GMA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADAGMA
LISTA DE EXERC´ICIOS
Pr´e-C´alculo
Humberto Jos´e Bortolossi
http://www.professores.uff.br/hjbortol/
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Fun¸c˜oes da forma x elevado a α, fun¸c˜oes: obtendo gr´aficos de gr´aficos
[01] Seja f (x) = 1/xn, com n ∈ N. Mostre que f ´e uma fun¸c˜ao decrescente no intervalo (0, +∞).
Mostre tamb´em que se n ´e par, ent˜ao f ´e crescente no intervalo (−∞, 0) e que se n ´e ´ımpar, ent˜ao f ´e decrescente no intervalo (−∞, 0).
[02] Sabemos que se a e b s˜ao n´umeros naturais, ent˜ao (xa)b = xa·b = (xb)a para todo x∈ R. Mostre
que esta identidade ´e falsa se a e b s˜ao n´umeros racionais.
[03] Na an´alise forense de incidentes envolvendo explosivos, muitas vezes ´e necess´ario estimar a quan-tidade de explosivo usada a partir dos danos observados `a infraestrutura. Certamente esta n˜ao ´e uma tarefa simples. No entanto, a base de c´alculos pr´aticos ´e a lei de Hopkinson, que afirma que a distˆancia de perturba¸c˜ao do centro de uma explos˜ao ´e proporcional `a raiz c´ubica da energia dissipada na explos˜ao. No caso de explosivos qu´ımicos, em vez da energia, podemos conside-rar a massa total dos explosivos. Al´em disso, como resultado de medidas emp´ıricas (Kinney e Graham, Explosive Shocks in Air, Springer-Verlag, 1985), essa lei pode ser estendida para uma f´ormula simples, que d´a o diˆametro D da cratera (em metros) que resulta de uma carga explosiva colocada ao n´ıvel do solo em fun¸c˜ao da massa M dos explosivos (em quilogramas de TNT):
D = 0.8 M1/3.
Para explos˜oes subterrˆaneas, uma an´alise mais complexa ´e necess´aria.
(a) Calcular o diˆametro aproximado da cratera resultante de uma carga explosiva equivalente a 60 kg de TNT.
(b) Determine a massa aproximada de TNT respons´avel por uma explos˜ao que resulta em uma cratera de 4 m de diˆametro.
(c) Qual deve ser o aumento percentual na massa de um explosivo a fim de dobrar o tamanho da cratera resultante?
Observa¸c˜ao: este exerc´ıcio foi extra´ıdo do livro Essential Mathematics and Statistics for Forensic
Science de Craig Adam, publicado pela John Wiley & Sons em 2010.
[04] Fun¸c˜oes da forma f (x) = c· xα s˜ao muito usadas em Biologia no estudo do tamanho e da forma dos seres vivos. De fato, os bi´ologos tˆem um nome especial para fun¸c˜oes deste tipo: fun¸c˜oes alom´etricas. Por exemplo,
y = 12.03 x0.127
´e uma fun¸c˜ao alom´etrica que modela o tempo y de incuba¸c˜ao (medido em dias) de um ovo em fun¸c˜ao de sua massa x (medida em gramas). Sabendo que um ovo de um beija-flor tem em m´edia massa igual a 0.2 g, use a f´ormula acima (e uma calculadora) para estimar o tempo de incuba¸c˜ao deste tipo de ovo.
[05] Associe cada equa¸c˜ao a seu gr´afico. Explique sua escolha. N˜ao use o computador ou uma calculadora gr´afica.
(a) y = 3 x, (b) y = 3x, (c) y = x3, (d) y =√3x.
[06] Suponha dado o gr´afico de uma fun¸c˜ao f . Escreva equa¸c˜oes para os gr´aficos obtidos a partir do gr´afico de f da forma descrita nos itens abaixo.
(a) Desloque 3 unidades para cima. (b) Desloque 3 unidades para baixo. (c) Desloque 3 unidades para direita. (d) Desloque 3 unidades para esquerda.
(e) Fa¸ca uma reflex˜ao em torno do eixo x. ( f ) Fa¸ca uma reflex˜ao em torno do eixo y. (g) Estique verticalmente por um fator de 3. (h) Encolha verticalmente por um fator de 3. [07] O gr´afico de y = f (x) ´e dado na figura a seguir. Associe cada equa¸c˜ao com seu gr´afico e dˆe raz˜oes
para suas escolhas. (a) y = f (x− 4), (b) y = f (x) + 3,
(c) y = f (x)/3, (d) y =−f(x + 4),
(e) y = 2 f (x + 6).
[08] O gr´afico de uma fun¸c˜ao f ´e dado a seguir. Use-o para fazer o gr´afico das fun¸c˜oes dos itens abaixo.
(a) y = f (2 x), (b) y = f (x/2), (c) y = f (−x), (d) y =−f(−x).
[09] Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico de
y = h(x) = −2 + 2 |x − 3|
a partir do gr´afico da fun¸c˜ao y = f (x) = 1/x usando alongamentos, compress˜oes, transla¸c˜oes e reflex˜oes. Em cada etapa, especifique qual transforma¸c˜ao vocˆe empregou e fa¸ca um esbo¸co do gr´afico da fun¸c˜ao intermedi´aria correspondente, indicando explicitamente as interse¸c˜oes com os eixos coordenados, caso existam.
[10] Fa¸ca um esbo¸co do gr´√ afico de y = h(x) = 3 √−x− 2 a partir do gr´afico da fun¸c˜ao y = f (x) =
x usando alongamentos, compress˜oes, transla¸c˜oes e reflex˜oes. Em cada etapa, especifique qual transforma¸c˜ao vocˆe empregou e fa¸ca um esbo¸co do gr´afico da fun¸c˜ao intermedi´aria correspondente, indicando explicitamente as interse¸c˜oes com os eixos coordenados, caso existam.
Respostas dos Exerc´ıcios
Aten¸c˜ao: as respostas apresentadas aqui n˜ao possuem justificativas. Vocˆe deve escrevˆe-las! [02] De fato: sejam a = 2, b = 1/2 e x = −1. Temos que (xa)b = ((−1)2)12 = 11/2 = 1 e xa·b =
(−1)2·12 = (−1)1 =−1, enquanto que (xb)a = ((−1)1/2)2 n˜ao est´a definido, pois a fun¸c˜ao x7→ x1/2
est´a definida para x≥ 0 e −1 ´e menor do que 0. [03] (a) Aproximadamente 3.1 m. (b) 125 kg. (c) 800%.
[04] Pelo modelo, o tempo de incuba¸c˜ao de um ovo de um beija-flor ´e igual a 12.03 (0.2)0.127 ≈ 10 dias.
[05] (a) G, (b) f , (c) F , (d) g.
[06] (a) y = f (x) + 3, (b) y = f (x)− 3, (c) y = f(x − 3), (d) y = f(x + 3), (e) y = −f(x), ( f ) y = f (−x), ](g) y = 3 f(x), (h) y = f(x)/3.
[07] (a) 3 , (b) 1 , (c) 4 , (d) 5 , (e) 2 . [08] Os gr´aficos s˜ao apresentados na Figura 1.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 1: Resposta do Exerc´ıcio [08].
[09] Seja y = f (x) = 1/x, cujo gr´afico ´e apresentado na Figura 2.
Etapa 1. y = g1(x) = f (|x|) = 1/|x|: para x > 0, o gr´afico de g1 coincide com o gr´afico de f e,
para x < 0, o gr´afico de g1 ´e a reflex˜ao do gr´afico de f com rela¸c˜ao ao eixo y (Figura 3).
Etapa 2. y = g2(x) = g1(x− 3) = 1/|x − 3|: o gr´afico de g2 ´e obtido fazendo-se uma transla¸c˜ao
Etapa 3. y = g3(x) = 2 g2(x) = 2/|x − 3|: o gr´afico de g3 ´e obtido fazendo-se um alongamento
vertical de fator 2 do gr´afico de g2 (Figura 5).
Etapa 4. y = g4(x) = −2 + g3(x) = −2 + 2/|x − 2|: o gr´afico de g4 ´e obtido fazendo-se uma
transla¸c˜ao vertical de 2 unidades para baixo do gr´afico de g3 (Figura 6).
Etapa 5. y = h(x) = |g4(x)| = |−2 + 2/|x − 2||: para os valores de x onde g4(x)≥ 0, o gr´afico
de h coincide com o gr´afico de g4 e, para valores de x onde g4 < 0, o gr´afico de h ´e a
reflex˜ao do gr´afico de g4 com rela¸c˜ao ao eixo x (Figura 7).
Figura 2: Gr´afico de f (x) = 1/x.
Figura 4: Gr´afico de y = g2(x) = g1(x− 3) = 1/|x − 3|.
Figura 6: Gr´afico de y = g4(x) =−2 + g3(x) =−2 + 2/|x − 3|.
[10] Seja y = f (x) =√x, cujo gr´afico ´e apresentado na Figura 8. Etapa 1. y = g1(x) = f (−x) =
√
−x: o gr´afico de g1 ´e obtido fazendo-se uma reflex˜ao com
rela¸c˜ao ao eixo y do gr´afico de f (Figura 9). Etapa 2. y = g2(x) = g1(x)− 2 =
√
−x − 2: o gr´afico de g2 ´e obtido fazendo-se uma transla¸c˜ao
vertical 2 unidades para baixo do gr´afico de g1 (Figura 10).
Etapa 3. y = g3(x) = |g2(x)| = |
√
−x − 2|: o gr´afico de g3 ´e obtido fazendo-se um reflex˜ao com
rela¸c˜ao ao eixo x dos pontos do gr´afico de g2 com ordenada negativa (Figura 11).
Etapa 4. y = h(x) = 3 g3(x) = 3|
√
−x − 2|: o gr´afico de h ´e obtido fazendo-se um alongamento
vertical de fator 2 do gr´afico de g3 (Figura 12).
Figura 9: Gr´afico de y = g1(x) = f (−x) = √ −x. Figura 10: Gr´afico de y = g2(x) = g1(x)− 2 = √ −x − 2.
Figura 11: Gr´afico de y = g3(x) =|g2(x)| = | √ −x − 2|. Figura 12: Gr´afico de y = h(x) = 3 g3(x) = 3| √ −x − 2|.
