EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA. Jaime Fonseca. Daniel Torres. Vol. 2. 2ª Edição Revista e Corrigida EDIÇÕES SÍLABO

E

XERCÍCIOS

ST

A

TÍSTICA

DE

E

V

ol.

2

EXERCÍCIOS DE

STATÍSTICA

E

Jaime Fonseca

Daniel Torres

EDIÇÕES SÍLABO

Vol. 2

2ª Edição

Revista e Corrigida

Baseado na longa experiência dos autores no ensino da estatís-tica nos mais diversos cursos e escolas, esta obra apresenta um vasto conjunto de exercícios práticos resolvidos que permitirão aos alunos testar e validar os conhecimentos teóricos adquiridos.

Os estudantes de estatística encontrarão aqui as mais variadas aplicações, podendo seleccioná-las de entre os temas tratados, consoante a área de ensino e a profundidade da abordagem feita à matéria.

DANIEL FERNANDES TORRES

JAIME RAÚL SEIXAS FONSECA

é licenciado em Economia (Universidade Lusíada, 1992) e mestre em Matemática Aplicada à Economia e à Gestão (Instituto Superior de Economia e Gestão Universidade Técnica de Lisboa, 1997). Possui uma pós-graduação em E-Business (Instituto Supe-rior de Economia e Gestão, 2001). Obteve o DEA ( ) do programa

de Doutoramento em pela UPSAM (Universidade

Pontifícia de Salamanca-Pólo de Madrid, 2005). É Técnico Oficial de Contas e membro efectivo da Ordem dos Economistas.

Desde 1992 tem exercido docência em várias universidades, entre as quais, Universidade Lusíada, Universidade Internacional, Instituto Superior de Gestão Bancária, Universidade Autónoma de Lis-boa e Universidade Aberta.

Para além da docência, no início da sua carreira profissional estagiou e trabalhou como técnico no departamento financeiro de uma empresa de de um grupo bancário, tendo vindo ao longo da última década a desenvolver, ao nível da gestão, actividade como administrador e gerente de empresas e ao nível contabilístico-financeiro, actividade como director administrativo-financeiro e como Técnico Oficial de Contas de várias empresas.

é licenciado em Engenharia Electrotécnica (Faculdade de Enge-nharia – Universidade do Porto, 1977) e mestre em Probabilidades e Estatística Computacional e Análise de Dados (Faculdade de Ciências – Universidade de Lisboa, 1988).

Leccionou em universidades públicas e privadas, entre as quais, Universidade Nova, Instituto Superior Técnico – Universidade Técnica de Lisboa, Universidade Lusíada, Universidade Moderna e Universidade Internacional. Paralelamente exerceu funções no Instituto Português da Qualidade. Actualmente é docente no Instituto Superior de Ciências Sociais e Políticas – Universidade Técnica de Lisboa.

Diploma de Estudios Avanzados Sociedad de la Información y el Conocimiento

factoring

9 789726 187745 ISBN 978-972-618-774-5

EXERCÍCIOS

DE

ESTATÍSTICA

J

AIME

F

ONSECA

D

ANIEL

T

ORRES EDIÇÕES SÍLABO

É expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer forma ou meio, NOMEADAMENTE FOTOCÓPIA, esta obra. As transgressões serão passíveis das penalizações previstas na legislação em vigor.

Visite a Sílabo na rede

www.silabo.pt

Editor: Manuel Robalo

FICHA TÉCNICA:

Título: Exercícios de Estatística – Vol. 2 Autores: Jaime Fonseca e Daniel Torres

© Edições Sílabo, Lda. Capa: Pedro Mota

1ª Edição – Lisboa, Junho de 2002 2ª Edição – Lisboa, Outubro de 2014 Impressão e acabamentos: Europress, Lda. Depósito Legal: 382188/14

ISBN: 978-972-618-774-5

EDIÇÕES SÍLABO, LDA.

R. Cidade de Manchester, 2 1170-100 Lisboa Telfs.: 218130345 Fax: 218166719 e-mail: silabo@silabo.pt www.silabo.pt

Índice

PREFÁCIO 7

Capítulo 6

E

STIMAÇÃO

P

ONTUAL 9

Capítulo 7

E

STIMAÇÃO

R

EGIONAL 65

Capítulo 8

T

ESTES DE

H

IPÓTESES 97

Capítulo 9

R

EGRESSÃO

L

INEAR 171

Capítulo 10

A

NÁLISE DE

V

ARIÂNCIA 223 BIBLIOGRAFIA 295

Prefácio

Na sequência do volume I surge agora o volume II de Exercícios de Estatística, necessariamente mais virado para a Inferência Estatística.

A Estatística pretende fundamentalmente concluir sobre a população ou populações em estudo, em aspectos variados como sejam, a título de exemplo:

Š determinação de estimativas (pontuais ou regionais) de parâmetros desconhecidos;

Š estabelecer relações de ordem entre parâmetros desconhecidos de duas ou mais populações;

Š fazer Previsões para uma determinada variável. Este volume II tenta acompanhar tais desígnios.

Usando uma perspectiva traçada no volume I, estamos seguros de que pode ser uma boa contribuição para o domínio desses aspectos.

Capítulo 6

11

Exercício 1

Sabendo que certa população tem distribuição Binomial, com parâmetro p desconhecido, obtenha o estimador de máxima verosimilhança de p, com base numa amostra aleatória de dimensão n, (X1,X2,...,Xn), dela obtida. Proceda à

análise do estimador.

Resolução:

Pode aplicar-se o método de máxima verosimilhança dado tratar-se de uma função regular segundo Cramer-Rao (é duplamente diferenciável e os limites de variação não dependem do parâmetro a estimar).

1. Obtenção do estimador

( )

x

(

)

n x X p p x n x f X  − −      = > 1 ~ : µ = np ; σ2 = np

(

1− p

)

( )



(

−

)

=      =

_∏

= − n i x n x i i i _p p x n p L 1 1

(

)

(

)

( )

∑

∑

= − = = − − =

_∏

n i n i i x n i x n i i i p p x n x n _{1 1} 1 1 ! ! !

Logaritmizando a função de verosimilhança, tem-se:

(

)

(

)

( ) = − + +       − =

∑

=

∑

= − =

∏

n i n i i x n i x n i i i p p x n x n p L 1 1 1 1 log log ! ! ! log ] ) ( [ log

(

)

 + +

(

−

)

(

−

)

=   − =

_∑

_∑

_∑

= = = n i i n i i n i i i p x n p x x n x n 1 1 1 1 log log ! ! ! log

(

n x

)

x p n

(

p

)

x

(

p

)

x n n i i n i i n i i i − − − + +     − =

_∑

_∑

_∑

= = = 1 log 1 log log ! ! ! log 1 2 1 1

12

Derivando em ordem ao parâmetro,

p x p n p x p d p L d n i i n i i + −₋ − −₋ + =

_∑

_∑

= = 1 1 1 1 1 0 ] ) ( [ log 1 2 1

Igualando a zero, tem-se, após eliminar denominadores,

(

−

)

_∑

− +

_∑

= ⇔ = = 0 1 1 2 1 n i i n i i n p p x x p ⇔ = − ⇔ = + − − ⇔

_∑

_∑

_∑

_∑

= = = = 0 0 2 1 1 2 1 1 p n x x p p n x p x n i i n i i n i i n i i n x p n x p x p n n i i n i i ⇔ = ⇔ = − = − ⇔

_∑

∑

= = ˆ 2 1 1 2 (estimativa) 2. Análise do estimador n X pˆ = i) Não enviesamento

Um estimador diz-se não enviesado ou centrado, desde que E [θˆ_{] =} θ_.

Conse-quentemente, =       =             =     =

∑

_∑

= = n i i n i i X E n n X E n X E p E 1 2 2 1 1 ] ˆ [ nnp p n p n n X E n n i n i i = = = =

_∑

_∑

= =1 2 1 2 2 1 1 ] [ 1

13

ii) Coerência ou consistência

[ ]

∑

∑

∑

= = = _{ =}      =             =     = n i i n i i n i i X Var n X Var n n X Var n X Var p Var 1 4 1 4 2 1 1 1 ] ˆ [ 1

(

1

)

1

(

1

)

(

1

)

. 2 4 1 4 _n p p p p n n n p p n n n i − = − = − =

_∑

=

Sendo lim [ˆ] lim

(

1

)

0, 2 = − = ∞ → ∞ → n p p p Var n n

Por ser não enviesado e por verificar a condição anterior, diz-se que

n X

é um estimador coerente para p.

Exercício 2

a) Obtenha, através do método de máxima verosimilhança, com base na

informação contida na amostra (4, 3, 0, 2, 1, 1), uma estimativa do parâmetro desconhecido da distribuição Poisson.

b) Dessa população extraiu-se uma amostra aleatória

(

X₁, X₂, ..., X₅

)

.

Escolha, entre os dois estimadores seguintes, o mais adequado para estimar a média

( )

µ da população. Justifique adequadamente a sua opção.

(

1 2 4 5

)

2 1 2 3 2 6 1 ; T X X X X X T = = − + +

Resolução:

a)

( )

( )

; 0,1,2, ! : ~> λ = λ e−λ x = x x f P X x X

14

Como a função é regular no sentido de Cramer-Rao (é duplamente diferenciável e os limites de variação não dependem do parâmetro a estimar) pode aplicar-se o método de máxima verosimilhança. Assim,

( )

−λ − λ

∏

∏

∑

λ = λ = λ n i i x i x e i x i e x L i i ! !

( )

λ =

_∑

x λ −

_∑

x − nλ L i i i i log log ! log

( )

_{x n} L d i i _λ − = λ ∂ λ

_∑

1 log

( )

_{− = ⇔ − λ = ⇔} λ ⇔ = λ λ

_∑

_∑

0 0 1 0 log n x n x d L d i i i i x x n _i i = = λ ⇔ ˆ 1

_∑

_(estimativa) X X n _i i = = λˆ 1

_∑

_(estimador) Cálculo do valor da estimativa

1,83333 6 1 1 2 0 3 4 1 ˆ _{= = =} + + + + + ₌ λ

_∑

x x n _i i b) Estimadores Consistentes? i) Análise do enviesamento 1. Caso de T1

Para que seja um estimador não enviesado deverá ter-se E[λˆ] = λ. Sendo

_ =      =       = λ

∑

∑

= = n i i n i i E X n X n E E 1 1 1 1 ] ˆ [ =

∑

[ ]

=

∑

λ = λ = λ = = n n n X E n n i n i i 1 1 1 1 1

15

2. Caso de T 2

Identicamente, deverá ter-seE[T₂] = µ = λ. Porque

(

)

=     _{− + +} = 1 2 4 5 2 2 3 2 6 1 ] [T E X X X X E =

(

2 [ ]− [ ]+ 3 [ ]+ 2 [ ]

)

= 6 1 5 4 2 E X E X X E X E = µ− µ + µ + µ = µ = µ 6 6 ) 2 3 2 ( 6 1

T constitui assim um estimador centrado ou não enviesado para 2 µ = λ

ii) Análise da consistência

1. Caso de T 1

Para que seja consistente ou coerente, deverá ter-se lim [λˆ] = 0

∞ + → V

n , desde

que o estimador seja não enviesado. Ora

_ =      =       = λ =

∑

∑

= = n i i n i i V X n X n V V T V 1 2 1 1 1 1 ] ˆ [ ] [ n n n n X V n n i n i i = λ = λ = λ =

_∑

_∑

= =1 2 1 2 2 1 1 ] [ 1

Sendo que lim λ → 0

n e por se tratar de um estimador centrado podemos

afirmar que o estimador é consistente.

2. Caso de T 2

(

)

=     _{− + +} = 1 2 4 5 2 2X X 3X 2X 6 1 Var ] [ Var T =

(

4 [ ]+ [ ]+ 9 [ ]+ 4 [ ]

)

= 36 1 5 4 2

1 Var X Var X Var X

X Var

(

)

2 36 18 4 9 4 36 1 λ = λ = λ + λ + λ + λ =

16

Porque 0 2

lim λ ≠ , pode concluir-se que o estimador T2 não é consistente. Em conclusão, face a estes resultados, poder-se-ía concluir nesta fase que o melhor estimador para a média da população é T1.

Exercício 3

Obtenha através do método de máxima verosimilhança e da amostra que se segue, uma estimativa do parâmetro da distribuição exponencial.

4; 3; 2; 0; 3; 0

Resolução:

Obtenha-se em primeiro lugar a função de verosimilhança com base no produto das funções densidade exponencial.

Função densidade da variável com distribuição exponencial:

( )

   < ≥ λ = −λ 0 ; 0 0 ; x x e x f x X

( )

( )

−λ

∑

= = λ − = = λ = λ = λ

_∏

_∏

n i i i i x n n i x n i i X x e e f L 1 1 1

Dado tratar-se de uma função regular no sentido de Cramer-Rao, pode aplicar-se o método de máxima verosimilhança.

Aplique-se a função logaritmo à função de verosimilhança para facilitar posteriormente a derivada.

( )

= λ + =           λ = λ −λ

∑

= −λ

∑

= n i i n i i x n x n _{e e}

L _log 1 _{log log} 1

log

∑

= λ − λ = n i i x n 1 log

17 Derive-se agora em ordem a λ e iguale-se a derivada a zero.

( )

_{− ∑ = ⇔} λ = λ λ = 0 1 log 1 n i i x n d L d = ∑ ⇔ λ ⇔ = n i i x n 1 1 ⇔ ∑ = λ ⇔ = n x n i i 1 1 x x n n i i 1 ˆ 1 = ∑ = λ ⇔ =

Logo com base na amostra dada tem-se o seguinte valor para a estimativa do parâmetro: 0,5 12 6 0 3 0 2 3 4 6 1 ˆ _{= =} + + + + + = = λ x

Exercício 4

Seja

(

X1,X2,...,Xn

)

uma amostra aleatória extraída de uma população com

função densidade da forma:

( )

     > λ > λ = λ − . . ; 0 0 , 0 ; 2 3 / 2 c c x e x x f x

a) Identifique o estimador de máxima verosimilhança do parâmetro

desconhe-cido, com base na amostra aleatória.

18

Resolução:

a) Obtenha-se em primeiro lugar a função de verosimilhança com base no produto das funções densidade.

( )

( )

− λ = = λ − =

∑

=         λ = λ = = λ

_∏

_∏

_∏

/ 2 1 3 1 3 / 2 1 1 2 1 2 n i i i i x n i i n n i x i n i i X x e e x x f L

Tratando-se de uma função regular segundo Cramer-Rao, aplique-se a função logaritmo à função de verosimilhança para facilitar posteriormente a derivada.

( )

=                   λ = λ − λ =

∑

=

∏

/ 2 1 3 1 2 1 log log n i i x n i i n e x L λ ∑ − ∑ + λ − = = = n i i n i i x x n 1 1 3_{) 2 log} 2 ( log

Derive-se agora em ordem a λ e iguale-se a derivada a zero.

( )

_{= ⇔} λ ∑ + λ − = λ λ ₌ 0 3 log 2 1 n i i x n d L d ⇔ − λ + ∑ = ⇔ = 0 3 1 n i i x n 3 ˆ ₌ x λ ⇔ (estimativa) 3 ˆ ₌ X λ ⇔ (estimador)

b) Em função do resultado anterior ficamos a saber que o estimador correspon-dente é

3 ˆ ₌ X

19 1. Enviesamento

( )

λ _{= λ} = =

∑

= 3 3 ) ( 1 ) ( 1 n n X E n X E n i i ,

uma vez que E [X] = 3λ, tratando-se de uma distribuição Ga (3, λ). Assim,

λ = = λ ( ) 3 1 ) ˆ ( E X E ,

ou seja, λˆ constitui um estimador não enviesado ou centrado para λ.

2. Consistência Atendendo a que V [X] = 3λ2, 0 3 ) ( 9 1 ) ( 9 1 ) ˆ ( 2 1 2

lim

lim

lim

λ = = = λ = ∞ → = ∞ → ∞ →

∑

n X V n X V V n n i i n n .

Conclui-se assim que λˆ é um estimador consistente para λ.

Exercício 5

Considere a variável aleatória X com a seguinte função densidade

( )

; 0 1 , 0 3 3 3 _{≤ ≤ α >} + δ = xδ x x f_X

Estime com base numa amostra aleatória de tamanho n, através do método de máxima verosimilhança o parâmetro δ.

Resolução:

Como a função é regular no sentido de Cramer-Rao pode aplicar-se o método de máxima verosimilhança.

20

( )

∏

( )

∏

(

)

∏

= δ = δ =     + δ = + δ = = δ n i n i i n n i n i i X x x x f L 1 3 1 3 1 3 3 3 3

( )

(

)

=                 + δ = δ δ =

∏

3 1 3 3 log log n i i n n x L

(

)

∑

= δ + − + δ = n i i x n n 1 log 3 3 log 3 log

( )

₍

₎

₌     _{δ + − +} δ δ = δ δ

∑

₌ n i i x n n d d d L d 1 log 3 3 log 3 log log

∑

= + + δ = n i i x n 1 log 3 1 3

( )

_{+ = ⇔} + δ ⇔ = δ δ

_∑

= 0 log 3 1 3 0 log 1 n i i x n d L d ⇔ +

(

δ +

)

∑

= ⇔ = 0 log 3 3 1 n i i x n ⇔

(

δ +

)

∑

= − ⇔ = n x n i i 3 log 3 1 ⇔ δ + = − ⇔

∑

= n i i x n 1 log 3 3 3 log 3 ˆ 1 − − = δ ⇔

∑

= n i i x n 3 log 3 ˆ 1 − − = δ

∑

= n i i x n (estimativa) e 3 log 3 ˆ 1 − − = δ

∑

= n i i X n (estimador)

E

XERCÍCIOS

ST

A

TÍSTICA

DE

E

V

ol.

2

EXERCÍCIOS DE

STATÍSTICA

E

Jaime Fonseca

Daniel Torres

EDIÇÕES SÍLABO

Vol. 2

2ª Edição

Revista e Corrigida

Baseado na longa experiência dos autores no ensino da estatís-tica nos mais diversos cursos e escolas, esta obra apresenta um vasto conjunto de exercícios práticos resolvidos que permitirão aos alunos testar e validar os conhecimentos teóricos adquiridos.

Os estudantes de estatística encontrarão aqui as mais variadas aplicações, podendo seleccioná-las de entre os temas tratados, consoante a área de ensino e a profundidade da abordagem feita à matéria.

DANIEL FERNANDES TORRES

JAIME RAÚL SEIXAS FONSECA

é licenciado em Economia (Universidade Lusíada, 1992) e mestre em Matemática Aplicada à Economia e à Gestão (Instituto Superior de Economia e Gestão Universidade Técnica de Lisboa, 1997). Possui uma pós-graduação em E-Business (Instituto Supe-rior de Economia e Gestão, 2001). Obteve o DEA ( ) do programa

de Doutoramento em pela UPSAM (Universidade

Pontifícia de Salamanca-Pólo de Madrid, 2005). É Técnico Oficial de Contas e membro efectivo da Ordem dos Economistas.

Desde 1992 tem exercido docência em várias universidades, entre as quais, Universidade Lusíada, Universidade Internacional, Instituto Superior de Gestão Bancária, Universidade Autónoma de Lis-boa e Universidade Aberta.

Para além da docência, no início da sua carreira profissional estagiou e trabalhou como técnico no departamento financeiro de uma empresa de de um grupo bancário, tendo vindo ao longo da última década a desenvolver, ao nível da gestão, actividade como administrador e gerente de empresas e ao nível contabilístico-financeiro, actividade como director administrativo-financeiro e como Técnico Oficial de Contas de várias empresas.

é licenciado em Engenharia Electrotécnica (Faculdade de Enge-nharia – Universidade do Porto, 1977) e mestre em Probabilidades e Estatística Computacional e Análise de Dados (Faculdade de Ciências – Universidade de Lisboa, 1988).

Leccionou em universidades públicas e privadas, entre as quais, Universidade Nova, Instituto Superior Técnico – Universidade Técnica de Lisboa, Universidade Lusíada, Universidade Moderna e Universidade Internacional. Paralelamente exerceu funções no Instituto Português da Qualidade. Actualmente é docente no Instituto Superior de Ciências Sociais e Políticas – Universidade Técnica de Lisboa.

Diploma de Estudios Avanzados Sociedad de la Información y el Conocimiento

factoring

9 789726 187745 ISBN 978-972-618-774-5