Função Exponencial. f(x) = a x. C.E.! a > 0 e a 1. 0 < a < 1 y. a > 1 y. 1 x. 0 < a < 1 a >1. crescente. decrescente

Função Exponencial

f(x) = ax C.E. ! a > 0 e a ≠ 1 0 1 a 0 < a < 1 a >1 decrescente crescente f(x) = ax x y 0 < a < 1 1 x y a > 1 1

Função Exponencial

Ex. : f(x) = 5x + 3 x y 0 1 5x 4 3 Domínio: D = R Imagem: Im = (3 , ∞)

(UDESC)

Se x é solução da equação 34x−1 _{+ 9}x _{= 6,então x}x _{é igual a:}

a . ( ) b . ( ) c . ( ) d . ( ) 1 e . ( ) 27 2 2 1 4 1 2

(UDESC)

Se x é solução da equação 34x−1 _{+ 9}x _{= 6,então x}x _{é igual a:}

34 x−1 + 9x = 6 34 x 31 + 3 2x _{= 6} x (3) 34 x + 3.32x = 18 (32x)2 + 3.(32x)−18 = 0 32x _{= z} ( )z 2 + 3.( ) −18 = 0z y2 + 3y −18 = 0 zz = 3 ou z = −6z 32x = 31 ou 32x = −6 ∅ 2x = 1 ∪ S = x ∈R / x = 1 2 ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ Resolução:

(UDESC)

Se x é solução da equação 34x−1 _{+ 9}x _{= 6,então x}x _{é igual a:}

Gabarito: a xx ₌ 1 2 ⎛ ⎝ ⎞⎠ 1 2 xx ₌ 1 2 ⎛ ⎝ ⎞⎠ S = x ∈R / x = 1 2 ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ xx ₌ 1 2 . 2 2 xx ₌ 2 2

Exponencial

Inequação 7 5 ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ x > 7 5 ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 4 x 4 > > base > 1 3 8 ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ x > 3 8 ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 4 x 4 > < 0 < base < 1

Diagonais passam pelo centro(regular) d_c= n/2

POLÍGONOS

Diagonais d = n.(n-3)/2

Soma dos ângulos externos Se = 3600

Ângulo externo polígono regular a_e = 3600_/n

Ângulo interno polígono regular ai + ae = 1800

POLÍGONOS

Soma dos ângulos internos Si = 1800.(n-2)

ˆc _ˆd ˆe

Solução :

Diagonais que não passam pelo centro : diagonais – diagonais passam centro

d = d – dc

d = n.(n – 3)/2 - n/2 30 = (n2 _{– 3n – n)/2}

Um cliente encomendou a um joalheiro um pingente especial, sendo a sua unica exigência, apenas o fato de ser um polígono regular e possuir 30 diagonais que não passam pelo centro. O formato do pingente seria

exatamente qual poligono regular

Geometria Plana

60 = n2 _{– 4n}

0 = n2 _{– 4n – 60}

DECÁGONO

Logaritmo

Definição: log_b a = x bx _{= a} Condição de Existência: Base: b > 0 e b ≠ 1 Logaritmo: x é real Logaritmando: a > 0 Exemplos: 1) log_0,25 32 = x 1. 0,25x _{= 32} 1 4 ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ x = 32 1 22 ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ x = 25 2−2x _{= 2}5 −2x = 5 x = − 5 2 log_0,25 32 = − 5 2

Logaritmo

Definição: log_b a = x bx _{= a} Condição de Existência: Base: b > 0 e b ≠ 1 Logaritmo: x é real Logaritmando: a > 0 Exemplos: 3) 5.log_(x−2)

(

3x − 8

)

= 10 1. ÷(5) log_(x−2)

(

3x − 8

)

= 2 x − 2

(

)

2 = 3x − 8 x2 _{− 4x + 4 = 3x − 8} x2 _{− 7x +12 = 0} x₁ = 3 ou x₂ = 4 S = { 4 }

Logaritmo

1) log_b1 = 0 2) log_bbn _{= n} 3) log x = log₁₀ x 4) lnx = log_e x (Logaritmo natural) e = 2,71...

6)b

log_ba

₌

7)7

log₇5

₌

₅

5) lne7 _{= log} e e7 = 7

8)e

ln9

₌

₉

a

UDESC

Os pontos nesta escala são um logaritmo na base 10 da quantidade de energia liberada. O terremoto ocorrido no Nordeste do Japão em 11 de março de 2011 atingiu 9 pontos nesta escala, enquanto o terremoto mais intenso registrado na história, ocorrido no Chile em 1960, atingiu 9,5 pontos nesta escala. É correto afirmar que a quantidade de energia liberada no sismo do Chile foi:

a.  ( ) 5 vezes a do Japão.

b.  ( ) aproximadamente igual à do Japão. c.  ( ) 0,5 vezes a do Japão.

d.  ( ) aproximadamente 0,3 vezes a do Japão. e.  ( ) aproximadamente 3 vezes a do Japão.

UDESC

Os pontos nesta escala são um logaritmo na base 10 da quantidade de energia liberada. O terremoto ocorrido no Nordeste do Japão em 11 de março de 2011 atingiu 9 pontos nesta escala, enquanto o terremoto mais intenso registrado na história, ocorrido no Chile em 1960, atingiu 9,5 pontos nesta escala. É correto afirmar que a quantidade de energia liberada no sismo do Chile foi:

Resolução: _{P = log}

10(E)

Japão: 9 = log₁₀(E_J)

UDESC

É correto afirmar que a quantidade de energia liberada no sismo do Chile foi:

a.  ( ) 5 vezes a do Japão.

b.  ( ) aproximadamente igual à do Japão. c.  ( ) 0,5 vezes a do Japão.

d.  ( ) aproximadamente 0,3 vezes a do Japão. e.  ( ) aproximadamente 3 vezes a do Japão.

Resolução: log₁₀(E_J) = 9 ₁₀9 _{= E} J log₁₀(E_C) = 9,5 ₁₀9,5 _{= E} C E_C = x . E_J 109,5 _{= x . 10}9

x

=

10

9,5

10

9

UDESC

É correto afirmar que a quantidade de energia liberada no sismo do Chile foi:

a.  ( ) 5 vezes a do Japão.

b.  ( ) aproximadamente igual à do Japão. c.  ( ) 0,5 vezes a do Japão.

d.  ( ) aproximadamente 0,3 vezes a do Japão. e.  ( ) aproximadamente 3 vezes a do Japão.

Resolução:

x

=

10

9,5

10

9

x

=

10

0,5

_x

_{= 10}

≅ 3,16.

Triângulos

! ! ! B I C O aricentro ncentro ircuncentro rtocentro ! Medianas Bissetrizes Mediatrizes Alturas

Pontos notáveis dos triângulos

mediana bis setr iz m ed ia tr iz RevisaCOC al tu r a

Geometria Plana

Circunferência Ângulos:

Central Inscrito Segmento

A B x x A B x 2x x x 2x O tangente secante

Geometria Plana

r R l/2

Polígono regular

a = r R l l l l/2 30° r l l l l R l/2 45° 60°

Áreas:

Triângulos:

A_equilátero = A_lados = S_rainho = A_raião = A_ângulo =

Quadriláteros

A_trapézio= _(B+b).h/2 A_losango= (D.d)/2 ℓ2_√3/4 √p.(p-a).(p-b).(p-c) p . a a . b . c/4R a . b . senC/2

Num terreno triangular de lados 13, 14 e 15 será construído um galinheiro no formato circular de maneira a estar inscrito no terreno, calcule quantos frangos cabem neste galinheiro sabendo que teremos 3 animais por m2_{. (considere π = 3 )}

13 14 15 13+14 +15 p = 2 42 = 2 = 21 S = p.a r r r A = π.r2 A = 84 m2 84 = 21.r S = p.a r = 4 m A = (3).42 A = 48m2 3 --- 1 m2 x --- 48m2 x= 144 animais

Geometria Plana

A = p(p-a)(p-b)(p-c)

A = 21(21-13)(21-14)(21-15) A = 21(8)(7)(6) A = 3.7.2.2.2.7.2.3 A = 84 m2

Logaritmo

Propriedades:

log_b (a.c) = log_b a + log_bc log_b (a.c) = log_b a + log_bc

I)

log_b (a/c) = log_b a – log_bc log_b (a/c) = log_b a – log_bc

II)

log_b ( an _{) = n.log}

b a logb ( an ) = n.logb a III)

Logaritmo

Treinando as propriedades:

1) log₃5 + log₃2 = log₃10 2) log26 – log13 = log 2 3) log(x2_{.y)= 2.logx+ log y}

4) log(a5_/b2_{)= 5.loga – 2.log b}

Logaritmo

Treinando as propriedades:

6) ln (53_.27_{) = 3.ln 5 + 7.ln 2}

7) log 72 = log (23_.32_{) = 3.log 2 + 2.log 3}

8) log a 2_.b3 c5 ⎛ ⎝⎜ ⎞

Logaritmo Boa Prova

Uma importância R$ 10.000,00 foi aplicada a juros

compostos de 4% ao mês durante 10 meses. Sabendo-se que log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17,

podemos concluir que os juros obtidos nessa aplicação foram de: a)  R$ 3.200,00 b)  b) R$ 3.600,00 c) R$ 3.800,00 d) R$ 4.800,00 e) R$ 2.200,00 ESPM

Uma importância R$ 10.000,00 foi aplicada a juros compostos de 4% ao mês durante 10 meses. Sabendo-se que log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17, podemos concluir que os juros obtidos nessa aplicação foram de:

M = C.(1 + i)t

M = 10000.(1+0,04)10

M = 10000.(1,04)10

Boa Prova

Logaritmo

Dados: log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17 Juros: ?

M = 10000.(1,04)10

log M = log [10000.(1,04)10_]

log M = log 10000 + log(1,04)10

log M = 4 + 10.log(1,04)

Logaritmo

Dados: log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17 Juros: ? log M = 4 + 10.log(1,04) log M = 4 + 10. (0,017) log M = 4 + 0,17 log M = 4 + log 1,48 Resolução:

Boa Prova

Logaritmo

Dados: log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17 Juros: ? log M = 4 + log 1,48 log M – log 1,48 = 4 log M 1,48 ⎛ ⎝ ⎞⎠ = 4 Resolução:

Dados: log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17 Juros: ? C _{+ J = 14.800} 10.000 _{+ J = 14.800} J _{= 4.800} log₁₀ M 1,48 ⎛ ⎝ ⎞⎠ = 4 104 ₌ M 1,48 (10000).(1,48) = M M = 14.800 Gabarito: d Resolução:

Mudança de base

log_b a = log log c c a b log2 5 = log log 3 3 5 2 log_b a = 1 log_ab log( )bn a= 1 n .logb a

UDESC

4) Sejam a, b e c números reais positivos tais que

log₂ a+log₁ 4 b−log₁ 2 c = 3 Então b é igual a: a. ( ) b. ( ) c. ( ) d. ( ) e. ( ) ac 8 a2 _{+ c}2 64 a_{+ c} 32 a2_c2 64 ac 32

UDESC

Sejam a, b e c números reais positivos tais que

log

₂

a

+log

₁ 4

b

−log

₁ 2

c

= 3

Então b é igual a: Resolução:

log

₂

a

_+log

₁ 4

b

_−log

₁ 2

c

_{= 3}

log

₂

a

+log

₍₂−2₎

b

−log

₍₂−1₎

c

= 3

UDESC

log

₂

a

_+log

₍₂−2₎

b

−log

₍₂−1₎

c

= 3

log

₂

a

+

1

−2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

.log

2

b

−

1

−1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

.log

2

c

= 3

log

₂

a

−

log

2

b

2

+log

2

c

= 3

2.log

₂

a

_−log

₂

b

_{+ 2.log}

₂

c

_{= 6}

UDESC

2.log

₂

a

_−log

₂

b

_{+ 2.log}

₂

c

_{= 6}

log

₂

a

2

_+log

2

c

2

−

log

2

b

= 6

log

₂

a

2

.c

2

b

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= 6

26 ₌ a2.c2 b b = a2_.c2 64 Gabarito: d

Matemática Básica

Um professor, criador de galinhas, calcula que se 12 animais, comendo 12 horas por dia, em 12 dias , consomem 12 kg de ração, então em 24 dias, 24 galinhas, comendo 24 horas por dia, consumirão quantos kg de ração.

Resolução: Kg DE COMIDA Animais 12 12 x 24 HRS/DIA 12 24 DIAS 12 24 24 12 . 24 12 . 24 12 12 = x 2 1 . 2 1 . 2 1 12 = x 96 = x = 12 . 12 . 12 12 x 24.24.24 96 = x

•  Professor Erivaldo, para tirar um dinheirinho a mais, passou a nos fins de semana, vender roupas femininas colocando uma margem de 150% nas peças

Resolução:

2,5

.

X

Com era aniversário da sua esposa, ele como presente lhe vendeu algumas peças a preço de custo. Calcule o desconto dado sobre as peças para que o preço volte ao que era antes.

= 1 1∟2,5 10∟25 100∟25 0,4 X = 0,4 DESCONTO DE 60%

Matemática Básica

AULA 3 – PORCENTAGEM

Função Composta

Questão

Dadas as funções f(x) = x2 _{– 6x + 1 e ,} g(x)= x + 8

encontre a função gof(x).

Resolução: gof(x) = g(f(x)) gof(x) = (x2 − 6x +1)+ 8 gof(x) = x2 − 6x + 9 gof(x) = (x − 3)2 gof(x) = x − 3 x2 _{= x}

Função Composta

Questão

Dadas as funções fog(x) = x2 _{+ 5 e} f(x) = x + 3

x , encontre a função g(x). Resolução: fog(x) = f(g(x)) fog(x) = g+ 3 g g+ 3 g = x 2 _{+ 5} g+ 3 = g.x2 + 5.g 3 = g.x2 + 5.g− g 3 = g.x2 + 4.g g.(x2 + 4) = 3 g= 3 x2 _{+ 4} g(x) = 3 x2 _{+ 4}

Função Inversa

Encontre as inversas das seguintes expressões:

a) f(x) = 3x + 5 4x + 7 b) f(x) = 7 9x + 2 f−1(x) = .x .x + 5 4 − 7 − 3 f −1_{(x) =} −7x + 5 4x − 3 f(x) = 0x + 7 9x + 2 f −1_{(x) =} −2x + 7 9x − 0

Função Inversa

O gráfico de uma função e o gráfico da sua inversa sempre serão simétricos em relação as B.Q.I.

x

y _{f B.Q.I.}

f-1

A composta de uma função com a sua inversa sempre

resultará na função identidade

fof-1_{(x) = x}

Geometria Espacial

Poliedros de Platão

T

H

O

D

I

ETRAEDRO

EXAEDRO

CTAEDRO

ODECAEDRO

COSAEDRO

4

6

8

12

20

Teorema de Euler

V + F = A + 2

Poliedros Fechados

S = 360º (V – 2)

Geometria Espacial

Um cristal de rocha foi achado e o seu valor varia de acordo com o número de vértices que ele possui. Sabendo que este cristal é formado por seis faces quadrangulares e duas faces hexagonais e que cada vértice representa um ganho de R$ 50,00, calcule o seu valor.

6

F4

2

F6

F = 8

+

6(4) + 2(6)

A =

2

A = 18

V + F = A + 2 V + 8 = 18 + 2 V = 12

24 + 12

A =

2

50.12

R$600,00

ENEM 2013 Baiano

Discursiva UFSC

No período que precede o Natal, o comércio faz muitas promoções visando incrementar suas vendas e, com esse objetivo, um Atacadista fez uma promoção, vendendo o quilo da bala a R$ 4,00. Além disso, a cada x quilos adquiridos, x ≤ 60, o cliente teria x% de desconto, e, a partir dessa quantidade, ele teria um desconto de 60%. De acordo com as informações, pede-se:

Discursiva UFSC

a) O valor V a ser pago por um cliente que comprou x quilos de bala nessa promoção, 0 ≤ x ≤ 100, é dado pela função V(x). Encontre a lei de formação e faça o gráfico desta função.

b) Alfredo, Beatriz, Carlos e Daniel compraram 10, 15, 30 e 40 quilos de bala, respectivamente. Qual deles poderia ter comprado mais balas e gasto a mesma quantia, se empregasse melhor seus conhecimentos de Matemática?

“o quilo da bala a R$ 4,00”

“a cada x quilos adquiridos, x ≤ 60, o cliente teria x% de desconto”

“a partir dessa quantidade, ele teria um desconto de 60%” Resolução: a) V(x), para 0 ≤ x ≤ 60.

x

= 5⇒

SBM

V(x)

=

4.(5)

−

⎛

_⎝⎜

₁₀₀

5

⎞

_⎠⎟

.(4.5)

Discursiva a) V(x), para 0 ≤ x ≤ 60. Resolução: SBM

x

= 5⇒

V(x)

=

4.(5)

−

⎛

_⎝⎜

₁₀₀

5

⎞

_⎠⎟

.(4.5)

x

= 37 ⇒

V(x)

=

4.(37)

−

37

100

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

.(4.37)

“o quilo da bala a R$ 4,00”

“a cada x quilos adquiridos, x ≤ 60, o cliente teria x% de desconto”

“a partir dessa quantidade, ele teria um desconto de 60%” Resolução: a) V(x), para 0 ≤ x ≤ 60.

x kg

⇒

SBM

V(x)

=

4.(x)

−

x

100

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

.(4.x)

Resolução: a) V(x), para 0 ≤ x ≤ 60.

x kg

⇒

SBM

V(x)

=

4.(x)

−

x

100

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

.(4.x)

V(x)

= 4x −

4x

2

100

Questão 01:

“o quilo da bala a R$ 4,00”

“a cada x quilos adquiridos, x ≤ 60, o cliente teria x% de desconto”

“a partir dessa quantidade, ele teria um desconto de 60%” Resolução: a) V(x), para 60 ≤ x ≤ 100.

x

= 60 ⇒

V(x)

=

4.(60)

−

60

100

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

.(4.60)

Discursiva a) V(x), para 0 ≤ x ≤ 60. Resolução: SBM

x

= 5⇒

V(x)

=

4.(5)

−

⎛

_⎝⎜

₁₀₀

5

⎞

_⎠⎟

.(4.5)

x

= 70 ⇒

V(x)

=

4.(70)

−

70

100

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

.(4.70)

Resolução: a) V(x), para 60 ≤ x ≤ 100.

x kg

⇒

SBM

V(x)

=

4.(x)

−

60

100

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

.(4.x)

V(x)

= 4x −(0,6).4x

V(x)

=1,6.x

Discursiva UFSC a) V(x), para 0 ≤ x ≤ 100.

V(x)

₌

⎧

⎨

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

4x

₋

4x

2

100

, se

0

≤ x ≤ 60

1,6.x , se

60

_{< x ≤100}

Resolução: SBM

V(x)

₌

4x

−

4x

2

100

, se 0

≤ x ≤ 60

1,6.x, se 60

_{< x ≤100}

⎧

⎨

⎪

⎩⎪

Discursiva UFSC a) Gráfico de Raízes:

4x

−

4x

2

100

= 0

100.x

_{− x}

2

_{= 0}

x

₁

_{= 0 ou x}

₂

_{= 100}

x

_V

₌

0

+100

2

x

_V

_{= 50}

y

_V

_{= 100}

Discursiva UFSC a) Gráfico de Raízes:

x

₁

_{= 0}

x

₂

_{= 100}

Vértice:

V(50,100)

x V 0 50 100 100 60 96 60 96 100 160

V(x)

₌

4x

−

4x

2

100

, se 0

≤ x ≤ 60

1,6.x, se 60

_{< x ≤100}

⎧

⎨

⎪

⎩⎪

Discursiva UFSC

b) Alfredo, Beatriz, Carlos e Daniel compraram 10, 15, 30 e 40 quilos de bala, respectivamente. Qual deles poderia ter comprado mais balas e gasto a mesma quantia, se empregasse melhor seus conhecimentos de Matemática?

Resolução: SBM

Discursiva UFSC b) Alfredo 10kg Beatriz 15kg Carlos 30kg Daniel 40kg x V 50 100 60 96 100 160 40

Discursiva UFSC b) x V 50 100 60 96 100 160 40 Daniel poderia ter comprado 60kg de balas e pago os mesmos R$ 96,00.

Prismas

A_l = 2P_b.h Área Lateral A_t = 2A_b + A_l Área Total V = A_b.h Volume PA - (x – r, x, x + r) PG ⎛_⎜ ⎞_⎟ ⎝ ⎠ x - , x, x.q q Proporcionais a x = b y = c z = k

A área total de um paralelepípedo reto retângulo é de 10 m² e suas dimensões são inversamente proporcionais aos números 3, 4, 5. Determine doze vezes o volume desse paralelepípedo.

UDESC

Geometria Espacial – Prismas Especiais

a.3= b.4 = c.5 = k a = b = c = k 3 k 4 k 5 A_t = 2.(a.b + a.c + b.c) 10 = 2.(k2_{/12 + k}2_{/15 + k}2_/20) 5 = 12k² /60 k² = 25 ⇒ k = 5 = 5 3 V_P =a.b.c V_P = V_P = 25 m³ a b c = 5 4 = 1 5 3 . 5 4 .1 V_P = 25 12

(ACAFE)

Uma piscina cilíndrica, cujas medidas são indicadas na figura abaixo, é cheia com uma mangueira a uma taxa de 1570 L por hora. Com base nestes dados, e considerando π = 3,14 , analise as afirmações a seguir.

1m3 ₌

x m3 _{= 1570L}

1570L = 1,57m3

1000L

(ACAFE)

Uma piscina cilíndrica, cujas medidas são indicadas na figura abaixo, é cheia com uma mangueira a uma taxa de 1570 L por hora. Com base nestes dados, e considerando π = 3,14 , analise as afirmações a seguir.

1570L = 1,57m3 Em 1h o volume será: V = (1,57.1)m3 Em 2h o volume será: V = (1,57.2)m3 . . . . . . Em th o volume será: V = (1,57.t)m3

(ACAFE)

I) A função h(t), onde h indica a altura alcançada pela água dentro da piscina em metros e t o tempo em horas, é uma função do segundo grau. V = (1,57.t)m3 _{V = A} b.h V = π.r2_.h V = 3,14.(2)2_.h V = 12,56.h 12,56.h = 1,57.t h = 0,125.t

(ACAFE)

II) O enchimento da piscina será interrompido quando a piscina estiver completamente cheia; neste caso, pode-se dizer que a função h(t) tem como domínio o conjunto D = {t ∈ R / 0 ≤ x ≤ 12,56} . h = 0,125.t Função h(t): 1,57 = 0,125.t t = 12,56h Domínio de h(t): D = {t ∈ R / 0 ≤ t ≤ 12,56} . Correto

(ACAFE)

III) O tempo total de enchimento

desta piscina será de 12 horas e 56 minutos. Incorreto h = 0,125.t Função h(t): 1,57 = 0,125.t t = 12,56h Domínio de h(t): D = {t ∈ R / 0 ≤ t ≤ 12,56} .

Corte que passa pelo eixo Secção Meridiana h = g 2r g = 2r Cilindro Equilátero

Cilindro

Secções

Pirâmides

PIRÂMIDES

Áreas de uma Pirâmide

a_p Área Lateral A_l = 2pb.ap 2 Área Total A_t = A_b + A_l b A .h V = 3 Volume da Pirâmide

Pirâmides

PIRÂMIDES

Secção Transversal

Corte Paralelo à Base

h₁ h₂ = a_b1 a_b2 = k h₁ h₂ = A_b1 A_b2 a_b1 a_b2 = V₁ V₂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 a_p1 a_p2 = A_l1 A_l2 = V₁ V₂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 Secções

O projeto de uma vela decorativa no formato de uma pirâmide quadrangular regular com altura x e à partir dela são produzidas duas outras, uma no formato de uma nova pirâmide e outra na forma de um tronco, ambas são geradas no mesmo instante por uma secção transversal a 4 cm da sua base e esta base tem uma área igual a 4 vezes a área da secção, calcule x Resolucão: 4.A_b A_b 4 h b B

A

h

H A

=

2

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

h h + 4 ! " # $ % & 2 = Ab 4.A_b h 1 h 4 2+ =

2h h 4

_{= +}

h 4

₌

x

= 4

+ 4 = 8

Geometria Espacial

Baiano h h + 4 ! " # $ % & 2 = 1 4

Sobre os conjuntos abaixo, analise as afirmações a seguir. A={x ∈ N * / x < 200}

B={x∈A / x é múltiplo de 8}

C = { x ∈ A / x é m ú l t i p l o d e 3}

I) O conjunto BUC possui 90 elementos. II) O conjunto C possui 65 elementos.

III) O conjunto dos múltiplos naturais de 3 e 8 menores que 200 possui 8 elementos.

IV) A soma dos elementos contidos em AUB é igual a 8169.

Sobre os conjuntos abaixo, analise as afirmações a seguir. A={x ∈ N * / x < 200} B={x∈A / x é múltiplo de 8} C = { x ∈ A / x é múltiplo de 3} Resolução: A = { 1 , 2 , 3 , 4 , . . . , 199 } B = { 8 , 16 , 24 , . . . , } ? 199 8 24 7 199 – 7 = 192 192 n(B) = 24 C = { 3 , 6 , 9 , . . . , } ? 199 3 66 1 199 – 1 = 198 198 n(C) = 66 (ACAFE)

I) O conjunto BUC possui 90 elementos. Resolução: B = { 8 , 16 , 24 , . . . , 192 } n(B) = 24 C = { 3 , 6 , 9 , . . . , 198 } n(C) = 66 n(BUC) = n(B) + n(C) – n(B∩C) B∩C = { múltiplos de 3 e de 8 } = { múltiplos de 24} B∩C = { 24 , 48, 72 , . . . , } 199 24 8 7 199 – 7 = 192 ? 192 Incorreto n(B∩C) = 8 (ACAFE)

II) O conjunto C possui 65 elementos. Resolução: B = { 8 , 16 , 24 , . . . , 192 } n(B) = 24 C = { 3 , 6 , 9 , . . . , 198 } n(C) = 66 Incorreto (ACAFE)

III) O conjunto dos múltiplos naturais de 3 e 8 menores que 200 possui 8 elementos.

Resolução: B∩C = { múltiplos de 3 e de 8 } = { múltiplos de 24} B∩C = { 24 , 48, 72 , . . . , } 192 ? Correto n(B∩C) = 8 (ACAFE)

IV) A soma dos elementos contidos em AUB é igual a 8169.

Resolução:

A = { 1 , 2 , 3 , 4 , . . . , 199 } B = { 8 , 16 , 24 , . . . , 192 }

AUB = { 1 , 2 , 3 , 4 , . . . , 199 } ( P.A. de razão 1) S ₌

(

a1 + an

)

.n 2 S = 1+199

(

)

.199 2 S =19900 Incorreto (ACAFE)

I) O conjunto BUC possui 90 elementos. II) O conjunto C possui 65 elementos.

III) O conjunto dos múltiplos naturais de 3 e 8 menores que 200 possui 8 elementos.

IV) A soma dos elementos contidos em AUB é igual a 8169.

Assinale a alternativa correta.

A ⇒ Todas as afirmações são verdadeiras. B ⇒ Apenas II e III são verdadeiras.

C ⇒ Apenas a afirmação III é verdadeira.

D ⇒ Apenas III e IV são verdadeiras. _{Gabarito: c}

Incorreto

Correto

Incorreto

Incorreto

CONE

CONE

Secção Transversal

Corte paralelo a base

R r Secções r R = h H h H = A_b A_B r R = V_menor V_maior ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 g G = A_b A_B = V_menor V_maior ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2

CONE

CONE

Corte que passa pelo eixo

Secção Meridiana h 2r g = 2r Cone Equilátero g Secção meridiana é um triângulo equilátero. Secções

Geometria Espacial

Um recipiente, que tem o formato de um cilindro reto foi enchido com água por 4 copos no formato de um cone invertido (vértice voltado para baixo) com geratriz 5cm e altura 4cm, fazendo o nível de água alcançar a altura de 3 cm no cilindro. Em seguida colocou-se uma esfera dentro do recipiente cilíndrico, fazendo com que a altura da água do recipiente suba mais 2 cm, calcule o volume da esfera.

Resolução: 5 3 4 b C A .h V = 3 2 π.r .h = 3 2 C π.3 .4 V = 3 3 = 12π cm V_{6 copos} = 12π . 4 _{= 48π} 3

r

V = A_b.h = π. r². h 48π = r2._π.3 r2 _{= 16 cm} r= 4 cm

Geometria Espacial

Resolução: 3 4 = π. 4². 2 = 32π cm3 r = 4 cm r 2 x

Um recipiente, que tem o formato de um cilindro reto foi enchido com água por 4 copos no formato de um cone invertido (vértice voltado para baixo) com geratriz 5cm e altura 4cm, fazendo o nível de água alcançar a altura de 3 cm no cilindro. Em seguida colocou-se uma esfera dentro do recipiente cilíndrico, fazendo com que a altura da água do recipiente suba mais 2 cm, calcule o volume da esfera.

V_ESFERA = V_{CILINDRO DESLOCADO}

Área Volume A = 4. π .R 2 V = 4. π .R 3 ____________ 3 V_ESFERA V_ESFERA = π. r². h V_ESFERA

(ACAFE)

Uma família sai de férias da cidade A para a cidade C. Para isso, precisam passar obrigatoriamente pela cidade B. Existem três rodovias (D, E e F) que ligam as cidades A e B e outras duas rodovias (G e H) que ligam as cidades B e C. As distâncias e os valores de pedágio dos trajetos estão no quadro abaixo.

A até B B até C A até C Distância Valor

D

Incorreto

Em relação ao enunciado, analise as afirmações a seguir. I) Partindo da cidade A, existem seis percursos e seis valores distintos de pedágio para chegar até a cidade C.

G DG 145 2,30 D H DH 146 2,35 E G EG 149 2,35 E H EH 150 2,40 F G FG 150 2,40 F H FH 151 2,45 (ACAFE)

Em relação ao enunciado, analise as afirmações a seguir. II) Existem percursos de igual distância e com valores iguais de pedágio para ir de A até C.

Correto

A até B B até C A até C Distância Valor

D G DG 145 2,30 D H DH 146 2,35 E G EG 149 2,35 E H EH 150 2,40 F G FG 150 2,40 F H FH 151 2,45 (ACAFE)

Em relação ao enunciado, analise as afirmações a seguir. III) O maior valor total pago no pedágio é de R$ 2,45.

Correto

A até B B até C A até C Distância Valor

D G DG 145 2,30 D H DH 146 2,35 E G EG 149 2,35 E H EH 150 2,40 F G FG 150 2,40 F H FH 151 2,45 (ACAFE)

Em relação ao enunciado, analise as afirmações a seguir. IV) A menor distância total percorrida não corresponde ao menor valor do pedágio pago.

Incorreto

A até B B até C A até C Distância Valor

D G DG 145 2,30 D H DH 146 2,35 E G EG 149 2,35 E H EH 150 2,40 F G FG 150 2,40 F H FH 151 2,45

Todas as afirmações corretas estão em: C ⇒ II – III

Geometria Analítica

Distância entre dois pontos:

(d_AB)2 _{= (x} B – xA)2 + (yB – yA)2 A( 7 , 5 ) B( 3 , 2 ) – 4 ( )2 – 3 ( )2 + d2 ₌ d= 5 P( 5 , –2 ) Q(–3 , 4 ) – 8 ( )2 – 6 ( )2 + d2 ₌ d= 10

Questão

Geometria Analítica

Determine a soma das coordenadas do baricentro do triângulo de vértices nos pontos A(0, 1) , B(1, 4) e C(2, 1).

A B C G Coordenadas do Baricentro: G(x_G , y_G) x_G = + + 3 0 1 2 _y G = + + 3 1 4 1 x_G = 1 y_G = 2 G( 1 , 2 )

(UDESC) Dadas as matrizes A =

e B = , encontre a relação entre x e y tal

que a igualdade det(A-1 _Bt _{–A) = -8 seja verdadeira.}

Resolução: det ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 3 1 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x y 1 2 8 2 3 1 2 1 2 2 3 1 2 − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − x y 8 2 3 1 2 3 2 6 2 2 4 − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − x y x y det 8 5 2 9 2 1 2 − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − x y x y det -5x –1 + 3y = 8 y = 9+5x 3

MATRIZES

Geometria Analítica

Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(7,-2). (r) A B P A(1,2) , B(7,-2) , P( , ) x y A , B e P são colineares Determinante = zero   1   = 0 2 7 -2 x y 1 2

Geometria Analítica

Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(7,-2). (r) A B P   1   = 0 2 7 -2 x y 1 2  - 2                       = 0 + + 7y + + 2x + – – 14 – + 2x – – y 4x + 6y – 16 = 0 (÷2) 2x + 3y – 8 = 0 Equação na forma Geral

Geometria Analítica

Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(7,-2). 2x + 3y – 8 = 0 Forma Geral 3y = – 2x + 8 y = −2 3 .x + 8 3 Forma Reduzida Coeficiente angular: m = −2 3 Coeficiente linear: b = 8 3 y x 8/3 8 __ 3 α tgα = -2/3 –2 ___ 3

A( 1 , 2 ) B( 7 , -2 )

Geometria Analítica

Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(7,-2). A( 1 , 2 ) B( 7 , -2 ) -6.y = 4.x -14 -2 -16 -6y - 4x + 16 = 0 ÷(-2) 3y + 2x - 8 = 0

(UDESC) Sabendo que : i f c h e b g d a = 4 Calcule o determinante de : 2a 6b 2c d 3e f 5g 15h 5i = 4.

Determinante

2. 5. 3 = 120

Geometria Analítica

Equação da reta:

Um ponto e o coeficiente angular: A(-3,2) e m = 5 y – y₀ = m.(x – x₀) 5x – y + 17 = 0 y = a.x + b y = 5.x + b A(-3,2) 2 = 5.(-3) + b b = 17 y = 5x + 17 y – 2 = 5.(x +3)

Geometria Analítica

Retas paralelas:

Mesmo coeficiente angular r//s ! m_r = m_s

Retas perpendiculares:

Coeficientes angulares, inversos e opostos

(r) 3x – 4y + 2 = 0 (s) 3x – 4y + c = 0 (r) 5x + 2y – 3 = 0 (s) 2x – 5y + c = 0 r ⊥ s ⇒m_r = −1 m_s

Discuta o sistema:

2x − y = 3

mx + 2y = −a

"

#

$

SISTEMAS LINEARES

( . 2 )

4x − 2y = 6

mx + 2y = −a

"

#

$

( 4 + m ).x + 0.y = ( 6 – a )

S.P.I

0.x + 0.y = 0 m = - 4 e a = 6

S.I

0.x + 0.y = R* m = - 4 e a ≠ 6

S.P.D

m ≠ - 4

+

Tá na hora , tá na hora De sistemas estudar Se for S.P.D

Uma solução eu vou achar Mas se for S.P.I

Infainite vai dar E se for o S.I.

Ninguém consegue calcular

S.P.D. , S.P.I. 3x ÔH , ÔH , ÔH

Se você for bem tanço você vai se confundir

S.P.D não vai dar zero S.P.I. Todos vão dar

S.I. primeiro membro, ninguém consegue calcular

S.P.D. , S.P.I. 3x ÔH , ÔH , ÔH

Se você for bem tanço você vai se confundir

S.P.D. , S.P.I. 3x ÔH , ÔH , ÔH

Se você for bem tanço você vai se confundir

Geometria Analítica

Equação da circunferência:

Dados : Centro C(a , b) e Raio r

Exemplo: C( 3, -2) e r = 5

(x – a)2 _{+ (y – b)}2 _{= r}2

Geometria Analítica

Equação da circunferência: x2 _{+ y}2 _{– 6x + 4y – 12 = 0} ÷(-2) ÷(-2) C ( 3 , -2 ) (3)2 _{+ (-2)}2 _{– (-12) = r}2 9 + 4 + 12 = r2 r = 5

Polinômios Boa Prova

Questão 02

Seja C a região do plano cartesiano definida pela desigualdade (x – 2)2 _{+ (y – 2)}2 _{≤ 4 e seja P a região}

definida por x ≥ 2 ou y ≥ 2. A área da região intersecção entre C e P é:

A) π B) 2π C) 3π

Polinômios Boa Prova Resolução: C: (x – 2)2 _{+ (y – 2)}2 _{≤ 4} Centro: C(2,2) Raio: r = 2 x y 2 P: x ≥ 2 ou y ≥ 2. 2 Intersecção entre C e P:

Polinômios Boa Prova

Resolução:

Área da intersecção entre C e P:

x y 2 2 A _{= 3. π}.r2 4 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ A _{= 3. π}.22 4 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ A _{= 3π} Gabarito: C

SISTEMAS LINEARES

1 −1 1 −1 1 1 1 1 1 −1 1 −1 −1 −1 −1 3 −1 1 −1 −1 2 −2 3 −2 a " # $ $ $ $ $ $ % & ' ' ' ' ' '

S.P.I

S.I

_S.P.D

Segundo estudos realizados em um centro de pesquisas geológicas, a probabilidade de um terremoto ocorrer no mar de certa cidade é de 70%, e a probabilidade de ocorrer em terra é de 30%. Em ambos os casos podem ou não ocorrer danos à cidade. Se o terremoto ocorre no mar há 60% de chances de ocorrer danos à cidade. Se o terremoto ocorre em terra, a probabilidade de ocorrer danos é de 82%. Qual é a probabilidade de um terremoto ocorrer no mar e não haver danos à cidade?

A⇒ 57,4% B⇒ 12,6% C_{⇒ 42%} D⇒ 28%

Terremoto no mar: P(M) = 70% Terremoto na terra: P(T) = 30%

Terremoto no mar com danos: P(D) = 60% Terremoto na terra com danos: P(D) = 82%

“Qual é a probabilidade de um terremoto ocorrer no mar e não haver danos à cidade?”

Resolução: P(M) e P(ND)

(0,70) (0,40) x = 0,28

D ⇒ 28%

TRIGONOMETRIA

1: Analisar a função f(x) = - 2 - cos(3x), quanto ao domínio,

imagem, período, paridade e gráfico. Df = R Imf = [-2-1, -2+1] P = 2π 3 = [-3, -1] 2π = 3 Paridade = par -1 - 3 -2

3) Dada a função y = 2 + tg , calcular: Dy: D_y: x _≠ 3kπ Imy = R Py = π 1 3 = 3π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x π + 3 2 ≠ x π π + +kπ 3 2 2

Função Tangente

Resolução:

Equação Exponencial

2x+5 + 3x = 3x+2 + 2x+2 + 2x 2x+5 − 2x+2 − 2x = 3x+2 − 3x 2x.25 − 2x.22 − 2x = 3x.32 − 3x 2x.( 32− − ) =4 ₁ 3x.( 9 − )₁ 2x.27 = 3x.8 2x 3x = 8 27 2 3 ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ = 2 3 ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ x ₃ x = 3 S = { 3 }

PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Notações Especiais

(x-r,x,x+r)

PA de 3 termos a₃ + a₇ = a₄ + a₆

P.A. (a,b,c)

b =

a + c

2

Notações Especiais ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝

q

x, x, xq

⎠ PG de 3 termos

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

P.G. (a,b,c)

b² = a.c

a₃ . a₇ = a₄ . a₆ Relacionamento Juros X P.G.

CEMCINEMA