PENSAMENTO ALGÉBRICO NOS ANOS
INICIAIS: UMA ABORDAGEM BASEADA
NAS OPERAÇÕES E SUAS PROPRIEDADES
Miriam Criez Nobrega Ferreira
Mestra pela Universidade Federal do ABC
Lilian Cristina de Souza Barboza
OBJETIVOS DO ENCONTRO
*Apresentar
uma
proposta
de
abordagem
do
Pensamento Algébrico nos Anos Iniciais;
* Propiciar ao participante repensar sua prática de sala
de aula de modo a incorporar novas abordagens em
seu trabalho na escola.
Pauta – 11/05/2017
• 9h às 9h30 – Apresentação dos participantes, dos formadores e da proposta de
trabalho;
• 9h30 às 10h00 – Introdução aos conceitos sobre pensamento algébrico voltado
para o trabalho nos Anos Iniciais;
• 10h00 às 10h30 – Análise, em subgrupos, da atividade 1 – destacando as
propriedades;
• 10h30 às 11h00 – Discussão sobre as atividades dos alunos;
• 11h às 11h30min – Análise e discussão da atividade 2 – destacando um dos
significados do sinal de igualdade;
Nome
trabalho
Local de
Experiência
profissional
Motivação
para o mini
curso
PROBLEMA DA ALICE
“Enfim, os dois estavam comendo tortas de framboesa no chá. Ora, o Chapeleiro tinha três
vezes mais tortas que a Lebre de Março, e a Lebre de Março não estava gostando disso.
- Eu não a censuro!
– comentou Alice.
Em todo caso, de má vontade, o Chapeleiro deu uma de suas tortas a ela.
“Isso não basta!”,
gritou a Lebre de Março, zangada,
“Você ainda tem o dobro do que eu tenho!” Pois então o problema é:
Quantas outras tortas o Chapeleiro tem que dar a Lebre de Março para que os dois fiquem com a
mesma quantidade?
- Quantas eram as tortas, ao todo?
– perguntou Alice.
- Isso eu não vou dizer!- gritou o Grifo. Aí fica fácil demais!
Alice achou estranho que o enigma pudesse ser resolvido sem saber quantas tortas havia, mas
resolveu tentar. Pensou por algum tempo, e então abanou a cabeça.
- Acho que não sei resolver esse. Tenho certeza de que, se minha irmã estivesse aqui, ela
saberia. Ela é mais velha do que eu, sabe?, e aprendeu álgebra. Tenho certeza que se poderia
fazer isso com a álgebra.
- Você não precisa de álgebra nenhuma!
– riu-se o Grifo. É só uma fantasia sua achar que
precisa!
- Bem, o único jeito que concebo de fazer isso é por ensaio e erro: tentar, até finalmente
adivinhar o número certo de tortas.
- Você não precisa de nenhuma adivinhação!
– disse o Grifo. Não precisa de adivinhação
e também não precisa de álgebra! Ora, eu sei que nas escolas eles ensinam esse tipo de coisa
com a álgebra, mas eu não andei muito em escola nenhuma, daí que inventei meu próprio
método...ele é exatamente tão bom quanto os que eles lhe
ensinam!”
Por que Álgebra é ensinada a partir dos Anos Finais e a
Aritmética nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental?
•
Segundo Carraher et al (2006), por dois motivos:
Natureza do conteúdo
Álgebra no currículo dos Anos Iniciais do
Ensino Fundamental
•Outros países (EUA, Portugal, Espanha, Nova Zelândia)
a Álgebra nos Anos Iniciais surge no início do séc. XXI;
•No Brasil (Ferreira, 2017, no prelo), somente em 2013
nos documentos do PNAIC surge o eixo do Pensamento
Algébrico, e na BNCC (em estudo) surge a Álgebra,
como o quinto eixo da matemática dos Anos Iniciais.
Filloy e Rojano (1989) e Herscovics e Linchevski (1994)
sugerem:
• uma lacuna entre Álgebra e Aritmética;
• o pensamento aritmético evolui muito lentamente - do
concreto para o abstrato - para o pensamento algébrico;
• um ponto de corte separando um tipo de pensamento do
Aritmética
Não são usadas as
propriedades aditivas ou
multiplicativas da
igualdade
Ex: Tinha R$ 50,00
ganhei R$ 30,00, com
quanto fiquei?
50 + 30 = ?
Foco na competência do
cálculo
Álgebra
São usadas as
propriedades aditivas ou
multiplicativas da
igualdade
Ex: Meu pai tinha certa quantia no cofre, depois de guardar R$
28,00, ficou com R$ 75,00. Quanto papai tinha no início?
? + 28 = 75
Foco no raciocínio
sobre as operações
Sá
e
Fo
ssa
(2
00
8)
Autores que defendem uma integração entre
Álgebra e Aritmética:
•Blanton e Kaput, (2005);
•Canavarro (2007);
•Kieran (2004);
•Carraher et al, (2006);
•Russell, Schifter, e Bastable (2011);
•Schliemann, Carraher, e Brizuela (2007);
•Mestre e Oliveira (2011).
Por que falar de Álgebra nos Anos Iniciais?
• Insucesso dos alunos quando entram em contato com a
Álgebra formal (Cai & Knuth, 2011; Lins e Gimenez, 2001);
• Capacidade dos alunos em pensar algebricamente desde
pequenos (Canavarro, 2007; Blanton e Kaput, 2005);
• Os
alunos necessitam de um tempo maior para desenvolver
as diferentes formas do pensamento envolvido na atividade
algébrica (Molina, 2009);
O que significa o trabalho com Álgebra
nos Anos Iniciais?
• Não significa um acréscimo de conteúdo ao currículo (Russell, Schifter, e
Bastable, 2011);
• Agrega ao trabalho já realizado com a aritmética, oportunidades de
construção de padrões, generalizações e justificativas matemáticas
(Canavarro, 2007);
• Integra o pensamento algébrico ao planejamento das aulas, indo além do
trabalho com os algoritmos. (Carraher et al, 2006)
O que a Álgebra e o
Pensamento Algébrico tem a
ver com o ensino e a
aprendizagem nos Anos
Iniciais do Ensino
Ponte, Branco e Matos (2009)
Aprender
Álgebra
Pensar
algebricamente
Ser capaz de
generalizar ideias
matemáticas a partir
de um conjunto de
exemplos particulares
Para Canavarro (2007) existe uma relação
intrínseca entre álgebra e aritmética:
“É a partir da estrutura da Aritmética que se podem construir os
aspectos sintáticos da Álgebra, o que implica analisar as
expressões aritméticas não em termos do valor numérico obtido
através do cálculo, mas em termos da sua
forma”
Concluir que 33 + 8 = 8 + 33 não porque ambos constituem
41, mas porque na adição a ordem das parcelas é
indiferente.
DEFINIÇÕES
DE
PENSAMENTO
ALGÉBRICO
“é um processo no qual os alunos
generalizam ideias matemáticas de
um conjunto particular de
exemplos, estabelecem
generalizações por meio do
discurso de argumentação, e
expressam-nas, cada vez mais, em
caminhos formais e apropriados à
sua idade”
Blanton e Kaput (2005)
“a generalização está no
coração do pensamento
algébrico”
Schliemann; Carraher; Brizuela (2007)
“envolve o desenvolvimento de formas de pensar dentro de atividades para as
quais a letra-símbolo pode ser usada como uma ferramenta, mas que não são
exclusivos de álgebra, tais como, analisando as relações entre quantidades,
percebendo as estruturas, estudando as mudanças, generalizando, resolvendo
problemas, a modelagem, justificando, provando, e prevendo”.
Blanton e Kaput (2005) dividem o pensamento algébrico
em quatro grandes categorias:
Aritmética
Generalizada
Pensamento
Funcional
Modelação
Generalização
de sistemas
abstratos do
cálculo
Segundo Blanton e Kaput (2005) formas de pensamento
algébrico mais trabalhados nos anos iniciais:
Aritmética
Generalizada
Pensamento
Funcional
●
Explorar propriedades e relações de números inteiros;
●
Explorar propriedades das operações com números
inteiros;
●
Explorar a igualdade como expressão de uma relação
entre quantidades;
●
Tratar o número algebricamente;
●
Resolver expressões numéricas com um número
desconhecido, enfatizando o sentido de incógnita;
●
Simbolizar quantidades e operar com as expressões
simbólicas (usar símbolos para modelar problemas);
●
Representar dados graficamente;
●
Descobrir relações funcionais;
●
Prever
resultados
desconhecidos
usando
dados
conhecidos;
●
Identificar e descrever padrões numéricos e geométricos;
PENSAMENTO FUNCIONAL
●
Explorar propriedades das operações
com números inteiros;
●
Explorar a igualdade como expressão
de uma relação entre quantidades;
DIFERENTES
SIGNIFICADOS DO
SINAL DE
IGUALDADE
OPERACIONAL
12 – 4 =
EQUIVALÊNCIA
18 + x = 23
RELACIONAL
2x = y
V
F Justificativa
24 + 37 = 37 + 24
46 + 27 – 27 = 27
◊ x 1 = ◊
□ + 0 = □
Verdadeiro ou Falso
Falkner et al. (1999) realizaram um
estudo onde os professores propunham
aos alunos a resolução do seguinte
O quadro seguinte mostra as respostas dadas por alunos de
diferentes
anos
de
escolaridade,
do
1.º
ao
6º:
Analise as respostas dos alunos e responda por que embora
o problema pareça trivial para muitos professores, a maior
Como Lucy entendeu o problema:
Prof. – Podes dizer-me qual o número que é necessário colocar no espaço vazio para
tornar esta expressão verdadeira?
Lucy
– (depois de uma breve pausa) Doze.
Prof. – Como sabes que é 12?
Lucy
–Porque é a resposta, oito e quatro são 12. Eu contei 8, 9, 10, 11, 12. São 12.
Prof. – E o que acontece ao cinco?
Lucy
– Fica aí.
Prof. – Precisas fazer alguma coisa com ele?
Lucy
– Não. Só está lá. Não tem nada a ver com o oito e o quatro.
Prof. – O que pensas que significa?
Lucy
– Eu não sei. Penso que não significa nada. Se calhar só está lá para nos
confundir. Sabes, às vezes, a minha professora põe números a mais na história dos
problemas para nos fazer pensar sobre o que temos de adicionar ou subtrair.
Como Gina entendeu o problema:
Gina – (muito depressa) Sete.
Prof. – Como sabes que é sete?
Gina – Bem, eu vi que o cinco aqui (apontando para o cinco na expressão) é
mais um do que o quatro aqui (apontando para o quatro na expressão), então o
número no espaço vazio tinha de ser menos um do que oito. É sete.
Prof. – Isso é muito interessante. Vamos tentar com outra: 57 + 86 = __ + 84.
Gina –(quase imediatamente) É fácil. É 59.
Prof. – Foi rápido!
Qual a diferença do entendimento de Lucy
e Gina para o problema:
Bibliografia
• BLANTON, M.; KAPUT, J. Characterizing a classroom practice that promotes algebraicreasoning. Journal for Research in Mathematics Education, 36(5), p. 412–446, 2005.
• CANAVARRO, A. P. O pensamento algébrico na aprendizagem da Matemática nos primeiros anos. Quadrante, Lisboa-Portugal, v. XVI, n. 2, p. 81-118, 2007.
• CARRAHER, D. W., SCHLIEMANN, A. D., BRIZUELA, B. M., & EARNEST, D. Arithmetic and algebra in early mathematics education. Journal for Research in Mathematics Education, 37, p. 87–115, 2006
• CYRINO, M. C. C. T.; OLIVEIRA, H. M. Pensamento algébrico ao longo do Ensino Básico em Portugal. Bolema, v. 24, n. 38, p. 97 a 126, Rio Claro (SP), 2011.
• FILLOY E.; ROJANO T. Solving Equations: The transition from Arithetic to Algebra. For the Learning of Mathematics, 9 (2), p. 19-25, 1989
• HERSCOVICS, N; LINCHEVSKI, L. A cognitive gap between arithmetic and algebra. Educational Studies In Mathematics, Springer Nature, v. 27, n. 1, p.59-78, jul. 1994.
• MESTRE, C. M. M. V. O desenvolvimento do pensamento algébrico de alunos do 4ª ano de escolaridade: Uma experiência de ensino. 2014. 357 p. Tese (Didática da Matemática). Instituto de Educação,
Universidade de Lisboa, Lisboa, 2014.
• MOLINA, M. Una propuesta de cambio curricular: integración del pensamiento algebraico en educación primaria. PNA, 3(3), p. 135-156, 2009.
• PONTE, J.; BRANCO, N.; MATOS, A. Álgebra no Ensino Básico. Portugal: Ministério da Educação, Direção Geral de Integração e de Desenvolvimento Curricular (DGIDC), 2009.
• RUSSELL, S. J.; SCHIFTER, D.; BASTABLE, V. Developing Algebraic Thinking in the Context of Arithmetic. Early Algebraization, Advances in Mathematics Education, 2011.
• SÁ, P. F.; FOSSA, J. A. Uma Proposta de Distinção entre Problemas Aritméticos e Algébricos. In: Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, 2. 2003, Santos. Anais... São Paulo: Sociedade Brasileira de Educação Matemática, 2008.
• SILVA, D. P.; SAVIOLI, A. M. P. D. Caracterizações do pensamento algébrico em tarefas realizadas por estudantes do ensino fundamental I. Revista Eletrônica de Educação, São Carlos, SP: UFSCar, v. 6, no. 1, p.206-222, mai. 2012.
