5, então é correto afirmar que

(1)

As 21 questões a seguir formam um simulado com todas as matérias que caem em matemática na FUVEST. Para avaliar o seu conhecimento e condicionamento, simule o tempo de prova de 3 minutos por questão. Sugerimos que estas 21 questões sejam completadas em até 65 minutos.

1. O polinômio P(x)x3mx2nx 12 é tal que P(x) admite as raízes 0 x , ₁ x e ₂ x . ₃ Se x₁x₂   e 3 x₂x₃ 5, então é correto afirmar que

a) P(m) 0 b) m n  13 c) m n 20 d) n 2m  7

2. Um produtor de cinema faz um documentário sobre os mistérios da natureza, composto por 60 curtas metragens de 8 minutos cada. Se ele resolvesse utilizar curtas metragens com duração de 3 minutos, o número de curtas metragens que comporiam o documentário seria de: a) 23 b) 60 c) 90 d) 160 e) 260

3. Em uma apresentação circense, forma-se uma pirâmide humana com uma pessoa no topo sustentada por duas outras que são sustentadas por mais três e assim sucessivamente. Quantas pessoas são necessárias para formar uma pirâmide com oito filas de pessoas, da base ao topo? a) 8. b) 16. c) 28. d) 36. e) 45.

4. O gráfico abaixo exibe o lucro líquido (em milhares de reais) de três pequenas empresas A, B e C, nos anos de 2013 e 2014.

(2)

Com relação ao lucro líquido, podemos afirmar que a) A teve um crescimento maior do que C.

b) C teve um crescimento maior do que B. c) B teve um crescimento igual a A. d) C teve um crescimento menor do que B.

5. A matriz A (2 3)_ij  tem elementos definidos pela expressão a_ij i – j .3 2 Portanto, a matriz A é a) 0 3 8 . 7 4 1      _    b) 0 7 26 . 3 4 23   _    c) 0 3 7 4 . 26 23            d) 0 7 3 4 . 8 1   _    _ _    e) 0 1 2 . 1 0 1      _   

6. De forma geral, os pneus radiais trazem em sua lateral uma marcação do tipo abc deRfg, como 185 65R15. Essa marcação identifica as medidas do pneu da seguinte forma:

(3)

- de é igual ao produto de 100 pela razão entre a medida da altura (em milímetro) e a medida da largura do pneu (em milímetro);

- R significa radial;

- fg é a medida do diâmetro interno do pneu, em polegada.

A figura ilustra as variáveis relacionadas com esses dados.

O proprietário de um veículo precisa trocar os pneus de seu carro e, ao chegar a uma loja, é informado por um vendedor que há somente pneus com os seguintes códigos: 175 65R15, 175 75R15, 175 80R15, 185 60R15 e 205 55R15. Analisando, juntamente com o vendedor, as opções de pneus disponíveis, concluem que o pneu mais adequado para seu veículo é o que tem a menor altura.

Desta forma, o proprietário do veículo deverá comprar o pneu com a marcação a) 205 55R15.

b) 175 65R15. c) 175 75R15. d) 175 80R15. e) 185 60R15.

7. As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x 1, 3x e x estão em 3 PA, nessa ordem.

O perímetro do triângulo mede a) 4

b) 9 c) 14 d) 19

(4)

8. Uma criança ganhou seis picolés de três sabores diferentes: baunilha, morango e chocolate, representados, respectivamente, pelas letras B, M e C. De segunda a sábado, a criança consome um único picolé por dia, formando uma sequência de consumo dos sabores. Observe estas sequências, que correspondem a diferentes modos de consumo:

(B, B, M, C, M, C) ou (B, M, M, C, B, C) ou (C, M, M, B, B, C)

O número total de modos distintos de consumir os picolés equivale a: a) 6

b) 90 c) 180 d) 720

9. A área de um quadrado inscrito na circunferência de equação x22yy2  é 0 a) 1. 2 b) 1. c) 2. d) 2. e) 2 2.

10. Se Y{y tal que6y 1 5y 10}, então: a) Y ,1 6    _ _   b) Y  { 1} c) Y d) Y   e) 1, 6  _    

11. O vídeo Kony 2012 tornou-se o maior sucesso da história virtual, independente da

polêmica causada por ele. Em seis dias, atingiu a espantosa soma de 100 milhões de espectadores, aproximadamente. No primeiro dia na Internet, o vídeo foi visto por aproximadamente 100.000 visitantes.

(Adaptado de: PETRY, A. O Mocinho vai prender o bandido... e 100 milhões de jovens querem ver. Veja, ano 45, n.12, 2261.ed., 21 mar. 2012.)

(5)

Seja A = (a1, a2, a3, a4, a5, a6) a sequência que fornece a quantidade de acessos diários ao

vídeo na Internet, obedecendo a regra n n

a k,

a – 1 onde k é uma constante real e n2,3,4,5,6.

Sabendo que a fórmula da soma de uma PG é

n 1 n a (k – 1) S , k – 1  onde k1, considere as afirmativas a seguir.

I. A sequência A é uma PG cuja razão está no intervalo 2  e k 3 S₆ 10 .8 II. A sequência A é uma PG cuja razão está no intervalo 2  e k 3 a₆10 .5 III. A sequência A é uma PG cuja razão está no intervalo 3  e k 4 S₆ 10 .8 IV. A sequência A é uma PG tal que S₆ a 1 k₁



 k2k3k4k5



108 e a₁10 .5

Assinale a alternativa correta.

a) Somente as afirmativas I e II são corretas. b) Somente as afirmativas I e IV são corretas. c) Somente as afirmativas III e IV são corretas. d) Somente as afirmativas I, II e III são corretas. e) Somente as afirmativas II, III e IV são corretas.

12. Uma comissão é formada por 4 participantes de cada um dos municípios, Abaetetuba, Igarapé-Miri, Cametá, Barcarena e Moju, totalizando 20 pessoas. Escolhendo-se

aleatoriamente 5 pessoas deste grupo, a probabilidade de que exista um representante de cada município é: a) 64/969 b) 8/14535 c) 1/2075 d) 5/15504 e) 1/15504

13. Um produtor de soja deseja transportar a produção da sua propriedade até um armazém distante 2.225 km. Sabe-se que 2.000 km devem ser percorridos por via marítima, 200 km por via férrea, e 25 km por via rodoviária. Ao fazer um levantamento dos custos, o produtor constatou que, utilizando transporte ferroviário, o custo por quilômetro percorrido é:

• 100 reais mais caro do que utilizando transporte marítimo. • A metade do custo utilizando transporte rodoviário.

(6)

Com base nessas informações e sabendo que o custo total para o produtor transportar toda sua produção será de 700.000 reais, é correto afirmar que o custo, em reais, por quilômetro percorrido, no transporte marítimo é de:

a) 200 b) 250 c) 300 d) 350 e) 400

14. Para dificultar o trabalho de falsificadores, foi lançada uma nova família de cédulas do real. Com tamanho variável – quanto maior o valor, maior a nota – o dinheiro novo terá vários elementos de segurança. A estreia será entre abril e maio, quando começam a circular as notas de R$ 50,00 e R$ 100,00. As cédulas atuais têm 14 cm de comprimento e 6,5 cm de largura. A maior cédula será a de R$ 100,00, com 1,6 cm a mais no comprimento e 0,5 cm maior na largura.

Disponível em: http://br.noticias.yahoo.com. Acesso em: 20 abr. 2010 (adaptado).

Quais serão as dimensões da nova nota de R$ 100,00? a) 15,6 cm de comprimento e 6 cm de largura.

b) 15,6 cm de comprimento e 6,5 cm de largura. c) 15,6 cm de comprimento e 7 cm de largura. d) 15,9 cm de comprimento e 6,5 cm de largura. e) 15,9 cm de comprimento e 7 cm de largura.

15. A equação em x, arctg (ex + 2) – arccotg

_,

_x

_R

_\

_{0

_}

4 π

1 e

e

2x x



















a) admite infinitas soluções, todas positivas. b) admite uma única solução, e esta é positiva.

c) admite três soluções que se encontram no intervalo 5 3, . 2 2 _ 

 

  d) admite apenas soluções negativas.

e) não admite solução.

16. Considere o losango cujos lados medem 6 cm e um dos ângulos internos mede 60°_.

A rotação desse losango em torno de um de seus lados gera um sólido cujo volume, em centímetros cúbicos, é

a) 146 ( 3) π b) 162 π

(7)

c) 162 ( 3 ) ð d) 178 ð e) 178 ( 3) π

17. Admita que o centro do plano complexo Argand-Gauss coincida com o centro de um relógio de ponteiros, como indica a figura:

Se o ponteiro dos minutos tem 2 unidades de comprimento, às 11h55 sua ponta estará sobre o número complexo a) -1 + (

3

)i b) 1 + (

3

)i c) 1 - (

3

)i d) (

3

) - i e) (

3

) + i

18. Em uma vídeo locadora, o acervo de filmes foi dividido, quanto ao preço, em três

categorias: Série Ouro (SO), Série Prata (SP) e Série Bronze (SB). Marcelo estava fazendo sua ficha de inscrição, quando viu Paulo alugar dois filmes SO, dois filmes SP e um filme SB e pagar R$ 13,50 pela locação dos filmes. Viu também Marcos alugar quatro filmes SO, dois filmes SP e um filme SB e pagar R$ 20,50 pela locação. Marcelo alugou três filmes SO, um filme SP e dois filmes SB e pagou R$ 16,00 pela locação dos filmes. Então, nesta locadora, o preço da locação de três filmes, um de cada categoria, é igual a:

a) R$ 7,50. b) R$ 8,00. c) R$ 8,50. d) R$ 9,00. e) R$ 10,00.

(8)

19. Pelos programas de controle de tuberculose, sabe-se que o risco de infecção R depende do tempo t, em anos, do seguinte modo R=R0 e-yt em que R0 é o risco de infecção no início da

contagem do tempo t e y é o coeficiente de declínio.

O risco de infecção atual em Salvador foi estimado em 2%. Suponha que, com a implantação de um programa nesta cidade, fosse obtida uma redução no risco de 10% ao ano, isto é, y=10%.

Use a tabela abaixo para os cálculos necessários:

O tempo, em anos, para que o risco de infecção se torne igual a 0,2%, é de: a) 21

b) 22 c) 23 d) 24

20. Se log2 5=x e y=22x+1, então y é igual a

a) 50 b) 25 c) 15 d) 10 e) 5

21. (Escola Técnica Federal - RJ)

A diferença entre a média aritmética e a média proporcional de 4 e 36 é: a) 6

b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

(9)

Gabarito:

Resposta da questão 1: [D] Calculando: 3 2 P(x)x mx nx 12 Por Girard: 1 2 3 1 2 3 2 3 2 1 2 1 3 2 x x x 12 x x 3 x 4 x x 5 x 1 x x 3 x 3 P(x) (x 1) (x 3) (x 4) x 2x 11x 12 n 2m 7 11 2 ( 2) 7                                        Resposta da questão 2: [D]

Primeiramente deve-se saber o tempo total do documentário de 60 curtas metragens de 8 minutos cada:

60 8 480 minutos.

Dividindo os 480 minutos por 3 minutos, temos: 480

160

3  curtas metragens.

Resposta da questão 3: [D]

Utilizando os conceitos de progressão aritmética, pode-se escrever:

1 2 8 a 1 a 2 r 1 a 1 (8 1) 1 1 7 8 (1 8) 8 S 36 pessoas 2              

(10)

Resposta da questão 4: [B]

É fácil ver que A teve um decrescimento, enquanto que B e C tiveram um crescimento. Além disso, o crescimento de B foi de 100 milhares de reais e o crescimento de C foi de 200 milhares de reais. Portanto, C teve um crescimento maior do que o de B.

Resposta da questão 5: [A]



 





 



3 2 ij 3 2 3 2 3 2 11 12 13 3 2 3 2 3 2 21 22 23 a i – j 1 1 1 2 1 3 a a a a a a ₂ ₁ ₂ ₂ ₂ 0 3 8 7 4 1 3   _ _ _    _ _        _{ }  _ _   __    __ Resposta da questão 6: [E]

Tem-se que a altura de cada pneu é dada por abc de. 100



Assim, é fácil ver que o pneu de menor

altura é o que possui menor produto abc de. Portanto, como 175 65 11.375,

185 60 11.100 e 205 55 11275,  segue que o proprietário do veículo deverá comprar o pneu com a marcação 185 60R15.

Se os valores x 1, 3x e x estão em PA, e considerando 3 r como sendo a razão desta PA, então pode-se escrever:

3x (x 1) r (x 3) 3x r 3x (x 1) (x 3) 3x 4x 4 x 1              

O perímetro do triângulo será a soma de todos os seus lados, ou, neste caso de todos os termos da PA. Assim:

1 n (a a ) n (x 1 x 3) 3 6 3 S S 9 2 2 2            

(11)

Sabendo que a criança ganhou dois picolés de cada sabor, tem-se que o resultado pedido é dado por (2, 2, 2) 6 6! P 90. 2! 2! 2!     Resposta da questão 9: [D]

Determinando o centro C e o raio R da circunferência, temos:





2 2 2 2 2 2 x y 2y 1 0 1 x y x 2yy  0        1 1 Logo, C(0,1) e o raio R = 1.

Todo quadrado é um losango, portanto sua área pode ser calculada como sendo a medida do produto de suas diagonais. A diagonal d desse quadrado é o diâmetro da circunferência, portanto d = 2 e sua área será dada por:

2 2 A 2 2    Resposta da questão 10: [C] Resposta da questão 11: [C]

(12)

Dado que os termos da sequência A satisfazem a regra n n 1

a k,

a _  segue que A é uma progressão geométrica.

Sabendo que o vídeo foi visto por aproximadamente 100 milhões de espectadores, segue que

8 6

S 10 . Logo, como a₁10 ,5 vem

5 6 8 10 (k 1) 5 4 3 2 10 k k k k k 1 1000. k 1           

Desse modo, se k]2, 3[, então k5k4k3k2  k 1 1000 para k3. Contudo,

5 4 3 2

3 3 3 3   3 1 3641000

e, portanto, k]2, 3[.

Analogamente, se k]3, 4[, então k5k4k3k2  k 1 1000 para k4. De fato,

5 4 3 2

4 4 4 4   4 1 13651000.

Por conseguinte, k]3, 4[.

Reescrevendo os termos de A em função de a e k, obtemos ₁

2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 A(a , a k, a k , a k , a k , a k ).     Daí, 2 3 4 5 8 6 1 S a (1 k k   k k k ) 10 . Resposta da questão 12: [A]

Existem 4 maneiras de escolher um representante de cada um dos municípios. Logo, existem 5

4 4 4 4 4    4 modos de formar um grupo de 5 pessoas com um representante de cada município.

Por outro lado, existem 20 5

 

 

(13)

Portanto, a probabilidade pedida é dada por 5 5 5 4 4 20! 20 5! 15! 5 4 20 19 18 17 16 5 3 4 2 64 . 969                    Resposta da questão 13: [C] Custo por km: Marítimo: x – 100 Férreo: x Rodoviário: 2x 2000.(x – 100) + 200x + 25.2x = 700 000 2250x – 200 000 = 700 000 2250x = 900 000 x = 400

O valor por quilômetro do transporte marítimo será 400 – 100 = 300 reais.

Resposta da questão 14: [C]

De acordo com o texto, as dimensões da nova nota de R$ 100,00 serão 14 1,6 15,6cm e

 

6,5 0,5 7cm.

arctg (ex + 2) – arccotg

,

x

R

\

{0

}

4 π

1 e

e

2x x



















 

(14)

x

t



















e

1 e

tgβ

1 e

e

cotgβ

2 e

gα

x x 2x 2x x x tg( - ) = 1 1 ) ).( 2 ( 1 ( 2 ) _                 x x x x x x e e e e e e

0

3 .

2 .

2

2 3

_

_

_



x x x

e

considerando ex_{= y, temos:} y3_{+ 2y}2_{– 2y – 3 = 0}

observe que y = -1 [e raiz da equação.

-1 1 2 -2 -3 1 1 -3 0 (y+1).(y2 + y + -3) = 0  y= -1 ou 2 13 -1 -y 2 13 1     ou y Como ex_{> 0 temos e}x₌ 2 13 1 

, portanto encontraremos apenas um valor para x e positiva

Resposta da questão 16: [B] Resposta da questão 17: [A] Resposta da questão 18: [A] Resposta da questão 19: [C] Resposta da questão 20: [A]

(15)