02-EstatisticaeProbabilidade

Texto

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(2) E STATÍSTICA E P ROBABILIDADE. 1a Edição - 2.007.

(3) SOMESB S OCIEDADE M ANTENEDORA DE E DUCAÇÃO S UPERIOR DA B AHIA S/C LTDA . G ERVÁSIO M ENESES. DE O LIVEIRA P RESIDENTE. W ILLIAM O LIVEIRA V ICE -P RESIDENTE. S AMUEL S OARES S UPERINTENDENTE A DMINISTRATIVO E F INANCEIRO. G ERMANO TABACOF S UPERINTENDENTE DE E NSINO, P ESQUISA E E XTENSÃO P EDRO DALTRO G USMÃO DA S ILVA S UPERINTENDENTE DE D ESENVOLVIMENTO E P LANEJAMENTO ACADÊMICO. FTC-E A D. FACULDADE DE T ECNOLOGIA E C IÊNCIAS – E NSINO A D ISTÂNCIA R EINALDO DE O LIVEIRA B ORBA D IRETOR G ERAL. R OBERTO F REDERICO M ERHY D IRETOR ACADÊMICO. J EAN C ARLO N ERONE D IRETOR. DE. T ECNOLOGIA. A NDRÉ P ORTNOI D IRETOR A DMINISTRATIVO E F INANCEIRO. R ONALDO C OSTA G ERENTE ACADÊMICO J ANE F REIRE G ERENTE DE E NSINO L UÍS C ARLOS N OGUEIRA A BBEHUSEN G ERENTE DE S UPORTE T ECNOLÓGICO. R OMULO AUGUSTO M ERHY C OORD. DE S OFTWARES E S ISTEMAS O SMANE C HAVES C OORD. DE T ELECOMUNICAÇÕES E H ARDWARE J OÃO J ACOMEL C OORD. DE P RODUÇÃO DE M ATERIAL D IDÁTICO. M ATERIAL D IDÁTICO P RODUÇÃO ACADÊMICA J ANE F REIRE G ERENTE DE E NSINO A NA PAULA A MORIM S UPERVISÃO. G ECIARA. DA S ILVA C ARVALHO C OORDENADOR DE C URSO. PAULO H ENRIQUE R IBEIRO. DO. N ASCIMENTO AUTOR ( A ). P RODUÇÃO T ÉCNICA J OÃO J ACOMEL C OORDENAÇÃO C ARLOS M AGNO B RITO A LMEIDA S ANTOS R EVISÃO. DE. T EXTO. J ONES G ARCIA DA R EVISÃO DE C ONTEÚDO. M ATA. A DRIANO P EDREIRA C ATTAI PAULO H ENRIQUE R IBEIRO DO N ASCIMENTO E DIÇÃO. EM. LATEX 2ε. E QUIPE A LEXANDRE R IBEIRO, A NGÉLICA J ORGE , C EFAS G OMES, C LAUDER F ILHO, D ELMARA B RITO, D IEGO D ORIA A RAGÃO, FÁBIO G ONÇALVES , F RANCISCO F RANÇA J ÚNIOR , H ERMÍNIO F ILHO, I SRAEL DANTAS, LUCAS DO VALE , MARCIO S ERAFIM , MARIUCHA P ONTE , RUBERVAL F ONSECA E TATIANA C OUTINHO. c 2.007 FTC-E A D Copyright Todos os direitos reservados e protegidos pela lei 9.610 de 19/02/98. É proibida a reprodução total ou parcial, por quaisquer meios, sem autorização prévia, por escrito, da FTC-E A D - Faculdade de Tecnologia e Ciências - Ensino a distância. www.ead.ftc.br.

(4) Sumário Bloco 1: Estatística Descritiva. 8. Tema 1: Séries Estatísticas, Medidas de Tendência Central e Moda. 8. 1.1. Método Estatístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. 9. Fases do Método Estatístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. 1.2. Divisões da Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. 1.3. População e Amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. 1.4. Variáveis Estatísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 1.5. Séries Estatísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Dados Brutos e Rol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Classificação das Séries Estatísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. 1.6. Apresentação de uma Série Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6.1. Apresentação Tabular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. Apresentação do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Arredondamento de Dados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. 1.7. 1.6.2. Exercício Proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. 1.6.3. Exemplos de Tabelas de Algumas Séries Estatísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. 1.6.4. Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. Distribuição de Freqüências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.7.1. Tipos de Freqüências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. 1.7.2. 1a - Variáveis Qualitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. 1.7.3. 2a - Variáveis Quantitativas Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 1.7.4. 3a - Variáveis Quantitativas CFontínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. 1.7.5. Determinação do Número de Classes e Amplitude do Intervalo de Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . 25. 1.7.6. A Regra de Sturges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25. 1.7.7. A Regra do Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. 1.7.8. Amplitude do Intervalo de Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. 1.7.9. Ponto Médio da Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. 1.7.10 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.8. 1.9. Apresentação Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.8.1. Cuidados na Representação Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36. 1.8.2. Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36. Medidas de Posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.9.1. Média Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38. Propriedades da Média Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Média Aritmética para Valores Agrupados em Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.9.2. Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40. 1.9.3. Média Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41. Média Geométrica Ponderada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Propriedades da Média Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.9.4. Média Harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. Média Harmônica Ponderada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Propriedades da Média Harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.9.5. Média Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. 1.9.6. Relação entre as Médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE. 3.

(5) 1.9.7. Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45. 1.9.8. Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45. Mediana em um Conjunto com Valores Não-Tabuláveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Mediana em um Conjunto com Valores Tabuláveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.9.9. Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48. Método de King . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Método de Czuber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Fórmula de Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Relação entre a Média Aritmética, a Moda e a Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.9.10 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. Tema 2: Medidas 2.1. 53. Medidas de Posição II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.1.1. Separatrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. 2.1.2. Quartis, Decis e Centis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. 2.1.3. Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54. 2.1.4. Amplitude Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56. 2.1.5. Desvio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56. Propriedades do Desvio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.1.6. Desvio Quartil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57. 2.1.7. Desvio Médio Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57. 2.1.8. Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57. Propriedades da Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.1.9. Desvio Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58. Propriedades do Desvio Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.1.10 Relações Importantes para o Desvio Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.1.11 Exercício Proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.1.12 Variância Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.1.13 Coeficiente de Variação de Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2. 2.3. Medidas de Assimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.2.1. Coeficientes de Assimetria de Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61. 2.2.2. Exercício Proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. Medidas de Curtose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.3.1. 2.4. Exercício Proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. Bloco 2: Probabilidade, Regressão e Correlação.. 63. Tema 3: Probabilidade. 63. 3.1. Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. 3.2. Considerações Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.2.1. 3.3. Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65. Operações com Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3.1. Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66. 3.4. Um Pouco de História . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67. 3.5. Cálculos Probabilísticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.5.1. A Probabilidade de um Evento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67. Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4. FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA.

(6) 3.5.2. Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71. 3.5.3. Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71. 3.5.4. Probabilidade da Ocorrência Simultânea de Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. 3.5.5. Independência de Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.5.6. O Teorema da Probabilidade Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76. Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.5.7. O Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78. Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.6. Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80. Tema 4: Principais Modelos Probabilísticos, Regressão e Correlação Linear 4.1. 81. Variável Aleatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.1.1. 4.2. Tipos de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81. Funções de Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.2.1. Distribuição de Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82. 4.2.2. Densidade de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82. 4.3. Função de Repartição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84. 4.4. Variáveis Aleatórias Bidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84. 4.5. Distribuição de Probabilidade Conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85. 4.6. Função de Repartição Conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85. 4.7. Funções de Probabilidade Marginais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85. 4.8. Distribuição de Probabilidade Marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85. 4.9. Variáveis Aleatórias Discretas Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.9.1. Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86. 4.10. Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87. 4.11. Esperança de uma Variável Aleatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87. 4.11.1 Esperança de uma Variável Aleatória Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.11.2 Esperança de uma Variável Aleatória Contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.11.3 Propriedades da Esperança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.12. Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90. 4.13. Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90. 4.14. Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90. 4.14.1 Variância de uma Variável Aleatória Discreta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.14.2 Variância de uma Variável Aleatória Contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.14.3 Propriedades da Variância de uma Variável Aleatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.15. Desvio Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92. 4.16. Covariância entre duas Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93. 4.17. Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95. Alguns Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias 4.18. 96. Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97. 4.18.1 Distribuição de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Probabilidade numa Distribuição de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 A Esperança e a Variância numa Distribuição de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.18.2 Distribuição Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Esperança e Variância em uma Distribuição Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE. 5.

(7) 4.18.3 Distribuição de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Probabilidade numa Distribuição de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Esperança e a Variância numa Distribuição de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.18.4 Distribuição Binomial × Distribuição de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.18.5 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.19 Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.19.1 Distribuição Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.19.2 A Esperança e a Variância de uma Distribuição Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.19.3 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.19.4 Distribuição Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.19.5 Principais Características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O Cálculo da Probabilidade pela Distribuição Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Curva Normal Padrão ou Reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 101 102 102 105 106 107 107 108 108 109 110 110 111 113. Regressão e Correlação 113 4.20 Ajustamento de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.21 Equações Normais (Método dos Mínimos Quadrados) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.21.1 Processo Alternativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.21.2 Exercício Proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.22 Correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.22.1 O Coeficiente de Correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.22.2 Interpretação Gráfica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.23 Erro Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.24 Limites de Confiança para Coeficientes de Regressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.25 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Referências Bibliográficas Atividade Orientada 5.1 Etapa 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Etapa 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Etapa 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 123 1 1 3 7.

(8) A PRESENTAÇÃO. DA. D ISCIPLINA. Caro aluno, Este material foi produzido com o objetivo de dar suporte aos graduandos do curso de Licenciatura em Matemática na disciplina Estatística e Probabilidades. Dois grandes blocos são apresentados: a Estatística Descritiva e a Teoria de Probabilidades. A primeira utiliza-se de métodos para organizar, resumir e descrever os aspectos importantes de um conjunto de características observadas ou comparar tais características entre dois ou mais conjuntos. Os blocos são divididos em quatro temas. No Tema 1, apresentamos alguns conceitos introdutórios. As séries estatísticas e as representações tabular e gráfica. Além disso, abordaremos o cálculo das médias, da moda e da mediana de uma distribuição de freqüências. No Tema 2, trabalharemos as separatrizes e as medidas de dispersão, assimetria e curtose. No Tema 3, veremos os principais resultados na teoria de probabilidades. No Tema 4, expande-se o conceito de probabilidade com a inserção do conceito de variável aleatória. Os eventos que possuem determinadas características são associadas a determinadas funções de probabilidade. O grau de dependência entre duas variáveis aleatórias é inserido e também é apresentado o conceito de Regressão Linear. Aqui, observar-se-á como a Estatística é essencial para a compreensão dos resultados de uma pesquisa. Prof.. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento.

(9) BLOCO 01. TEMA 01. Estatística Descritiva Séries Estatísticas, Medidas de Tendência Central e Moda. Apresentação Desde remota antigüidade, os governos têm se interessado por informações sobre suas populações e riquezas, tendo em vista, principalmente, fins militares e tributários. Confúcio relatou levantamentos feitos na China, há mais de 2.000 anos antes da era cristã. No antigo Egito, os faraós fizeram uso sistemático de informações de caráter estatístico, conforme evidenciaram pesquisas arqueológicas. Desses registros também se utilizaram as civilizações pré-colombianas dos maias, astecas e incas. É conhecido de todos os cristãos o recenseamento dos judeus, ordenado pelo Imperador Augusto. Os balancetes do império romano, o inventário das posses de Carlos Magno, o Doomsday Book, registro que Guilherme, o Conquistador, invasor normando da Inglaterra, no século XI, mandou levantar das propriedades rurais dos conquistados anglo-saxões para se inteirar de suas riquezas, são alguns exemplos anteriores à emergência da estatística descritiva no século XVI, na Itália. Essa prática tem sido continuada nos tempos modernos, por meio dos recenseamentos, dos quais temos um exemplo naquele que se efetua a cada decênio, em nosso País, pela Fundação IBGE, órgão responsável por nossas estatísticas (dados estatísticos) oficiais. Com o Renascimento, foi despertado o interesse pela coleta de dados estatísticos, principalmente por suas aplicações na administração pública. A palavra estatística, derivada do termo latino status (estado), parece ter sido introduzida na Alemanha, em 1.748, por Achenwall. A Estatística é encarada, atualmente, como uma ciência capaz de obter, sintetizar, prever e tirar inferências sobre dados. Porém, no século XVII, na Inglaterra, a estatística era a Aritmética do Estado (Political Arithmetic), consistindo, basicamente, na análise dos registros de nascimentos e mortes, originando, mais tarde, as primeiras tábuas de mortalidade. Ao longo da Idade Média e até ao século XVIII, a estatística foi puramente descritiva, coexistindo duas escolas: a escola descritiva alemã, cujo representante mais conhecido é o economista G. Achenwall (1.719-1.772), professor na Universidade de Gottingen, considerado pelos alemães como o pai da estatística, e a escola dos matemáticos sociais, que procuravam traduzir por leis a regularidade observada de certos fenômenos, de caráter econômico e sociológico. Embora esta escola procurasse fundamentar a formulação de previsões com base em leis sugeridas pela experiência, a estatística confundiase, praticamente, com a demografia à qual fornecia métodos sistemáticos de enumeração e organização. Na realidade, a necessidade sentida, em todas as épocas, de conhecer, numérica e quantitativamente, a realidade política e social tornou a análise demográfica uma preocupação constante. John Graunt (1620-1674), juntamente com William Petty (1.623-1.687), autor de Political Arithmetic, e o astrônomo Edmond Halley (1.656-1.742) são os principais representantes da escola inglesa, que dá um novo impulso à estatística, fazendo-a ultrapassar um estado puramente descritivo: analisam-se os dados na procura de certas regularidades, permitindo enunciar leis e fazer previsões. No entanto, a estatística, para adquirir o estatuto de disciplina científica, e não puramente ideográfica ou descritiva, teve que esperar pelo desenvolvimento do cálculo das probabilidades, que lhe viria a fornecer a linguagem e o aparelho conceptual permitindo a formulação de conclusões com base em regras indutivas. Data do século XVII o início do estudo sistemático dos problemas ligados aos fenômenos aleatórios, começando 8. FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA.

(10) a ser manifestada a necessidade de instrumentos matemáticos, aptos a analisar este tipo de fenômenos, em todas as ciências que põem o problema do tratamento e interpretação de um grande número de dados. Podese datar dos fins do século XIX, o desenvolvimento da estatística matemática e suas aplicações, com F. Galton (1.822-1.911), K. Pearson (1.857-1.936) e métodos estatísticos na investigação experimental se fica a dever, fundamentalmente, aos trabalhos de K. Pearson e R. A. Fisher (1.890-1.962). A partir de Pearson e Fisher o desenvolvimento da estatística matemática, por um lado, e dos métodos estatísticos aplicados, por outro, têm sido tal que é praticamente impossível referir nomes. Em todas as áreas da ciência, a coleta de dados se faz necessária e com isso a Estatística tem crescido muito nos últimos anos, especialmente com o advento dos computadores e surgimento de softwares cada vez mais sofisticados. Observar uma extensa listagem de dados coletados não nos permite chegar a uma conclusão concisa. Este fato se agrava se esse conjunto de dados, possui muitas características que devam ser investigadas. Os métodos descritivos são utilizados, portanto, para organizar, resumir e descrever aspectos importantes de um conjunto de características observadas ou comparar tais características entre dois ou mais conjuntos. Ao se resumir ou condensar um conjunto de dados, informações são perdidas, visto que, não estamos mais trabalhando com as observações originais. Entretanto, esta perda de informação é pequena se compararmos ao ganho que se tem com a clareza da interpretação proporcionada. A descrição dos dados também tem como objetivo identificar anomalias, até mesmo resultante do registro incorreto de valores, e dados dispersos, aqueles que não seguem a tendência geral do restante do conjunto. Não só nos artigos técnicos direcionados para pesquisadores, mas também, nos artigos de jornais e revistas escritos para o público leigo, é cada vez mais freqüente a utilização dos recursos de descrição para complementar a apresentação de um fato, justificar ou referendar um argumento. As ferramentas descritivas são os muitos tipos de gráficos e tabelas e as medidas de síntese, como os índices e as médias.. 1.1. Método Estatístico. A Estatística originou-se da coleta e construção de tabelas de dados para o governo. A situação foi evoluindo e esta coleta de dados representa somente um dos aspectos da Estatística. Hoje em dia podemos adotar a seguinte definição para a Estatística: Ciência que se baseia na Teoria das Probabilidades e cujo objetivo principal é nos auxiliar a tomar decisões ou tirar conclusões em situações de incerteza, a partir de informações numéricas. 1.1 Definição. Método é um conjunto de meios dispostos convenientemente para se chegar a um determinado objetivo. Dos métodos científicos podemos destacar os métodos: Experimental - consiste em manter constantes todas as causas (fatores), menos uma, e variar esta causa de modo que o pesquisador possa descobrir seus efeitos, caso existam. É o método preferido no estudo da Física e da Química. Estatístico - diante da impossibilidade de manter as causas constantes, admite todas essas causas presentes variando-as, registrando essas variações e procurando determinar, no resultado final, que influências cabem a cada uma delas. Como exemplo, podemos citar a determinação das causas que definem o preço de uma mercadoria. Para aplicarmos o método experimental, teríamos de fazer variar a quantidade da mercadoria e verificar se tal fato iria influenciar seu preço. Porém, seria necessário que não houvesse ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE. 9.

(11) alteração nos outros fatores. Assim, deveria existir, no momento da pesquisa, uma uniformidade dos salários, o gosto dos consumidores deveria permanecer constante, seria necessária a fixação do nível geral dos preços das outras necessidades e etc. Mas, isso tudo é impossível. Daí a necessidade de utilização do método estatístico.. 1.1.1. Fases do Método Estatístico. 1. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA: Consiste em uma apreciação ou formulação correta do problema a ser estudado, e levando em consideração os valores: o que, onde, como e quando. 2. PLANEJAMENTO: Nesta fase temos a considerar o procedimento necessário para o desenvolvimento dos trabalhos ou seja: como levantar informações, que dados deverão seus obtidos, qual será a maneira mais correta para formular as perguntas, construir o cronograma das atividades, determinar os custos operacionais e determinar o tamanho da pesquisa. 3. COLETA DE DADOS: É a fase que consiste em adquirir as informações necessárias e é feita através de um questionário ou boletim. A coleta pode ser direta ou indireta. A coleta é direta quando feita sobre elementos informativos de registro obrigatório (nascimentos, casamentos e óbitos, importação e exportação) elementos pertinentes aos prontuários dos alunos de uma escola, ou ainda, quando os dados são coletados pelo próprio pesquisador através de inquéritos e questionários, a exemplo de notas de verificação e de exames, do censo demográfico, etc. A coleta direta pode ser classificada relativamente ao fator tempo em — permanente: aquelas onde as informações são sempre atualizadas e são comunicadas por terceiros, por exemplo o registro civil; — contínua: feita continuamente, por exemplo, a freqüência dos alunos às aulas; — periódica: feita em intervalos constantes de tempo, é realizada em época certa e em tempo determinado, por exemplo, censo (a cada ano); — ocasional: aquela que é feita em dado momento com a finalidade de atingir um objetivo imediato, por exemplo, uma pesquisa do IBOPE. A coleta é indireta quando é inferida de elementos conhecidos (coleta direta) e/ou do conhecimento de outros fenômenos relacionados com o fenômeno estudado. Ex.: Pesquisa sobre a mortalidade infantil, feita a partir de dados colhidos por uma coleta direta. A coleta pode ser adquirida de duas maneiras: — Por vias internas: são aquelas obtidas dentro da organização; — Por vias externas: são aquelas que podem ser obtidas por via primária (informação obtida diretamente pela pessoa), ou por via secundária(obtida através de publicações). 4. CRÍTICA DOS DADOS - Pode ser externa, quando visa às causas dos erros por parte do informante; ou interna quando visa observar os elementos originais dos dados da coleta. 5. APURAÇÃO DOS DADOS: É a soma e o processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios de classificação. Pode ser manual, eletromecânica ou eletrônica e os cálculos. 6. EXPOSIÇÃO OU APRESENTAÇÃO DOS DADOS: É a maneira de mostrar as informações a terceiros, podendo ser: a) Expositiva (descrição ou narração); b) Aritmética (apresentada através de tabelas); c) Geométrica (através de gráficos); d) Pictórica (o fenômeno é ilustrado através de figuras representativas). 7. ANÁLISE DOS RESULTADOS: Concluídas as fases anteriores (Estatística Descritiva), fazemos uma análise dos resultados obtidos, através dos métodos da Estatística Indutiva ou Inferencial, e tiramos desses resultados conclusões e previsões. É a etapa mais delicada e importante, pois ai temos que tirar as conclusões que servirão para auxiliar o pesquisador a resolver o seu problema. Atualmente a empresa é uma das vigas mestras da Economia dos povos. A direção de qualquer tipo de empresa, exige de 10. FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA.

(12) seu administrador a importante tarefa de tomar decisões, e o conhecimento e uso da Estatística facilitará seu tríplice trabalho de organizar, dirigir e controlar a empresa.. 1.2. Divisões da Estatística. A Teoria Estatística moderna se divide em dois grandes campos: Estatística Descritiva ou Dedutiva - consiste num conjunto de métodos que ensinam a reduzir uma quantidade de dados bastante numerosa por um número pequeno de medidas (dados numéricos, tabelas, gráficos ou curvas), substitutas e representantes daquela massa de dados. A disponibilidade de uma grande quantidade de dados e de métodos computacionais muito eficientes revigorou a área da Estatística denominada “Estatística Descritiva”. Estatística Inferencial ou Indutiva - consiste em deduzir ou tirar conclusões (inferir) a respeito das propriedades de um universo a partir de uma amostra. O processo de generalização, que é característico do método indutivo, está associado a uma margem de incerteza. A medida da incerteza é tratada mediante técnicas e métodos que se fundamentam na Teoria das Probabilidades. A inferência estatística procura com base nos dados amostrais tirar conclusões sobre a população. Considere o exemplo abaixo para ilustrar as definições dadas.. 1.3. População e Amostra. 1.2 Definição. [População, Censo ou Universo Estatístico] Conjunto de indivíduos, objetos ou informações que apresentam pelo menos uma característica comum, cujo comportamento interessa analisar. Ou, em outras palavras, conjunto de todas as medidas, observações relativas ao estudo de determinado fenômeno. Seja χ = {xi } uma população, onde i representa a ordem do elemento populacional e ‫{ = ג‬Yk } um conjunto de características da população χ as quais no interessa estudar. Então, a cada elemento de χ podemos associar a uma característica Yk ∈ ‫ג‬. Exemplo 1.1. i) O Ministério da Saúde pretende estudar o nível da glucose no sangue das crianças brasileiras com 7 anos de idade em 2.001. População: χ = {o conjunto formado por todas as crianças portuguesas com 7 anos}. Característica: ‫{ = ג‬nível de glucose no sangue}. ii) Deseja-se saber se nas indústrias situadas no Estado da Bahia, em 1997, existia algum tipo de controle ambiental. População: χ = {indústrias situadas no Estado da Bahia em 1997}. Característica: ‫{ = ג‬existência ou não de algum tipo de controle ambiental na indústria}. iii) Estudo sobre a precipitação pluviométrica na Região Nordeste no ano 1997. População ou universo: χ = {área referente à Região Nordeste}. Característica: ‫{ = ג‬precipitação pluviométrica}. ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE. 11.

(13) iv) Deseja-se conhecer o patrimônio líquido, faturamento, número de empregados, tempo de existência, das empresas situadas no Pólo Petroquímico de Camaçari neste ano. População ou universo: χ = {empresas existentes no Pólo Petroquímico de Camaçari no ano em. estudo}.. Características: ‫{ = ג‬patrimônio líquido, faturamento, número de empregados, tempo de existência}. v) Deseja-se conhecer a idade, o peso, a estatura, a classe social e o tipo de dieta alimentar das crianças até dois anos de idade residentes no bairro Cabula, Salvador, em 2000. População ou universo: χ = {crianças até dois anos de idade residentes no Cabula em 2000}. Característica: ‫{ = ג‬idade, peso, estatura, classe social, tipo de dieta alimentar}. vi) O Serviço de Meteorologia pretende estudar a temperatura ambiente na cidade de Salvador às 8h de hoje. População ou universo: χ = {Salvador}. Característica: ‫{ = ג‬a temperatura ambiente às 8h de hoje}. Devemos considerar ainda que as populações podem ser homogêneas (cujas partes todas são da mesma natureza) ou heterogêneas (pelo menos uma das partes possui natureza distinta) Em geral, como os universos são grandes, investigar todos os elementos populacionais para determinarmos a característica necessita muito tempo, e/ou o custo é elevado, e/ou o processo de investigação leva a destruição do elemento observado, ou, como no caso de populações infinitas, é impossível observar a totalidade da população. Assim, para minimizar a influência dessas dificuldades, estudar parte da população constitui-se um aspecto fundamental da Estatística. 1.3 Definição. [Amostra] Chamamos de amostra um subconjunto próprio e finito da população. A seleção da amostra é baseada em características da população. População característica. Técnicas de amostragem −−−−−−−−−−−−−−−−−−−→. x ? ?. Conclusões sobre as características da população. Amostra Análise ? ? descritiva. Inferência Estatística ←−−−−−−−−−−−−−−−−−−. y. Informações contidas nos dados. Figura 1.1: Notas de Aula da Disciplina MAT116 - USP A estatística, portanto, muito se baseia em fatos deduzidos pela teoria da amostragem. Por exemplo: Seja µ a razão que expressa a intenção de voto a cada 10 eleitores indagados que o candidato a Prefeito Alberto Magalhães receberia se fosse analisada toda a população de uma cidade que está para realizar eleições brevemente. Como é um resultado difícil de se obter, vamos trabalhar com amostras. Seja ¯x1 , ¯x2 , . . . , ¯xk , as razões que expressam a intenção de voto a cada 10 eleitores indagados, obtidas das amostras de tamanho n de determinadas regiões da cidade. Sabemos que estas medidas só terão algum significado se um número razoável destas estiverem suficientemente próximas da medida µ. Cada erro absoluto é calculado por |¯xi − µ| = εi . Se torna interessante para a Estatística analisar o comportamento dos erros nas diversas amostras referidas. Como o tamanho da amostra influencia na magnitude do erro, quanto maior for a amostra, mais provável será que se tenha uma melhor estimativa. 12. FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA.

(14) Desta forma, analisaremos quais εi são menores que um valor fixo “aceitável” ε para o erro. Claro que, quanto maior a quantidade de valores εi menores ou iguais que ε, mais confiável será a estimativa, ou seja, quando trabalhamos com amostras, visando conhecer a população, é necessário conhecer a probabilidade α de que o erro obtido não seja maior do que ε:. P (|¯xi − µ| ≤ ε) = 1 − α. Assim, dizemos que cada amostra é representativa da população e que a medida ¯xi , de uma amostra previamente selecionada, pode ser utilizada como estimativa para a medida µ. Uma medida, obtida com cálculos baseados em informações de uma amostra, é chamada de estatística enquanto que a medida, obtida com cálculos baseados em informações de uma população, é chamada de parâmetro. A parte da Estatística responsável pela determinação do tamanho da amostra e da forma de seleção dos seus elementos é chamada Amostragem.. 1.4. Variáveis Estatísticas. A Estatística ocupa-se, fundamentalmente, das propriedades das populações cujas características são passíveis de representação numérica como resultado de medições e contagens. Essas características da população são comumente chamadas de variáveis. As variáveis podem ser divididas em dois grupos: qualitativas e quantitativas. ¨. QUALITATIVA ¨. QUANTITATIVA. NOMINAL ORDINAL. (sexo, estado civil, cor dos olhos, etc.) (classe social, grau de instrução, etc.). CONTÍNUA (peso, altura, salário mensal, etc.) DISCRETA (número de filhos, número de carros, idade, etc.). Variáveis qualitativas - quando o resultado da observação é apresentado na forma de qualidade ou atributo. Exemplos: setor de atividade econômica; estado civil; porte da empresa; etc. - Variável qualitativa nominal - quando não existe qualquer ordenação para os resultados obtidos do processo de observação. Como exemplo, temos, entre as variáveis acima citadas: setor de atividade econômica (industrial, comercial, serviços, etc.); estado civil (solteiro, casado, viúvo, etc.). - Variável qualitativa ordinal - quando existe uma certa ordenação nos possíveis resultados das observações efetuadas. Exemplo: porte de uma empresa (micro, pequena, média e grande). Outro exemplo seria a classe social (alta, média e baixa); ou, ainda, o grau de escolaridade do empregado (1 grau; 2 grau; e 3 grau). Variáveis quantitativas - quando o resultado da observação é um número, decorrente de um processo de mensuração ou contagem. Exemplos: número de empregados; salário mensal; faturamento anual; idade; tamanho da família; etc. - Variável quantitativa discreta - quando os resultados possíveis da observação formam um conjunto finito ou enumerável de números e que resultam, freqüentemente, de uma contagem. Exemplos: número de empregados; tamanho da família. - Variável quantitativa contínua - quando os possíveis valores formam um intervalo ou uma união de intervalos de números reais e que resultam, normalmente, de uma mensuração. Exemplos: salário mensal; faturamento anual, altura; peso. Para resumir as informações levantadas durante uma pesquisa usaremos a técnica e a representação mais apropriada, a depender do tipo de variável que estamos analisando. ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE. 13.

(15) 1.5. Séries Estatísticas. Uma série estatística é toda e qualquer coleção de dados estatísticos referidos a uma mesma ordem de classificação quantitativa. Genericamente podemos dizer que é uma sucessão de números que se relacionam com qualquer variável do fenômeno em estudo. A palavra série é usada normalmente para designar um conjunto de dados dispostos de acordo com um caráter variável. Assim, ao realizarmos um levantamento de dados sobre um fenômeno ou variável, o que obtemos é uma série estatística.. Dados Brutos e Rol Quando fazemos um levantamento de dados, se faz necessário o registro das informações coletadas (questionários, formulários, etc.). Estas informações, apresentadas de forma desorganizada são chamados de dados brutos. Por exemplo, 4, 3, 4, 5, 7, 4, 6, 6, 7, 7, 4, 6, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 5, 6, 2, 3, 6. Quando os valores para cada variável investigada estão dispostos em uma determinada ordem, crescente ou decrescente, chamamos cada listagem de rol. Por exemplo, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8. Podemos também caracterizar os dados estatísticos à sua espécie ou tipo característico: discretos (podemos contar os ítens); contínuos (não podemos contar); nominais ou categóricos; por postos.. Classificação das Séries Estatísticas As séries estatísticas são diferenciadas umas das outras pelos seguintes fatores dos elementos que a compõe: - A época (fator temporal ou cronológico) a que se refere o fenômeno observado; - O local (fator espacial ou geográfico) onde o fenômeno acontece; - O fenômeno (espécie do fato ou fator especificativo) que é descrito. O fator de diferenciação das séries estatísticas podem ser divididos em dois grandes grupos: Série Homógrada: a variável apresenta variação descontínua: 1a . Série temporal, cronológica, histórica ou marchas- quando os resultados da observação do fenômeno são registrados ao longo do tempo. 2a . Série geográfica ou espacial - o local varia, permanecendo fixos o tempo e o fenômeno. 3a . Série especificativa, específica ou categórica - quando o fenômeno é observado segundo algumas categorias, permanecendo fixos o tempo e o local. Série Heterógrada: o fenômeno apresenta subdivisões. Embora fixo, o fenômeno varia em intensidade. 4a . Distribuição de freqüências - neste tipo de série estatística o tempo, o local e o fenômeno permanecem fixos. O fenômeno considerado é uma variável quantitativa (discreta ou contínua) e seus valores observados são descritos considerando o número de vezes que ocorreram na série (freqüência). 14. FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA.

(16) 1.6. Apresentação de uma Série Estatística. O modo de condensação ou apresentação das informações são dadas por tabelas ou gráficos que facilitam a visualização do fenômeno, permitem a comparação com outros elementos ou, ainda, fazer previsões. Os principais tipos de gráficos serão apresentados, porém, antecedendo-os, serão apresentadas as normas de apresentação tabular e as tabelas das séries estatísticas que deram origem aos gráficos.. 1.6.1. Apresentação Tabular. A representação tabular (tabela) é uma das modalidades mais utilizadas para a apresentação dos dados estatísticos coleta dos na amostragem.. N ORMAS DE A PRESENTAÇÃO TABULAR DE DADOS As normas a seguir foram retiradas do documento: Normas de apresentação tabular do Centro de Documentação e Disseminação de Informação 3a edição IBGE, Rio de Janeiro, 1.993. Têm como objetivo fixar conceitos e procedimentos aplicáveis a elaboração de tabelas de dados numéricos, de modo a garantir a clareza das informações apresentadas. Apresentemos o esboço de uma tabela onde a seguir conceituaremos os elementos que a compõe. Topo : Espaço superior de uma tabela destinado ao seu título; Título: Conjunto de termos indicadores do conteúdo de uma tabela. Toda tabela deve ter título, inscrito no topo, para indicar a natureza e as abrangências geográfica e temporal dos dados numéricos. As indicações da natureza e da abrangência geográfica dos dados numéricos devem ser feitas sem abreviações, por extenso, de forma clara e concisa;. TOPO Cabeçalho das colunas Coluna ↓ Linha →. Célula RODAPÉ. Centro : Espaço central de uma tabela destinado a moldura, aos dados numéricos e aos termos necessários a sua compressão. No centro identificam-se quatro espaços menores: o espaço do cabeçalho, a coluna, a linha e a célula. Espaço do cabeçalho: espaço superior do centro de uma tabela destinado a indicação do conteúdo das colunas. Toda tabela deve ter cabeçalho, escrito no espaço do cabeçalho, para indicar, complementarmente ao título, o conteúdo das colunas. O conteúdo das colunas deve ser feito com palavras ou com notações, de forma clara e concisa. Recomenda-se que a indicação com palavras seja feita por extenso, sem abreviações; Coluna: Espaço vertical do centro de uma tabela destinado aos dados numéricos (coluna de dados numéricos) ou aos indicadores de linha (colunas indicadoras); Linha: Espaço horizontal do centro de uma tabela destinado aos dados numéricos. Toda tabela deve ter indicadores de linha, inscritos nas colunas indicadoras, para indicar, complementarmente ao título, o conteúdo as linhas. O conteúdo das linhas deve ser feito com palavras ou com notações, de forma clara e concisa. Recomenda-se que a indicação com palavras seja feita por extenso, sem abreviações; Dado numérico : Quantificador de um fato especifico observado. A estrutura dos dados numéricos e dos termos necessários a compreensão de uma tabela deve ser feita com, no mínimo, três traços horizontais paralelos. O primeiro para separar o topo, o segundo para separar o espaço do cabeçalho. O terceiro para separar o rodapé; ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE. 15.

(17) Célula : espaço mínimo do centro de uma tabela, resultante do cruzamento de uma linha com uma coluna, destinado ao dado numérico ou ao sinal convencional. Sinal convencional: Representação gráfica que substitui um dado numérico. A substituição de um dado numérico deve ser feita por um dos sinais abaixo, conforme o caso: − zero não resultante de arredondamento; ·· Não se aplica a um dado numérico; ··· Dado numérico não disponível; x Dado omitido ; 9 0 > > 0, 0 = zero aproximado de um dado numérico originalmente positivo. Quando uma tabela 0, 00 > > ; etc . 9 −0 > > −0, 0 = zero aproximado de um dado numérico originalmente negativo. −0, 00 > > ; etc . contiver sinais convencionais, estes deverão ser apresentados em nota geral com seus respectivos significados. No caso de publicação que contenha tabelas com sinais convencionais, na qual a apresentação dos sinais e de seus significados figure em destaque, e dispensável a nota geral em cada tabela. Rodapé : Espaço inferior de uma tabela destinado a fonte, a nota geral e a nota especifica. Fonte: Identificador do responsável (pessoa física ou jurídica) ou responsáveis pelos dados numéricos. Toda tabela deve ter fonte, inscrita a partir da primeira linha de seu rodapé. A identificação do responsável ou responsáveis pelos dados numéricos deve ser feita com palavras, por extenso, e precedida da palavra Fonte ou Fontes. Quando os dados sao extraídos de algum documento, recomenda-se a indicação da referencia bibliográfica do documento e quando a tabela contiver dados numéricos resultantes de transformação dos dados numéricos obtidos na fonte, o responsável pela operação deve ser identificado em nota geral ou nota especifica. Nota geral: Texto esclarecedor do conteúdo geral de uma tabela, quando necessário. Deve ser inscrito logo após o rodapé da tabela e ser precedido do termo Nota ou Notas. Nota específica: Texto esclarecedor de algum elemento especifico de uma tabela, quando necessário. Deve ser inscrito no rodapé, logo após a nota geral (quando esta existir). Quando uma tabela contiver mais de uma nota especifica, estas devem ser distribuídas obedecendo a ordem de numeração das chamadas, separando-se uma das outras por um ponto. Chamada : Símbolo remissivo atribuído a algum elemento de uma tabela que necessita uma nota específica. A remissiva atribuída a algum elemento deve ser feita em algarismos arábicos em destaque: entre parênteses, entre colchetes, exponencial. Quando uma tabela contiver mais de uma chamada, estas devem ser distribuídas sucessivamente, de cima para baixo e da esquerda para a direita, em ordem crescente de numeração. Unidade de medida : Termo indicador da expressão quantitativa ou metrológica dos dados numéricos. Uma tabela deve ter unidade de medida, inscrita no espaço do cabeçalho ou nas colunas indicadoras, sempre que houver necessidade de se indicar, complementarmente ao título, a expressão quantitativa ou metrológica dos dados numéricos. A unidade de medida deve ser feita com símbolos ou palavras entre parênteses.. Apresentação do Tempo 1o . Toda série temporal consecutiva deve ser apresentada, em uma tabela, por seus pontos, inicial e final, ligados por hífen (-). 16. FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA.

(18) Exemplo 1.2. 2001-2004: apresenta dados numéricos para os anos de 2001, 2002, 2003 e 2004. SET 2000-FEV 2001: apresenta dados numéricos para os meses de Setembro, Outubro, Novembro, Dezembro de 20001 e Janeiro, Fevereiro e Março de 2001. 30.05.2001-06.06.2001: dados referentes aos dias 30 e 31 de Maio de 2001 e 1, 2, 3, 4, 5, e 6 de Junho de 2001. 2o . Toda série temporal não consecutiva deve ser apresentada, em uma tabela, por seus pontos, inicial e final, ligados por barra (/). Exemplo 1.3. 2001/2004: apresenta dados numéricos para os anos de 2001 e 2004, não sendo apresentados dados numéricos de pelo menos um dos anos desta serie temporal. OUT 2001/MAR 2002: dados referentes aos meses de Outubro de 2001 e Março de 2002, não sendo apresentados dados numéricos de pelo menos um dos meses desta serie temporal. 30.05.2001/06.06.2001: dados referentes aos dias 30 de Maio de 2001 e 6 de junho de 2001, não sendo apresentados dados numéricos de pelo menos um dos dias desta serie temporal. 3o . No caso de uma serie temporal não consecutiva que contenha um numero reduzido de pontos, a serie temporal pode ser apresentada por todos os seus pontos, separados por vírgula, dispensando-se proceder conforme o item (ii). 4o . Quando uma tabela contiver dados numéricos de uma safra, abrangendo dois anos, a apresentação do ponto no tempo deve ser feita com os dois últimos algarismos de cada um dos anos ligados por barra (/) e precedida da palavra Safra. Exemplo 1.4. Safra 01/02: apresenta dados numéricos de uma safra iniciada em 2001 e terminada em 2002. 5o . Quando uma tabela contiver dados numéricos de um período anual diferente do ano civil, isto deve ser indicado no título, em nota geral ou nota específica. Arredondamento de Dados Numéricos Os dados numéricos em uma tabela devem ser arredondados sempre que houver necessidade de apresentálos com um número menor de algarismos. Isto deve ser indicado em nota geral ou nota específica. 1o . O arredondamento dos dados numéricos deve respeitar as diferenças significativas (absolutas e relativas) existentes entre eles. 2o . No arredondamento do dado numérico, quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 0, 1, 2, 3 ou 4, deve ficar inalterado o ultimo algarismo a permanecer. Exemplo 1.5. Arredondar o número 9, 2317 para um número com duas casas decimais. O valor arredondado será 9, 23. 3o . No arredondamento de dado numérico, quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 5, 6, 7, 8 ou 9, deve-se aumentar de uma unidade o último algarismo a permanecer. Exemplo 1.6. Arredondar o número 9, 2317 para um número com três casas decimais. O valor arredondado será 9, 232. ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE. 17.

(19) 1.6.2. Exercício Proposto. EP 1.1. Arredondar cada um dos seguintes valores para a aproximação pedida: 48, 6 para o inteiro mais próximo 2, 484 para centésimos. (a) (b). 0, 0045 para milésimos 22, 250 para décimos. (c) (d). (g) 5, 781 para décimos (h) 23, 350 para uma casa decimal 4, 99 para décimos 25, 351 para décimos. (i) (j). (e) 1.001, 39 para o inteiro mais próximo. 324 para a dezena mais próxima. (k). 6.498 para a centena mais próxima (l). (f). 1.6.3. 5.872 para o milhar mais próximo. Exemplos de Tabelas de Algumas Séries Estatísticas. A seguir, exemplificaremos, através de tabelas, algumas séries estatísticas. Exemplo 1.7. Série temporal Índice de Produto Industrial Brasil - 1979 Meses. IPI. Exemplo 1.8. Série geográfica População residente segundo os municípios da região metropolitana de salvador − 1991 População. Municípios. (em 1.000 habitantes). Janeiro Fevereiro. 18.633 17.497. Março. 19.470. Camaçari Candeias. Abril Maio. 18.884 20.308. Dias D’Avila Itaparica. 31 15. Junho Julho. 20.146 20.258. Lauro de Freitas Madre de Deus. 69 9. Agosto Setembro. 21.614 19.717. Salvador São Francisco do Conde. Outubro Novembro. 22.133 20.503. Simões Filho. 73. Vera Cruz. 22. Dezempbro. 12.721. Total. Tabela 1.1: FONTE: IBGE Exemplo 1.9. Série específica Rebanhos brasileiros − 1992 Rebanho. Quantidade. Bovinos Eqüinos. 154.441 550. Ovinos Suínos. 19.956 34.532. Caprinos. 12.160. FONTE: Revista Isto É.. 1.6.4. 114 68. 2.496. Tabela 1.2: FONTE: IBGE, Censo Demográfico, Bahia. 1991. Exemplo 1.10. Série conjugada Terminais telefônicos em serviço1991 − 1993 1991. Região. FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA. 1993. 6.234.501 6.729.467 7.231.634. Sul Nordeste. 1.497.315 1.608.989 1.746.232 1.287.813 1.379.101 1.486.649. Centro-Oeste Norte. 713.357 342.938. 778.925 375.658. FONTE: Revista Isto É.. EP 1.2. Assinale a alternativa correta. População ou universo é um:. 18. 1992. Sudeste. Exercícios Propostos. (a) conjunto de pessoas;. 2.075 20. 884.822 403.494.

(20) (b) conjunto de indivíduos apresentando uma característica especial; (c) conjunto de todos os indivíduos apresentando uma característica comum objeto de estudo. (d) conjunto de objetos; (e) n.d.a. EP 1.3. Estabelecer quais dados são discretos e quais são contínuos: (a) número de ações vendidas diariamente na Bolsa de Valores; (b) temperaturas registradas em um posto de meteorologia; (c) vida média das válvulas de televisão produzidas por uma determinada companhia; (d) salários anuais de professores do colégio; (e) comprimentos de 1000 parafusos produzidos por uma fábrica. EP 1.4. Entre as alternativas seguintes, assinale aquela que contiver uma afirmação verdadeira. (a) Dados Brutos são aqueles que estiverem numericamente organizados; (b) Rol é um arranjo de dados numéricos brutos; (c) O conjunto das alturas de 100 estudantes, do sexo masculino, de uma universidade, arranjados em ordem crescente ou decrescente de grandeza, é um exemplo de rol de dados. EP 1.5. Entre as alternativas seguintes, assinale aquela que corresponder a uma afirmação falsa. (a) Faz-se um levantamento por censo quando todos os elementos da população são pesquisados. (b) Faz-se levantamento por amostragem quando se pesquisa parte dessa população e, com base no subconjunto pesquisado, pode-se tirar conclusão acerca da população. (c) A decisão entre os tipos de levantamento a serem realizados, censo e amostragem, depende de prazo para a realização da pesquisa e recursos financeiros disponíveis, entre outras variáveis que possam implicar em vantagens ou desvantagens do censo e da amostragem. (d) As afirmações contidas nas alternativas “a” e “c” são falsas. (e) n.d.a. EP 1.6. As fases principais do método estatístico são: (a) coleta de dados, amostragem, apresentação tabular, apresentação gráfica e definição do problema; (b) coleta de dados, amostragem, apresentação tabular, apresentação gráfica e definição do problema; (c) amostragem, apresentação tabular, apuração dos dados, interpretação dos dados e planejamento; (d) definição do problema, planejamento, coleta dos dados, apuração, apresentação dos dados, análise e interpretação dos dados; (e) coleta de dados; apuração dos dados, análise e interpretação dos dados, apresentação dos dados. EP 1.7. [TCU-94] Assinale a opção correta. (a) Estatística Inferencial compreende um conjunto de técnicas destinadas à síntese de dados numéricos. ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE. 19.