CORTE BIDIMENSIONAL
GUILHOTINADO E RESTRITO DE
TECIDO
Antônio Carlos Torres Teixeira (Universidade Candido Mendes)
acarlostt@uol.com.br
Dalessandro Soares Vianna (Universidade Federal Fluminense)
dalessandro@pq.cnpq.br
Marcilene de Fátima Dianin Vianna (Universidade Estadual Norte Fluminense)
marcilenedianin@gmail.com
Eduardo Shimoda (Universidade Candido Mendes)
shimoda@ucam-campos.br
Neste artigo é abordado o problema de corte bidimensional guilhotinado e restrito de tecido com padrões de corte. O objetivo é determinar a quantidade de cada padrão que deverá ser cortada, de modo a atender a demanda de itens, minimizando as perdas do tecido. Verifica-se na prática um desperdício de material onerando o custo final. Este trabalho desenvolve e compara duas heurísticas baseadas em busca local Drop-Add e na metaheurística Simulated Annealing para a consecução desse objetivo.
Palavras-chaves: Problema de corte bidimensional, Busca Local Drop-Add, Simulated Annealing
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1. Introdução
Diversos setores de manufaturas necessitam cortar peças maiores (objetos) para obterem peças menores (itens), a fim de comporem o produto final. Estes objetos podem ser placas de metal, de madeira, de vidro, peças de couro, papel, tecido, etc. O objetivo é atender a demanda dos itens com um mínimo de perdas. "A variedade de situações práticas envolvendo este processo e a necessidade de otimizá-lo fez surgir uma classe de problemas de otimização combinatória, denominada Problemas de Corte e Empacotamento (PCE)" (ANDRADE;SOUZA;SOUZA, 2008).
O estudo foi motivado por um caso específico, comum a vários artesãos do Brasil, o corte de peças de formato retangular sobre uma peça maior, de formato também retangular, mas de dimensões – comprimento e largura – pré-estabelecidos (padrão). Como exemplo, a confecção em feltro de embalagens de presente para livros, compact disc (CD), digital video disk (DVD), etc.
Este trabalho utiliza e compara duas heurísticas, a primeira é uma busca local Drop-Add (Retirar-Adicionar), a segunda baseia-se na metaheurísta Simulated Annealing (Têmpera Simulada).
Heurística é uma técnica que busca soluções próximas da otimalidade sem, no entanto, garantir essa otimalidade. Para isso, as heurísticas procuram fugir dos ótimos locais estendendo o espaço de busca. Segundo Chaves et al. (2004), isto fez surgir uma outra metodologia, denominada Metaheurística, que permite a ampliação deste espaço a um custo computacional razoável, sem entretanto garantir a otimalidade.
A metaheurística Simulated Annealing foi proposta por Kirkpatrick et al. (1983) e é baseada no processo de recozimento ou têmpera (annealing) em sistemas físicos, ou seja, na
3 semelhança entre o processo de recozimento sob a óptica da termodinâmica estatística e a capacidade de escapar de ótimos locais nos problemas de otimização.
Silva, Sampaio e Alvarenga (2005) utilizam a metaheurística Simulated Annealing com sucesso no Problema de Alocação de Salas. Mole, Martins e Mazzucco Júnior (2004) empregam essa técnica no Problema do Caixeiro Viajante. Silva e Souza (2008) propõem sua utilização em Problemas de Fluxo Multiproduto.
Encontram-se na literatura várias outras aplicações o que encoraja a utilização desta técnica no problema específico deste trabalho.
2. Revisão bibliográfica
Existem muitos estudos e referências aos Problemas de Corte e Empacotamento na literatura. Este trabalho selecionou alguns deles.
Andrade, Souza e Souza (2008) apresentam um artigo em que tratam do problema de corte guilhotinado com dimensão aberta (ODP – Open Dimensional Problem), propondo para sua resolução um Algoritmo Evolutivo Híbrido que utiliza como sub-rotina os algoritmos aproximados First-Fit e Best-Fit. Os resultados obtidos são comparados à resolução do modelo em Programação Linear Inteira. Entretanto, este tipo de corte não se enquadra perfeitamente ao presente estudo, cujas dimensões do objeto padrão são pré-determinadas.
Em artigo anterior, Andrade, Temponi e Souza (2007) já tratavam do problema de corte bidimensional com abordagem via metaheurísticas populacionais.
Pileggi, Morabito e Arenales (2007) tratam também do problema de corte de estoque bidimensional. Entretanto, abordam heurísticas para resolver de forma integrada o problema de geração de padrões de corte, que otimiza uma função objetivo, por exemplo, a perda de material com o problema de sequenciamento de padrões de corte, em que um outro objetivo também seja otimizado, como, por exemplo, o número máximo de pilhas abertas de itens
4 (uma pilha é aberta quando um tipo de item é cortado pela primeira vez e fechada quando todos os itens deste tipo foram cortados).
Rangel e Figueiredo (2007) tratam do corte guilhotinado restrito em indústrias de móveis de pequeno e médio porte, propondo uma heurística para a geração de um conjunto de padrões de corte baseados em padrões n-grupos.
Velasco (2008) também estuda o corte bidimensional guilhotinado e restrito utilizando uma formulação heurística, fundamentada na metodologia GRASP, apresentando a eficiência da heurística proposta, através do resultado de testes computacionais realizados em seis instâncias extraídas literatura.
3. Descrição do problema
O presente trabalho estuda um caso particular de problema de corte, denominado corte bidimensional guilhotinado, que consiste em determinar o arranjo de um conjunto de peças de formato retangular (itens), sobre uma peça maior, denominada objeto padrão, também de formato retangular que possui comprimento (C) e largura (L) fixas, convencionando, para objeto e itens, o comprimento maior ou igual à largura. O objetivo do trabalho é minimizar o número de objetos padrão para a produção das peças de acordo com a demanda, com a conseqüente diminuição de gastos com matéria-prima.
O problema em estudo possui as seguintes características: os itens são alocados ortogonalmente no objeto padrão; não é permitida a rotação dos itens; o corte do tipo guilhotinado e, devido à não rotação, é também restrito.
A questão consiste em determinar como cortar o menor número de objetos padrão de tamanho
L x C (largura x comprimento), Figura 1, atendendo a uma demanda, di, por itens de tamanho li x ci (largura x comprimento), onde i = 1, ... , n. conforme Figura 2.
5 Figura 1 - Objeto padrão de tamanho L x C.
Figura 2 - Exemplos de itens pedidos.
O corte tipo Guilhotina é feito de uma aresta à aresta oposta, paralelo as duas arestas restantes, como mostra a Figura 3.
Figura 3 – Corte guilhotina.
Os itens são montados formando faixas obedecendo à largura de um determinado item. Cada esquema é constituído por uma série de faixas ocupando o máximo possível a largura do objeto padrão. L C l2xc2 l1xc1 L C Esquema 2 Esquema 1 l1xc1 l1xc1 l1xc1 l1xc1 l1xc1 l1xc1 l1xc1 L C l2xc2 l2xc2 l1xc1 l1xc1 l1xc1 l3c3 l3c3
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4. Método proposto
Os esquemas obtidos conforme a Seção 3, conduzem a um modelo de problema de otimização (minimização) de programação linear com o que se chega a um ótimo local. Esta parte pode ser resolvida com programas específicos como o LINGO ou a ferramenta SOLVER do Excel. O presente trabalho utiliza a ferramenta SOLVER, suplemento da planilha eletrônica Excel, da Microsoft Office Professional, edição 2003. O procedimento seguinte é o refinamento da solução, ou seja, a busca de um ótimo melhor, através da heurística selecionada.
Desta forma, podem-se estabelecer os seguintes passos para o método adotado: 1) Construção das faixas;
2) Montagem dos esquemas de corte;
3) Modelagem matemática para a programação linear.
4) Obtenção da solução através da solução da programação linear inteira. 5) Refinamento da solução.
4.1. Construção das faixas
Consiste na colocação dos itens no sentido do comprimento padrão, obedecendo aos seguintes procedimentos:
a) O primeiro item colocado, à esquerda na primeira faixa, é o de maior largura. b) Continua-se a preencher essa faixa com este item de maior largura.
c) Se sobrar algum espaço na faixa, tenta-se o encaixe de itens subseqüentes (em largura). d) Completada a primeira faixa, inicia-se a construção da segunda, utilizando o segundo item de maior largura e adotando os mesmos procedimentos anteriores;
e) Continua-se o processo até a obtenção de tantas faixas quanto os itens diferentes existentes.
4.2. Montagem dos esquemas de corte
7 seguindo os procedimentos seguintes, semelhantes aos da construção das faixas:
a) A primeira faixa, construída conforme a Subseção 4.1, é colocada na parte superior do objeto padrão.
b) Continua-se colocando este tipo de faixa tentando completar a largura padrão.
c) Se sobrar algum espaço na parte inferior do objeto padrão, tenta-se preenchê-lo com as outras faixas, a partir da mais larga.
d) Completado o preenchimento, está pronto o primeiro esquema de corte.
Os esquemas de corte seguintes são construídos da mesma forma, a partir das faixas subseqüentes, ordenadas por largura. No final encontram-se tantos esquemas de corte quanto o número de faixas criadas.
4.3. Modelagem matemática para a programação linear
Neste problema tem-se:a) Elementos conhecidos: esquema de corte, demanda de cada item;
b) Elementos desconhecidos: quantas vezes um determinado esquema de corte será usado; c) Objetivo a ser alcançado: usar o menor número possível de esquemas de corte;
d) Restrições: o número de itens obtidos com os esquemas de corte usados deve ser maior ou igual à demanda.
Desta forma, chega-se a: a) Variáveis de decisão:
Seja xj = número de vezes que o esquema de corte j será usado.
b) Objetivo:
Minimizar a função objetivo. c) Restrições
O número de itens obtidos de cada tipo deve ser maior ou igual à demanda. Seja aij o número de itens do tipo i obtidos usando o esquema de corte j. Para atender a demanda do item i, tem-se:
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ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn di
Desta maneira, o modelo resume-se a:
4.4. Obtenção da solução através da solução da programação linear inteira
A solução do problema, nesta fase, foi obtida através da ferramenta Solver do Excel.4.5. Refinamento
Para esta fase final, foram utilizadas a heurística de busca local Dropp-Add e a heurística
Simulated Annealing e, a seguir, comparados os resultados.
Para implementação deste trabalho, foram desenvolvidos dois softwares na linguagem Visual Basic 6.0, da Microsoft Corporation.
4.5.1. Heurística de busca local Dropp-Add
Foi utilizado inicialmente a heurística de busca local Dropp-Add, cujo pseudo-código é mostrado na Figura 4. 1 2 11 1 12 2 1 1 22 1 22 2 2 2 1 1 2 2 1 2 min ... sujeito a ... ... ... ... , ,... 0, e inteiras n n n n n m m mn n m n z x x x a x a x a x d a x a x a x d a x a x a x d x x x
9 Figura 4. Heurística Dropp-Add.
4.5.2. Heurística Simulated Annealing
A seguir, utilizou-se a heurística Simulated Annealing, cujo pseudo-código é mostrado na Figura 5, com os seguintes indicadores:
So Solução inicial; S Solução corrente;
S’ Próxima solução; S* Melhor solução; To Temperatura inicial; Tf Temperatura final;
T Temperatura corrente;
L Número máximo de iterações para atingir o equilíbrio; cont contador;
M Parâmetro para definição da probabilidade de escolha (entre 0 e 1)
Taxa de redução de temperatura (entre 0 e 1)
P Probabilidade de escolha (entre 0 e 1) em função de M. Entrada
So = solução inicial (número de esquemas de corte)
Saída
S* = melhor solução encontrada Início
S* So; i = 1
Enquanto i < np faça (np = número de itens) Início
Troca largurai por larguraj (aleatório)
Executa programa e retorna S Se S < So então S* S
Fim enquanto Fim
10 Figura 5. Heurística Simulated Annealing.
4.5.3. Problema teste
A fim de se testar os métodos propostos, utilizou-se um problema hipotético com as seguintes características:
1) Objeto padrão: peça retangular com 190 x 110 unidades de medida;
2) Itens: 20 peças menores retangulares com dimensões em unidades de medida do objeto padrão e demandas confome Tabela 1.
Entrada: To, Tf, P, L,
TTo; Pexp(M); So gera a solução inicial; SSo; S*So
Saída: S* = melhor solução encontrada Início
enquanto T > Tf faça
para cont1 até L(T) faça
S’gera aleatoriamente uma solução vizinha de S
S = S’ S se S < 0 ou P < exp(S/T) então SS’ se (S < S’) então S* S fim do para TT fim-enquanto fim S* So; i = 1
Enquanto i < np faça (np = número de itens) Início
Troca largurai por larguraj (aleatório)
Executa programa e retorna S Se S < So então S* S
Fim enquanto Fim
11 Tabela 1: Dimensões e demandas dos itens utilizados no problema teste.
Item Compri- mento
Largura Demanda Item Compri- mento Largura Demanda 1 70 40 200 11 20 20 200 2 60 40 100 12 70 30 400 3 50 40 200 13 70 50 300 4 40 40 500 14 60 20 500 5 60 30 600 15 60 10 150 6 50 30 200 16 50 50 250 7 50 20 100 17 60 60 320 8 30 20 300 18 30 30 480 9 40 10 400 18 70 20 510 10 30 10 100 20 20 10 380
O problema teste foi implementado nos dois softwares já citados que foram rodados 10 vezes cada um.
A construção inicial gulosa para os dois procedimentos dá como resultado 486 objetos padrão. Para o Simulated Annealing foram utilizados os seguintes parâmetros de entrada:
1) Parâmetro para definição da probabilidade de escolha (M) = 0.5. Valor arbitrário. Este parâmetro determina o valor da probabilidade (P) de se aceitar uma solução vizinha que piora em 50% a solução inicial. Esta probabilidade é dada por
P = exp(M). Neste caso, P = 0,61
2) Temperatura inicial (To) = 500. Valor arbitrário. O valor mínimo para este parâmetro
foi determinado através da expressão:
exp{[(M+1)xSolução inicial Solução inicial]/To} = P. No presente caso,
12 3) Temperatura final (Tf) = 1. Valor bem menor que a temperatura inicial, de modo que,
combinada com a taxa de resfriamento, permita um número razoável para o total de iterações.
4) Taxa de resfriamento = 0,8. Caso queira-se um resfriamento mais lento, utilizar-se-á uma taxa de resfriamento maior, mas sempre menor que 1.
5) Limite de iterações por temperatura = 10. Escolhido arbitrariamente.
4.5.4. Resultados obtidos com o programa teste
Primeiramente, o problema teste foi executado com o software Drop-Add, depois com o sofware Simulated Annealing.
a) Experimentos com o software Dropp-Add
O problema teste foi executado 10 vezes com cada uma das seguintes configurações: 25, 50, 75, 100, 125 e 150 iterações, com os resultados apresentados na Tabela 2.
Tabela 2. Resumo dos resultados obtidos para o problema teste, com o Sotware Drop-Add. Iterações Melhor solução
(mínimo) Vezes em que aparece o mínimo Média das melhores soluções Tempo médio de processamento (seg) 25 292 2 356,6 66,7 50 292 2 372,3 149,9 75 292 6 308,7 216,9 100 292 2 306,8 309,7 125 292 6 313 401,9 150 292 9 292,8 462,2
13
b) Experimentos com o software Simulated Annealing
O problema teste foi executado 10 vezes com cada uma das configurações de entrada mostradas no Quadro 1. A Tabela 3 apresenta o resumo dos dados obtidos.
Parâmetros de entrada
Valores dos parâmetros de entrada
Temperatura inicial (T0) Temperatura final (Tf) Iterações por temperatura (L) Definição de probabilidade (M) Taxa de resfriamento () Básico 500 1 10 0,5 0,8 Alteração T0 1000 1 10 0,5 0,8 Alteração Tf 500 0,5 10 0,5 0,8 Alteração L 500 1 15 0,5 0,8 Alteração M 500 1 10 0,75 0,8 Alteração 500 1 10 0,5 0,9
Quadro 1: Parâmetros de entrada para execução do software Simulated Annealing.
Tabela 3. Resumo dos resultados obtidos para o problema teste, com o Sotware Simulated
Annealing. Tipo de tratamento Valor da alteração Melhor solução Número de soluções menores que 292 Média das soluções melhores Tempo médio de processamento (seg) Básico --- 294 0 381 320 Alteração T0 1000 235 2 329 317 Alteração Tf 0,5 258 2 348 375 Alteração L 15 254 1 339 367
14 Alteração M 0,75
209 1 347 263
Alteração 0,9
274 1 344 1001
4.5.5. Análise dos resultados obtidos com os programas para o problema
teste
A melhor solução encontrada pelo sofware Drop-Add foi a de 292 objetos padrão. Considerando que a construção inicial gerou 486 objetos padrão, houve uma economia de 194 objetos, ou seja de 40%.
Pode-se observar na Tabela 2 que, com apenas 66,7 s, já se chegou ao mesmo mínimo, 292, constante dos outros tratamentos, sugerindo este valor ser o mínimo possível para a aplicação deste software.
O software Simulated Anneling exige a manipulação empírica dos parâmetros de entrada a fim de se chegar a resultados satisfatórios. Mas isto é compensado pela obtenção de resultados mais promissores, como mostra a Tabela 3.
As médias de soluções melhores obtidas através das alterações de parâmetros no Simulated
Annealing, que implicaram em aumento do espaço de busca, não diferiram significativamente
entre si (desvio padrão 7,8), mas quando se compara estas médias com a média da configuração básica, o desvio padrão salta para 17,6.
A melhor solução obtida através do Simulated Annealing foi de 209 objetos padrão, o que correspondeu a uma economia de 28% (83 objetos) comparada com a do Drop-Add e de 57% (277 objetos) em relação à construção inicial (486 objetos).
Isto pode ser explicado pelo fato de o Drop-Add trabalhar com a vizinhança próxima, o que equivale a probabilidade correspondente à combinação de n elementos 2 a 2. Neste problema
15 teste, com 20 itens, corresponde a apenas 190 possibilidades
O Simulated Annealing explora uma vizinhança muito maior que a do Drop-Add. Teoricamente, tem-se n! possibilidades de troca. Neste problema teste corresponde ao fatorial de 20. Os parâmetros de entrada delimitam o espaço de busca e o tempo de procssamento. Do relatório apresentado pelo software Simulated Annealing, correspondente a esta melhor solução, foram retiradas as informações referentes aos itens conforme Tabela 4.
Tabela 4. Resultado obtido para os itens relativos à melhor solução encontrada para o problema teste (140 objetos padrão) com o software Simulated Annealing
Ordem Dos itens
Dimensões Demanda Produção Ordem Dos itens
Dimensões Demanda Produção
1 60x60 320 450 11 30x30 480 1200 2 60X20 500 900 12 70x20 510 668 3 20x20 200 2700 13 70x50 300 300 4 70X30 400 402 14 60x10 150 165 5 60x40 100 450 15 30X20 300 484 6 50x40 200 651 16 50X50 250 484 7 40x40 500 750 17 50X20 100 105 8 70x40 200 300 18 40x10 400 415 9 60x30 600 603 19 30x10 100 161 10 50x30 200 600 20 20x10 380 396
Podem-se obter ainda, do relatório deste software, a quantidade de cada tipo de esquema de faixas e como cada tipo é formado, bem como de quantos e quais itens cada faixa é constituída. Para esta solução, têm-se:
16 1) Construção das faixas (F), a partir dos itens (p):
F1 = 3p1; F2 = 3p2; F3 = 9p3; F4 = 2p4 + 1p6; F5 = 3p5; F6 = 3p6 + 1p7; F7 = 4p7 + 1p11; F8 = 2p8 + 1p10; F9 = 3p9; F10 = 3p10 + 1P11; F11 = 6p11; F12 = 2p12 + 1p15 + 1p16; F13 = 2p13 + 1p15 + p16; F14 = 3p14; F15 = 6p15; F16 = 3p16 + 1 p18; F17 = 3p17 + 1p18; F18 = 4p18 + 1p19; F19 = 6p19; F20 = 9p20.
2) Número de cada montagem (M) com a respectiva composição de faixas(F): 150M1 sendo cada montagem composta por:
1F1+2F2+2F3+1F4+1F5+1F6+1F7+1F8+1F9+1F10+1F11+2F12+1F13;
17M4 sendo cada montagem composta por: 3F4+1F12 17M9 sendo cada montagem composta por: 3F9+1F12 5M14 sendo cada montagem composta por: 11F14 7M17 sendo cada montagem composta por: 5F17+1F18 8M18 sendo cada montagem composta por: 11F18 1M19 sendo cada montagem composta por: 11F19 4M20 sendo cada montagem composta por: 11F20
Pode-se observar que, para esta melhor solução encontrada, foram utilizados apenas oito tipos de montagem.
5. Conclusão
A utilização da heurística Simulated Annealing mostra-se mais eficaz que a busca local
Drop-Add no problema de corte bidimensional, guilhotinado e restrito.
A disponibilização de software baseado nesta heurística pode servir de ajuda para a economia de material não só a artesãos como também a outros profissionais ou microempresas com
17 problema similar.
Agradecimentos
Este trabalho foi financiado pelo Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), pela Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro (FAPERJ), pelo Parque de Alta Tecnologia do Norte Fluminense (TECNORTE) e pela Fundação Estadual do Norte Fluminense (FENORTE).
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