1. Limites Considere a função
1
1
)
(
2−
−
=
=
x
x
x
f
y
.f
(x
)
é definida no domínio{
x
∈
ℜ
/
x
≠
1
}
.Fatorando o numerador e cancelando os fatores comuns, obtemos
y
=
x
+
1
, uma forma simplificada parax
≠
1
.Portanto, o gráfico de
y
=
f
(x
)
é a retay
=
x
+
1
sem o ponto (1, 2). Emboraf
(
1
)
não esteja definido, podemos obter valores def
(x
)
muito próximos de 2. Para isto, basta escolhermos parax
valores bem próximos de 1.Na proximidade esquerda de x = 1 temos:
x
f(x)
0 1 0,5 1,5 0,9 1,9 0,99 1,99 0,999 1,999 0,9999 1,9999 y 2 1 -1 0 1 2 x Na proximidade direita de x = 1 temos:x
f(x)
2 3 1,5 2,5 1,1 2,1 1,01 2,01 1,001 2,001 1,0001 2,0001 y 2 1 -1 0 1 2 x1.1 Tendência de uma variável.
x
x
x
1,8 2,5 2,5 1,89 2,1 1,89 1,956 2,04 2,04 1,9934 2,015 1,956 1,9995 2,007 2,007 1,99994 2,0003 1,9995 2,0 2,0 2,0x
2,0-x
2,0+x
2,0 +1.2 Limites laterais de uma função. Considere a função
2
)
2
)(
4
3
(
)
(
−
−
+
=
=
x
x
x
x
f
y
.f
(x
)
é definida no domínio{
x
∈
ℜ
/
x
≠
2
}
.Fatorando o numerador e cancelando os fatores comuns, obtemos
y
=
3
x
+
4
, uma forma simplificada parax
≠
2
.Portanto, o gráfico de
y
=
f
(x
)
é a retay
=
3
x
+
4
sem o ponto (2, 10). Emboraf
(
2
)
não esteja definido, podemos obter valores def
(x
)
muito próximos de 10. Para isto, basta escolhermos parax
valores bem próximos de 2.Na proximidade esquerda de x = 2 temos:
x
f(x)
1 7 1,5 8,5 1,9 9,7 1,99 9,97 1,999 9,997 1,9999 9,9997 y 10 4 0 1 2 x Na proximidade direita de x = 2 temos:x
f(x)
3 13 2,5 11,5 2,1 10,3 2,01 10,03 2,001 10,003 2,0001 10,0003 y 10 4 0 1 2 xDizemos que a função
2
)
2
)(
4
3
(
)
(
−
−
+
=
x
x
x
x
f
tem limite 10 quandox
se aproxima de 2, por números maiores ou menores que 2 e escrevemos:10
2
)
2
)(
4
3
(
lim
2−
=
−
+
→x
x
x
x Dizemos quef(x)
fica muito próximo de 10 quandox
se aproxima de 2, ou ainda queDizemos que
f(x)
tem limite lateral a esquerda igual a 10 quandox
2-.f(x)
tende para 10 quandox
tende para 2 ex
< 2.f(x)
tem limite lateral a direita igual a 10 quandox
2+.f(x)
tende para 10 quandox
tende para 2 ex
> 2. E escrevemos10
2
)
2
)(
4
3
(
lim
2−
=
−
+
− →x
x
x
x ,10
2
)
2
)(
4
3
(
lim
2−
=
−
+
+ →x
x
x
xAlguns limites podem ser encontrados por substituição direta ou mediante uma simplificação. Exemplo 01: Considere a função
y
=
f
(
x
)
=
5
x
+
2
. Então12
2
2
5
)
2
5
(
lim
)
(
lim
2 2−=
→ −+
=
×
+
=
→f
x
xx
x (limite lateral a esquerda)
12
2
2
5
)
2
5
(
lim
)
(
lim
2 2+=
→ ++
=
×
+
=
→f
x
xx
x (limite lateral a direita)
12
2
2
5
)
2
5
(
lim
)
(
lim
2 2=
→+
=
×
+
=
→f
x
xx
xExemplo 02: Considere a função
,
2
2
8
)
(
3≠
−
−
=
=
x
x
x
x
f
y
. Observe que4
2
2
)
4
2
)(
2
(
2
8
2 2 3+
+
=
−
+
+
−
=
−
−
x
x
x
x
x
x
x
x
A fatoração de
x
3−
8
pode ser obtida mediante o algoritmo de Ruffini. Veja logo abaixo.12
)
4
2
(
lim
)
2
8
(
lim
)
(
lim
2 2 3 2 2−
=
+
+
=
−
=
− − − → → →x
x
x
x
x
f
x x x(limite lateral a esquerda)
12
)
4
2
(
lim
)
2
8
(
lim
)
(
lim
2 2 3 2 2−
=
+
+
=
−
=
+ + + → → →x
x
x
x
x
f
x xx (limite lateral a direita)
12
)
4
2
(
lim
)
2
8
(
lim
)
(
lim
2 2 3 2 2−
=
+
+
=
−
=
→ → →x
x
x
x
x
f
x x xAlgoritmo de Briot-Ruffini: Divisão de
x
3−
8
porx
– 2.x
3x
2x
Cx
- 2 1 0 0 -8 2 1 (2x1+0) = 2 (2x2+0) = 4 (2x4-8) = 0 1 2 4 0 Resultado da divisão:x
2+
2
x
+
4
1.3 Limite de uma função.
Dizemos que a função f tem limite L quando
x
se aproxima de a, se o valor de f(x) se aproximado número L.
Denotamos esse fato por:
f
x
L
ax
lim
→(
)
=
Também costumamos dizer queL é o limite de f(x) quando x tende para a.
Dizemos que existe o limite
lim
f
(
x
)
ax → quando existem os limites laterais
)
(
lim
f
x
a
x → − ,x
lim
→ a+f
(
x
)
e xlim
→ a−f
(
x
)
=
xlim
→ a+f
(
x
)
. Neste caso,lim
f
(
x
)
lim
f
(
x
)
lim
f
(
x
)
a x a x a x →
=
→ −=
→ +Exemplo 03: Calcule os limites laterais e o limite da função
f
(x
)
quandox
0, caso existam.
>
+
=
<
−
=
0
4
0
0
0
1
)
(
2 2x
se
x
x
se
x
se
x
x
f
1
1
0
1
lim
)
(
lim
2 0 0−=
→ −−
=
−
=
−
→f
x
xx
x4
4
0
4
lim
)
(
lim
2 0 0+=
→ ++
=
+
=
→f
x
xx
xComo
lim
(
)
lim
(
)
00
f
x
xf
x
x → −
≠
→ + , então xlim
→ 0f
(
x
)
não existe. Exemplo 04: Calcule o limite da funçãof(x)
quandox
-> 0, caso exista.|
|
)
(
x
x
x
f
=
Desde que
<
−
≥
=
0
se
0
se
|
|
x
x
x
x
x
, temos que1
1
lim
lim
)
(
lim
0 0 0−=
→ −−
=
→ −−
=
−
→ x x xx
x
x
f
,1
1
lim
lim
)
(
lim
0 0 0+=
→ +=
→ +=
→ x x xx
x
x
f
, logo)
(
lim
0f
x
x → não existe. 1.4 Utilização em Administração• Determinação de valores máximos e mínimos
• Auxílio na confecção de gráficos
• Determinação do custo e receitas marginais
1.5 Teoremas sobre Limites
(1) Teorema da unicidade:
Se existe
lim
f
(
x
)
ax → , então este limite é único.
Dada uma função f(x), se
lim
f
(
x
)
L
1 ax →
=
e xlim
→ af
(
x
)
=
L
2, então,L
1=L
2.Em palavras, só existe um único limite para uma função em um determinado ponto. (2) Limite da função constante:
Se
c é uma constante, então, para qualquer número a
, o limite dec
quandox
tende paraa
é igual ac
c
c
a x
lim
→=
O valor do limite para qualquer ponto de uma função constante
f(x) = c é o próprio valor
dec
.O limite de uma função constante é a própria constante.
Exemplo 05:
lim
5
5
3
=
→x ; x
lim
→ 05
=
5
; xlim
→ −25
=
5
(3) Limite da função identidade:
a
x
a xlim
→=
Exemplo 06:lim
3
3=
→x
x ; xlim
→ 0x
=
0
; xlim
→ −3x
=
−
3
(4) Limite da função afim:
Se m e b são constantes quaisquer, então,
mx
b
ma
b
ax
lim
→+
=
+
O limite de uma função afim (1o grau) em um determinado ponto é o valor da função no ponto. Exemplo 06:
lim
(
5
3
)
5
4
3
20
3
23
4+
=
×
+
=
+
=
→x
x ;20
8
12
8
)
3
(
4
)
8
4
(
lim
3−
+
=
−
×
−
+
=
+
=
− →x
x (5) Limite da soma:O limite da soma é a soma dos limites
)
(
lim
)
(
lim
)]
(
)
(
[
lim
f
x
g
x
f
x
g
x
a x a x a x →+
=
→+
→ Exemplo 07:lim
(
5
3
)
23
4+
=
→x
x8
)
8
4
(
lim
4−
+
=
−
→x
x)
8
4
(
lim
)
3
5
(
lim
)]
8
4
(
)
3
5
[(
lim
4 4 4+
+
−
+
=
→+
+
→−
+
→x
x
xx
xx
x=
23
−
8
=
15
(6) Limite da diferença:O limite da diferença é a diferença dos limites
)
(
lim
)
(
lim
)]
(
)
(
[
lim
f
x
g
x
f
x
g
x
a x a x a x →−
=
→−
→ Exemplo 08:lim
(
5
3
)
23
4+
=
→x
x8
)
8
4
(
lim
4−
+
=
−
→x
x)
8
4
(
lim
)
3
5
(
lim
)]
8
4
(
)
3
5
[(
lim
4 4 4+
−
−
+
=
→+
−
→−
+
→x
x
xx
xx
x=
23
−
(
−
8
)
=
31
(7) Limite do produto:O limite do produto é o produto dos limites
)
(
lim
)
(
lim
)]
(
)
(
[
lim
f
x
g
x
f
x
g
x
a x a x a x →×
=
→×
→ Exemplo 09:lim
(
5
3
)
23
4+
=
→x
x8
)
8
4
(
lim
4−
+
=
−
→x
x)
8
4
(
lim
)
3
5
(
lim
)]
8
4
(
)
3
5
[(
lim
4 4 4+
×
−
+
=
→+
×
→−
+
→x
x
xx
xx
x=
23
×
(
−
8
)
=
−
184
(8) Limite do produto de uma constante por uma função:
)
(
lim
))
(
(
lim
k
g
x
k
g
x
a x a x →=
→É um caso particular do limite do produto, basta fazer
f
(
x
)
=
k
(9) Limite do quociente:O limite do quociente é o quociente dos limites:
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
x
g
x
f
a x a x a x → → →=
Exemplo 10:lim
(
5
3
)
23
4+
=
→x
x8
)
8
4
(
lim
4−
+
=
−
→x
x875
,
2
8
23
)
8
4
(
lim
)
3
5
(
lim
8
4
3
5
lim
4 4 4−
+
=
−
=
−
+
=
+
−
+
→ → →x
x
x
x
x x x (10) Limite da potência:O limite da potência inteira
[
f
(
x
)]
n é a potência inteira do limite da função n a x n a xlim
→[
f
(
x
)]
=
[
lim
→f
(
x
)]
Exemplo 10:lim
(
5
17
)
3
4−
=
→x
x243
3
)]
17
5
(
lim
[
)
17
5
(
lim
5 5 4 5 4−
=
→−
=
=
→x
xx
x(11) Limite da raiz n-ésima:
O limite da raiz n-ésima n
[
f
(
x
)]
é a raiz n-ésima do limite da função:n a x n a x
lim
→[
f
(
x
)]
=
[
lim
→f
(
x
)]
Exemplo 11:lim
(
5
17
)
3
4−
=
→x
x 3 3 5 3 5 4 3 5 4(
5
17
)
[
lim
(
5
17
)]
3
243
lim
−
=
−
=
=
→ →x
xx
x Exemplos: Exemplo 12: Sef
(
x
)
=
x
, temos:3
lim
)
(
lim
3 3=
→=
→f
x
xx
x0
lim
)
(
lim
0 0=
→=
→f
x
xx
x3
lim
)
(
lim
3 3=
→ −=
−
− →f
x
xx
x Exemplo 13: Sef
(
x
)
=
10
, temos:10
10
lim
)
(
lim
3 3=
→=
→ x xf
x
10
10
lim
)
(
lim
0 0=
→=
→ x xf
x
10
10
lim
)
(
lim
3 3=
→ −=
− → x xf
x
Exemplo 14: Se
f
(
x
)
=
3
−
x
, temos:0
3
3
lim
3
lim
)
3
(
lim
)
(
lim
3 3 3 3=
→−
=
→−
→=
−
=
→f
x
xx
x xx
x Exemplo 15: Sef
(
x
)
=
x
2+
5
x
−
7
, temos:7
7
0
0
7
lim
5
lim
lim
)
7
5
(
lim
)
(
lim
0 0 2 0 2 0 0=
→+
−
=
→+
→−
→=
+
−
=
−
→ x x x x xf
x
x
x
x
x
Exemplo 16: Sef
(
x
)
=
(
x
2+
4
x
−
1
)(
x
3+
4
)
, temos:=
+
−
+
=
+
−
+
=
→ → →→
(
)
lim
[(
4
1
)(
4
)]
lim
(
4
1
)
lim
(
4
)
lim
3 2 2 2 3 2 2 2f
x
xx
x
x
xx
x
xx
x132
12
11
)
4
8
)(
1
8
4
(
)
4
lim
lim
)(
1
lim
4
lim
lim
(
2 3 2 2 2 2 2+
−
+
=
+
−
+
=
×
=
=
→ → → → → x x x x xx
x
x
Exemplo 17: Se1
1
)
(
2 2+
−
=
x
x
x
f
, temos:5
4
10
8
1
9
1
9
1
lim
lim
1
lim
lim
1
lim
1
lim
1
1
lim
3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3+
=
=
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
→ → → → → → → x x x x x x xx
x
x
x
x
x
Exemplo 18: Sef
(
x
)
=
(
x
3+
2
x
)
4 temos:81
3
)
2
1
(
)
2
lim
lim
(
)]
2
(
lim
[
)
2
(
lim
4 4 4 1 3 1 4 3 1 4 3 1+
=
→+
=
→+
→=
+
=
=
→x
x
xx
x
xx
xx
x Exemplo 19: Se1
1
)
(
3 3+
−
=
x
x
x
f
temos:9
7
1
8
1
8
1
lim
1
lim
1
1
lim
1
1
lim
3 2 3 2 3 3 2 3 3 2+
=
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
→ → → →x
x
x
x
x
x
x x x x 1.5 Exercícios:Calcule, se existir, os limites:
)
7
3
(
lim
.
1
x 5x
−
2
.
xlim
−4(
5
x
+
2
)
)
1
2
(
lim
.
3
2 2x
−
x
−
x4
.
lim
(
2
4
5
)
2 3x
−
x
+
x)
8
(
lim
.
5
3 2+
−x
x6
.
lim
(
2
3
4
)
2 3 1−
+
−
−x
x
x
x1
5
5
4
lim
.
7
3−
−
x
x
x1
8
4
3
lim
.
8
2−
+
x
x
x6
2
5
lim
.
9
2 2+
−
x
x
x3
4
1
2
lim
.
10
1 2+
−
+
−x
x
x
x3
1
8
lim
.
11
1+
+
x
x
x1
4
3
lim
.
12
3 2 1−
+
+
−x
x
x
x7
49
lim
.
13
2 7−
−
x
x
x5
25
lim
.
14
2 5+
−
−x
x
x3
2
9
4
lim
.
15
2 2 3+
−
−x
x
x9
1
1
3
lim
.
16
2 3 1−
−
x
x
x4
9
2
16
8
3
lim
.
17
2 2 4−
+
−
−
x
x
x
x
x4
25
36
20
17
3
lim
.
18
2 2 4−
+
+
−
x
x
x
x
x2
8
lim
.
19
3 2+
+
−x
x
x1
1
lim
.
20
3 1−
−
x
x
x3
7
2
9
lim
.
21
2 2 3+
+
−
−x
x
x
x9
4
27
8
lim
.
22
2 3 2 3−
−
x
x
x1
1
lim
.
23
1−
−
x
x
x1
2
5
lim
.
24
1+
−
+
−x
x
xx
x
x2
2
lim
.
25
0+
−
1
1
lim
.
26
3 1−
−
x
x
x2
3
10
lim
.
27
2 2 3 0+
+
+
−
−
x
x
x
x
x
x2
6
5
3
2
lim
.
28
0 3 2 2−
+
+
−
−
x
x
x
x
x
x
≥
−
<
≤
−
−
<
+
=
3
9
3
3
4
3
9
)
(
2 2x
se
x
x
se
x
se
x
x
f
função
a
Dada
)
(
lim
)
29
(
3f
x
Calcule
x → −(
30
)
Calcule
xlim
→ 0f
(
x
)
)
(
lim
)
31
(
3f
x
Calcule
x →Calcule, se existir, os limites
