Teorema de Transporte de Reynolds e Leis Integrais
Primeira Lei da Termodinâmica
PME3230 – 8ª aula
1ª lei da Termodinâmica para sistemas:
Variação da energia total de um sistema = entrada de calor +
entrada de trabalho (trabalho sofrido)
∆𝐸 = 𝑄 + 𝑊
A conservação de energia pode ser escrita em termos de variação com o tempo, para sistemas:
∆𝐸 = 𝑄 + 𝑊
𝑑𝐸
𝑑𝑡 = 𝑄 + 𝑊 (1)
Taxa de variação no tempo da energia total de um sistema = taxa líquida de transferência de calor para o sistema + potência mecânica transferida ao sistema
Teorema de Transporte de Reynolds (TTR) para a equação
da energia para uma abordagem de Euler, com volume de
controle VC. 𝑑𝑁 𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝜕 𝜕𝑡 η𝜌𝑑 ⩝ ⩝𝐶 + η𝜌𝑉. 𝑛𝑑𝑆 (2) 𝑆𝐶
Não é necessário memorizar a derivação, apenas entenda qual a origem dos termos.
A equações integrais são bem complicadas, mas ao final teremos formas algébricas mais simples, que é o que
Seja N= E energia total do sistema η = 𝑁 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 = 𝐸 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 = 𝑒 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐸 = 𝑒𝑑𝑚 𝑚𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑒𝜌𝑑 ⩝ ⩝𝑠𝑖𝑠𝑡 o TTR fica então: 𝑑𝐸 𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝜕 𝜕𝑡 𝑒𝜌𝑑 ⩝ ⩝𝐶 + 𝑒𝜌𝑣 . 𝑛𝑑𝑆 (3) 𝑆𝐶
Como não se mede energia diretamente, esta forma
de apresentação não é útil. Deve-se substituir os termos de energia por grandezas mais facilmente aplicáveis ou
mensuráveis (u (energia interna do sistema), 𝑉2
O termo de energia é constituído pelas formas disponíveis de energia no sistema: 𝑒 = 𝑢 + 𝑣2 2 + 𝑔𝑧 𝑢 = 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑣2 = 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 2 𝑔𝑧 = 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 Voltando às equações (1) e (3): 𝑑𝐸 𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝜕 𝜕𝑡 (𝑢 + 𝑣2 2 + 𝑔𝑧)𝜌𝑑 ⩝ ⩝𝐶 + 𝑢 + 𝑣2 2 + 𝑔𝑧 𝜌𝑣 . 𝑛𝑑𝑆 = 𝑄 + 𝑊 𝑆𝐶
O termo de potência 𝑊 (potência das forças externas) realizado sobre o sistema (nos dois sentidos: pode ser potência retirada também) pode ser descrito como:
𝑊 = 𝑊 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 + 𝑊 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 + 𝑊 𝜏
Onde
𝑊 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 - potência exercida por fluxo adjacente ou pistão
𝑊 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 é a potência transferida por eixo de máquina
𝑊 𝜏 é a potência consumida pelas forças externas cisalhantes Na expressão acima foram considerados desprezíveis os trabalhos
𝑾 𝒇𝒍𝒖𝒙𝒐 ou 𝑾 𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔ã𝒐
Trabalho de Fluxo é o trabalho realizado por forças de pressão. Não importa se o trabalho é feito por um pistão ou por fluido adjacente.
Como ∆𝑊 = 𝐹 . ∆𝑙 , então 𝑊 = 𝐹 . 𝑣
mas 𝐹 = 𝑝𝑑𝐴 𝐴 𝑒, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑊 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 = − 𝑝𝑣 . 𝑛𝑑𝑆 (4)𝑆𝐶
A quantidade 𝑣 . 𝑛 é positiva para a expansão e negativa para a compressão. O sinal negativo na expressão (4) garante que o trabalho realizado pelas forças de pressão é positivo quando realizado no sistema e negativo quando realizado pelo sistema, de acordo com a convenção de sinais adotada. O sinal é negativo por convenção, (antigo: máquina a vapor transfere energia para a máquina e tira-se trabalho)
Explicação adicional para
Este sinal é negativo porque vem da dedução do fluxo de energia para um VC
VC
Não há fluxo de energia de
pressão pela parede do tubo, só pelas seções de troca de massa (entrada e saída)
As tensões normais no fluido (interno ao VC) são iguais à pressão, só que com sinal contrário: 𝜍 = −𝑃
A potência associada às tensões normais em uma partícula fluida
𝛿𝑊 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 pode ser avaliada como o produto escalar da força normal (𝛿𝐹 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙)associada a esta tensão e à velocidade da partícula:
𝛿𝑊 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 = 𝛿𝐹 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙.𝑣
Se a força devida a esta tensão normal for expressa como o produto da pressão local, pois 𝜍 = −𝑃, pela área da partícula fluida 𝛿𝐴𝑛, então
𝛿𝑊 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 = 𝜍𝑛𝛿𝐴. 𝑣 = −𝑝𝑛𝛿𝐴. 𝑣 = −𝑝𝑣. 𝑛𝛿𝐴 𝑊 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 ou 𝑊 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜
𝑾 𝝉 - potência das forças externas cisalhantes
𝑊 𝜏 ≅ 0
pois as linhas de corrente são perpendiculares à seção transversal 𝑊 = 𝐹 . 𝑣 𝑒 𝐹 = 𝝉. 𝐴 Daí: 𝑾 𝝉 ≅ 𝟎 Vetores velocidade perpendiculares à seção transversal 𝑣 = 𝑜 𝑛𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 𝜍 − 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝜏 - tensão de cisalhamento Tensão exercida, a ser decomposta em 𝜍 e 𝜏
Finalmente, o trabalho de eixo 𝑾 𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 pode ser considerado como o trabalho de eixo girante,
𝑊 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 = 𝜔𝑇 = 2𝜋𝑛𝑇 , com
𝜔 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑚 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑇 = 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜
𝑛 = 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢çõ𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 (𝑟𝑜𝑡𝑎çõ𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)
Uma bomba realiza trabalho no fluido, aumentando
portanto sua energia. Pela definição adotada na Mec Flu, isto é trabalho positivo.
Trabalho realizado pelo escoamento em turbinas é considerado trabalho negativo.
A mesma convenção vale para o calor 𝑄 : 𝑄 é positivo quando transferido para o sistema e negativo quando transferido para fora do sistema
Voltando à equação da energia, com o termo de potência externa dividido em dois 𝑊 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑒 𝑊 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 :
𝑊 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑠𝑖𝑠𝑡 + 𝑄 𝑠𝑖𝑠𝑡 − 𝑝𝑣 . 𝑛𝑑𝑆 𝑆𝐶 = 𝜕 𝜕𝑡 (𝑢 + 𝑣2 2 + 𝑔𝑧)𝜌𝑑 ⩝ ⩝𝐶 + 𝑢 + 𝑣 2 2 + 𝑔𝑧 𝜌𝑣 . 𝑛𝑑𝑆 𝑆𝐶
onde 𝑄 pode assumir a forma de radiação, condução ou convecção (qualquer forma de transferência de calor).
Observar que em um instante 𝒕𝟎 o sistema se confunde com o ⩝C e o trabalho de eixo e a troca de calor estão relacionadas ao ⩝C. Da expressão acima resulta a
equação geral da energia aplicada a um VC:
𝑊 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 + 𝑄 = 𝜕 𝜕𝑡 (𝑢 + 𝑣2 2 + 𝑔𝑧)𝜌𝑑𝑽 𝑽𝐶 + 𝑢 + 𝑣2 2 + 𝑔𝑧 + 𝑝 𝜌 𝜌𝑉. 𝑛𝑑𝑆 𝑆𝐶 Às vezes 𝑢 + 𝑝
Pode-se ter a equação geral da energia aplicada a dutos: s e x y z •
VC com 1 entrada e 1saída,
• Regime permanente • Fluido incompressível 𝑊 𝑚 + 𝑄 = 𝑢 + 𝑣 2 2 + 𝑔𝑧 + 𝑝 𝜌 𝜌𝑉. 𝑛𝑑𝑆 𝑆𝐶 𝑊 𝑚 + 𝑄 = − 𝑢𝑒 + 𝑣𝑒 2 2 + 𝑔𝑧𝑒 + 𝑝𝑒 𝜌 𝜌𝑣𝑒𝑑𝐴𝑒 + 𝐴𝑒 𝑢𝑠 + 𝑣𝑠 2 2 + 𝑔𝑧𝑠 + 𝑝𝑠 𝜌 𝜌𝑣𝑠𝑑𝐴𝑠 𝐴𝑠
Observar que para realizar a integração, é necessário conhecer o perfil de velocidades (as outras grandezas são consideradas uniformes).
Com estas hipóteses, 𝜕𝑡𝜕 = 0 e a equação se transforma em:
Como os perfis de velocidade nunca são uniformes (se 𝑣 fosse a velocidade média, a integral estaria resolvida)
deve-se introduzir o coeficiente de energia cinética 𝜶, que possibilita correções para os perfis reais de velocidade:
Admitem-se propriedades uniformes nas seções de entrada e saída (observar que 𝑣 é a velocidade em cada ponto da seção e 𝑉 é a velocidade média, como se fosse um perfil uniforme). Define-se 𝛼 como 𝛼 = 𝜌 𝑣2 2 𝑣𝑑𝐴 𝐴 𝜌𝐴 𝑉2 𝑉𝑑𝐴2 = 𝜌 𝑣3 2 𝑑𝐴 𝐴 𝜌𝐴 𝑉2 𝑑𝐴3 = 𝜌𝑣 3𝑑𝐴 𝐴 𝜌𝑉3𝐴 = 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑙 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑙 𝑚é𝑑𝑖𝑜
Para escoamentos turbulentos, normalmente 𝛼 = 1 , e para escoamentos laminares, 𝛼 = 2. Na transição, 1 ≤ 𝛼 ≤ 2.
Voltando à equação geral da energia aplicada a dutos:
Com a definição de 𝛼 pode-se abrir as integrais (considerando propriedades uniformes):
𝑊 𝑚 + 𝑄 = − 𝑢 + 𝛼𝑉2 2 + 𝑔𝑧 + 𝑝 𝜌 𝑒 𝜌𝑄𝑒 + 𝑢 + 𝛼 𝑉2 2 + 𝑔𝑧 + 𝑝 𝜌 𝑠 𝜌𝑄𝑠
Lembrando que 𝑄𝑠 = 𝑄𝑒 = 𝑄 (vazão) e que 𝑄 é energia
∝𝑒 𝑉𝑒2 2 + 𝑔𝑧𝑒 + 𝑝𝑒 𝜌 𝜌𝑄 − ∝𝑠 𝑉𝑠2 2 + 𝑔𝑧𝑠 + 𝑝𝑠 𝜌 𝜌𝑄 = 𝑢𝑠 − 𝑢𝑒 𝜌𝑄 − 𝑄 − 𝑊 𝑚 ∝𝑒 𝑉𝑒2 2 + 𝑔𝑧𝑒 + 𝑝𝑒 𝜌 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑛𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − ∝𝑠 𝑉𝑠 2 2 + 𝑔𝑧𝑠 + 𝑝𝑠 𝜌 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑛𝑎 𝑠𝑎í𝑑𝑎 = 𝑢𝑠 − 𝑢𝑒 − 𝑄 𝜌𝑄 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝𝑎çã𝑜 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢í𝑑𝑎 − 𝑊 𝑚 𝜌𝑄 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑊 𝑚 + 𝑄 = − 𝑢𝑒 + 𝑣𝑒 2 2 + 𝑔𝑧𝑒 + 𝑝𝑒 𝜌 𝜌𝑣𝑒𝑑𝐴𝑒 + 𝐴𝑒 𝑢𝑠 + 𝑣𝑠 2 2 + 𝑔𝑧𝑠 + 𝑝𝑠 𝜌 𝜌𝑣𝑠𝑑𝐴𝑠 𝐴𝑠
∝𝑒 𝑉𝑒2 2 + 𝑔𝑧𝑒 + 𝑝𝑒 𝜌 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑛𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − ∝𝑠 𝑉𝑠 2 2 + 𝑔𝑧𝑠 + 𝑝𝑠 𝜌 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑛𝑎 𝑠𝑎í𝑑𝑎 = 𝑢𝑠 − 𝑢𝑒 − 𝑄 𝜌𝑄 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝𝑎çã𝑜 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢í𝑑𝑎 − 𝑊 𝑚 𝜌𝑄 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑖𝑥𝑜
Dividindo esta expressão por g, resulta:
∝𝑒 𝑉𝑒2 2𝑔 + 𝑝𝑒 𝛾 + 𝑧𝑒 𝐻𝑒=𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑛𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − ∝𝑠 𝑉𝑠 2 2𝑔 + 𝑝𝑠 𝛾 + 𝑧𝑠 𝐻𝑠=𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑛𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎 = 𝑢𝑠 − 𝑢𝑒 − 𝑄 𝜌𝑄 1 𝑔 𝑊𝑎 𝛾𝑄=𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑛𝑜 𝑡𝑟𝑒𝑐𝑜 − 𝑊 𝑚 𝛾𝑄 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑜𝑢 𝑓𝑜𝑟𝑛𝑒𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝐻𝑒 − 𝐻𝑠 = 𝑊 𝑎 𝛾𝑄 − 𝑊 𝑚 𝛾𝑄 Se 𝑊 𝑚 > 0 → 𝐵𝑜𝑚𝑏𝑎 Se 𝑊 𝑚 < 0 → 𝑇𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎
