Matemática Financeira Fácil - 14ª Edição

MATEMÁTICA

FINANCEIRA

FÁCIL

14a edição Atualizada

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ISBN 9788502125384

CIP - BRASIL. CATALOGAÇÃO NA FONTE

Matemática financeira fácil / Antônio Arnot Crespo. – 14.ed. atual. – São Paulo : Saraiva, 2009.

Contém exercícios ISBN 9788502125384

1. Matemática financeira. I. Título. 09-2315.

CDD: 650.01513 CDU: 51-07

Copyright © Antônio Arnot Crespo 2009 Editora Saraiva

Todos os direitos reservados.

Diretora editorial: Flávia Helena Dante Alves Bravin Gerente editorial: Marcio Coelho

Editoras: Rita de Cássia da Silva

Juliana Rodrigues de Queiroz

Produção editorial: Viviane Rodrigues Nepomuceno Suporte editorial: Rosana Peroni Fazolari

Marketing editorial: Nathalia Setrini Aquisições: Gisele Folha Mós

Arte, Produção e Capa: Casa de Idéias

ou forma sem a prévia autorização da Editora Saraiva.

A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei no 9.610/1998 e punido pelo artigo 184 do Código Penal.

APRESENTAÇÃO

Este livro destina-se aos alunos de cursos técnicos (Contabilidade, Administração, Secretariado etc.) e, também, aos alunos de cursos superiores que necessitem de um estudo introdutório de Matemática Financeira.

Procuramos apresentar os tópicos exigidos para os cursos técnicos da rede de ensino particular e oficial de uma maneira acessível ao aluno, dentro de um esquema de ensino objetivo e prático, sem fugir ao necessário rigor matemático.

Com o intuito de aperfeiçoar a obra, promovemos uma importante reformulação, que resultou na atualização do texto e dos assuntos.

No Capítulo 7, apresentamos uma rápida abordagem sobre a Correção Monetária e os vários Planos Econômicos.

O estudo é complementado por grande quantidade de exercícios, onde procuramos trabalhar com situações práticas.

Os exercícios, sempre colocados em pontos estratégicos de cada capítulo, estão divididos em três seções:

• Exercícios resolvidos — exemplos para a fixação do assunto estudado;

• Resolva — exercícios de aprendizagem imediata;

• Exercícios — seqüência graduada de exercícios propostos.

No final do livro, colocamos um apêndice com complementos de Matemática, onde apresentamos assuntos que constituem os pré-requisitos para o entendimento da Matemática

Financeira, que poderão ser usados ou não, dependendo exclusivamente da necessidade do aluno. Há também uma seção com Tábuas Financeiras e de Logaritmos e tabela para contagem de dias.

Esperamos oferecer aos prezados colegas e aos caros alunos um instrumento útil para o aprendizado da Matemática Financeira.

Aproveitamos para agradecer a todos aqueles que confiaram em nosso trabalho, utilizando este livro, e, em especial, àqueles que, fazendo suas críticas, deram-nos a oportunidade de melhorá-lo.

Continuamos a acolher os pareceres e sugestões para o aperfeiçoamento deste trabalho.

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 – PROPORÇÕES 1.1 Introdução

1.2 Razões

1.2.1 Razão de dois números 1.2.2 Razão de duas grandezas 1.3 Proporções

1.3.1 Definição 1.3.2 Elementos

1.3.3 Propriedade fundamental

1.3.4 Cálculo de um termo desconhecido 1.3.5 Recíproca da propriedade fundamental 1.3.6 Transformações

1.4 Série de razões iguais

1.4.1 Propriedade fundamental

CAPÍTULO 2 – GRANDEZAS PROPORCIONAIS 2.1 Introdução

2.2 Grandezas diretamente proporcionais 2.2.1 Definição

2.2.2 Gráfico

2.2.3 Propriedade característica

2.2.4 Números diretamente proporcionais 2.2.5 Propriedade dos números proporcionais 2.3 Grandezas inversamente proporcionais

2.3.1 Definição 2.3.2 Gráfico

2.4.1 Definição 2.4.2 Propriedade

CAPÍTULO 3 – DIVISÃO PROPORCIONAL – REGRA DE SOCIEDADE 3.1 Divisão proporcional

3.1.1 Introdução

3.1.2 Divisão em partes diretamente proporcionais 3.1.3 Divisão em partes inversamente proporcionais 3.1.4 Divisão proporcional composta

3.2 Regra de sociedade CAPÍTULO 4 – REGRA DE TRÊS 4.1 Definição 4.2 Regra de três simples 4.3 Regra de três composta CAPÍTULO 5 – PERCENTAGEM 5.1 Introdução 5.2 Taxa percentual

5.3 Elementos do cálculo percentual 5.4 Problemas de percentagem 5.5 Taxa unitária

5.6 Fórmula para o cálculo percentual

CAPÍTULO 6 – OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS 6.1 Introdução

6.2 Vendas com lucro

6.2.1 Sobre o preço de custo 6.2.2 Sobre o preço de venda 6.3 Vendas com prejuízo

6.3.1 Sobre o preço de custo 6.3.2 Sobre o preço de venda 6.4 Abatimentos sucessivos

CAPÍTULO 7 – OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS 7.1 Correção monetária

7.1.1 Moeda 7.1.2 Inflação

7.1.3 Correção monetária 7.2 Os vários planos econômicos

7.2.1 O Plano Cruzado

7.2.2 O Plano Cruzado Novo ou Plano Verão 7.2.3 O Plano Collor

7.2.4 O Plano Real 7.3 Câmbio

7.3.1 Taxa de câmbio

7.3.2 Tabela de taxas de câmbio 7.3.3 Conversão de moedas 7.3.4 Operação cambial

CAPÍTULO 8 – JURO SIMPLES 8.1 Introdução

8.2 Juro – capital – taxa 8.3 Regimes de capitalização 8.4 Juro simples

8.5 Cálculo do juro simples 8.6 Taxas proporcionais 8.7 Taxas equivalentes

8.8 Juro comercial e juro exato

8.9 Determinação do número exato de dias entre duas datas 8.10 Montante

CAPÍTULO 9 – DESCONTO SIMPLES 9.1 Introdução

9.2 Títulos de crédito 9.3 Desconto

9.4.2 Valor do desconto comercial 9.4.3 Valor atual comercial

9.4.4 Taxa de juro efetiva 9.5 Equivalência de capitais 9.6 Desconto racional

9.6.1 Definição

9.6.2 Valor do desconto racional

9.6.3 Valor do desconto racional em função do valor nominal 9.6.4 Valor atual racional

CAPÍTULO 10 – JURO COMPOSTO 10.1 Introdução

10.2 Juro composto

10.3 Cálculo do montante

10.4 Determinação do fator de capitalização 10.4.1 Calculadora eletrônica 10.4.2 Tábua financeira 10.4.3 Logaritmos 10.5 Cálculo do capital 10.6 Taxas proporcionais 10.7 Taxas equivalentes

10.8 Cálculo da taxa equivalente

10.9 Montante para períodos não-inteiros 10.10 Taxa nominal

10.11 Taxa efetiva

10.12 Taxa real e taxa aparente

CAPÍTULO 11 – DESCONTO COMPOSTO 11.1 Introdução

11.2 Cálculo do valor atual

CAPÍTULO 12 – CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃO COMPOSTAS 12.1 Introdução 12.2 Rendas 12.3 Capitalização composta 12.3.1 Renda imediata 12.3.2 Renda antecipada 12.4 Amortização composta 12.4.1 Renda imediata 12.4.2 Renda antecipada 12.4.3 Renda diferida CAPÍTULO 13 – EMPRÉSTIMOS 13.1 Introdução

13.2 Sistema Francês de Amortização 13.2.1 Determinação do saldo devedor

13.2.2 Sistema Francês com prazo de carência 13.2.3 Sistema Price

13.3 Sistema de Amortização Constante 13.3.1 Determinação do saldo devedor

13.3.2 Sistema de Amortização Constante com prazo de carência 13.4 Sistema de Amortização Misto

13.5 Empréstimo com correção monetária

APÊNDICE – COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA 1. Medidas de tempo

1.1 Transformação de complexo em não-complexo 1.2 Transformação de não-complexo em complexo 2. Potenciação

2.1 Definição

2.2 Bases especiais 2.3 Propriedades

3.3 Função recíproca 3.4 Função exponencial 4. Progressões 4.1 Seqüência 4.2 Progressão aritmética 4.3 Progressão geométrica 5. Logaritmos decimais 5.1 Definição 5.2 Conseqüências da definição

5.3 Propriedades operacionais dos logaritmos 5.4 Característica e mantissa

TÁBUAS E TABELAS RESPOSTAS

1 PROPORÇÕES

1.1 Introdução

O conceito de proporção tem uma importância muito grande, não apenas em Matemática, como também no cotidiano.

Frequentemente empregamos proporções em nosso dia-a-dia, embora sem utilizar símbolos matemáticos.

Quando fazemos uma justa crítica de uma estátua, dizendo que “ela tem uma cabeça muito

grande”, não estamos nos referindo à medida absoluta da cabeça. Em uma estátua, a cabeça pode ser “muito grande”, mesmo medindo a metade, um quarto ou um décimo da cabeça verdadeira; é “muito grande” proporcionalmente ao conjunto da própria estátua.

O estudo de proporções é de inestimável valor para nós, já que todos os temas a serem desenvolvidos neste livro se baseiam nas grandezas proporcionais.

1.2 Razões

1.2.1 Razão de dois números

Razão do número a para o numero b (diferente de zero) é o quociente de a por b.

Indicamos:

ou a : b (lemos: a para b)

Os números a e b são os termos da razão; a é chamado antecedente e b, conseqüente da razão. Exemplos:

2. A razão de 20 para 5 é:

3. A razão entre

4. A razão entre e 7 é:

Resolva

1. Calcule a razão entre os números: a) 256 e 960

b) 1,25 e 3,75 c)

d)

1.2.2 Razão de duas grandezas

Razão de duas grandezas, dadas em uma certa ordem, é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda.

Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade. Neste caso, a razão é um número puro.

Exemplos:

1. A razão de 2 m para 3 m é:

2. A razão de 30 dm para 6 m é:

Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão.

Exemplo:

Um automóvel percorre 160 km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é:

Podemos dizer, então, que esse automóvel faz em média 80 km em 1 hora ou 80 km/h.

b) 40 g e 5 cm3 c) 24 kg e 80 kg d) 20 cm e 4 dm e) 20 d e 2 me 15 d 1.3 Proporções 1.3.1 Definição

Dados quatro números (15, 3, 20 e 4), como a razão entre os dois primeiros números (15 e 3) é igual à razão entre os dois últimos (20 e 4), isto é:

dizemos que os números 15, 3, 20 e 4, nesta ordem, formam uma proporção, que expressamos mediante a igualdade das duas razões:

Assim:

Dados, em uma certa ordem, quatro números (a, b, c e d) diferentes de zero, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual à razão entre os dois últimos (c e d).

Simbolicamente, representamos uma proporção por:

e lemos: “a está para b, assim como c está para d”.

Essas anotações põem em evidência o fato de que uma proporção é uma igualdade entre duas razões.

Exemplos: 1.

2.

1.3.2 Elementos Na proporção:

temos:

1.3.3 Propriedade fundamental

Sejam a, b, c e d números reais diferentes de zero, tais que:

Multiplicando os dois membros da igualdade por bd (produto dos conseqüentes da proporção), obtemos:

Simplificando, temos:

Exemplo:

Dada a proporção:

temos:

Exercício resolvido

1. Verifique se são ou não verdadeiras as seguintes proporções: a) b) Resolução: a) Temos: 6 × 28 = 168 e 7 × 24 = 168 ⇒ 6 × 28 = 7 × 24 Logo, é verdadeira. b) Temos: 2 × 15 = 30 e 3 × 12 = 36 ⇒ 2 × 15 ≠ 3 × 12 Logo, é falsa.

Resolva

1. Aplicando a propriedade fundamental, verifique se são ou não proporções as seguintes expressões:

a) b)

c)

d)

1.3.4 Cálculo de um termo desconhecido

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, é sempre possível determinar o valor de um termo qualquer quando são conhecidos os outros três.

Exercício resolvido

a)

b)

Resolução:

a) Temos, aplicando a propriedade fundamental:

Logo: × = 80

Logo:

Resolva

a)

b)

c)

1.3.5 Recíproca da propriedade fundamental

Consideremos quatro números reais quaisquer (a, b, c e d), diferentes de zero, tais que o produto de dois deles seja igual ao produto dos outros dois, isto é:

ad = bc

Dividindo ambos os membros dessa igualdade pelo produto de um dos fatores do primeiro membro por um dos fatores do segundo (por exemplo, db), temos:

o que nos permite escrever:

Podemos, então, concluir que:

Dados quatro números reais e diferentes de zero, tais que o produto de dois deles seja igual ao produto dos outros dois, esses números formam uma proporção que tem para extremos os fatores de um dos produtos e para meios os fatores do outro.

Simbolicamente:

NOTA:

• Observe que da igualdade ad = bc podemos, por um processo análogo, obter as proporções:

Exercícios resolvidos

1. Escreva os produtos 11 × 30 = 15 × 22 sob a forma de uma proporção. Resolução:

Temos, pela recíproca da propriedade fundamental:

2. Comprove se os números 3, 7, 15 e 35, não obrigatoriamente nesta ordem, formam uma proporção e, em caso afirmativo, escreva-a.

3 × 35 = 105 e 7 × 15 = 105 ⇒ 3 × 35 = 7 × 15 Logo:

Resolva

1. Escreva sob a forma de uma proporção os produtos: a) 6 × 25 = 5 × 30

b)

2. Comprove se os números a seguir, não obrigatoriamente na ordem dada, formam proporção; em caso afirmativo, escreva-a:

a) 8, 4, 4 e 3 b) 2, 3, 4 e 6 c)

1.3.6 Transformações

Transformar uma proporção é escrever seus termos em uma ordem diferente da original. As transformações permitidas em uma proporção são aquelas em que dispomos seus termos de modo que a igualdade dos produtos dos extremos e dos meios não sofra alteração.

Assim, dada a proporção:

temos:

• alternando os extremos:

• invertendo os termos:

• transpondo as razões:

NOTA:

• É fácil perceber que podemos obter oito proporções, distintas duas a duas.

Resolva

1. Escreva de oito maneiras diferentes a proporção 1.4 Série de razões iguais

Considerando as razões:

vemos que todas são iguais a 2. Logo, podemos escrever:

Essa expressão é denominada série de razões iguais ou proporção múltipla. Em símbolos:

NOTA:

• A proporção é o caso particular em que a série de razões se reduz a duas razões.

1.4.1 Propriedade fundamental Seja a série de razões iguais:

Fazendo a razão comum igual a k, obtemos:

onde:

a = bk, c = dk, …, m = nk Somando membro a membro essas igualdades, vem:

a + c + … + m = bk + dk + … + nk Pondo k em evidência, temos:

a + c + … + m = k (b + d + … + n) onde:

Como:

Assim:

Em uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo consequente.

Exemplo:

Exercícios resolvidos

1. Calcule x, y e z, sabendo que x + y + z = 420. Resolução:

Temos, pela propriedade fundamental da série de razões iguais:

Como x + y + z = 420, podemos escrever:

Logo:

x = 108, y = 132 e z = 180

2. Determine os antecedentes de uma proporção, sabendo que sua soma é 47 e que os conseqüentes são 2 e 8.

Resolução:

Temos, chamando de x e y os antecedentes:

Pela propriedade fundamental da série de razões iguais, podemos escrever:

Como x + y = 60, vem:

Daí:

9,4 + 37,6 = 47,0

Logo, os antecedentes são 9,4 e 37,6, respectivamente.

3. Determine dois números, sabendo que sua soma é 60 e que a razão entre eles é . Resolução:

Temos, chamando de x e y esses números:

Pela propriedade fundamental da série de razões iguais, podemos escrever:

Como x + y = 60, vem:

Daí:

Logo, os números pedidos são 24 e 36.

Resolva

1. Calcule a, b e c, sabendo que a + b + c = 180 .

2. Determine os conseqüentes de uma proporção, sabendo que sua soma é 60 e que os antecedentes são 108 e 72.

Exercícios

1. Determine a razão entre os números: a) 226 e 1.017

b) 1,25 e 0,75 c)

d)

2. Calcule a razão entre as seguintes grandezas: a) 80 m e 48 dam

b) 150 m2 e 45 ares c) 0,725 m3 e 5.000 l

d) 9 d 17 h 20 min e 8 d 12 h 10 min*

3. Verifique se a razão de 6 me 20 d para 3 a 5 me 20 d é igual à razão de 640 l para 2 m3. 4. Verifique se as seguintes expressões formam proporção:

a) b)

c)

a) b)

6. Verifique se os quatro números formam uma proporção; em caso afirmativo, escreva a proporção correspondente:

a) 8, 5, 16 e 10 b)

c) 3, 5, 8 e 10

7. Calcule o valor de x na proporção:

a) b) c) d) e) f)

h)

8. Escreva uma razão igual a , cujo antecedente seja .

9. Escreva uma razão igual a , cujo consequente seja .

10. Escreva uma proporção cujas razões sejam iguais a e cujos consequentes sejam 28 e 36. 11. Calcule x e y, sabendo que:

a)

b) c)

12. Calcule dois números, sabendo que sua soma é 169 e que a razão é .

13. Dois números, cuja soma é 28, guardam entre si a relação . Quais são esses números?

14. Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação . Quais são esses números?

15. A idade de um pai está para a de seu filho como 7 está para . Se a soma das idades é 52, qual a idade de cada um?

16. Decomponha o número em duas partes, tais que a razão entre elas seja .

18. Qual é o numero que, diminuído de 3 unidades, está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6?

19. A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números?

20. A importância de R$ 588,00 foi dividida entre três pessoas. Sabendo que a parte da primeira está para a da segunda como 5 para 7, e que a parte da segunda está para a da terceira como 7 para 9, determine as três partes.

2 GRANDEZAS PROPORCIONAIS

2.1 Introdução

A maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia-a-dia liga duas grandezas relacionadas de tal forma que, quando uma delas varia, como conseqüência varia também a outra.

Assim, a quantidade de combustível gasto por um automóvel depende do número de quilômetros percorridos. O tempo gasto numa construção depende do número de operários empregados.

A relação entre duas grandezas variáveis estabelece a lei de variação dos valores de uma delas em relação à outra. Segundo tal lei, as grandezas relacionadas podem ser direta ou indiretamente proporcionais.

2.2 Grandezas diretamente proporcionais 2.2.1 Definição

Uma barra de alumínio de 100 cm3 de volume pesa 270 g; nas mesmas condições, uma barra de 200 cm3 pesará 540 g e uma de 300 cm3, 810 g. Podemos, então, escrever a seguinte tabela:

Examinando a tabela, vemos que a grandeza massa depende da grandeza volume, já que aumentando uma (volume), a outra (massa) também aumenta. Além disso, notamos que:

Chamando de x a grandeza volume e de y a grandeza massa, temos: y x

ou

y = 2,7x

1.350) são diretamente proporcionais ou, então, que as grandezas x e y são diretamente proporcionais e 2,7 é a razão ou coeficiente de proporcionalidade.

Assim:

Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais (ou, simplesmente, proporcionais) se os valores correspondentes x e y são expressos por uma função do tipo:

y = kx, onde k é um número real constante, diferente de zero.

2.2.2 Gráfico

Como a função do tipo y = kx é uma função linear,*** o gráfico que representa a

proporcionalidade direta de duas grandezas é uma reta passando pela origem. De fato, lembrando que para x = 0 temos y = 0:

2.2.3 Propriedade característica

Sendo (x₁, y₁) e (x₂, y₂) pares de valores correspondentes de duas grandezas proporcionais, podemos escrever:

que nos dá a propriedade característica das grandezas diretamente proporcionais:

Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, a razão entre dois valores de uma delas é igual à razão entre os dois valores correspondentes da outra.

NOTAS:

• A proporcionalidade entre duas grandezas, quando não resultante de uma dedução lógica ou de uma definição, só existe dentro de certos limites. Assim, na compra por atacado, por exemplo, o preço por unidade é menor do que nas compras a varejo.

• Para caracterizarmos a proporcionalidade de duas grandezas não é suficiente verificar se o aumento de uma delas acarreta o aumento da outra. É necessário que, ao multiplicarmos uma delas por um número real k diferente de zero, a grandeza correspondente também fique multiplicada por k. Por exemplo, o lado de um quadrado e a sua área não são grandezas proporcionais, pois, multiplicando-se o lado por 2, a área fica multiplicada por 4.

2.2.4 Números diretamente proporcionais

As sequências de números reais e não-nulos (a₁, a₂, …, a_n) e (b₁, b₂, … …, b_n) são diretamente proporcionais (ou, simplesmente, proporcionais) se, e somente se:

ou, então:

NOTA:

• É indiferente dizermos que duas sequências de números A e B são diretamente proporcionais ou que os números das sequências A e B são diretamente proporcionais.

Exercícios resolvidos

1. O comprimento de uma peça de tecido e seu preço são grandezas diretamente proporcionais? Por quê?

Resolução:

Sim, porque multiplicando-se o comprimento da peça por um número diferente de zero, o preço fica multiplicado por esse número.

2. Verifique se são diretamente proporcionais as sequências de números (6, 9, 12, 15) e (2, 3, 4, 5).

Resolução: Temos:

Logo, essas sequências de números são diretamente proporcionais e a razão de proporcionalidade é 3.

3. Os números das sequências (6, 9, 20) e (2, 3, 6) são proporcionais? Resolução:

Temos:

Resolução:

Sendo k a razão de proporcionalidade, temos:

Logo:

Assim:

a = 27 e b = 13

Resolva

1. O número de dias gastos na construção de um muro é diretamente proporcional ao número de operários empregados nesse serviço? Por quê?

2. Verifique se são ou não proporcionais os números das sequências: a) (40, 38, 35) e (8, 7, 5)

b) (5, 6, 7) e (75, 90, 105)

3. Qual é a razão de proporcionalidade entre as sequências de números diretamente proporcionais (5, 8, 11) e (40, 64, 88)?

2.2.5 Propriedade dos números proporcionais

Dadas duas sequências de números proporcionais, multiplicando-se todos os elementos de uma das sequências por um número qualquer diferente de zero, a nova sequência continua sendo proporcional à outra.

Consideremos as sequências de números (5, 7, 9) e (15, 21, 27). Temos:

Logo, essas sequências de números são diretamente proporcionais.

Multiplicando por 6 os elementos de qualquer uma das sequências (por exemplo, os da primeira), as razões ficam multiplicadas por 6 mas continuam iguais, isto é:

o que nos mostra que as sequências (30, 42, 54) e (15, 21, 27) continuam sendo proporcionais.

Exercício resolvido

1. Quais os menores números inteiros proporcionais aos números Resolução:

Vamos multiplicar cada um dos números dados pelo menor múltiplo comum dos denominadores. Como o m.m.c. (3, 4, 6) = 12, temos:

Resolva

1. Dados os números , determine os três menores números inteiros proporcionais a esses números.

2.3 Grandezas inversamente proporcionais 2.3.1 Definição

Uma distância de 1.200 km pode ser percorrida por um avião, a uma velocidade de 100 km/h, em 12 horas; a uma velocidade de 200 km/h, em 6 horas; e a uma velocidade de 300 km/h, em 4 horas. Podemos, então, escrever a tabela:

Vemos que, também aqui, a grandeza tempo depende da grandeza velocidade, já que aumentando a velocidade o tempo diminui. Porém, agora temos:

12 × 100 = 6 × 200 = 4 × 300 = 3 × 400 = 1.200 ou:

Chamando de x a grandeza velocidade e de y a grandeza tempo, temos: yx = 1.200

ou:

Dizemos, então, que as sequências de números (100, 200, 300, 400) e (12, 6, 4, 3) são

inversamente proporcionais ou, então, que as grandezas x e y são inversamente proporcionais e 1.200 é o fator ou coeficiente de proporcionalidade.

Assim:

Duas grandezas variáveis são inversamente proporcionais se os valores correspondentes x e y são expressos por uma função do tipo:

onde k é um número real constante, diferente de zero.

2.3.2 Gráfico

Sendo a função do tipo uma função recíproca,* o gráfico representativo da proporcionalidade inversa de duas grandezas é um ramo de uma hipérbole:

2.3.3 Propriedade característica

Sendo (x₁, y₁) e (x₂, y₂) pares de valores correspondentes de duas grandezas inversamente proporcionais, podemos escrever:

x₁y₁ = x₂y₂ ou:

que nos dá a propriedade característica das grandezas inversamente proporcionais:

Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, a razão entre dois valores de uma delas é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra.

2.3.4 Números inversamente proporcionais

As sequências de números reais e não-nulos (a₁, a₂, …, a_n) e (b₁, b₂, …, b_n) são inversamente proporcionais se, e somente se:

a₁b₁ = a₂b₂ = … = a_nb_n = k’ (constante) ou, então:

NOTA:

• Se , então as sequências (a₁, a₂, …, a_n) e são diretamente proporcionais. Logo, se os números da sequência (a₁, a₂, …, a_n) são inversamente

proporcionais aos da sequência (b₁, b₂, …, b_n), então os primeiros são diretamente proporcionais aos inversos dos números da segunda.

Exercícios resolvidos

1. O número de dias gastos na execução de uma obra é direta ou inversamente proporcional ao número de máquinas empregadas na obra? Por quê?

Resolução:

É inversamente proporcional, porque, ao multiplicarmos o número de máquinas por um

número qualquer diferente de zero, o número de dias necessários para a execução da obra fica dividido por esse número.

2. Verifique se são ou não inversamente proporcionais as sequências de números: a) (2, 3, 6, 10) e (45, 30, 15, 9)

b) (2, 5, 8) e (40, 30, 20) Resolução:

a) Temos:

2 × 45 = 3 × 30 = 6 × 15 = 10 × 9 = 90

Logo, são inversamente proporcionais e o fator de proporcionalidade é 90. b) Temos:

2 × 40 ≠ 5 × 30 Logo, não são inversamente proporcionais.

3. Determine os valores de a e b nas seqüências de números inversamente proporcionais (2, 3, b) e (15, a, 5).

Resolução: Temos:

k′ = 2 × 15 ⇒ k′ = 30 Daí:

Logo:

a = 10 e b = 6

Resolva

1. Dê um exemplo de grandezas inversamente proporcionais.

2. Verifique se são ou não inversamente proporcionais as sequências de números: a) (20, 12, 10) e (6, 10, 12)

b) (1, 2, 5) e (4, 8, 20)

3. Qual é o fator de proporcionalidade entre as sequências de números inversamente proporcionais (1, 3, 5) e (60, 20, 12)?

4. Sabendo que os números das sequências (1, a, –4) e (4, 2, b) são inversamente proporcionais, determine a e b.

2.4 Grandezas proporcionais a várias outras 2.4.1 Definição

Uma grandeza pode ser proporcional a duas ou mais grandezas, isoladamente. Por exemplo, o número de dias necessários para construir um muro depende não apenas do número de operários, mas também do número de horas de trabalho diário dos operários, das dimensões do muro etc.

Dizemos que uma grandeza é proporcional a várias outras se é direta ou inversamente proporcional a cada uma delas quando as demais não variam.

Em particular, uma grandeza x é proporcional a duas outras y e z quando, fixando uma destas últimas, a grandeza x varia proporcionalmente à outra.

2.4.2 Propriedade

Se uma grandeza variável é ao mesmo tempo diretamente proporcional a algumas grandezas e inversamente proporcional a outras, então cada valor dessa grandeza é proporcional ao produto dos valores correspondentes das grandezas diretamente proporcionais, multiplicado pelo

produto dos inversos dos valores correspondentes das grandezas inversamente proporcionais.

Seja X uma grandeza proporcional às grandezas A e B e, ao mesmo tempo, inversamente

proporcional às grandezas C e D. Se x, a, b, c e d são valores correspondentes dessas grandezas, pela definição existe uma constante k, diferente de zero, tal que:

ou:

Então, sendo x₁, a_l, b₁, c₁, d₁ e x₂, a₂, b₂, c₂, d₂ valores correspondentes das grandezas X, A, B, C e D, temos:

Daí:

Exercícios

1. Uma fração é direta ou inversamente proporcional ao seu numerador? Por quê? 2. Uma fração é direta ou inversamente proporcional ao seu denominador? Por quê?

3. A soma de dois números é diretamente proporcional a cada uma das parcelas? Por quê? 4. A diferença entre dois números é inversamente proporcional ao subtraendo? Por quê?

5. O produto de dois números é direta ou inversamente proporcional a cada um de seus fatores? Por quê?

6. O quociente é direta ou inversamente proporcional ao divisor? Por quê? 7. Diga se são direta ou inversamente proporcionais as seguintes grandezas:

a) quantidade de metros de arame e preço b) velocidade e tempo

c) tempo e número de operários empregados para um determinado serviço d) salário e número de horas de trabalho

e) quantidade de alimento e número de pessoas a serem alimentadas 8. Dê exemplos de:

a) grandezas diretamente proporcionais; b) grandezas inversamente proporcionais.

9. Verifique se são ou não proporcionais as seguintes sucessões de números; em caso afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade:

a) 120, 180 e 375 48, 72 e 150 b) 0,24; 0,21 e 0,15

0,8; 0,7 e 0,05

10. Verifique se são ou não inversamente proporcionais as sucessões de números a seguir; em caso afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade:

a) 90, 60 e 45 28, 42 e 56

b) 0,45; 0,12 e 0,035 10,5; 2,8 e 36

11. Determine o fator de proporcionalidade entre as seguintes sucessões de números proporcionais:

a) 4, 16 e 20 12, 48 e 60 b)

12. Determine o coeficiente de proporcionalidade entre as seguintes sucessões de números inversamente proporcionais:

a) 6, 10 e 5 20, 12 e 24 b)

42, 35 e 32

13. Determine os valores de x, y e z nos seguintes grupos de números diretamente proporcionais: a) x y 0,7

2 5 2 b)

a) 5 n p 7 m 4 14 8 b)

m n 9 1

15. Determine os quatro menores números inteiros proporcionais aos números: a)

b) 0,5; 2,37; 0,8 e 3,4

3 DIVISÃO PROPORCIONAL – REGRA DE

SOCIEDADE

3.1 Divisão proporcional 3.1.1 Introdução

Suponhamos que Antônio, José e Pedro tenham se associado para comprar um terreno no valor de R$ 60.000,00. Antônio entrou com R$ 30.000,00, José com R$ 20.000,00 e Pedro com R$

10.000,00. Algum tempo depois, venderam esse terreno por R$ 90.000,00. Qual é a parte que cabe a cada um deles?

Por convenção, a cada real empregado na compra do terreno deve corresponder a mesma quantia resultante da venda, isto é, uma quota. Essa quota é, na verdade, o quociente do preço de venda pelo preço de compra:

Logo, os três sócios devem receber as seguintes quantias:

• Antônio: 30.000,00 × 1,5 = R$ 45.000,00

• José: 20.000,00 × 1,5 = R$ 30.000,00

• Pedro: 10.000,00 × 1,5 = R$ 15.000,00

Escrevendo as razões entre as quantias recebidas e empregadas individualmente, obtemos:

A igualdade entre essas razões mostra que as quantias que os sócios receberam na venda são números proporcionais às quantias empregadas na compra do terreno. Assim, concluímos que o produto da venda foi dividido em três partes proporcionais às partes da compra.

parcelas proporcionais a esses números.

3.1.2 Divisão em partes diretamente proporcionais

Suponhamos que você queira dividir o número 180 em partes diretamente proporcionais a 2, 5 e 11. Isso significa dividir o número 180 em três parcelas, tais que a razão da primeira parcela para o número 2 seja igual à razão da segunda parcela para o número 5 e igual à razão da terceira parcela para o número 11. Assim, chamando de x, y e z, respectivamente, cada uma dessas parcelas,

devemos verificar que:

Além disso, como x, y e z são as parcelas em que dividimos o número 180, devemos ter: x + y + z = 180

Como (1) é uma série de razões iguais, podemos escrever, pela propriedade (p. 11):

ou:

Como , temos:

Daí:

Sendo 20 + 50 + 110 = 180, concluímos que as partes procuradas são: 20, 50 e 110.

NOTA:

• Por convenção, chamamos, simplesmente, de divisão proporcional a divisão diretamente proporcional.

Exercício resolvido

1. Divida o número 70 em partes proporcionais aos números 2, 3 e 5. Resolução:

Indicando as partes por x, y e z, devemos ter:

Como:

vem:

Logo, as partes procuradas são:

Resolva

1. Divida o número 2.990 em partes proporcionais a 5, 7 e 11.

Exercício resolvido

1. Divida 184 em partes diretamente proporcionais a , e . Resolução:

De acordo com a propriedade dos números proporcionais (p. 19), multiplicando todos os números da sequência , e pelo m.m.c. dos consequentes (12), obtemos uma sequência de números inteiros que mantém a proporcionalidade e facilita os cálculos:

Resulta, então:

Como:

Logo, podemos afirmar que as partes são:

48, 64 e 72

Resolva

1. Divida 183 em partes proporcionais a , e .

2. Dois operários contratam um serviço por R$ 180,00. Como devem repartir essa quantia, se um trabalhou 7 horas e o outro 8 horas, sendo a divisão diretamente proporcional ao tempo de serviço?

3.1.3 Divisão em partes inversamente proporcionais

Suponhamos, agora, que você queira dividir o número 210 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6. Isso significa dividir o número 210 proporcionalmente aos inversos dos números 3, 5 e 6, isto é, determinar parcelas x, y e z, tais que:

Como o m.m.c. (3, 5, 6) = 30, temos:

Logo:

vem:

Logo, as partes procuradas são:

100, 60 e 50

Resolva

1. Divida o número 260 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4.

2. Um pai deixou R$ 2.870.000,00 para serem divididos entre seus três filhos na razão inversa das suas idades: 8, 12 e 28 anos. Quanto recebeu cada um?

3.1.4 Divisão proporcional composta

Neste caso, o problema consiste em dividir um número em partes direta ou inversamente proporcionais a certos números a, b, c e, simultaneamente, em partes direta ou inversamente proporcionais a outros tantos números a’, b’, c’.

Tomando por base o que vimos sobre grandezas proporcionais a várias outras, podemos achar o processo de resolução do problema.

Consideremos, para efeito de raciocínio, o caso da divisão da grandeza de valor n em partes proporcionais aos números a, b, c e também aos números a’, b’, c’, respectivamente.

Sejam x, y, z os valores das partes pedidas. Como x, y, z são proporcionais a a, b, c e também a a’, b’, c’, são grandezas compostas; portanto, são proporcionais, respectivamente, aos produtos aa’, bb’, cc’ (p. 26).

Exercícios resolvidos

1. Divida 392 em partes ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 2, 3, 4 e a 3, 5, 7. Resolução:

Temos:

Logo, as partes são:

48, 120 e 224

2. Divida 175 em partes diretamente proporcionais a , 3, 4 e, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais a , 6, 2.

Resolução: Temos:

Daí:

Resolva

1. Divida o número 2.190 em três partes que sejam, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais a 2, 3, 5 e a 6, 7, 8.

2. Divida 6.050 em três partes que sejam, a um tempo, inversamente proporcionais a 3, 5 e 6 e diretamente proporcionais a 4, 6 e 9.

3. Divida 292 em três partes ao mesmo tempo inversamente proporcionais a 3, 5 e 6 e a 4, 6 e 9.

Exercício resolvido

1. Divida 363 em três partes, de modo que a segunda seja o dobro da primeira e a terceira o quádruplo da segunda.

Resolução:

Considerando a primeira parte proporcional a 1, temos: 1a → 1

2a → 2 × 1 = 2 3a → 4 × 2 = 8

Como o problema resulta em dividir 363 em partes diretamente proporcionais a 1, 2 e 8, temos:

33, 66 e 264 3.2 Regra de sociedade

A regra de sociedade é uma das aplicações da divisão proporcional. Tem por objeto a divisão dos lucros ou dos prejuízos entre as pessoas (sócios) que formam uma sociedade, por ocasião do Balanço geral exigido anualmente por lei ou quando da saída de um dos sócios ou da admissão de um novo sócio.

Por convenção, o lucro ou o prejuízo é dividido pelos sócios proporcionalmente aos capitais que empregaram, levando-se em conta as condições estipuladas no contrato social.

Classicamente, há quatro casos a considerar:

1o) Os capitais são iguais e empregados durante o mesmo tempo.

A fim de obtermos a parte de cada sócio, dividimos o lucro ou o prejuízo pelo número deles. Exemplo:

Três sócios obtiveram um lucro de R$ 222.600,00. Sabendo que seus capitais eram iguais, vamos determinar a parte de cada um nos lucros:

Logo, a parte de cada um no lucro é de:

R$ 74.200,00

2o) Os capitais são desiguais e empregados durante o mesmo tempo.

Neste caso, dividimos o lucro ou o prejuízo em partes diretamente proporcionais aos capitais dos sócios.

Exemplo:

Por ocasião do Balanço anual de uma firma comercial formada por três sócios, verificou-se um prejuízo de R$ 27.000,00. Vamos determinar a parte correspondente a cada sócio, sabendo que seus capitais são de R$ 540.000,00, R$ 450.000,00 e R$ 360.000,00:

Logo, o prejuízo correspondente a cada sócio é, respectivamente, de: R$ 10.800,00, R$ 9.000,00 e R$ 7.200,00

permanecer por tempos desiguais. No momento em que um antigo sócio se retira ou um novo sócio é admitido, procede-se a uma reforma do contrato social, após o Balanço, calculando-se o Ativo e o Passivo.

4o) Os capitais são desiguais e empregados durante tempos também desiguais.

Teoricamente, as partes do lucro ou do prejuízo seriam diretamente proporcionais aos produtos dos capitais pelos respectivos tempos.

Também neste caso vale a observação feita para o caso anterior.

NOTA:

• Não devemos confundir este caso com aquele em que os sócios integralizam suas quotas de capital em épocas diferentes.

Exercício resolvido

1. Antônio e José organizaram uma firma comercial com um capital social de R$ 2.000.000,00, devendo cada um deles entrar com R$ 1.000.000,00. No ato da organização, 1o de março, Antônio integralizou sua quota e José contribuiu com apenas R$ 700.000,00,

responsabilizando-se por integralizar sua quota após 5 meses. Em 31 de dezembro foi procedido o Balanço, tendo sido apurado um lucro de R$ 740.000,00. Qual a parte a ser creditada a cada sócio?

Resolução:

Antônio, tendo integralizado seu capital de R$ 1.000.000,00 em 1o de março, terá um lucro diretamente proporcional a esse capital durante os 10 meses (1o de março a 31 de dezembro), isto é, diretamente proporcional a 1.000.000,00 × 10 ou 10.000.000,00.

José, tendo completado seu capital em 1o de agosto, terá uma parte do seu lucro

correspondente a R$ 700.000,00 durante 10 meses (1o de março a 31 de dezembro) e outra relativa aos restantes R$ 300.000,00 durante 5 meses (1o de agosto a 31 de dezembro); a primeira é diretamente proporcional a 700.000,00 × 10 ou 7.000.000,00 e a segunda, a

300.000,00 × 5 ou 1.500.000,00. Assim, seu lucro é diretamente proporcional a 7.000.000,00 + 1.500.000,00 = 8.500.000,00.

Logo, a Antônio devem ser creditados R$ 400.000,00 e a José, R$ 340.000,00.

Exercícios

1. Divida o número 870 em partes diretamente proporcionais aos números 7, 10 e 12.

2. Divida 3.751 em partes diretamente proporcionais a , e .

3. Divida o número 325 em partes diretamente proporcionais aos números 0,4; 1,2 e 3,4. 4. Divida o número 870 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 5 e 9.

5. Divida o número 3.161 em partes inversamente proporcionais a , e . 6. Decomponha 760 em partes inversamente proporcionais a 0,4; 3,2 e 6,4.

7. Divida o número 414 em partes diretamente proporcionais a 4, 8 e 10 e a 5, 6 e 7, ao mesmo tempo.

8. Divida o número 1.842 em partes diretamente proporcionais, simultaneamente, aos números 3, 5 e 9 e , e .

9. Divida o número 330 em partes inversamente proporcionais, simultaneamente, aos números 3, 2 e 8 e 2, 4 e 6.

11. Três técnicos receberam ao todo R$ 2.550,00. O primeiro trabalhou 15 dias à razão de 6 horas por dia; o segundo, 25 dias à razão de 4 horas por dia; e o terceiro, 30 dias à razão de 5 horas por dia. Quanto recebeu cada um deles?

12. Uma pessoa, ao morrer, deixou a herança de R$ 21.720.000,00 para ser repartida entre três herdeiros, ao mesmo tempo, em partes diretamente proporcionais a 3, 5 e e inversamente a , e .

13. Para a execução de um serviço, foram empregados 12 homens, 20 mulheres e 30 menores. Sabendo que o pagamento total foi de R$ 16.200,00, que cada mulher recebeu da quantia de um homem e que cada menor recebeu da quantia de cada mulher, quanto recebeu cada

homem, cada mulher e cada menor?

14. Três sócios empregaram, respectivamente, os capitais de R$ 18.000,00, R$ 22.500,00 e R$ 27.000,00 e obtiveram um lucro líquido de R$ 27.000,00. Qual será a parte de cada um?

15. Três sócios realizaram um capital de R$ 240.000,00. Sabendo que, ao fim de um certo período de tempo, tiveram de lucro, respectivamente, R$ 24.000,00, R$ 22.000,00 e R$ 18.000,00, qual era o capital de cada um?

16. Duas pessoas constituíram uma sociedade com os capitais de R$ 90.000,00 e R$ 76.000,00, respectivamente. A primeira recebeu, na divisão do lucro, R$ 1.722,00 a mais que a segunda. Calcule o lucro de cada uma delas.

17. Dois sócios fundaram uma sociedade com um capital de R$ 720.000,00. No momento de liquidar a sociedade, o primeiro recebeu capital mais lucro num total de R$ 207.000,00. Sabendo que o lucro total foi de R$ 108.000,00, qual o capital de cada sócio?

18. Três sócios devem repartir entre si o lucro de R$ 1.012.500,00. O primeiro sócio entrou para a sociedade com o capital de R$ 450.000,00 e o segundo, com R$ 675.000,00. O lucro do terceiro foi de R$ 450.000,00. Com quanto o terceiro sócio entrou para a sociedade e qual foi o lucro dos outros dois?

19. Três sócios organizaram uma sociedade em 1o de janeiro, comprometendo-se, cada um, a empregar um capital de R$ 117.000,00. Nesse dia, o primeiro entrou com R$ 93.600,00, o segundo com a metade e o terceiro integralizou a sua parte. Em 1o de março o primeiro

completou seu capital e o segundo só o fez em 1o de maio. No dia 31 de dezembro foi

encerrado o Balanço, tendo sido verificado um lucro de R$ 163.800,00. Qual o lucro de cada sócio?

20. Uma empresa, organizada por três sócios em 1o de maio, deu um lucro de R$ 688.000,00, apurado em 31 de dezembro. O capital social de R$ 3.000.000,00 foi dividido em partes

iguais. O segundo sócio, tendo entrado com R$ 600.000,00, só integralizou o seu capital em 15 de julho. O terceiro, que havia entrado com a metade, completou a sua parte em 1o de agosto. Quanto recebeu cada sócio?

4 REGRA DE TRÊS

4.1 Definição

Chamamos de regra de três os problemas nos quais figura uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.

Temos dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha com apenas duas grandezas, e a composta, que envolve mais de duas grandezas.

4.2 Regra de três simples

Neste caso, são dados dois valores de uma grandeza e um valor de outra, o qual corresponde a um dos valores da primeira grandeza. Devemos, então, obter o valor da segunda grandeza que corresponde ao segundo valor da primeira.*

Exercício resolvido

1. Comprei 6 m de tecido por R$ 15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8 m? Resolução:

Neste problema figuram duas grandezas: comprimento e preço do tecido. Se o comprimento for multiplicado por 2, 3, …, o preço ficará multiplicado por 2, 3, … Podemos, então,

concluir que estamos trabalhando com grandezas diretamente proporcionais.

Chamando de x o valor que desejamos conhecer (preço de 8 m de tecido), dispomos, em uma primeira linha horizontal, os valores conhecidos das duas grandezas que se correspondem e, em uma segunda linha, o outro valor conhecido da primeira e o x, que representa o valor correspondente da segunda e que se quer conhecer:

Comprimento (m) Preço (R$)

6 15

8 x

Em seguida, colocamos uma seta vertical na coluna onde se encontra o x, com a ponta voltada para ele. Se as grandezas forem diretamente proporcionais, como no nosso exemplo,

colocaremos uma segunda seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados. Assim:

Armamos a proporção formada pelas razões que construímos, seguindo as setas:

e determinamos o valor de x:

Logo, o preço procurado é:

R$ 20,00

NOTAS:

• É importante observar que as quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem ser expressas na mesma unidade de medida.

• Quando as grandezas que figuram no problema são diretamente proporcionais, dizemos que a regra de três é direta.

2. Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra?

Operários Dias

6 10

20 x

Se o número de operários for multiplicado por 2, 3, …, o número de dias ficará dividido por 2, 3, …, respectivamente.* Logo, as grandezas relacionadas são inversamente proporcionais. Assim, a coluna que contém x é assinalada como no problema anterior e a outra coluna é assinalada com uma segunda seta vertical, de sentido contrário ao da primeira:

Em seguida, invertemos os valores da coluna do número de operários (por ser uma grandeza inversamente proporcional à de número de dias):

Daí:

Logo, serão necessários:

3 dias

NOTAS:

• Quando as grandezas que figuram no problema são inversamente proporcionais, dizemos que a regra de três é inversa.

• Convém observar que, nos problemas de Matemática, geralmente são consideradas condições iguais. No problema 2, por exemplo, supõe-se que os operários produzam igualmente e que as condições de trabalho também sejam iguais.

Resolva

1. Um operário recebe R$ 836,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias? 2. Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 km por dia. Quantos dias seriam

empregados para fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200 km por dia? 3. Se 1 l de álcool pesa 8 g, a quantos litros equivalem 32,4 kg de álcool?

4. Em um navio com uma tripulação de 800 marinheiros há víveres para 45 dias. Quanto tempo durarão os víveres se o navio receber mais 100 marinheiros?

4.3 Regra de três composta

Como dissemos antes, na regra de três composta ocorrem três ou mais grandezas relacionadas entre si. Neste caso, de cada grandeza são dados dois valores, com exceção de uma delas, da qual é dado apenas um valor, relacionado com um dos valores de cada uma das outras grandezas.

Exercícios resolvidos

1. Se para imprimir 87.500 exemplares 5 rotativas gastam 56 min, em que tempo 7 rotativas, iguais às primeiras, imprimirão 350.000 desses exemplares?

Resolução:

Exemplares Rotativas Tempo (min)

87.500 5 56

350.000 7 x

Fixando a segunda grandeza (número de rotativas), vemos que a primeira grandeza (número de exemplares) e a terceira (tempo) são diretamente proporcionais, pois duplicando o número de exemplares, o tempo empregado duplicará. Fixando, agora, a primeira grandeza, vemos que a segunda e a terceira são inversamente proporcionais, pois duplicando o número de rotativas, o tempo necessário se reduzirá à metade.

Assim, temos:

Invertendo os valores da segunda grandeza, vem:

o que nos permite escrever, pela propriedade da grandeza proporcional a várias outras (p. 33):

Daí:

isto é:

x = 160 min ou x = 2 h 40 min

NOTA:

• Na resolução da regra de três composta, após a disposição dos dados, verificação do tipo de proporcionali-dade e inversão dos dados das grandezas inversamente proporcionais:

podemos fazer uso da seguinte regra prática: o valor de x é dado pela fração que tem por

numerador o produto do valor oposto a x (56) pelos valores que estão na mesma linha de x (350.000 e 5) e por denominador o produto dos valores pertencentes à outra linha e que ainda não foram

considerados (87.500 e 7):

Assim:

2. Quinze operários, trabalhando 9 h por dia, construíram 36 m de muro em 16 dias. Em quanto tempo 18 operários farão 60 m do mesmo muro, trabalhando 8 h por dia?

Resolução: Temos:

Verificamos, com facilidade, que a quarta grandeza (número de dias) é diretamente

proporcional à terceira (comprimento) e inversamente proporcional à primeira (número de operários) e à segunda (jornada de trabalho diário). Assim:

Invertendo os valores da primeira e da segunda grandezas, temos:

Logo, os operários farão o muro em:

25 dias

Resolva

1. Uma família composta de 6 pessoas consome, em 2 dias, 3 kg de pão. Quantos quilo-gramas de pão serão consumidos em 5 dias, estando 2 pessoas ausentes?

2. Quinze homens, trabalhando 8 h diárias, cavaram um poço de 400 m3 em 10 dias. Quantos homens devem ser acrescentados para que em 15 dias, trabalhando 6 h diárias, cavem os 600 m3 restantes?

Exercício resolvido

1. Se 35 m de um tecido custam R$ 140,00, quanto se pagará por 12 m?

2. Se 20 tratores levaram 6 dias para realizar um trabalho, quantos tratores o fariam em 4 dias? 3. Um trem percorreu 24,5 km em 28 min. Que distância percorreria, com a mesma veloci-dade,

em 54 min?

4. Um empreiteiro calculou terminar uma obra em 32 dias, empregando 15 operários. Tendo conseguido apenas 12 operários, em quantos dias terminará o mesmo trabalho?

5. Um operário faz, em 12 dias, um trabalho cuja dificuldade é representada por 0,2. Em quantos dias poderia fazer outro trabalho cujo coeficiente de dificuldade fosse 0,25?

6. Trabalhando 6 h por dia um operário pode fazer um trabalho em 24 dias. Em quantos dias, nas mesmas condições, poderia fazê-lo, trabalhando 8 h por dia?

7. Em um acampamento militar com 300 soldados há víveres para 20 dias. Tendo chegado mais 140 soldados, a quanto se deve reduzir a ração diária para que o alimento dure ainda o mesmo tempo?

8. Uma lebre está 80 m à frente de um cão que a persegue. Enquanto a lebre percorre 19 m, o cão percorre 21 m. Quantos metros deverá percorrer o cão para alcançar a lebre?

9. Um automóvel, correndo com a velocidade de 84 km/h, deve percorrer uma certa distância em 9 h. Depois de 3 h de viagem houve um desarranjo no motor e o automóvel teve de parar

durante 45 min. Com que velocidade deve continuar a viagem para chegar ao ponto final na hora fixada?

10. Se de uma obra foram avaliados em R$ 268.400,00, qual é o valor de da mesma obra? 11. As dificuldades de dois trabalhos estão na razão de 3 para 4. Um operário, que faz 20 m do

primeiro trabalho, quantos metros fará do segundo, no mesmo tempo?

12. Duas polias, de 16,8 cm e 11,2 cm de diâmetro, respectivamente, estão ligadas por uma correia de transmissão. Enquanto a maior dá 540 voltas, quantas voltas dá a menor?

13. Para fazer um muro de 52 m de comprimento, 30 operários gastam 15 dias de 8 h. Quantos dias de 9 h gastarão 25 operários para fazer 39 m de um muro igual?

14. Comparando-se os preços pelos quais são vendidas diversas frutas, verificamos que 15 pêras valem 9 maçãs; 25 abacates valem 15 maçãs; e 16 laranjas valem 12 abacates. Quantas

laranjas poderão ser trocadas por 9 pêras?

15. Um motoqueiro, numa velocidade de 80 km/h, percorreu certa distância em 6 dias, viajando por dia. “Afrouxando” em a sua velocidade e viajando 6 h por dia, quantos dias levará para percorrer a mesma distância?

16. Certo trabalho é executado por 8 máquinas iguais, que trabalham 6 h diárias, em 15 dias. Quantos dias levariam 10 máquinas do mesmo tipo para executar o triplo do trabalho anterior, trabalhando 5 h diárias, com a velocidade que torna o rendimento maior?

que pelo primeiro foram pagos R$ 480,00, qual foi o preço do segundo?

18. Na construção de uma estrada trabalharam 20 homens durante 18 dias. Em seguida trabalharam 24 homens durante 10 dias. Em quanto tempo teria ficado pronta se os 24 homens houvessem trabalhado desde o começo?

5 PERCENTAGEM

5.1 Introdução

Em nosso dia-a-dia é comum observarmos expressões como estas: “Desconto de até 30% na grande liquidação de verão.”

“Os jovens perfazem um total de 50% da população brasileira.” “A inflação registrada em dezembro foi de 1,93%.”

“O rendimento da caderneta de poupança foi de 1,99% em dezembro.”

Todas estas expressões envolvem uma razão especial chamada percentagem, que será o objeto de estudo deste capítulo.

5.2 Taxa percentual

Suponhamos que um aluno tenha acertado, em um exame, 12 das 15 questões apresentadas. A razão entre o número de questões acertadas e o número total de questões é:

Quando uma razão é apresentada com o conseqüente 100 , ela é chamada razão centesimal.

Uma outra forma de representarmos as razões centesimais, muito usada principalmente no universo econômico-financeiro, é substituir o conseqüente 100 pelo símbolo % (que lemos: por cento). Assim:

Exercício resolvido

1. Escreva a razão em forma de taxa percentual. Resolução:

Temos:

Logo, a resposta é:

75%

Resolva

1. Exprima sob a forma de taxa percentual as razões: a)

b)

c)

5.3 Elementos do cálculo percentual Vimos que:

Daí, obtemos as seguintes definições:

Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100.

Percentagem é o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma taxa.

Principal é o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem.

O principal, a percentagem e a taxa são os elementos do cálculo percentual.

NOTA:

• Na prática, é muito comum:

— empregarmos as palavras desconto, comissão, multa, parte, quota, abatimento, prejuízo, lucro etc. em lugar de percentagem;

— designarmos a taxa percentual simplesmente por percentagem. Assim, tanto faz dizermos, em uma situação qualquer, que o lucro foi de R$ 80,00 ou de 20%.

5.4 Problemas de percentagem Representando:

• o principal por P;*

• a percentagem por p;

Dados, então, dois quaisquer dos três elementos, podemos calcular o terceiro fazendo uso da proporção (1).

Exercícios resolvidos

1. Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual sua comissão numa venda de R$ 3.600,00?

Resolução: Temos:

Assim:

Logo, a comissão é de:

R$ 108,00

2. Em um colégio 26% dos alunos são meninas. Quantos alunos possui o colégio, se elas são em número de 182?

Resolução: Temos:

Logo, o colégio possui:

700 alunos

3. Um automóvel foi adquirido por R$ 5.000,00 e vendido com um lucro de R$ 400,00. Qual a percentagem de lucro?

Resolução: Temos:

Assim:

Logo, o lucro foi de:

8%

Resolva

1. Em uma liquidação, uma camisa que custava R$ 24,00 foi vendida com 25% de abatimento. De quanto foi o abatimento?

2. Um corretor recebe R$ 2.800,00 pela venda de duas casas, tendo sido de 5% a taxa de comissão. Qual o valor de venda das propriedades?

3. Uma pessoa devia R$ 20.000,00 e pagou R$ 7.400,00. Quantos por cento da dívida foram pagos?

Porém, na resolução de muitas questões, é mais prático (e, algumas vezes, necessário) tomarmos como valor referencial a unidade, obtendo o que chamamos de taxa unitária (simbolizada por i). Assim:

Temos, então:

Exercícios resolvidos

Resolução: Temos:

Logo:

i = 0,2 2. Qual a taxa percentual correspondente a 0,05?

Resolução: Temos:

Logo:

3. Calcule 30% de 15%. Resolução: Temos: 30% = 0,3 e 15% = 0,15 Então: 30% de 15% = 0,3 de 0,15 = 0,3 × 0,15 = 0,045 Como: 0,045 = 4,5% a resposta é: 4,5%

Resolva

1. Qual a taxa unitária correspondente a 3,08? 2. Qual a taxa percentual correspondente a 0,25? 3. Calcule 20% de 12%.

5.6 Fórmula para o cálculo percentual Sendo:

Exercícios resolvidos

1. Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540,00 com um lucro de 15% sobre esse valor. Quanto ganhou? Resolução: Temos: Como: vem: p = 540,00 × 0,15 = 81,00 Logo, o comerciante ganhou:

R$ 81,00

2. Um terreno tem 70% de sua área plantada, que corresponde a 154 ha. Qual a área total do terreno?

Resolução: Temos:

Como:

vem:

Logo, a área total é de:

220 ha

3. Em uma turma de 60 alunos, foram reprovados 9. Quantos por cento dos alunos foram reprovados?

Resolução: Temos:

Como:

vem:

Logo, foram reprovados:

Resolva

1. Dois representam quantos por cento de 5?

2. Em um colégio compareceram 95% dos alunos, tendo faltado 35 alunos. Determine o número de alunos do colégio.

3. Um operário que devia executar 120 m de uma obra fez, no primeiro dia, 10% de seu trabalho e, no segundo dia, 15% da parte restante. Quantos metros foram feitos?

Exercícios

1. Exprima, sob a forma de taxa percentual, cada uma das seguintes razões:

a) b) c) d) e) f) 0,24 g) 0,125 h) 0,012

a) 80% b) 66% c) 25,2% d) 0,48% e) 18,6% f) g) 0,054% h) 3. Calcule: a) 20% de 300 b) 15% de R$ 160,00 c) 9% de 50 d) 6,5% de 1.200 kg e) 0,4% de 550 f) 4,5% de 750

4. Calcule quantos por cento: a) R$ 121,00 são de R$ 484,00; b) 936 g são de 15.660 g;

c) 912,5 g são de 73 kg; d) 45 l são de 180 dm3. 5. Calcule a quantia da qual:

d) R$ 320,00 representam 1,25%.

6. Meio representa quantos por cento de 7. Qual o número cujos 7% valem 28?

8. Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 70,00 para obter um lucro de 30%? 9. Uma nota promissória, cujo valor era de R$ 5.000,00, foi paga com um desconto de R$

250,00. Qual a taxa percentual de desconto?

10. Em São Paulo colhem-se 1.268.000 sacas de café. Se 25% desta produção destinam-se ao consumo interno, qual a quantidade de sacas para este consumo?

11. Um jornal recebia por dia R$ 42.000,00 de anúncios. Os preços dos anúncios foram aumentados em 6%. Qual será a nova receita diária do jornal?

12. Em quanto por cento aumentou a população de uma cidade que era de 67.200 habitantes e agora é de 92.400 habitantes?

13. Um terreno foi vendido por R$ 9.600,00, recebendo o intermediário 3% de comissão. Calcule a comissão.

14. Em uma escola, 40% dos alunos são meninas. O total dos alunos é 750. Quantos são os meninos?

15. Em uma cidade, 35% da população é constituída de homens e 40% de mulheres. Qual a população da cidade, se o número de crianças é de 8.000?

16. Vendi uma mercadoria recebendo 25% de entrada e o restante em três prestações de R$ 160,00 e uma de R$ 180,00. Qual o preço da mercadoria?

17. Um vendedor recebe 3% de comissão sobre as vendas que efetua. Qual a quantia a receber pelas vendas de R$ 8.000,00, R$ 3.700,00 e R$ 9.500,00?

18. Em um dos Grandes Prêmios de Fórmula 1 largaram 24 carros e terminaram a competição 10 carros. De quanto por cento foi o número de carros que não terminaram a corrida?