TRANSFORMAÇÕES EM SISTEMAS CARTESIANOS

(1)

TRANSFORMAÇÕES EM SISTEMAS CARTESIANOS

Profª. Érica S. Matos

Departamento de Geomática Setor de Ciências da Terra Universidade Federal do Paraná -UFPR

Parte I – Conceitos gerais

(2)

Transformações de sistemas

Fundamentam em 3 pilares:

TRANSLAÇÃO

ROTAÇÃO

FATOR DE ESCALA

REFLEXÃO

(3)

TRANSLAÇÃO

Y X O 1º raciocínio O’ Translação de um sistema de coordenadas

(4)

TRANSLAÇÃO

1º raciocínio Y X O O’ Translação de um sistema de coordenadas Y X O Y X O Y X O

(5)

TRANSLAÇÃO

1º raciocínio Y X O O’ Translação de um sistema de coordenadas Y’ X’ T_Y T_X

X’ = X + T

_X

Y’ = Y + T

_Y Novo sistema

(6)

TRANSLAÇÃO

Y X 2º raciocínio Translação de pontos mesmo sistema P(x,y)  P(x’,y’) 2 7 7 12 Exemplo:

T

_X

= +10

T

_Y

= -6

x’ = x + T

_X

y’ = y + T

_Y O

(7)

TRANSLAÇÃO

Y X O 2º raciocínio Translação de pontos mesmo sistema P(x,y)  P(x’,y’) 2 7 7 12 Exemplo:

T

_X

= +10

T

_Y

= -6

x’ = x + T

_X

y’ = y + T

_Y 1 6 12 17

(8)

TRANSLAÇÃO DE PONTOS

SIGNIFICADO:

VISUAL 

É a mudança de posição em relação ao

sistema de coordenadas

MATEMÁTICO 

É a operação de adição de constantes

de translação (positivas e/ou negativas) às coordenadas

originais.

x’ = x + T

_X

y’ = y + T

_Y

Onde:

(x,y)

 coordenadas originais

(x’,y’)  coordenadas resultantes

T

_X

,T

_y

 constantes de translação

(9)

ROTAÇÃO

1º raciocínio Y X O Rotação de um sistema de coordenadas

(10)

ROTAÇÃO

(11)

ROTAÇÃO

θ

(12)

ROTAÇÃO

Y X O 2º raciocínio Rotação de pontos mesmo sistema P(x,y)  P(x’,y’) Exemplo:

θ = +35°

(13)

ROTAÇÃO

Y X O 2º raciocínio Rotação de pontos mesmo sistema P(x,y)  P(x’,y’) Exemplo:

θ = +35°

θ

(14)

ROTAÇÃO EM TORNO DE UM PONTO

(CENTRO DE ROTAÇÃO)

SIGNIFICADO:

VISUAL 

É a mudança de posição de modo que todos

os pontos mantenham a mesma distância em torno do

centro de rotação (ponto fixo)

MATEMÁTICO 

É a aplicação do ângulo de rotação

𝛼

nos pontos originais

CONVENÇÃO: (+) positivo  sentido anti-horário  dextrogiro

x’ = x.cos(α) + y.sen(α)

y’ = -x.sen(α) + y.cos(α)

Onde:

(x,y)  coordenadas originais (x’,y’)  coordenadas resultantes T_X,T_y  constantes de translação

(15)

CENTRO DE ROTAÇÃO

A rotação de P(x,y) para uma nova_posição _{P’(x’,y’)} _ou _{P”(x’’,y’’)} conserva a distância entre o centro de rotação (“pivô”) e o ponto resultante. O mesmo efeito é observado no ponto Q C ROTAÇÃO P P’ P’’ 𝒓_𝑷′′ 𝒓𝑷 𝒓_𝑷′ |𝒓_𝑷| = |𝒓_𝑷′| = |𝒓_𝑷′′| Q’’ Q Q’ 𝒓_𝑸′′ 𝒓_𝑸 𝒓_𝑸′ |𝒓_𝑸| = |𝒓_𝑸′| = |𝒓_𝑸′′|

(16)

CONVENÇÃO DE ÂNGULOS DE ROTAÇÃO

SISTEMA ANTI-HORÁRIO HORÁRIO

DEXTRÓGIRO

+

-LEVÓGIRO

-

+

x’ = x.cos(α) + y.sen(α) y’ = -x.sen(α) + y.cos(α)

(17)

REFLEXÃO

1º raciocínio Y X O Reflexão de um eixo no sistema de coordenadas

(18)

REFLEXÃO

1º raciocínio Y’ X Reflexão de um eixo no sistema de coordenadas O X’

Inversão

DEXTRÓGIRO ↔ LEVÓGIRO

X’ = -X

Y’ = Y

Novo sistema É uma rotação de 180°

(19)

REFLEXÃO

2º raciocínio

Y

X O

Reflexão de pontos

(a) O sistema de coordenadas permanece intacto (FIXO)

x

₁

y

₁

a (x

₁

,y

₁

)

r

_{Altera-se a}

posição do ponto

x

₂

= x

₁

y

₂

= -y

₁

(20)

REFLEXÃO

2º raciocínio

Y

X O

Reflexão de pontos

(a) O sistema de coordenadas permanece intacto (FIXO)

x

₁

y

₁

a (x

₁

,y

₁

)

r

_{Altera-se a}

posição do ponto

x

₂

= x

₁

y

₂

= -y

₁

x

₂

y

₂

b (x

₂

,y

₂

)

r

(21)

REFLEXÃO

2º raciocínio

Y

X O

Reflexão de pontos

(b) A posição do ponto fica intacta (FIXA) e altera-se o sistema de

coordenadas

x

₁

y

₁

a (x

₁

,y

₁

)

r

_{Altera-se a}

(22)

REFLEXÃO

2º raciocínio

Y’

X’ O

Reflexão de pontos

(b) A posição do ponto fica intacta (FIXA) e altera-se o sistema de

coordenadas

x

₂

y

₂

a (x

₂

,y

₂

)

r

_{Altera-se a}

direção dos eixos

(23)

TRANSFORMAÇÃO DE ESCALA, ESCALAÇÃO

SIGNIFICADO:

VISUAL 

Alteração do tamanho, forma e/ou posição de

uma feição

MATEMÁTICO 

É a multiplicação das coordenadas por

fatores de escala não nulos.

No caso 2D:

• fator de escala em x: E

_x

• fator de escala em y: E

_y

x’ = E

_X

.x

y’ = E

_y

.y

Onde:

(x,y)  coordenadas originais (x’,y’)  coordenadas resultantes

(24)

FATOR DE ESCALA

Y X O E > 1 Ampliação na direção

do eixo afetado pelo fator

Exemplo:

E

_X

= 3

E

_y

= 3

x’ = E

_X

.x

y’ = E

_y

.y

2 5 2 4

(25)

FATOR DE ESCALA

Y X O E > 1 Ampliação na direção

Exemplo:

E

_X

= 3

E

_y

= 3

x’ = E

_X

.x

y’ = E

_y

.y

2 6 2 4 15 6 12 5

(26)

FATOR DE ESCALA

Y X O 0 < E < 1 Redução na direção

Exemplo:

E

_X

= 0,5

E

_y

= 0,5

x’ = E

_X

.x

y’ = E

_y

.y

10 18 14 8

(27)

FATOR DE ESCALA

Y X O 0 < E < 1 Redução na direção

Exemplo:

E

_X

= 0,5

E

_y

= 0,5

x’ = E

_X

.x

y’ = E

_y

.y

10 18 14 8 7 4 5 9

(28)

FATOR DE ESCALA

Y X O E < 0 Redução / Ampliação + ESPELHAMENTO na direção

Exemplo:

E

_X

= 2

E

_y

= -2

x’ = E

_X

.x

y’ = E

_y

.y

4 2 1 5

(29)

FATOR DE ESCALA

Y X O E < 0 Redução / Ampliação + ESPELHAMENTO na direção

Exemplo:

E

_X

= 2

E

_y

= -2

x’ = E

_X

.x

y’ = E

_y

.y

4 2 1 5 -2 -8 4 10

(30)

Transformações de sistemas de coordenadas

Transformações de pontos

ALTERAÇÃO DO REFERENCIAL

(31)

EXEMPLOS

Resolução PR01/2005 – IBGE

Altera a caracterização do Sistema Geodésico Brasileiro

SAD69  SIRGAS2000

∆X = - 67,35 m

∆Y = + 3,88 m

∆Z = - 38,22 m

OBS:

Parâmetros de translação são aplicados em coordenadas cartesianas

tridimensionais geodésicas (X,Y,Z)

(32)

EXEMPLOS

Dimensão de uma imagem em pixels (sistema coluna, linha)

Resolução Espacial Pixel ↔ Metro “FATOR DE ESCALA”

(33)

EXEMPLOS

(34)

Orientação: Norte Magnético (N. M)

EXEMPLOS

(35)

Época: 30/11/1982

EXEMPLOS

(36)

Data de elaboração 30/11/82

Orientação: Norte Magnético da época

Coordenada média do loteamento

𝝋 = 𝟐𝟑°𝟏𝟐

′

𝟏𝟔, 𝟗" 𝑺 ; 𝝀 = 𝟒𝟓°𝟓𝟒

′

𝟎𝟔, 𝟎" 𝑾

Qual o ângulo de rotação necessário para orientar-se

em relação ao norte geográfico?

Uma das soluções  declinação magnética da época

EXEMPLOS

(37)

https://www.ngdc.noaa.gov/geomag-web/

(38)

NG = NM + 𝛿

NG = NM + (17,93° W)

NG = NM – 17,93°

-17,93° corresponde a uma rotação de 17,93° em sentido horário

CONVENÇÃO: (+) positivo  sentido anti-horário  dextrogiro NG

NM

δ

EXEMPLOS

(39)

NG

NM

δ

EXEMPLOS

(40)

EXEMPLOS

Planta de um loteamento NG NM NG NM