Eletromagnetismo. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

(1)

6.1 Os Materiais Condutores

6.2 O Campo Eletrostático num Condutor 6.3 Cargas Superficiais

6.4 O Potencial Eletrostático

6.4.1 Um exemplo simples

6.5 O Poder das Pontas

6.5.1 Para-raios

6.5.2 O microscópio de emissão (de campo) 6.5.3 Escoamento de cargas para a Terra

6.6 Capacidade de um Condutor 6.7 Condensadores ou Capacitores

6.7.1 Diferença de potencial entre condutores

6.8 Condensadores

6.8.1 Condensador plano

6.9 Energia Armazenada

Referências

Gil da Costa Marques

ElETRiCiDADE DA MATéRiA:

MATERiAiS COnDUTORES

6

(2)

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2

6.1 Os Materiais Condutores

Em relação aos fenômenos elétricos, notadamente quanto à possibilidade de se estabelecer uma corrente elétrica passando por eles, classificamos, na física clássica, os materiais em duas categorias: condutores e isolantes (também denominados dielétricos).

Abordaremos, neste tópico, os materiais condutores, dos quais o cobre é o melhor exemplo. Este metal, cada vez mais valorizado, se constitui num material bem típico de material condutor. Cada átomo do elemento cobre tem 29 elétrons distribuídos ao longo de 4 camadas orbitando em torno do núcleo, que contém 29 prótons. A Figura 6.1 esquematiza uma distribuição clássica desses elétrons em torno do núcleo. O elétron da última camada está mais fraca-mente ligado ao núcleo (ou ao átomo). Em termos energéticos, é fácil arrancar esse elétron do átomo transformando-o no íon Cu+_.

Nos metais em geral, como no caso de um de fio de cobre puro, os átomos ocupam pontos que se distribuem formando uma rede tridimensional - rede cristalina. No entanto, a rede é formada, a rigor, por íons (+) que ocupam pontos fixos da rede cristalina. Nesse arranjo, os elétrons da última camada (a camada dita de valência) se sentem “livres“ para viajar pelo metal. A Figura 6.2

apresenta uma ilustração, no plano, dos elétrons em movimento praticamente livre e os íons do metal ocupando posições fixas.

Figura 6.1: Modelo planetário clássico do átomo de cobre. Observe o único elétron na última camada.

Figura 6.2: (a) Elétrons livres e em movimento num plano. (b) Num metal, podemos considerar os elétrons como se formassem uma nuvem em movimento entre núcleos de átomos que ocupam posições regulares no espaço.

(3)

Nesse caso, os elétrons continuam pertencendo a toda a rede cristalina do metal, porém, não pertencem a um átomo específico. Como resultado, eles passam a formar uma “nuvem de elétrons”, que ocupa toda a rede cristalina. Esses elétrons se movem com grande facilidade através da rede cristalina, e são denominados “elétrons livres”.

Exemplos

• ExEmplo 01

Quantos elétrons livres podem existir em 1 cm3_{de cobre?}

→ REsolução:

Esse volume corresponde, aproximadamente, ao de um pedaço de fio de cobre, com 2 mm de diâmetro e 32 cm de comprimento.

A densidade do cobre é de 8,92 g/cm3_{. Assim, estamos falando de uma massa de 8,92 g. Quantos}

átomos de cobre existem nesse fio ou nesse volume?

Lembrando que o átomo grama do cobre é 63,5 g/mol e que um mol contém 6,02 × 1023_átomos,

conclui-se daí que existem (6,02 × 1023_{)/(63,5) átomos em cada grama de cobre e que em 8,92 g}

de cobre existem N = 8,46 × 1022_átomos.

Admitindo-se que um elétron de cada átomo se torna um “elétron livre” (caso ideal), então, em 1 cm3

de fio de cobre existem

8,46 × 1022_{elétrons livres.}

Trata-se de um número extremamente alto de elétrons. É bom lembrar, no entanto, que existe nesse volume a mesma quantidade de íons (+). Por isso, normalmente, um pedaço de fio de cobre é neutro.

Os condutores metálicos (cobre, prata, ferro, alumínio e outros) apresentam elétrons livres. Para um mesmo volume, o cobre é um dos condutores com maior número de elétrons livres e daí o seu uso cada vez mais disseminado.

Mesmo na ausência de campo elétrico externo, os elétrons livres não se encontram parados em relação à rede cristalina, mas animados de movimentos desordenados, que ocorrem entre os íons (+) fixos da rede cristalina do metal. Na presença de um campo elétrico externo, eles rapidamente se põem em movimento, preferencialmente, no sentido oposto ao das linhas de força do campo indutor.

Os condutores são, assim, materiais cuja estrutura pode ser pensada como a de uma nuvem de elétrons que se desloca com grande facilidade mediante a aplicação de um campo elétrico ao material. Dizemos que esses elétrons são elétrons livres. Uma vez que não podem abandonar

(4)

Neste tópico, admitiremos que todos os condutores são perfeitos. Com isso admitimos que os elétrons se movem no material mesmo mediante um campo elétrico muito fraco. Nesses materiais, os elétrons têm grande mobilidade. Metais são os materiais cujo comportamento mais se assemelha ao de um condutor perfeito.

Um condutor pode ter carga elétrica em excesso distribuída ao longo dele. A forma mais simples de neutralizá-la é mediante o aterramento, ou seja, ligando-o à terra por meio de um fio condutor. Definimos o potencial da Terra como um potencial nulo.

Um sistema composto por dois condutores carregados e com cargas de sinal oposto é denominado capacitor ou condensador. Os capacitores têm inúmeras aplicações práticas. Eles se constituem em um elemento essencial nos circuitos na medida em que e podem armazenar cargas elétricas e, consequentemente, armazenam energia que pode ser utilizada de várias maneiras. Essa é uma das utilidades dos condutores.

6.2 O Campo Eletrostático num Condutor

Num material condutor, os elétrons se movem até que nele se atinja uma situação de equi-líbrio eletrostático. A condição para esse equiequi-líbrio é a de que a força elétrica no interior do material seja nula. Assim, escrevemos

6.1

Não é difícil entender a razão para que isso aconteça. Consideremos um condutor próximo de cargas elétricas positivas, as quais criarão um campo elétrico em todo o espaço. Com a existência de elétrons facilmente removíveis, os elétrons livres deixarão os átomos e se dirigirão para a superfície do condutor. Eles tenderão a ficar mais próximos das cargas externas se estas tiverem o sinal positivo, mas ficarão o mais longe possível das cargas externas se elas tiverem sinal negativo. Movimento oposto ao dos elétrons farão os íons positivos (os átomos que perderam elétrons).

Esse novo rearranjo de cargas acontecerá até que se busque uma situação de equilíbrio. Por equilíbrio entendemos a não existência de forças no interior do condutor. Não existir forças é o mesmo que não existir campos elétricos no interior dele.

interior 0

(5)

• ExEmplo 02

Uma esfera de raio R, metálica e isolada, é eletrizada negativamente. Os elétrons livres em excesso podem estar no interior da esfera?

→ REsolução:

A resposta, de acordo com a expressão 6.1, é não. E para isso existem duas razões.

Primeiro, porque cargas iguais se repelem (Lei de Coulomb) e, segundo, pelo fato de os elétrons em excesso se comportarem, nos condutores, como se fossem livres.

Assim, quando sujeitos a forças de repulsão, eles são repelidos para mais longe possível; e esse “mais longe possível” é a superfície externa do condutor, onde ficam alojados até atingir um estado de equilíbrio. Veja esquema nas Figuras 6.3 e 6.4.

E se, ao invés de excesso de elétrons, tivéssemos “falta de elétrons” (carga positiva em excesso) no centro da esfera?

Nesse caso, teríamos, no interior da esfera um excesso de íons positivos, os quais (por estarem mais fixos) não têm liberdade de movimento. No entanto, eles atraem elétrons livres. Cada elétron que atinge o núcleo neutraliza um íon positivo, deixando no lugar de onde saiu um “buraco” positivo (falta de elétron). Assim, os íons positivos acabam sendo neutra-lizados no interior da esfera. No entanto, em outra região ocorre “falta de elétrons”. Essa região é a superfície externa do condutor.

Desse modo, tanto num caso quanto no outro, concluímos que, no interior do condutor eletrizado, o campo elétrico resultante é nulo. Esse é o resultado expresso em 6.1.

Em resumo, em qualquer caso, a distribuição de cargas será tal que o campo elétrico produzido por elas somado ao campo elétrico externo resulta um campo elétrico nulo no interior do condutor. As linhas de força do campo elétrico na região próxima da superfície de um condutor são linhas perpendiculares à superfície do condutor.

O fato de o campo elétrico ser nulo no interior de um condutor inspirou o cientista britânico Michael Faraday a inventar a sua famosa gaiola. A gaiola de Faraday, descoberta em 1836, nada mais é do que um ambiente no qual se tenha assegurada a blindagem contra campos elétricos externos. Faraday revestiu as paredes de uma sala

Figura 6.3: Se concentrados no centro da esfera, os elétrons livres seriam repelidos pela força coulombi-ana de repulsão entre eles.

Figura 6.4: Os elétrons livres em excesso são repelidos até a superfície externa, onde estacionam, buscando uma situação de equilíbrio.

Figura 6.5: Esfera maciça eletrizada positivamente. O campo no interior é nulo, as cargas se distribuem uniformemente ao longo da superfície externa do condutor e as linhas de forças são radiais e, portanto, perpendiculares à superfície.

(6)

com lâminas metálicas - arranjo que ficou conhecido como “Gaiola de Faraday”. Em seguida produziu, com uma máquina eletrostática, descargas de alta tensão no lado externo da sala. Verificou que um eletroscópio no interior da sala não acusou excesso de cargas elétricas.

Um avião a jato cuja fuselagem é totalmente metálica é um bom exemplo de “Gaiola de Faraday”. Ao ser atingido por uma descarga elétrica, as cargas se espalham pela fuselagem, não atingindo a parte interna do avião.

6.3 Cargas Superficiais

Todas as cargas elétricas livres se concentrarão na superfície do condutor, não existindo, assim, cargas livres no seu interior. Escrevemos, para um condutor:

6.2

ou seja, as cargas elétricas se encontram apenas na superfície, onde sua densidade superficial [σ = σ (x, y, z)] pode variar de acordo com a posição dos pontos localizados

na superfície do condutor.

Podemos determinar a densidade de cargas livres se soubermos a componente normal (perpendicular) à superfície do vetor campo elétrico. Como o campo elétrico no interior é nulo, podemos escrever, utilizando a lei de Gauss (5.29) na interface entre o meio condutor e o meio externo (caracterizado por uma permissividade ε), a seguinte relação entre a componente normal do campo elétrico na superfície do condutor e a densidade superficial:

6.3

(

)

livres , ,

0 [no interior do Condutor]

x y z

σ = σ

ρ =

(

x y z, ,

)

E x y zn

(

, ,

)

_superfície

σ = ε

Figura 6.6: Gaiola de Faraday.

Figura 6.7: O revestimento externo de um avião gera uma “gaiola de Faraday”. Quando atingido por um raio, as cargas elétricas se espalham pela superfície metálica externa do avião, de forma a produzir um campo elétrico nulo no interior do mesmo.

(7)

Um condutor usualmente é neutro. As cargas são distribuídas não uniformemente na sua superfície, com excesso de elétrons numa região e falta em outra. Podemos, no entanto, chegar a uma situação em que podemos ter só um tipo de cargas B se entanto obter um condutor com apenas um tipo de carga se tomarmos a providência de aterrá-lo, ou seja, de ligá-lo à terra através de um fio condutor. Por esse fio a carga se escoará para a terra.

• ExEmplo 03

Comparando-se a quantidade de elétrons e prótons contidos num sólido, explicar o que ocorre quando o objeto estiver com carga +Q.

→ REsolução:

Se um objeto estiver eletricamente neutro, ele conterá N prótons e N elétrons. Se por um processo qualquer, como o atrito entre duas substâncias, ocorrer um desequilíbrio entre o número de prótons e de elétrons, diz-se que o objeto se encontra eletrizado.

Um objeto está eletrizado quando contiver excesso de cargas elétricas de um sinal ou de outro. Se eletrizado positivamente (ou com carga +Q), o número de prótons que ele contém é maior do que o número de elétrons. Um objeto carregado positivamente, com carga +Q, a rigor, tem “falta de elétrons”. E sua carga é um múltiplo inteiro e positivo (designado por n) da carga dos elétrons (carga elétrica e). Assim, escrevemos:

Q = ± ne

Como os prótons não podem ser arrancados da matéria, a eletrização de um objeto sólido (condutor ou não) envolve movimentação de elétrons. Se o sólido perde elétrons, ele fica com carga positiva; se receber elétrons, ele fica com carga negativa, ou seja, fica com excesso de elétrons.

6.4 O Potencial Eletrostático

Dentro do condutor sólido, o potencial eletrostático (ou elétrico) é constante, pois o campo elétrico a ele associado, no interior do condutor, é nulo. Na superfície do condutor, o potencial

V tem o valor igual ao do potencial elétrico que vigora dentro do condutor. Assim, escrevemos:

6.4

(

)

dentro , , superfície 0

(8)

Assim, a superfície de um condutor é uma superfície equipotencial. De fato, se houvesse um gradiente de potencial ao longo da superfície, haveria um campo na direção tangencial à superfície, o que seria incompatível com a hipótese de equilíbrio. Se a superfície estiver em contato com a terra, o potencial será admitido como nulo.

6.5

• ExEmplo 4

Fundamentado na Lei de Coulomb, explique a razão pela qual o campo elétrico é nulo no interior da esfera.

→ REsolução:

O problema se resume a explicar por que são nulos os campos elétricos gerados no interior do condutor pelas cargas distribuídas na superfície externa. Sabemos que cada uma das cargas na superfície cria, no interior da esfera, um campo elétrico não nulo. No entanto, é nulo o campo elétrico que resulta da soma vetorial de todos os campos gerados pelas cargas na superfície. É o que será demonstrado.

Considere dois pequenos cones com vértice comum e bases formadas por pequenas calotas esféricas, com áreas A1 e A2 a distâncias R1 e R2 do ponto P, respectivamente.

Esses cones apresentam ângulos sólidos iguais: (S1)/(R1)

2_{= (}_S 2)/(R2)

2_{= Ω (}_I_{) (veja}_{Figura 6.8}_).

As cargas Q1 e Q2 das calotas podem ser expressas em função

da densidade superficial de carga “σ”, que é definida assim:

excesso de carga na superfície da esfera _/ área da superfície esférica Q S

σ = =

onde S = área da superfície esférica. Como as cargas se distribuem uniformemente na superfície esférica → σ = Q/S = constante. Logo, a carga Q1 contida numa pequena área A1 e a carga contida na área A2 da

superfície S da esfera serão: Q1 = σ.A1 (II) e Q2 = σ.A2 (III).

Admitindo-se que os cones sejam tão pequenos quanto possível, as cargas Q₁ e Q₂ podem ser consideradas pontuais localizadas no centro da base de cada cone (pontos A e B), conforme ilustrado na Figura 6.9.

0 0 V =

Figura 6.8: Dois cones com vértice comum no ponto P

delimitam ângulos sólidos iguais e bases definidas pelas calotas A1 e A2 na superfície de uma esfera.

Figura 6.9: O esquema representa os vetores campo elétrico gerados pelas cargas Q1 e Q2 no vértice comum dos cones.

(9)

Assim, elas geram no ponto P, no interior da esfera, campos elétricos de intensidades E1 = kQ1/(R1)2

(IV) e E2 = kQ2/(R2)2 (V) com a mesma direção radial e sentidos opostos. Substituindo-se II e III em

IV e V e considerando a igualdade (I) tem-se:

(Vi)

(Vii)

As relações (VI) e (VII) mostram que os dois campos elétricos têm intensidades iguais e, como possuem mesma direção, mas sentidos opostos, o campo elétrico resultante no ponto P é nulo. Como o ponto P é genérico, conclui-se que o campo elétrico no interior de um condutor esférico eletrizado é E_{interior esfera} = 0.

6.4.1 Um exemplo simples

A título de exemplo, consideremos o caso de uma carga Q próxima de um plano condutor

infinito. Admitir o condutor como se fosse infinito é apenas uma idealização feita para simplificar o problema.

Admitiremos que o plano esteja conectado à Terra. Consequentemente, imporemos que o potencial na superfície do condutor seja nulo. Utilizando as coordenadas cartesianas, e para um plano dado pela condição:

6.6

a condição do potencial eletrostático de que o potencial seja nulo no plano dado pela expressão 6.6

é, portanto,

6.7

Esse problema será resolvido pelo método conhecido como método das imagens.

A ideia desse método é a de procurar uma solução de um problema análogo a esse e no qual o potencial na superfície considerada se anule, ou seja, procuraremos uma situação em

E1 = k(σS1)/(R1) 2₌_{kσ [(S} 1/R1) 2 _{] =}_kσΩ E2 = k(σS2)/(R2)2 = kσ [(S2/R2)2 ] = kσΩ z = 0 V (x, y, 0) = 0

Figura 6.10: Carga elétrica Q situado no

eixo 0z próximo de um condutor plano

(10)

que a condição de contorno (na superfície, portanto) seja a mesma. Resolvemos o problema recorrendo a uma situação similar.

Consideremos o potencial elétrico devido a duas cargas Q, mas de sinais opostos. A carga de

sinal -Q tem o nome de carga imagem. Imaginemos agora a situação descrita pela Figura 6.10, na qual a carga de sinal positivo se encontra na posição z = d (as demais coordenadas iguais a

zero) e a carga negativa se encontra no eixo z e com coordenada z = -d. Nessas circunstâncias,

o campo elétrico produzido pelas duas cargas é dado pela expressão 5.22.

Na superfície plana, o valor do campo elétrico é dado pela expressão 5.22 tomando o valor de z = 0. Obtém-se:

6.8

Como esperado, o campo elétrico próximo da superfície é perpendicular a ela, uma vez que só temos a componente z.

A partir de 6.8 e 6.3 concluímos que a densidade de cargas na superfície do plano é dada por:

6.9

Nota-se que as cargas estarão mais concentradas na região em frente á carga Q e sua distri-buição vai ficando mais reduzida à medida que nos afastamos do ponto que fica mais próximo da carga Q. A carga total concentrada no plano é dada por:

6.10

Uma integração, utilizando variáveis polares, nos fornece o resultado:

6.11

resultado esse interessante e não tão surpreendente, uma vez que a carga imagem tem exata-mente esse valor.

(

)

( ) ( )

(

)

3 2 2 _{2 2} 2 , ,0 4 o Q dk E x y d y x    _-    = πε   + +      

( )

( ) ( )

(

)

3 2 2 _{2 2} , 2 Q d x y d y x       σ = -π   + +    

( )

total , Q dxdy x y +∞ +∞ -∞ -∞ =

∫ ∫

σ total Q = -Q

(11)

6.5 O Poder das Pontas

O campo elétrico assume os valores mais distintos ao longo de um condutor. Em particular, ele é mais intenso nas regiões, ao longo da superfice, de menor raio de curvatura, isto é, o campo elétrico é mais intenso nas regiões pontiagudas.

O fato de que numa ponta o campo elétrico é muito intenso recebe o nome de poder das pontas. O poder que elas exercem será explicado e algumas consequências serão analisadas posteriormente. Para entender esse fenômeno, consideremos duas esferas com cargas, de raios R e r, mantidas

a potenciais iguais. Isso pode ser conseguido através da interligação utilizando um fio.

Figura 6.11: O poder das pontas: O campo elétrico é mais intenso nas regiões pontiagudas

Como as esferas têm cargas Q e q, respectivamente, cada uma delas tem os potenciais dados

pelas expressões:

6.12

As cargas se distribuem de tal forma que elas são proporcionais aos seus raios. De fato, a partir da igualdade dos potenciais, segue-se que as cargas em cada uma delas são dadas pela relação:

6.13 1 2 0 0 1 _e 1 4 4 Q q V V R r     = _{ } = _{ } πε   πε   Q R q = r

(12)

Os módulos dos campos elétricos são dados por outro lado pela expressão:

6.14

Donde concluímos que a relação entre os campos elétricos, para as duas superficies de mesmo potencial, será :

6.15

O fato de o campo ser mais intenso nas pontas faz com que essas regiões percam cargas mais facilmente do que outras regiões (aquelas menos pontiagudas). Como consequência, podem ocorrer nas regiões pontiagudas descargas elétricas intensas. Isso acontece, por exemplo, quando colocamos duas pontas próximas uma da outra e aumentamos a diferença de potencial entre elas. Ao atingirmos um determinado valor para a diferença de potencial salta uma faísca entre as duas pontas. No entanto, se substituirmos uma das pontas por um plano, não haverá faísca. Em vez da faísca, teremos a formação de uma corrente (fraca) entre o plano e a ponta como resultado da ionização do ar.

O poder das pontas tem relação com a rigidez dielétrica. Esta é definida como o maior valor do campo elétrico que transforma um isolante num condutor elétrico. No caso do ar, a rigidez dielétrica é cerca de 30.000 V/cm; no vidro, entre 75 kV/cm e 600 kV/cm. Isso significa que se, na superfície de um condutor eletrizado localizado no ar, existir uma ponta onde o campo elétrico atinja o valor E = 30 kV/cm, então, por essa ponta ocorrerá uma perda de cargas.

2 1 2 2 E Q r E q R   =     1 2 E r E R   =  _{ }

E, portanto, quanto menor o raio da superficie, mais intenso será o campo elétrico nessa superficie.Tendo em vista que, para cada ponto numa superfície, podemos sempre associar a ele um raio associado a uma superficie formada pelo conjunto de pontos no seu entorno, concluímos que as regiões pontiagudas são aquelas para as quais os campos elétricos são mais intensos. Seguindo o mesmo raciocínio, concluímos que uma ponta (região de menor curvatura) tem a capacidade de se eletrizar com mais facilidade do que as regiões de maior raio de curvatura.

(13)

O poder das pontas implica dois fenômenos:

• Uma região pontiaguda (de raio de curvatura ínfimo) tem mais facilidade de se eletrizar do que aquelas regiões de grandes valores de raio de curvatura.

• O fato de o campo elétrico ser mais intenso nas pontas facilita a fuga de cargas elétricas: um condutor eletrizado pode “descarregar” cargas elétricas para o ar e se tornar neutro.

Os dois fatos acima e o fato de o campo ser mais intenso nas pontas conferem às pontas um poder de atrair cargas e um poder de produzir descargas elétricas de grandes intensidades. Disso deriva o termo “poder das pontas”.

O poder das pontas pode ser demonstrado através de dois fenômenos intrigantes denomi-nados “sopro elétrico” e “torniquete elétrico”.

No caso do sopro elétrico, o poder das pontas se manifesta através de um sopro, cuja magnitude é suficiente para apagar uma vela.

Para a obtenção do sopro elétrico, precisa-se de uma máquina eletrostática para eletrizar uma ponta positivamente. Essa ponta carregada irá atrair elétrons das moléculas que compõem o ar da atmosfera. Como resultado desse forte campo elétrico, alguns elétrons acabam abandonando as molé-culas, deixando para trás moléculas ionizadas - íons positivos, nesse caso (veja Figura 6.14).

Figura 6.12: Ao ser ionizado, o ar pode se tornar condutor. Figura 6.13: Fugas de cargas nas pontas produzem dois efeitos.

a

(14)

Esses íons, por serem positivos, serão repelidos pela ponta eletrizada positivamente e, portanto, se moverão no sentido oposto da ponta. O movimento dos íons positivos em sentido oposto ao da ponta gera um “vento” elétrico, o qual se manifesta como se fosse um “sopro elétrico” ilustrado na Figura 6.15.

No caso do torniquete elétrico, o efeito acima se evi-dencia de outra forma.

O torniquete é constituído de várias hastes pontiagudas, que são interligadas de forma que o conjunto possa girar livremente. A eletrização desse conjunto levará à produção

do sopro elétrico em cada uma das pontas. O íon positivo será repelido pela ponta e, pela Lei da Ação e Reação, a ponta será repelida (em sentido oposto) pelo íon positivo; como o torniquete tem livre movimento, ele se movimenta no sentido oposto ao da ponta (veja Figura 6.16).

6.5.1 Para-raios

Os para-raios são dispositivos feitos com materiais bons condutores (barras de metal pontia-gudas, colocadas a certa distância umas das outras ou formando um tridente) com o intuito de dar proteção às edificações contra os raios que incidem sobre a terra durante uma tempestade. Um para-raios protege uma área equivalente a uma área circular, cujo raio é cerca de duas vezes a altura em que ele é instalado. Os para-raios devem ser, assim, instalados nas partes mais altas dos edifícios e ligados à terra por um fio condutor.

Figura 6.15: Ponta eletrizada positivamente. Os íons positivos são repelidos pela ponta e o vento ocorre no sentido de se afastar da ponta.

Figura 6.16: Torniquete elétrico.

(15)

No para-raios fazemos um uso prático do poder de eletrização das pontas. Ao se eletrizar com mais facilidade, elas acabam atraindo os raios produzidos durante uma tempestade.

Figura 6.18: Para-raios e seu princípio de funcionamento.

c a

b

É importante entender que objetos no solo, como ocorre com o para-raios, podem servir para escoar a descarga elétrica. Isso é uma consequência do fato de que os objetos no solo podem se eletrizar. Assim, choques elétricos (conhe-cidos como choques de retorno) podem ocorrer mesmo que a pessoa não seja atingida por um raio se estiver em contato com objetos dotados de capacidade de se eletrizar. Para evitar choques de retorno ou raios, recomenda-se que as pessoas permaneçam longe de objetos altos e pontiagudos (como árvores) e de objetos que possam atrair os raios.

6.5.2 O microscópio de emissão (de campo)

Existe um tipo de microscópio não óptico que faz uso do poder das pontas para estudar pro-priedades eletrônicas e moleculares de superfícies. Ele é composto por uma agulha pontiaguda emissora e de um detetor de elétrons (normalmente, uma tela fluorescente).

Um campo elétrico muito intenso (cerca de 40 milhões de volts por centímetro) é aplicado ao emissor. Nessas circunstâncias, os elétrons são arrancados dos átomos da superfície da agulha e são acelerados em direção à tela fluorescente. Ao atingi-la, produzirão luz (o mesmo processo

(16)

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2 do televisor). Com isso se forma uma imagem (uma “fotografia”) da superfície da qual os elétrons foram arrancados.

6.5.3 Escoamento de cargas para a Terra

A Terra pode ser pensada como um grande reservatório de cargas elétricas e com uma enorme capacidade de absorvê-las. De fato, se pensarmos apenas no manto da Terra, de cerca de vinte quilômetros, composta de basalto e granito, somos levados a concluir que sua capacidade é inigualável, praticamente infinita. Assim, ela tem grande

capacidade de absorver cargas elétricas.

Como o valor do potencial é definido a menos de uma constante, definimos o potencial da Terra como se fosse igual a zero na superfície. Ao aproximarmos um corpo carregado de outro, por exemplo, um corpo neutro, e ao ligarmos este à terra, a carga de mesmo sinal do corpo carregado escoará para a terra. A rigor, a terra é também carregada. No entanto, o que foi dito antes continua válido.

• ExEmplo 05

Uma esfera metálica isolada tem carga Q = 4,8 × 10-6_{C e o seu raio é}R = 20 cm.

a. Qual o potencial elétrico desta esfera (na superfície)? b. Depois de ligada à Terra, qual a carga residual na esfera?

Figura 6.19: Microscópio eletrônico de varredura de campo. / Fonte: Instituto de Química da USP – Central Analítica.

(17)

→ REsolução:

a. Potencial da esfera

O texto explorou os seguintes conceitos:

• A carga elétrica Q em excesso numa esfera condutora se distribui uniformemente ao longo da superfície.

• O campo elétrico dentro da esfera é nulo.

• O potencial elétrico dentro da esfera é constante; a sua intensidade é igual à que vigora na superfície.

• A intensidade do campo elétrico e do potencial elétrico para pontos fora da esfera é calculada como se toda a carga superficial estivesse concentrada no centro da esfera.

Assim, para uma esfera condutora de raio R, podemos resumir:

Intensidade da grandeza Para d < R Para d ≥ R

Campo elétrico E = 0 E = kQ/d2

Potencial elétrico V = Vd = R = kQ/R V = kQ/d

O potencial da esfera é calculado considerando d = R, ou seja,

b. Carga residual da esfera

A Terra, assim como o corpo humano, conduz cargas elétricas. Ligada a um condutor eletrizado, a Terra tem capacidade de absorver ou ceder elétrons livres em quantidades enormes.

Cedendo ou recebendo elétrons, o potencial elétrico da Terra permanece invariável. Por isso, e para fins práticos, o potencial elétrico da Terra é adotado como referência, ou seja, VTerra = 0.

A Figura 6.21 ilustra a esfera ligada à Terra. Neste caso, sendo Vesfera > VTerra → , os elétrons livres da Terra, por meio do fio condutor,

movimentar-se-ão até a esfera, preenchendo lacunas onde ocorre “falta de elétrons”. Com isso, a carga positiva da esfera reduz a um valor Q'_esfera quando o seu potencial elétrico se iguala ao da Terra, ou seja,

O raio de qualquer esfera que construirmos para fazer a experiência torna-se desprezível em relação ao raio da Terra; por outro lado, o excesso de carga da Terra, recebendo ou cedendo elétrons livres, é praticamente nulo. Logo, a carga final na esfera será Q'_esfera = 0. O que isto significa? Significa que os elétrons livres cedidos pela Terra atingem a esfera e ocupam todas as lacunas da falta de elétrons. Uma forma não estritamente correta é dizer que “as cargas positivas escoaram para a Terra”.

[

]

6

[

]

(

3

)

/ 9 109 Nm² / C² 4,8 10 C / 0,2 m 216 kV kV 10 volts V kQ R₌ _{= ×} _×_ _× - _ _{= +} ₌

 

Figura 6.21: Esfera positiva ligada à Terra. Elétrons livres escoam da Terra para a esfera para preencher lacunas (falta de elétrons) geradas por cargas positivas.

esfera Terra esfera

esfera Terra esfera Terra

esfera Terra. Terra

'

' ' kQ kQ R .

V V Q Q

R R ′ R

(18)

6.6 Capacidade de um Condutor

Apesar de um capacitor fazer uso de dois condutores, o conceito de capacidade se aplica não só ao conjunto, mas igualmente se aplica quando se trata de apenas um condutor.

É importante lembrar que a superfície de um

condutor é uma superfície equipotencial.

Todos os pontos têm o mesmo potencial. Isso ocorre porque,

se existisse uma diferença de potencial, haveria necessariamente movimento de cargas, o que contradiz a hipótese que fazemos de equilíbrio na distribuição de cargas (ou seja, no estudo da eletrostática). Assim, quando nos referimos ao potencial do condutor, esse termo é bastante preciso, uma vez que só existe um valor para o potencial.

Definimos a capacidade (C) de um condutor como a relação entre a carga armazenada na sua superfície (Q) e o seu potencial (V ), ou seja:

6.16

Como veremos a seguir, a capacidade de um condutor depende da sua geometria. Portanto, quanto maior o potencial, maior é a carga elétrica concentrada na sua superfície.

De acordo com a expressão 6.16, podemos concluir que a unidade da grandeza física capa-cidade, no sistema MKS, é o Coulomb/Volt (C/V). Damos a essa unidade o nome de Farad (F)

6.17

Figura 6.22: A capacidade é o quociente entre a carga sobre a superfície e o seu potencial constante. Q C V = 1 Farad F = C/V = Coulomb/Volt

(19)

6.7 Condensadores ou Capacitores

Os condensadores se constituem num dos componentes mais importantes dos circuitos eletrônicos. A principal função de um capacitor é a de armazenar elétrons. Por isso, uma das propriedades mais relevantes de um condensador é sua capacidade de armazenar cargas. Como as cargas produzem campos elétricos, e como campos elétricos equivalem à energia armazenada, um condensador armazena também energia.

Num esquema de um circuito eletrônico, o condensador é representado pela Figura 6.23. Trata-se de duas placas constituídas de algum material bom condutor (um metal), colocadas a certa distância, com um dielétrico (por exemplo, óleo, ar etc.) ou o vácuo preenchendo o espaço entre elas. Na sua configuração geométrica mais simples, as placas são paralelas (como na Figura 6.23). No entanto, podemos construir capacitores com placas esféricas, cilíndricas ou outras formas geométricas. Mediante esse arranjo, podemos carregar o capacitor de forma que tenhamos, numa das placas, cargas positivas e, na outra, cargas negativas em igual quantidade. Carregar um capacitor significa nele armazenar cargas.

Como as cargas são armazenadas na superfície das placas, é importante que o espaço entre elas seja ocupado por um material isolante (um material dielétrico), que impeça as cargas de fluírem entre as placas. Sem essa providência, teríamos uma contínua perda de cargas.

Um capacitor pode desempenhar vários papéis num circuito eletrônico. Ele pode ser útil sempre que houver necessidade de uma descarga rápida. Por exemplo, em lâmpadas de flash instantâneo como o de máquinas fotográficas. Pode ser útil também para estabilizar uma linha que transporta uma corrente contínua, fornecendo cargas na baixa e retirando-as na alta (eliminando os picos). Os capacitores têm amplo uso em circuitos de corrente alternada, especialmente na construção de osciladores eletrônicos.

6.7.1 Diferença de potencial entre condutores

Dados dois condutores cujos potenciais são V1 e V2, pode-se medir a diferença de potencial

entre eles através de um instrumento denominado Eletrômetro (veja Figura 6.24). Em

parti-Figura 6.23: Representação de um capacitor ou condensador.

(20)

Lembrando que o potencial é uma grandeza arbitrária, ele é definido a menos de uma cons-tante aditiva, podemos escolher o potencial da Terra como se fosse igual a zero. Com essa escolha do potencial de referência adotado, ao medir a diferença de potencial entre um condutor e a Terra, estaremos medindo o potencial do condutor.

• ExEmplo 06

Duas esferas metálicas A (raio RA = 30 cm) e B (raio RB = 10 cm),

isoladas uma da outra, contêm excesso de cargas de QA = 20 × 10 -6_C

e QB = 10 × 10 -6_C.

a. Calcule o déficit de elétrons livres em cada esfera.

b. Calcule a intensidade do campo elétrico na superfície de cada esfera. c. Qual o potencial elétrico de cada esfera?

→ REsolução:

a. Déficit de elétrons livres em cada esfera.

As esferas têm cargas positivas; isto significa “falta de elétrons” ou um déficit de elétrons. A carga do elétron, em valor absoluto, é e = 1,6 × 10-19_{C. Para perfazer a carga}Q = 20 × 10-6_{C , é preciso}

retirar N elétrons da esfera A; assim, N × (1,6 × 10-19_{C) = 20 × 10}-6_{C, o que resulta}_{N = 12,5 × 10}13

elétrons. Da mesma forma, da esfera B deve-se retirar 6,25 × 1013_{elétrons. Em resumo: A tem um}

déficit de 12,5 × 1013_{elétrons e a esfera B tem um déficit de 6,25 × 10}13_elétrons.

Figura 6.24: Efeito de um dielétrico entre as placas de um condensador de placas paralelas. O eletrômetro mede a diferença de potencial. (a) Com uma carga dada, a diferença de potencial é Vo. (b) Com a mesma carga, mas com um dielétrico entre as placas, a diferença de potencial

V é menor que Vo. / Fonte: modificado de Physics.

a b

Figura 6.25: Esferas condu-toras apoiadas em suportes isolantes.

(21)

b. Campo elétrico na superfície de cada esfera.

O campo elétrico gerado pelas cargas Q de uma esfera metálica de raio R em ponto P qualquer do espaço que a envolve é E=(r)=

[

kQ r e/ ²

]

.r ( r ≥ R e er na direção do vetor posição P-0 , onde

0 = centro da esfera). Logo,

c. Potencial elétrico de cada esfera.

O potencial elétrico de cada esfera é o potencial elétrico que vigora na superfície de cada uma delas. Então,

• 9 -6 3

A A/ A [9 10 (N.m²/C²) 20 10 (C)] / (0,3 m) 600 10 volts.

V = kQ R = × × × = ×

• VB = kQ RB/ B = ×[9 10 (N.m²/C²) 10 10 (C)] / (0,1 m) 900 10 volts.9 × × -6 = × 3 • ExEmplo 07

Considere as esferas do Exemplo 06. As esferas são encostadas entre si (ligadas por um fio condutor) e depois, separadas sem que elas sejam tocadas. Determinar, depois de separadas:

a. As cargas finais de cada esfera.

b. Os potenciais elétricos finais de cada esfera.

c. A quantidade de elétrons que migraram de uma esfera para a outra.

→ REsolução:

As superfícies das esferas são equipotenciais: VB = 900 × 103 volts e

VA = 600 × 10

3_{volts, conforme calculado no Exemplo 06.}

Importante: Impulsionados pela força elétrica, os elétrons livres deslocam-se

de uma região de potencial elétrico menos intenso para outra, onde o potencial elétrico seja mais intenso [se os prótons pudessem se movimentar livremente, eles seriam impulsionados em sentido contrário].

Em outras palavras, os elétrons são impulsionados pela força elétrica no sentido oposto ao da linha de força do campo elétrico. O esquema da Figura 6.26 ilustra o sentido do movimento dos elétrons quando as duas esferas são encostadas entre si.

Quando em contato, as esferas formam um corpo condutor único. No instante t = 0, temos duas regiões com potenciais elétricos diferentes; a diferença de potencial entre elas é DVAB = VB-VA = + 300 × 10

3_{volts. Os elétrons livres são}

empurrados da esfera A (600 kV) para B (900 kV). E o que acontece com

(

)(

)

(

)

( )

(

)(

)

(

)

9 6 6 6 ( ) 9 6 6 6 9 10 N.m² / C² 20 10 C / 0,3 m ² 2 10 J / C 2 10 V / m 9 10 N.m² / C² 10 10 C / 0,1 m ² 9 10 J / C 9 10 V / m A r R B r R E E -= -= = × × = × = × = × × = × = ×

Figura 6.26: Sob a ação do campo elétrico, os elétrons são impulsionados para pontos nos quais os potenciais elétricos sejam cada vez mais intensos.

(22)

• A esfera A, “perdendo” elétrons, fica mais positiva → o seu potencial elétrico aumenta. • A esfera B, “recebendo” elétrons, fica menos positiva → o seu potencial elétrico diminui. A pergunta é: em que instante essa migração deixa de acontecer? Resposta: até o instante em que V'A = V'B ( potenciais elétricos finais com mesmo valor).

Cargas finais de cada esfera

Partindo da igualdade V'_B = V'_A temos:

A / A/ /A A/ A / A/ A

B B B B B B B

V′ = V′ →kQ R′ =kQ R′ →kQ R′ =kQ R′ →Q R′ =Q R′

Substituindo-se RA = 30 cm e RB = 10 cm resulta uma relação entre as cargas finais de cada esfera:

(i)

Lei da Conservação da carga elétrica: Q_A + Q_B = Q'_A + Q'_B. Como Q_A = 20 × 10−6_{C e}

QB = 10 × 10-6 C →

(ii)

Das relações (I) e (II):

3 Q'B + Q'B = 4Q'B = 30 × 10−6 C → Q'B = 7,5 × 10−6 C e Q'A = 3.Q'B = 22,5 × 10−6 C.

Potenciais elétricos finais de cada esfera

• V'A = kQ'A/RA = 67,5 × 103 volts

• V'B = kQ'B/RB = 67,5 × 10 3_volts.

Quantos elétrons migraram da esfera A para B?

A esfera A recebeu DQ = (22,5 × 10-6_{- 20 × 10}-6_{) = 2,5 × 10}-6_{C de carga (e a esfera B cedeu}

DQ = (10 × 10-6_{- 7,5 × 10}-6_{) = 2,5 × 10}-6_{C de carga). A carga de cada elétron é, em módulo,}

e = 1,6 × 10-19 C. Portanto, para perfazer a carga de 2,5 × 10-6 C, serão necessários 15.625 × 1010_elétrons.

B/10 A / 30 B A/ 3 ou A 3 B

Q′ =Q′ →Q′ =Q′ Q′ = Q′

(23)

6.8 Condensadores

Como apontado na introdução, um condensador é constituído de dois condutores que não se tocam e são tais que existe um meio dielétrico separando-os. O meio dielétrico pode ser o próprio ar. Muitas vezes, o meio entre eles é o próprio vácuo, para o qual adotamos k = 1.

A relação entre a carga armazenada e a diferença de potencial entre as armaduras (as super-fícies dos condutores) define a capacidade do condensador:

6.18

O papel do dielétrico, além de evitar que as cargas venham a fluir, tem a função de aumentar a capacidade do capacitor. Como regra geral, a capacidade de um condutor pode ser escrita como 6.19

onde k é a constante dielétrica do meio e C₀ é a capa-cidade do condensador quando o meio entre as arma-duras é o vácuo.

A razão para o aumento da capacidade tem relação com a capacidade do meio de se polarizar. Quanto mais polarizado for um meio, menor será o campo elétrico. Isso ocorre porque a carga de polarização na superfície gera um campo elétrico na direção oposta ao campo produzido pelas cargas nas armaduras. Isso acarreta uma redução no módulo do vetor campo elétrico. Como o campo elétrico se reduz por fator k, o mesmo ocorrerá

com a diferença de potencial. Dessa forma, a capacidade aumentará na mesma proporção.

Q C

V

= D

Figura 6.27: Linhas do campo elétrico entre as armaduras de um condensador ou capacitor de placas metálicas paralelas. (a) No vácuo (ou ar). (b) Com dielétrico entre as armaduras. Observe a diferença de espaçamento das linhas de força.

a b

0 C kC=

(24)

6.8.1 Condensador plano

É o condensador de geometria mais simples. Trata-se de dois planos de área total A e

mantidos a uma distância d. A densidade de cargas σ é constante.

De acordo com o Exemplo 10, o campo elétrico produzido por apenas uma das placas tem direção de um segmento de reta que é perpendicular à placa e tem o valor dado por

6.20

onde ε é a permitividade do meio.

O sentido do vetor campo elétrico é no sentido da placa se a carga sobre a placa for negativa, e vale o oposto no caso de placas com cargas positivas.

No caso de duas placas paralelas com cargas opostas, e aplicando o princípio da super-posição, constatamos que:

6.21

A direção do campo é perpendicular às placas e o sentido é o das cargas positivas para as cargas negativas.

As linhas de força do campo elétrico, no caso do condensador ideal, são paralelas e igual-mente espaçadas. No caso real, nota-se que nas bordas das placas o campo não é uniforme.

O sentido do campo elétrico em qualquer ponto entre as placas é sempre o da linha de força que passa pelo ponto, ou seja, da placa positiva para a negativa.

2

E= σ ε

Q

= na região entre as placas A

0 fora da região comprendida pelas placas

E E σ = ε ε =

Figura 6.28: Perfil de um condensador de placas paralelas e as linhas de força do campo elétrico. Observe os efeitos nas extremidades do mesmo.

(25)

• ExEmplo 08

Considere o condensador de placas paralelas da Figura 6.28. No ponto A, o campo elétrico tem intensidade EA = 240 N/C

a. Qual o campo elétrico nos pontos B, C e D?

b. Qual a força (intensidade, direção e sentido) sobre um elétron no ponto B? c. Qual a força (intensidade, direção e sentido) sobre um elétron no ponto D?

→ REsolução:

a. O campo elétrico entre as placas é uniforme. Portanto, nos pontos B, C e D, os campos elétricos serão iguais ao do ponto A, ou seja, 240 N/C, vertical para baixo.

b. _{F q E e E}₌ _. ₌ _. _{= -}_{( 1,6 10 C}_× -19 _{) 240 N / C}_× _{= -}_{384 10 N}_× -19 _{. O sentido desta força é oposto} ao do campo elétrico. Portanto, é uma força que atrai o elétron para a placa positiva. A força é ínfima? Sim, mas a massa do elétron também o é (9 × 10-31 _{kg). Aplicando a 2ª Lei de Newton,}

concluímos que a aceleração do elétron é enorme!

c. _{F q E e E}₌ _. ₌ _. ₌_{(1,6 10 C}_× -19 _{) 240 N / C}_× ₌_{384 10 N}_× -19 _{. Em virtude de o próton e o elétron} terem cargas de mesmo módulo, as forças têm a mesma intensidade; mas o sentido da força sobre o próton (carga positiva) é o mesmo do campo, ou seja, o próton é atraído para a placa negativa.

É fácil verificar que o potencial entre as placas varia de acordo com a variável x, que deter-mina a distância ao longo de um eixo perpendicular às placas e com origem na placa de carga negativa (veja Figura 6.29), de acordo com a expressão:

6.22

Figura 6.29: Capacitor de placas paralelas. Eixo 0x no sentido oposto ao das linhas de

força (ou do campo elétrico).

Constata-se, pela expressão 6.22, que o potencial na placa negativa (quando x = 0) deve ser

nulo, uma vez que, por hipótese, ela está aterrada.

( )

V x = σx

(26)

Assim, na posição da outra placa, determinada pelo valor x = d, o potencial é igual à diferença

de potencial entre as placas e será dado por:

6.23

Assim, a capacidade de um capacitor plano, dada pela relação entre a diferença de potencial entre as placas dividida pela carga Q, será dada por:

6.24

A expressão 6.24 mostra que, quanto maior for a constante dielétrica do meio, tanto maior será a capacidade do capacitor. Além disso, quanto maior a área das placas, maior sua capacidade (o que, ademais, é bastante intuitivo). Não tão óbvio é o fato de que basta reduzir a distância entre as placas para aumentar a capacidade.

Figura 6.30: A introdução de um meio dielétrico entre as placas aumenta a capacidade do capacitor.

( ) d Qd V d A σ = = ε ε Q A C V d ε = = D

(27)

• ExEmplo 09

Mostrar que a relação entre a intensidade E do campo elétrico e o potencial V(x), em um ponto entre as placas de um condensador plano, é V(x) = E.x, onde x é a distância do ponto até a placa negativa.

→ REsolução:

A expressão 6.21 permite-nos escrever E = σ/ε0; substituindo em 6.22, temos o seguinte resultado:

V(x) = [σ/ε0].x = E.x. Esta expressão permite calcular o campo elétrico E, em um ponto situado

entre as placas de um condensador plano, cuja distância entre as placas seja d:

onde x = d a distância da placa positiva em relação à placa negativa. Exemplo numérico: se a diferença de potencial entre as placas de um condensador plano, separadas por uma distância d = 0,05 m, for V = 500 volts, o campo elétrico no seu interior será: E = 500/0,05 = 10.000 V/m = 10.000 N/C.

6.9 Energia Armazenada

Um capacitor armazena energia elétrica. Isso ocorre porque, ao carregarmos um capacitor, realizamos trabalho. Com isso queremos dizer que, de alguma forma, foi consumida energia para carregarmos o capacitor.

Pode-se determinar a energia armazenada num capacitor de duas formas equivalentes. Na primeira forma, integramos a densidade de energia na região entre as placas no capacitor, pois é nessa região que a energia está distribuída. Na outra forma, consideramos a energia associada a um elemento de carga infinitesimal e depois efetuamos a soma sobre toda a distribuição de cargas. Num capacitor, consideramos a placa negativa como se estivesse a um potencial zero (ligado à Terra). Assim, basta considerar as cargas positivas na outra placa. O incremento de energia (δE), ao aumentarmos a carga de um capacitor por uma quantidade infinitesimal de carga δQ,

é dado pela expressão:

6.25 E = V/d Q E QV Q C   δ = δ _{= δ  }  

(28)

Assim, a energia armazenada no capacitor é obtida através da soma das cargas desde o valor zero até o valor final (Q), isto é:

6.26

cujo resultado é:

6.27

A energia armazenada não está concentrada em alguma região em particular do espaço; ela está distribuída na região entre as placas do condensador. No caso do capacitor de placas paralelas, a energia é distribuída uniformemente no espaço com uma densidade dada por:

6.28

Assim, a energia total será determinada pela densidade uniforme dada acima multiplicada pelo volume. Obtemos o mesmo resultado anterior, isto é:

6.29

• ExEmplo 10

A Figura 6.31 ilustra um tipo de capacitor eletrolítico. Ele é construído por duas folhas de alumínio separadas por uma camada de óxido de alumínio embebido em um eletrólito líquido e enroladas em forma cilíndrica. Considere um capacitor de capacidade C = 250 µF (µF = 10-6_farad),

cujos terminais (+) e (-) sejam submetidos a uma diferença de potencial V = 300 volts. Determinar:

a. A carga Q acumulada no capacitor. b. A energia estocada no dispositivo.

→ REsolução:

a. A expressão define a unidade de capacidade que é o “farad”. 1 farad = 1 F = 1 coulomb/1 volt. A expressão 6.24 nos permite calcular a carga acumulada, ou seja, Q = C.V; usando unidades do MKSA ou SI, temos Q = (250 × 10-6_{coulombs/volt)(300 volts) = 75 × 10}-3_{coulomb, que}

equivale à carga de ≈ 47 × 1016_{prótons (ou de elétrons, tomada com sinal positivo).}

b. A expressão 6.29 permite-nos calcular a energia estocada: E = (1/2)CV2_{. Substituindo os valores:}

E = (1/2)(250 × 10-6₎₍₃₀₀₎2_{= 11,25 joules.} 0 Q_Q E dQ C ′ _′ =

∫

2 2 1 2 2 Q E CV C = = 2 2 1 1 2 2 E E  V_d δ = ε _{= ε }   2 2 2 1 1 1 2 2 2 V A E Ad V CV d d ε     = ε_{ } = _ _ =    

(29)

Referências

Physics. Disponível em: <http://www.physics.sjsu.edu/becker/physics51/capacitors.htm>. Acesso em 9/2012.