MAE 0222 - Probabilidade - 2020/01
Aline DuarteLista de Exercícios 3 - Variáveis Aleatórias
Exercício 1. * Humberto deseja aumentar a capacidade de memória RAM do seu com-putador. Para isso ele vai a uma loja para comprar três pentes de memória adicionais. Na loja há 12 pentes, e detre eles há quatro defeituosos. Suponha que os três pentes novos são escolhidos ao acaso e que X denote o número de pentes que funcionam perfeitamente. Determine
(a) a função de probabilidade de X;
(b) a função de distribuição acumulada de X; (c) a esperança e o desvio padrão de X;
Exercício 2. Um vendedor agendou duas visitas para vender enciclopédias. Sua pri-meira visita resultará em venda com probabilidade 0,3, e sua segunda visita resultará em venda com probabilidade de 0,6, sendo ambas as probabilidades de venda independentes. Qualquer venda realizada tem a mesma probabilidade de ser do modelo luxo, que custa R$1000,00, ou do modelo padrão, que custa R$ 500,00. Determine a função de probabili-dade de X, o valor total das vendas em reais.
Exercício 3. Determine a função de probabilidade de uma v.a. X cuja função distribuição acumulada é dada por
F (x) = 0 x < 0 1/2 0 ≤ x < 1 3/5 1 ≤ x < 2 4/5 2 ≤ x < 3 9/10 3 ≤ x < 3, 5 1 x ≤ 3, 5.
Exercício 4. Suponha que a função distribuição acumulada de X seja dada por
F (x) = 0 x < 0 x/4 0 ≤ x ≤ 1 1/2 +x−14 1 ≤ x ≤ 2 11 12 2 ≤ x ≤ 3 1 x ≤ 3 Determine (a) P (X = i), i = 1, 2, 3; (b) P (1/2 < X < 3/2).
Exercício 5. ** Uma v.a. X tem distribuição triangular no intervalo [0, 1] se sua f.d.p. for dada por
f (x) = 0, x < 0 cx, 0 ≤ x ≤ 1/2 c(1 − x), 1/2 ≤ x ≤ 1 0, x > 1
(a) Qual valor deve ter a constante c para que f seja f.d.p?
(b) Faça o gráfico de f (x).
(c) Determine P (X ≤ 1/2), P (X > 1/2) e P (1/4 ≤ X ≤ 3/4).
Exercício 6. Determine a esperança e a variância da v.a. cuja f.d.p. é
f (x) = (
sen(x), 0 ≤ x ≤ π/2 0, caso contrário.
Exercício 7. Se X é tal que
P (X = 1) = p = 1 − P (X = −1),
determine c 6= 1 tal que E[cX] = 1.
Exercício 8. Seja X uma variável aleatória que assume valores em 1, 0 e - 1, com P (X = 0) = 1/5. Mostre que −1/2 ≤ EX ≤ 1/2.
Exercício 9. Determine V ar(X) se
P (X = a) = p = 1 − P (X = b).
Exercício 10. Suponha que X assuma valores 0, 1, e 2. Se para alguma constante c, P (X = i) = cP (X = i − I), i = 1, 2, determine E[X].
Exercício 11. Considere X a quantidade em dinheiro que podemos receber de prêmio em um certo jogo de azar e suponha que E[X] = R$3, 00. Se para participar do jogo temos de pagar a quantia de R$ 4,00, qual será o ganho esperado?
Exercício 12. Se E[X] = 1 e V ar(X) = 5, determine
(a) E[2 + X2] (b) V ar(4 + 3X)
Exercício 13. Cerca de 80% das chamadas que um certo técnico em computação recebe ele constata que o problema decorreu da presença de um vírus. Suponha que, em um determinado dia, esse técnico visita seis clientes, e admita também que os seis clientes não se comunicam por meio de computador (o que garante a independência da existência de vírus em cada computador). Calcule a probabilidade de que:
(a) Pelo menos quatro entre os seis computadores estejam com vírus.
(b) No máximo dois dentre eles estejam com vírus.
(c) Todos os seis estejam com vírus
Exercício 14. * Um homem diz ter percepção extrassensorial. Para testá-lo, uma moeda honesta é jogada 10 vezes e pede-se ao homem que preveja o resultado. Ele acerta 7 vezes em 10. Qual é a probabilidade de que ele consiga o mesmo índice de acertos se estiver apenas chutando?
Exercício 15. Suponha que sejam necessários pelo menos 9 votos de um júri formado por 12 jurados para que um réu seja condenado. Suponha também que a probabilidade de que um jurado vote na inocência de uma pessoa culpada seja de 0,2, enquanto a probabilidade de que o jurado vote na culpa de uma pessoa inocente seja de 0,l. Se cada jurado age independentemente e se 65% dos réus são culpados, determine a probabilidade de que o júri chegue a conclusão correta. Que percentual de réus é condenado?
Exercício 16. O engenheiro responsável pelo Controle da Qualidade de uma linha de produção examina as peças fabricadas. Se achar uma defeituosa, ele para a produção para detectar e corrigir as causas do defeito. Se após examinar 10 peças verificar que nenhuma é defeituosa, ele mantém a linha funcionando. Se a probabilidade de se achar uma peça defeituosa em cada inspeção é 0,05, qual é a probabilidade de:
(a) a produção ser parada antes que a quinta peça seja examinada?
(b) a produção não precisar ser parada?
Exercício 17. Certa agência de digitação emprega dois digitadores. O número médio de erros pro texto é de 3 quando este é digitado pelo primeiro digitador e 4,2 quando digitado pelo segundo. Se o texto tem a mesma probabilidade de ser digitado por qualquer um dos digitadores, obtenha uma aproximação para a probabilidade de que ele não tenha erros.
Exercício 18. Suponha que o número de acidentes que ocorrem em uma autoestrada em cada dia seja uma variável aleatória de Poisson com parâmetro λ = 3. Determine a probabilidade de que 3 ou mais acidentes ocorram hoje.
Exercício 19. ** Se você compra um bilhete de loteria que concorre em 50 sorteios, em cada um dos quais sua chance de ganhar é de λ = 1/100. Qual é a probabilidade (aproximada) de que você ganhe um prêmio
(a) pelo menos uma vez? (b) exatamente uma vez? (c) pelo menos duas vezes?
Exercício 20. A probabilidade de sair com um full house em uma mão de pôquer é de aproximadamente 0,0014. Determine uma aproximação para a probabilidade de que, em 1000 mãos de pôquer, você receba pelo menos 2 full houses.
Exercício 21. A taxa de homicídios em certo estado é de 1 homicídio por 100.000 habi-tantes a cada mês.
(a) Determine a probabilidade de que, em uma cidade de 400.000 habitantes deste estado, ocorram 8 homicídios ou mais em um dado mês.
(b) Qual é a probabilidade de que em pelo menos 2 meses durante o ano ocorram 8 homi-cídios ou mais?
Que hipóteses você está assumindo?
Exercício 22. Uma moeda honesta é jogada continuamente até que dê cara pela décima vez. Seja X o número de coroas que aparecem. Calcule a função de probabilidade de X.
Exercício 23. * Suponha que um conjunto de 100 itens contenha 6 itens defeituosos e 94 que funcionem normalmente. Se X é o número de itens defeituosos em uma amostra de 10 itens escolhidos aleatoriamente do conjunto, determine P (X = 0) e P (X > 2).
Exercício 24. Se X é uma variável aleatória binomial com valor esperado 6 e variância 2,4, determine P (X = 5).
Exercício 25. A probabilidade de ocorrência de turbulência em um determinado percurso a ser feito por uma aeronave é de 0,4 em um circuito diário. Seja X o número de vôos com turbulência em uma semana. Qual a probabilidade de que:
(a) Não haja turbulência em nenhum dos sete voos? (b) Haja turbulência em pelo menos três deles? (c) X esteja entre EX − DP (X) e EX + DP (X)?
Exercício 26. Suponha que o processo de chegada de mensagens à caixa de e-mail de uma pessoa segue uma lei de probabilidade de Poisson com taxa média de 30 mensagens por semana. Para não gastar um tempo excessivo na leitura de e-mails, essa pessoa estabeleceu para si a regra de consultar a sua caixa apenas uma vez por dia e só ler o seu conteúdo se houver no máximo três mensagens à sua espera. Se essa regra for seguida durante cinco dias, calcule as probabilidades de que:
(a) em cada um dos cinco dias a pessoa não ler os seus e-mails; (b) em pelo menos um dos cinco dias a pessoa não ler os seus e-mails.
Exercício 27. Se X ∼ N (10, 4), calcular usando a tabela da Normal Padrão: (a) P (8 < X < 10)
(b) P (9 ≤ X ≤ 12) (c) P (X > 10)
(d) P (X < 8 ou X > 11)
Exercício 28. Seja X uma variável aleatória normal com média 12 e variância 4. Deter-mine o valor de c tal que P (X > c) = 0, 10.
Exercício 29. De um lote de produtos manufaturados, extraímos 100 itens ao acaso; se 10% dos itens do lote são defeituosos, calcule a probabilidade de 12 itens serem defeituosos. Use também a aproximação normal.
Exercício 30. ** Suponha X ∼ U nif (−1, 1). Calcule a densidade de Y = X2 e de W = |X|.
Exercício 31. A função densidade de X é dada por
f (x) = (
a + bx2 0 ≤ x ≤ 1 0 caso contrário.
Se EX = 3/5, determine a e b.
Exercício 32. ** Se X é uma variável aleatória exponencial com parâmetro λ, e c > 0, mostre que cX é exponencial com parâmetro λ/c.
Exercício 33. * Suponha que em um supermercado o tempo T, em minutos, necessário para que um cliente seja atendido pelo caixa, se comporta como uma variável aleatória cuja função de densidade é dada pela expressão
f (x) = ( 0 t < 0 t 4e −t/2 t ≤ 0/
(a) Mostre que f é uma função densidade
(b) Determine a distribuição acumulada correspondente.
(c) Calcule a média e o desvio padrão do tempo de atendimento no caixa desse supermer-cado.
Exercício 34. * O diâmetro das porcas fabricadas por uma companhia é uma v.a. X distribuída uniformemente entre 9 e 13mm. Os limites de tolerância para esse tipo de porca são de 10 e 11mm.
(a) Qual a porcentagem de porcas fabricadas que estão dentro dos limites de tolerância? (b) Qual a porcentagem de porcas fabricadas que ultrapassam o limite superior de
(c) Qual a porcentagem de porcas fabricadas abaixo do limite inferior de tolerância?
(d) Determine a esperança e o desvio padrão do diâmetro das porcas.
