Belos Problemas: Indu¸
c˜
ao e Princ´ıpio das Gavetas de Dirichlet
Rog´erio Ricardo Steffenon1
1 Universidade do Vale do Rio dos Sinos, Email: steffenonenator@gmail.com
Neste minicurso ser˜ao apresentados e resolvidos alguns belos problemas, cuja solu¸c˜ao utiliza argumentos ele-mentares e relativamente simples. Os t´opicos principais ser˜ao: Indu¸c˜ao Matem´atica e Princ´ıpio das Gavetas de Dirichlet. Muitos dos problemas abordados surgem em Olimp´ıadas de Matem´atica e podem ser uma boa fonte para professores estimularem seus alunos a estudar Matem´atica. O texto base ´e o ebook dispon´ıvel em http://bit.ly/2j5aW0l
Alguns temas que ser˜ao abordados: Indu¸c˜ao Matem´atica: torres de Han´oi, pesagens de moedas, cobertura de tabuleiro mutilado com L-trimin´os, problema de Josephus. Sistema bin´ario e cart˜oes m´agicos bin´arios, Teorema de Zeckendorf e cart˜oes m´agicos de Fibonacci. O Hotel de Hilbert. Jogos de subtra¸c˜ao com palitos: NIM, Fibonacci NIM e outros. Princ´ıpio das Gavetas de Dirichlet.
Segue uma lista de algumas atividades que pretendemos abordar no minicurso.
Cart˜oes M´agicos Bin´arios
O matem´agico escolhe algu´em da plateia e pede que essa pessoa pense num n´umero de 1 a 63, sem revel´a-lo.
Em seguida, s˜ao apresentadas as 6 cartelas abaixo e o matem´atico faz 6 perguntas. O n´umero que vocˆe pensou est´a na primeira cartela? Est´a na segunda cartela? E assim por diante.
Ao final das 6 perguntas o matem´agico revela o n´umero que a pessoa pensou.
Ap´os realizar a m´agica umas duas ou trˆes vezes, a plateia deve deduzir o truque utilizado e por que ele sempre funciona.
Cart˜oes M´agicos Bin´arios
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 2 3 6 7 10 11 14 15 18 19 22 23 26 27 30 31 34 35 38 39 42 43 46 47 50 51 54 55 58 59 62 63 4 5 6 7 12 13 14 15 20 21 22 23 28 29 30 31 36 37 38 39 44 45 46 47 52 53 54 55 60 61 62 63 8 9 10 11 12 13 14 15 24 25 26 27 28 29 30 31 40 41 42 43 44 45 46 47 56 57 58 59 60 61 62 63
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63
Sequˆencia de Fibonacci
Consideremos a seguinte varia¸c˜ao da sequˆencia de Fibonacci F1= 1, F2= 2 e Fn= Fn−1+ Fn−2, para n > 3.
Podemos provar por indu¸c˜ao que F1+ F3+ · · · + F2n−1= F2n− 1 e F2+ F4+ · · · + F2n= F2n+1− 1.
Teorema de Zeckendorf: Todo n´umero inteiro positivo pode ser escrito de modo ´unico como soma de termos n˜ao consecutivos da sequˆencia Fn.
Agora o matem´agico escolhe algu´em da plateia e pede que essa pessoa pense num n´umero de 1 a 120, sem revel´a-lo.
Em seguida, s˜ao apresentadas as 10 cartelas abaixo e o matem´atico faz at´e 10 perguntas. O n´umero que vocˆe pensou est´a na primeira cartela? Est´a na segunda cartela? E assim por diante. Aqui h´a uma coisa que impressiona mais, pois se o n´umero estiver numa determinada cartela, ele n˜ao estar´a na seguinte e, nesse caso, a quantidade de perguntas pode ser inferior a 10.
Ao final das perguntas o matem´agico revela o n´umero que a pessoa pensou.
Ap´os realizar a m´agica umas duas ou trˆes vezes, a plateia deve deduzir o truque utilizado e por que ele sempre funciona.
Cart˜oes M´agicos de Fibonacci
1 4 6 9 12 14 17 19 22 25 27 30 33 35 38 40 43 46 48 51 53 56 59 61 64 67 69 72 74 77 80 82 85 88 90 93 95 98 101 103 106 108 111 114 116 119 122 124 2 7 10 15 20 23 28 31 36 41 44 49 54 57 62 65 70 75 78 83 86 91 96 99 104 109 112 117 120 125 130 133 138 143 146 151 154 159 164 172 175 180 185 188 193 198 201 206
3 4 11 12 16 17 24 25 32 33 37 38 45 46 50 51 58 59 66 67 71 72 79 80 87 88 92 93 100 101 105 106 113 114 121 122 126 127 134 135 139 140 5 6 7 18 19 20 26 27 28 39 40 41 52 53 54 60 61 62 73 74 75 81 82 83 94 95 96 107 108 109 115 116 117 128 129 130 141 142 143 149 150 151 8 9 10 11 12 29 30 31 32 42 43 44 45 46 63 64 65 66 67 84 85 86 87 88 97 98 99 100 101 118 119 120 121 122 131 132 133 134 135 152 153 154 13 14 15 16 17 18 19 20 47 48 49 50 51 52 53 54 68 69 70 71 72 73 74 75 102 103 104 105 106 107 108 109 136 137 138 139 140 141 142 143 157 158 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 165 166 167 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 199 200 201 202 203 204 205 206 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
Jogos de subtra¸c˜ao com palitos
NIM – vers˜ao cl´assica
Temos k pilhas com n1, n2, . . . , nk palitos em cada uma delas e dois jogadores E e D. Os dois jogam
alternada-mente e, em cada jogada, aquele que estiver na sua vez pode retirar quantos palitos quiser (pelo menos um) de apenas uma pilha. Ganha quem retirar o ´ultimo palito.
Para esse jogo define-se a Soma Nim e o Teorema de Bouton (1901) d´a a estrat´egia vencedora para o jogo:
Sejam n um inteiro positivo e duas n-uplas de n´umeros inteiros (a1, . . . , an) e (b1, . . . , bn). Definimos a soma
nim como sendo (a1 a2 a3 · · · an)2⊕ (b1 b2 b3 · · · bn)2 = (c1 c2 c3 · · · cn)2, onde somamos coordenada a
coordenada m´odulo 2: ci= ai+ bi(mod 2).
Por exemplo, (26)10⊕ (14)10= (11010)2⊕ (01110)2= (10100)2= (20)10.
Teorema de Bouton – 1901
Um jogo que tem k pilhas de tamanhos n1, n2, . . . , nk ´e posi¸c˜ao perdedora se, e s´o se, n1⊕ n2⊕ · · · ⊕ nk= 0.
NIM Bin´ario
Seja N um inteiro maior do que 2. Arnaldo e Bernaldo disputam o seguinte jogo: h´a N pedras em uma pilha. Na primeira jogada, feita por Arnaldo, ele deve tirar uma quantidade k de pedras da pilha com 1 6 k < N . Em seguida, Bernaldo deve retirar uma quantidade de pedras m da pilha com 1 6 m 6 k, e assim por diante, ou seja, cada jogador, alternadamente, tira uma quantidade de pedras da pilha entre 1 e a mesma quantidade de pedras que seu oponente tirou, inclusive. Ganha o jogador que tirar a ´ultima pedra.
Para cada valor de N , determine qual jogador garante a vit´oria, independente de como o outro jogar, e explique qual ´e a estrat´egia vencedora para cada caso.
Fibonacci NIM
Seja N um inteiro maior do que 2. Arnaldo e Bernaldo disputam o seguinte jogo: h´a N pedras em uma pilha. Na primeira jogada, feita por Arnaldo, ele deve tirar uma quantidade k de pedras da pilha com 1 6 k < N . Em seguida, Bernaldo deve retirar uma quantidade de pedras m da pilha com 1 6 m 6 2k, e assim por diante, ou seja, cada jogador, alternadamente, tira uma quantidade de pedras da pilha entre 1 e o dobro da ´ultima quantidade de pedras que seu oponente tirou, inclusive. Ganha o jogador que tirar a ´ultima pedra.
Para cada valor de N , determine qual jogador garante a vit´oria, independente de como o outro jogar, e explique qual ´e a estrat´egia vencedora para cada caso.
Princ´ıpio das Gavetas de Dirichlet – PGD
Apresentaremos o princ´ıpio e resolveremos alguns problemas como, por exemplo:
(a) Na cidade do Rio de Janeiro h´a pelo menos duas mulheres com a mesma quantidade de fios de cabelo na cabe¸ca.
(b) Se escolhermos mais do que n n´umeros do conjunto {1, 2, . . . , 2n}, ent˜ao dois deles s˜ao primos entre si.
(c) Se escolhermos mais do que n n´umeros do conjunto {1, 2, . . . , 2n}, ent˜ao um deles ser´a m´ultiplo do outro.
(d) Seja a 6= 0 um algarismo no sistema decimal. Todo n´umero natural n tem um m´utiplo que se escreve apenas com os algarismos 0 e a.
(f) Se tivermos nove n´umeros inteiros positivos que n˜ao possuem divisores maiores que cinco, ent˜ao existem dois cujo produto ´e um quadrado perfeito.
(g) IMO1985 Dado um conjunto M com 1985 inteiros positivos distintos, nenhum dos quais tem diviso-res primos maiodiviso-res do que 23, mostre que h´a 4 elementos em M cujo produto ´e uma quarta potˆencia. (Resolveremos o problema trocando 1985 por 1537).
(h) De qualquer conjunto com 2n+1− 1 n´umeros inteiros positivos sempre ´e poss´ıvel escolher 2n elementos
tais que a soma destes ´e divis´ıvel por 2n.
(i) Em um torneio de xadrez h´a 2n + 3 participantes. Cada par de participantes joga exatamente uma partida entre si. Os jogos s˜ao arranjados de modo que n˜ao haja dois jogos simultˆaneos e cada participante, ap´os jogar uma partida, fica livre durante as pr´oximas n partidas. Prove que um dos participantes que jogou na primeira partida tamb´em vai jogar a ´ultima partida.
(j) Se pj o j-´esimo n´umero primo, mostre que a soma abaixo ´e um n´umero irracional.
+∞ X j=1 1 2pj = 1 22 + 1 23 + 1 25 + 1 27 + · · ·
(k) Prove que existem 1000 n´umeros consecutivos entre os quais h´a exatamente 144 n´umeros primos.
(l) O plano foi pintado usando trˆes cores. Prove que existem dois pontos de mesma cor distando exatamente um metro. (Esse problema ´e imposs´ıvel para 7 ou mais cores e est´a em aberto para 4, 5 ou 6 cores).
(m) Cada ponto do per´ımetro de um triˆangulo equil´atero ´e pintado de uma de duas cores: azul e vermelho. Mostre que ´e poss´ıvel escolher trˆes pontos da mesma cor formando um triˆangulo retˆangulo.
Princ´ıpio Probabil´ıstico das Gavetas de Dirichlet ou Problema dos Anivers´arios
Em um grupo de N pessoas, a probabilidade de que haja pelo menos duas que fa¸cam anivers´ario no mesmo dia
e mˆes ´e igual a 1 −365 × 364 × · · · × (366 − N )
365N .
Referˆ
encias
[1] FERGUSON, T.S. Game Theory. (http://www.math.ucla.edu/ tom/math167.html)
[2] MORGADO, A.C.; CARVALHO, J.B.P.; CARVALHO, P.C.P.; FERNANDEZ, P. An´alise Combinat´oria e Probabilidade. 10.ed. Rio de Janeiro: SBM, 2016.
[3] ROSEN, K. Matem´atica Discreta e Suas Aplica¸c˜oes. S˜ao Paulo: McGraw-Hill, 2009.
[4] SANTOS, J.P.O.; MELLO, M.P.; MURARI, I.T.C. Introdu¸c˜ao `a An´alise Combinat´oria. Rio de Janeiro: Ciˆencia Moderna, 2007.
[5] STEFFENON, R.R; GUARNIERI, F.M. Belos problemas de matem´atica: indu¸c˜ao e contagem. Rio de Janeiro: SBM, 2016. Dispon´ıvel em http://bit.ly/2j5aW0l
