tem´atico para a pseudodistˆancia ρiu entre o sat´elite i e o receptor u tem a forma [1]:
ρiu= Diu+ c · (bu− Bi) + Tui+ Iui + iu (1)
onde Di
u = |Ri− ru| ´e a distˆancia geom´etrica, Ri
´e a posi¸c˜ao do sat´elite, ru´e a posi¸c˜ao da antena do
receptor, bu ´e o desvio do rel´ogio do receptor, Bi
´e o desvio do rel´ogio do sat´elite i, Ti
u ´e o erro
tro-posf´erico, Ii
u´e o erro ionosf´erico, iurepresenta os
ou-tros erros e c ´e a velocidade da luz, 299792458m/s. O posicionamento ´e realizado atrav´es da lineariza¸c˜ao em torno da melhor estimativa da posi¸c˜ao dispon´ıvel da equa¸c˜ao (1), do qual obt´em-se:
∆ρiu=h−Xi−ˆx u ˆ ρi u −Yi−ˆyu ˆ ρi u −Zi−ˆz u ˆ ρi u 1i∆x+∆iu (2) O observ´avel chamado simples diferen¸ca ´e for-mado tomando-se a diferen¸ca das medidas de pseu-dodistˆancia em dois receptores em uma mesma ´epoca. A simples diferen¸ca para a medida de pseu-dodistˆancia ´e dada por [3]:
ρiub = ρiu− ρib = (Di u− Dbi) + (bu− bb)+ (Ti u− Tbi) + (Iui − Ibi) + (iu− ib) = Di ub+ bub+ Tubi + I i ub+ i ub (3) onde (·)ub= (·)u− (·)b.
O termo de desvio do rel´ogio do sat´elite Bi,
que ´e comum `as duas medidas, ´e cancelado. Os termos troposf´ericos e ionosf´ericos s˜ao diferen¸cas dos desvios correspondentes nos dois receptores. A magnitude destes termos depende principalmente da distˆancia de separa¸c˜ao dos receptores (linha de base). Quando a distˆancia entre os receptores for pequena, os res´ıduos ionosf´ericos e troposf´ericos se tornam pequenos em compara¸c˜ao com os erros de-vido ao multicaminho e ru´ıdos do receptor. Desse modo, para uma linha de base pequena, a medida de simples diferen¸ca para a pseudodistˆancia via c´odigo se reduz a
ρiub= Dubi + bub+ iub (4)
O termo do desvio de rel´ogio relativo bub´e comum
a todas as medidas de simples diferen¸ca em cada ´epoca. Este termo pode ent˜ao ser eliminado atrav´es
de medidas de dupla diferen¸ca, que s˜ao formadas atrav´es da subtra¸c˜ao de duas simples diferen¸ca re-lativos a dois sat´elites distintos i e j
ρijub= ρiub− ρ j
ub (5)
de onde obt´em-se
ρijub= (Dubi −Dubj )+(ρ,ubi −jρ,ub) = Dijub+ijρ,ub (6)
Em particular, ρijub pode ser formado por:
ρijub = (ρiu− ρi b) − (ρ j u− ρ j b) (7)
Filtro de Kalman
A equa¸c˜ao da dinˆamica, que descreve a evolu¸c˜ao do estado no tempo, ´e modelada pela equa¸c˜ao dife-rencial linear:
˙
x = Fx + Gω (8)
onde x ´e o vetor com n estados, F ´e a matriz do sis-tema n×n e pode ser fun¸c˜ao do tempo t, ω ´e um ve-tor de r ru´ıdos brancos da modelagem da dinˆamica e G ´e uma matriz n × r de adi¸c˜ao de ru´ıdo, com
E[ω(t)] = 0
E[ω(t)ω(t)T] = Q(t)δ(t − τ ) (9)
O operador E[·] significa o operador esperan¸ca, Q ´e a matriz de densidade espectral de potˆencia de ω e δ(t − τ ) ´e a fun¸c˜ao delta de Dirac.
As observa¸c˜oes s˜ao geralmente discretas e mode-ladas pela equa¸c˜ao linear discreta no tempo:
yk = Hkxk+ νk (10)
onde yk ´e um vetor contendo m observa¸c˜oes, Hk ´e
uma matriz m × n que relaciona o vetor de estado com as observa¸c˜oes e νk ´e uma seq¨uˆencia branca,
de dimens˜ao m, que representa o ru´ıdo nas medidas, com
E[νk] = 0
E[νkνTl ] = Rkδkl (11)
onde Rk ´e a matriz de covariˆancia dos ru´ıdos das
medidas e δkl e a fun¸c˜ao delta de Kronecker. Os
ru´ıdos da dinˆamica ω e de observa¸c˜ao ν s˜ao n˜ ao-correlacionados entre si e n˜ao correlacionados com o estado inicial x(t0) [4], ou seja,
E[ω(tk)νTk] = 0
E[x(t0)νTk] = 0
E[x(t0)ωT(t)] = 0
(12)
No in´ıcio do processo, ´e necess´ario ter uma esti-mativa do estado ˆx0 e sua covariˆancia ˆP0. Esse
es-tado inicial e sua covariˆancia s˜ao ent˜ao propagados at´e o instante da medida atrav´es da equa¸c˜ao de mo-delo de dinˆamica. O estado ˆxke covariˆancia ˆPk
atu-alizados s˜ao formados a partir da combina¸c˜ao dos es-tado e covariˆancia propagados do instante anterior
para o instante atual com as informa¸c˜oes das medi-das processamedi-das. A estima¸c˜ao dos estados consiste, assim, de duas fases: propaga¸c˜ao e atualiza¸c˜ao. O m´etodo tem, portanto, natureza recursiva e n˜ao ne-cessita armazenar as medidas previamente em gran-des matrizes, sendo bastante ´util para aplica¸c˜oes em tempo real [5].
As equa¸c˜oes da fase de propaga¸c˜ao do instante k − 1 para o instante k para o estado s˜ao dadas por:
˙ ¯
x = Fˆx ˙
Φ = FΦ (13)
onde Φk,k−1 ´e a matriz de transi¸c˜ao de estado
en-tre os instantes k − 1 e k. A barra significa es-tado propagado antes de ser atualizado e o circun-flexo indica estado atualizado. Estas equa¸c˜oes s˜ao resolvidas atrav´es de algum m´etodo de integra¸c˜ao num´erica, com condi¸c˜oes iniciais ¯xk−1 = ˆxk−1 e
Φk−1,k−1= I, onde I ´e a matriz identidade. A
ma-triz de transi¸c˜ao Φ descreve a evolu¸c˜ao do erro de estima¸c˜ao entre instantes diferentes. No caso de F ser constante, a matriz de transi¸c˜ao pode ser calcu-lada analiticamente por:
Φk,k−1= eFδt= I + Fδt +
1 2!(Fδt)
2+ . . . (14)
onde δt ´e o intervalo de tempo entre os instantes das medidas [4].
A propaga¸c˜ao da matriz de covariˆancia ´e dada pela equa¸c˜ao:
¯ Pk = Φk,k−1Pˆk−1ΦTk,k−1+ ΓkQΓTk (15) onde ΓkQΓTk = Rk k−1Φτ,k−1G(τ )Q(τ )G T(τ )ΦT τ,k−1dτ .
Ap´os a estimativa do estado e covariˆancia serem propagados at´e o instante da observa¸c˜ao atual k, faz-se a atualiza¸c˜ao a partir das seguintes equa¸c˜oes:
Kk = P¯kHTk(HkP¯kHTk + Rk)−1 ˆ xk = x¯k+ Kk(yk− Hk¯xk) ˆ Pk = (I − KkHk) ¯Pk (16)
onde Kk ´e o ganho de Kalman e Rk ´e a matriz de
covariˆancia dos erros de observa¸c˜ao e I ´e a matriz identidade.
Posicionamento por DGPS na
pseudo-distˆ
ancia
A corre¸c˜ao δρi gerada na base ´e simplesmente a diferen¸ca entre a pseudodistˆancia calculada com as coordenadas da referˆencia ˆρi
b e a pseudodistˆancia
medida pela base ρi b:
δρi= ˆρib− ρi
b (17)
Essa corre¸c˜ao ´e ent˜ao usada para corrigir a me-dida de pseudodistˆancia do sat´elite correspondente no usu´ario.
O receptor usu´ario obedece a um modelo dinˆamico discreto, dado por:
xu,k= Φk,k−1xu,k−1+ Γωu (18)
onde Φk+1,k´e a matriz de transi¸c˜ao de estados, ωu
´
e a matriz contendo os ru´ıdos da modelagem e Γ ´e a matriz de adi¸c˜ao de ru´ıdo. ωu ´e assumido ru´ıdo
branco.
A obten¸c˜ao do modelo de medidas, no instante k, para este m´etodo pode ser obtida a partir da li-neariza¸c˜ao dada pela equa¸c˜ao (2). Realizando uma expans˜ao de Taylor em torno da estimativa do es-tado atual, o res´ıduo das medidas pode ser escrito como uma fun¸c˜ao linear do erro do estado estimado [6]: ∆ρiu= Hk∆xu+ ∆u (19) onde Hk = h∂Di u ∂xu i x=ˆx .
Posicionamento por dupla diferen¸
ca
Este m´etodo de posicionamento combina as me-didas de pseudodistˆancia provenientes de ambos os receptores para gerar os observ´aveis de dupla dife-ren¸ca. As observa¸c˜oes de dupla diferen¸ca s˜ao cons-tru´ıdas escolhendo-se um sat´elite mestre M , geral-mente pelo crit´erio de maior eleva¸c˜ao no in´ıcio do per´ıodo de observa¸c˜oes e realizando as subtra¸c˜oes com as outras medidas. Este procedimento garante um conjunto de dupla diferen¸cas linearmente inde-pendentes [7]. Assim: ρubM i= (ρ M u − ρ M b ) − (ρ i u− ρ i b), i = 1 . . . m, i 6= M (20) onde m ´e o n´umero de sat´elites vis´ıveis. Esta equa¸c˜ao tamb´em pode ser escrita, de acordo com a equa¸c˜ao (6), em fun¸c˜ao das distˆancias geom´etricas:ρM iub = (DMu − DM b ) − (D i u− D i b) + M i ub (21)
Considerando que a linha de base ´e menor que a distˆancia entre os receptores e os sat´elites por ordens de magnitude, pode-se definir a seguinte rela¸c˜ao
Diub= Dui − Di b= 1 i b· xub (22) onde 1i b = hx b−Xi ρi b yb−Yi ρi b zb−Zi ρi b i ´ e o vetor unit´ario apontando da base para o sat´elite i e xub
representa a linha de base entre os receptores. Utilizando a aproxima¸c˜ao descrita, a equa¸c˜ao (21) se torna linear com rela¸c˜ao `a linha de base xub:
ρM iub = (1Mb − 1i
b)xub+ M iub (23)
Esta equa¸c˜ao constitui o modelo de medidas a ser considerado para a resolu¸c˜ao do problema.
A matriz de covariˆancias do vetor de observa¸c˜oes de dupla diferen¸ca tem uma forma n˜ao-diagonal [8]:
RDD= 2σ20 "2 . . . 1 .. . . .. ... 1 . . . 2 # (24) onde σ2
0 ´e a variˆancia do erro da medida da
pseudo-distˆancia. ´E bastante conveniente que a matriz RDD
seja diagonal para fins de processamento seq¨ uen-cial via filtro de Kalman. Este processo de diago-naliza¸c˜ao recebe usualmente o nome de branquea-mento. O processo de branqueamento ´e descrito em [9], [10].
Resultados para o caso est´
atico
Neste teste ambos os receptores permaneceram est´aticos, em posi¸c˜oes precisamente conhecidas, para verificar a qualidade dos algoritmos propos-tos. Os dados utilizados foram coletados por dois receptores GPS Ashtech Z12 de dupla freq¨uˆencia e qualidade geod´esica, durante uma campanha de cerca de uma hora, gravados com uma freq¨uˆencia de amostragem de 1Hz. O receptor base foi colo-cado sobre um marco de referˆencia com coordena-das ECEF (Earth Centered Earth Fixed ) no sistema WGS-84 dadas por xref = 4084765,0762m, yref =
-4209370,0341m e zref = -2498478,2210m, medidos
pelo IBGE. O receptor usu´ario foi colocado a 5,20m de distˆancia do receptor base. Os resultados s˜ao ana-lisados em termos de um erro de posi¸c˜ao com rela¸c˜ao `
a linha de base entre os receptores, ou seja, a dife-ren¸ca entre a linha de base calculada a partir da solu¸c˜ao do usu´ario e da posi¸c˜ao de referˆencia com a distˆancia de 5,20m.
Figura 1: Varia¸c˜ao do GDOP, PDOP, TDOP e n´umero de sat´elites vis´ıveis durante a ob-serva¸c˜ao.
DGPS
na
pseudodistˆ
ancia:
caso
est´
atico
O estado estimado comp˜oe-se das trˆes coordena-das de posi¸c˜ao do receptor usu´ario e do desvio e deriva do rel´ogio:
x =
x y z b ˙bT (25)
A matriz de transi¸c˜ao para este m´etodo tem a forma: Φk+1,k= I 3×3 03×2 1 δt 02×3 0 1 (26) As coordenadas iniciais da posi¸c˜ao para a inicia-liza¸c˜ao do filtro s˜ao as mesmas da referˆencia. O valor do desvio do rel´ogio foi obtido do primeiro instante de observa¸c˜ao do arquivo de medidas no formato padr˜ao RINEX. A covariˆancia foi inicializada com um valor de (100m)2 para a posi¸c˜ao e desvio do
rel´ogio e de (10m/s)2 para a deriva, de modo que
tem-se a matriz de covariˆancias iniciais:
ˆ Pu= 1002 . . . 0 1002 .. . 1002 ... 1002 0 . . . 102 (27)
As pseudodistˆancias s˜ao medidas pelo receptor com um erro de variˆancia σ20 = (3m)2, de modo que a matriz de covariˆancia dos erros de medidas Rρ seja uma matriz diagonal dada por Rρ= σ02· I,
onde I ´e a matriz identidade de ordem m × m. A matriz Q tem a seguinte forma:
Q =hqr· I3×3 03×1
01×3 qb
i
(28) onde qr= 0,0092m2/s3 e qb = 0,92m2/s5. Estes
va-lores foram ajustados off-line de modo a obter a melhor convergˆencia do filtro.
O gr´afico da Figura 2 mostra o erro da posi¸c˜ao para este m´etodo, juntamente com o erro de es-tima¸c˜ao de ±1-sigma dado pelo tra¸co da matriz de covariˆancia. Uma boa estimativa para a posi¸c˜ao ini-cial do usu´ario s˜ao as coordenadas da base, o que gera o erro inicial de 4m. Ap´os a convergˆencia do filtro, a estimativa permanece com erro m´edio de 0,11m e desvio-padr˜ao de 0,29m.
Dupla diferen¸
ca: caso est´
atico
O estado a ser estimado neste m´etodo consiste das trˆes coordenadas da linha de base entre os re-ceptores. A matriz de transi¸c˜ao, assim, ´e a matriz identidade de ordem 3. Assim, o filtro foi iniciali-zado com os valores dos estados nulos e a covariˆancia como uma matriz 3 × 3 com valores da diagonal de 1002(m)2. Uma boa estimativa para a posi¸c˜ao inicial
Figura 2: Erro da posi¸c˜ao do usu´ario com rela¸c˜ao `a linha de base de 5,20m.
do usu´ario em um sistema de DGPS s˜ao as coorde-nadas da base, ou seja, linha de base nula. Isto gera o erro inicial de cerca de 2m no filtro.
Ap´os a convergˆencia, a estimativa permanece com desvio dentro de 0,5m. Este m´etodo tem um com-portamento bastante suave e permaneceu est´avel sob GDOP maior. A varia¸c˜ao do GDOP e do n´umero de sat´elites vis´ıveis durante o experimento s˜ao mostrados no gr´afico da Figura 1. A Figura 3 mostra o erro para a solu¸c˜ao com o filtro de Kal-man, em termos do erro de posicionamento da li-nha de base com rela¸c˜ao a distˆancia de referˆencia de 5,20m, juntamente com o erro de estima¸c˜ao de ±1-sigma dado pelo tra¸co da matriz de covariˆancia.
Figura 3: Erro do posicionamento do usu´ario com rela¸c˜ao `a linha de base de 5,20m.
Compara¸
c˜
ao entre filtros
O gr´afico da Figura 4 mostra a diferen¸ca entre os estados estimados com o m´etodo de DGPS na
pseudodistˆancia e por dupla diferen¸ca para o caso est´atico.
Figura 4: Diferen¸ca do estado estimado pelos dois filtros.
A figura mostra que a diferen¸ca ´e pequena com-parada com a linha de base de 5,20m. Esta diferen¸ca possui m´edia de 0,15m e desvio-padr˜ao de 0,15m, va-lores pequenos se comparados a uma linha de base de 5,20m.
Resultados
para
o
caso
dinˆ
amico
Os algoritmos de posicionamento descritos fo-ram aplicados em dados de vˆoo provenientes de um usu´ario m´ovel e uma base fixa. Os dados foram co-letados por um receptor instalado em uma aeronave e um receptor fixo, em um ensaio realizado no dia 16 de abril de 2002, durante cerca de 50min. As co-ordenadas de posi¸c˜ao da base s˜ao dadas por xref
= 4084584,8649m, yref = -4208568,8146m e zref =
-2500274,8289m em coordenadas ECEF no sistema WGS-84. Ser´a utilizada para compara¸c˜ao dos resul-tados uma trajet´oria p´os-processada da aeronave, com precis˜ao da ordem de cent´ımetros. Para efei-tos de compara¸c˜ao, esta trajet´oria de referˆencia ´e considerada suficientemente precisa.
A varia¸c˜ao do n´umero de sat´elites vis´ıveis e GDOP, PDOP e TDOP durante o tempo de ob-serva¸c˜ao est´a mostrada no gr´afico da Figura 5.
DGPS
na
pseudodistˆ
ancia:
caso
dinˆ
amico
O estado para o caso dinˆamico ´e formado pelas trˆes coordenadas de posi¸c˜ao, trˆes de velocidade e pelo desvio e deriva do rel´ogio:
x =
Figura 5: Varia¸c˜ao do n´umero de sat´elites vis´ıveis e GDOP, PDOP e TDOP em fun¸c˜ao do tempo.
Assim, a matriz de transi¸c˜ao assume a forma:
Φk+1,k= I3×3 δt · I3×3 03×2 03×3 I3×3 03×2 1 δt 02×3 02×3 0 1 , (30)
ou seja, com modelagem de velocidade constante. O valor inicial das componentes do vetor de estado e suas covariˆancias est˜ao mostrados na Tabela 1.
A matriz de covariˆancia das medidas Rρ ´e uma
matriz diagonal de ordem m × m, com m sendo o n´umero de sat´elites vis´ıveis, com os valores da dia-gonal de (3m)2. Para este teste, m varia entre 7 e 8 sat´elites (Figura 5). O filtro foi sintonizado com o valor da matriz de densidade espectral de potˆencia Q dada por:
Q =hqr· I3×3 03×1
01×3 qb
i
(31)
Tabela 1: Valores iniciais dos estados e seus desvios-padr˜ao
Estado Valor inicial Desvio-padr˜ao
xu [m] 4084584,8649 100 yu [m] -4208568,8146 100 zu [m] -2500274,8289 100 ˙ xu [m/s] 0 10 ˙ yu [m/s] 0 10 ˙ zu [m/s] 0 10 bu [m] 2362,6644 100 du[m/s] 0 10 onde qr = 0,82m2/s5 e qb = 0,12m2/s5.
Os gr´aficos da Figura 6 mostram os erros de posi¸c˜ao obtido com este m´etodo. Estes erros est˜ao separados nas componentes leste, norte e vertical. Os erros apresentam picos, da ordem de 6m para a componente leste e 10m para a componente norte. Esses picos ocorrem no momento em que a aeronave realiza mudan¸cas na sua trajet´oria. Este fato indica que o modelo de dinˆamica implementado n˜ao ´e pre-ciso o suficiente para responder a r´apidas mudan¸cas da trajet´oria da aeronave.
Os valores do desvio-padr˜ao dos erros horizontais (leste e norte) mostram-se maiores que o desvio-padr˜ao do erro vertical devido aos picos mencio-nados. O erro vertical n˜ao apresenta tantos picos como os erros horizontais, provavelmente pelo fato de que componente vertical da trajet´oria n˜ao sofrer varia¸c˜oes t˜ao bruscas quanto a horizontal.
Dupla diferen¸
ca: caso dinˆ
amico
Para este m´etodo, o estado a ser estimado consiste das coordenadas da linha de base e de sua varia¸c˜ao. Desse modo, a matriz de transi¸c˜ao ´e:
Φk+1,k= hI 3×3 δt · I3×3 03×3 I3×3 i (32) Os valores iniciais do vetor de estado ˆxub s˜ao 0m
para a linha de base e 0m/s para a varia¸c˜ao da li-nha de base, enquanto que sua covariˆancia ˆPub ´e
uma matriz diagonal, com os valores de (100m)2 correspondendo `a linha de base e (10m/s)2
corres-pondendo `a varia¸c˜ao da linha de base. A matriz de covariˆancia dos ru´ıdos de medidas RDD vale:
RDD= 18 "2 . . . 1 .. . . .. ... 1 . . . 2 # (m2) (33)
O filtro foi sintonizado off-line com valor de Q, man-tido constante durante todo o intervalo do experi-mento em Q = 1,12I
3×3m2/s5.
Os gr´aficos da Figura 7 mostram os erros das com-ponentes leste, norte e vertical da posi¸c˜ao da aero-nave. As m´edias das componentes horizontal, isto ´e, leste e norte, permanecem em torno de zero, mas os
desvios-padr˜ao valem 3,3m e 4,1m, respectivamente. Estes erros tamb´em apresentam os picos devido `a modelagem da dinˆamica do sistema.
Compara¸
c˜
ao entre filtros
Os gr´aficos da Figura 8 mostram a diferen¸ca en-tre a posi¸c˜ao estimada pelo m´etodo de DGPS na pseudodistˆancia e pelo m´etodo de dupla diferen¸ca, separada nas componentes leste, norte e vertical. A diferen¸ca da componente leste apresenta m´edia de -0,276m com desvio-padr˜ao de 0,980m, a dife-ren¸ca na componente norte apresenta m´edia 0,015m e desvio-padr˜ao de 0,665m e a componente vertical m´edia de 1,956m e desvio de 2,113m. O alto va-lor da m´edia na vertical ´e reflexo provavelmente de erros sistem´aticos nas medidas n˜ao-corrigidos pelos m´etodos testados.
As componentes leste e norte apresentam os picos que ocorrem na realiza¸c˜ao de manobras, pois os fil-tros se comportam ligeiramente diferente nesses ca-sos. Por´em, o erro nos trechos retil´ıneos permanece menor que 0,5m.
Conclus˜
oes
O primeiro caso estudo foi de posicionamento est´atico, no qual os receptores permaneceram em posi¸c˜oes precisamente conhecidas. O receptor base foi colocado sobre um marco de posi¸c˜ao conhe-cida, enquanto que o receptor usu´ario foi colocado a 5,20m de distˆancia da base. Foram testados os al-goritmos de DGPS na pseudodistˆancia e posiciona-mento por dupla diferen¸ca, implementados por meio do filtro de Kalman. Os resultados foram analisa-dos em termos dessa distˆancia conhecida. A t´ecnica de DGPS na pseudodistˆancia, que ultilizou o fil-tro de Kalman, atingiu 0,11±0,29m (1 σ) de pre-cis˜ao. A precis˜ao obtida com a t´ecnica de dupla di-feren¸ca foi 0,271±0,143m (1 σ). Os filtros em ambos os casos tˆem comportamento semelhantes. A dife-ren¸ca entre estes duas t´ecnicas apresentou m´edia de 0,15±0,15m, valores bem menores que a linha de base, de 5,20m.
Os algoritmos citados foram ent˜ao aplicados nos dados de navega¸c˜ao de uma aeronave. A dinˆamica modelada para todos os m´etodos que utilizam o fil-tro de Kalman mosfil-trou-se suficiente para descrever a posi¸c˜ao da aeronave com erros de at´e 5m. Em si-tua¸c˜oes de manobras bruscas (mudan¸cas de dire¸c˜ao ou altitude), ocorreram picos de at´e 10m no erro da posi¸c˜ao, quando comparada com uma trajet˜oria de referˆencia. De modo geral, o erro para o m´etodo de DGPS na pseudodistˆancia, que utilizou o filtro de Kalman como estimador, foi de -0,308±2,313m para o erro na dire¸c˜ao leste, 0,541±2,905m para a dire¸c˜ao norte e -2,058±1,374m vertical (1 σ). Para a dupla diferen¸ca, as precis˜oes foram de 0,029±3,300m, -0,225±4,153m e -3,794±1,896m para os erros leste, norte e vertical respectivamente (1 σ). A diferen¸ca
entre as posi¸c˜oes estimadas por estes filtros apre-sentaram discrepˆancia de at´e 2m nos momentos de manobras da aeronave e 0,5m nos trechos re-til´ıneos. Isso indica que, apesar da dinˆamica do sis-tema ser modelada essencialmente da mesma ma-neira, os filtros apresentam resultados ligeiramente diferentes. Essa diferen¸ca entre as posi¸c˜oes apre-sentou uma m´edia de -0,276±0,980m na compo-nente leste, 0,015±0,665m na compocompo-nente norte e 1,956±2,113m na componente vertical.
Agradecimentos
Este trabalho foi realizado com suporte de bolsa de doutorado pela FAPESP, processo n´umero 03/12691-6.
Referˆ
encias
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Figura 6: Erro da posi¸c˜ao estimada nas componentes leste, norte e vertical para o DGPS.
Figura 7: Erro da posi¸c˜ao estimada nas componen-tes leste, norte e vertical para a dupla di-feren¸ca.
Figura 8: Diferen¸ca entre as componentes da posi¸c˜ao estimada
