Resoluções das atividades
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Semelhança de triângulos Abertura de capítulo• Sim. Resposta pessoal. • 27 triângulos. 81 triângulos.
• Todos os triângulos equiláteros são semelhantes entre si – pois possuem todos os ângulos correspondentes con-gruentes e todos os lados correspondentes proporcio-nais –, mas dois triângulos quaisquer, não equiláteros, nem sempre são semelhantes.
Dialogar e conhecer – página 116
1 I. a) 3 9 1 3 u u= 2 6 1 3 u u= 3 9 1 3 u u= 2 6 1 3 u u= b) Sim, pois AB EF BC FG CD GH AD EH = = = = 1 3.
c) Sim, pois todos são ângulos retos, logo, são con-gruentes.
d) Sim, os quadriláteros são semelhantes pois têm a mesma forma e duas figuras geométricas são consideradas semelhantes quando têm a mesma forma, podendo ter tamanhos diferentes. II. a) 4 2 2 v v= 2 1 2 v v 4 2 2 u u= 2 1 2 v v 4 2 2 v v= b) Sim, pois AB FG BC GH CD HI DE IJ AE FJ = = = = = 2 . c) Da figura, tem-se A F 90º, B G 90º,C H 135º, D I 135º, E J 90º.
Logo, os pares de ângulos são congruentes. d) Sim, os pentágonos são semelhantes pois têm
a mesma forma, e duas figuras geométricas são consideradas semelhantes quando têm a mesma forma, podendo ter tamanhos diferentes.
2 Tanto os quadriláteros ABCD e EFGH como os pentágo-nos ABCDE e FGHIJ possuem todos os ângulos corres-pondentes congruentes e todos os lados corresponden-tes proporcionais.
Agora é com você! – página 118
1 a) Os dois quadriláteros não são semelhantes, porque os lados correspondentes não são proporcionais:
6 4
4 4 ≠ .
b) Os dois pentágonos são semelhantes, porque possuem os ângulos correspondentes congruen-tes e os lados correspondencongruen-tes proporcionais:
2 3 2 8 4 2 2 4 3 6 2 8 4 2 2 3 = , = = = , , , , , .
Dialogar e conhecer – página 118
1 a) A F B G C H D I E J e , e , e , e , e . b) A e F, B e G, C e H, D e I, E e J.
c) Os lados homólogos são definidos por um mesmo par de vértices correspondentes. Assim, AB é corres-pondente a FG , BC é correscorres-pondente a GH , CD é correspondente a HI , DE é correspondente a IJ e EA é correspondente a JF . 2 a) 5 15 1 3 = b) 5 15 1 3 = c) 6 18 1 3 = d) 8 24 1 3 = e) 5 15 1 3 =
• Os valores das razões são iguais. Logo, elas são equi-valentes. 3 AB FG BC GH CD HI DE IJ AE FJ AB BC CD DE AE FG GH HI IJ FJ 2987 13
Resposta pessoal. É possível perceber que a razão entre dois lados correspondentes quaisquer dos pentágonos
ABCDE e FGHIJ é sempre igual a 1
3 e que a razão entre os perímetros desses pentágonos também é igual a 1
3.
Investigue – página 120
1 Se a razão de semelhança entre dois polígonos for igual a 1, as medidas dos lados homólogos desses polígonos serão iguais.
2 Se a razão de semelhança entre dois triângulos for igual a 1, as medidas dos lados homólogos desses triângulos serão iguais. Logo, pode-se afirmar que esses triângulos são congruentes.
Agora é com você! – página 121
1 a) k x x x 6 12 1 2 9 1 2 2 9 4 5, cm
Perímetro do retângulo menor = 2 · 4,5 + 2 · 6 = 9 + 12 = 21 cm Perímetro do retângulo maior = 2 · 9 + 2 · 12 = 18 + 24 = 42 cm
Razão de semelhança entre o perímetro do primeiro polígono e o perímetro do segundo: k =21=
42 1 2 b) k x x x y y y z z 6 4 3 2 8 3 2 2 24 12 10 3 2 2 30 15 9 3 2 3 cm cm 118 z 6cm Perímetro do quadrilátero maior = 9 + 6 + 15 + 12 = 42 cm
Perímetro do quadrilátero menor = 6 + 4 + 10 + 8 = 28 cm
Razão de semelhança entre o perímetro do primeiro polígono e o perímetro do segundo: k =42=
28 3 2 2 Representando por x, y, z, u e v as medidas dos
lados do pentágono maior, monta-se a proporção:
x y z u v 2 5 3 6 4 5 2 = = = = = Assim, tem-se: x x y y 2 5 2 5 5 5 2 12 5 cm , cm z z u u v v 3 5 2 7 5 6 5 2 15 4 5 2 10 , cm cm cm
3 O lado do quadrado maior é igual a 64 : 4 = 16 cm Chamando de x o lado do quadrado menor, tem-se
16 5
2 5 32 6 4
x x , cmx
4 Maior lado do primeiro triângulo: 18 cm
Perímetro do primeiro triângulo: 8,4 + 15,6 + 18 = 42 cm 18 42 35 18 6 5 15 3 1 x x x cm
Agora é com você! – página 123
1 a) k x x x y y y 20 15 4 3 9 4 3 3 36 12 16 4 3 4 48 12 b) k x x x x x y y y y 8 20 2 5 2 4 5 2 5 5 4 9 9 6 4 2 5 2 8 30 2 22 11 ,
2 Pelo conceito de semelhança, tem-se que AB DE BC EF CA FD k = = = = 2 3. Assim, tem-se: 8 2 3 2 24 12 17 2 3 2 51 25 5 15 2 3 2 45 DE DE DE EF EF EF FD FD , FD 22 5 ,
Agora é com você! – página 125
1 AD AB DE BC x x x x 18 27 24 2 3 24 2 72 36 2 AB AC BE CD a a x x x x 2 3 14 2 3 14 2 42 21
Agora é com você! – página 129
1 a) A.A. b) L.A.L. c) L.L.L. d) A.A.
2 a) A E ≡ (ângulos retos) e ACB ECD ≡ (O.P.V.). Então, pelo caso de semelhança A.A., tem-se
AABCAEDC. Os lados correspondentes são AB ED BC DC AC EC e , e , e . BC DC AC EC AB ED x y x x x y y 15 4 9 3 3 15 3 3 15 5 4 3 12
b) BAC EDC ≡ (ângulos retos) e C C ≡ (ângulo comum). Então, pelo caso de semelhança A.A., tem-se AABCADEC. Os lados correspondentes são AB DE BC EC AC DC e , e , e . AB DE BC EC AC DC y x x y y y x 9 10 20 12 5 3 9 5 3 3 45 15 10 xx x x x 5 3 5 30 3 15
3 a) BAC DEC ≡ (ângulos retos) e ACB ECD ≡ (ângulo comum). Então, pelo caso de semelhança A.A. tem-se AABCAEDC.
BC DC AB ED AC EC x y x x x y 12 13 10 24 12 2 12 13 2 12 26 14 10 2 y 5 b) Os triângulos são semelhantes pelo 2o caso de
semelhança, pois 15 5
9 3
e BAC EDF . Logo, 15
5 4 4 5 66 13 2 x
x x
, ,
c) A A ≡ (ângulo comum) e ADB ACD ≡ (dado). Então, pelo caso de semelhança A.A., tem-se AABDAADC. 4 9 5 4 9 36 6 4 5 4 6 5 10 3 2 x x y x x x x x y y y A x y D 4 B α C A x D 9 5 α
d) B CAD ADB CDA ≡ e ≡ (ângulos retos). Então, pelo caso de semelhança A.A., tem-se AABDACAD.
BD AD AD CD AB CA y y x y y y y x 7 2 12 16 3 4 7 2 3 4 3 28 8 9 6 3 4 3 , , , , xx 38 4, x 12 8, 4 a) k x x y y z z 4 8 2 4 2 8 2 4 6 2 3 10 2 5 , ,
Note que, como k = 2, é possível concluir que as medidas dos lados do triângulo EFG são a metade das medidas dos seus correspon-dentes no triângulo ABC. Assim, x = 8 : 2 = 4, y = 6 : 2 = 3 e z = 10 : 2 = 5.
b) O ∆EFG é isósceles de base GF . Logo, EG EF≡ . Conclui-se, então, que x = 39
k y y y z z z 26 39 2 3 20 2 3 2 60 30 36 2 3 3 72 24
5 Desenhando os triângulos separados, tem-se:
Os triângulos obtidos são semelhantes, pelo caso A.A. Então, os lados correspondentes são proporcionais e as alturas correspondentes também são proporcionais. Assim, tem-se: 9 28 16 7 4 7 36 4 3 36 12 x x x x x x 9 + x = 9 + 12 = 21 cm
Logo, as alturas dos triângulos obtidos serão iguais a 21 cm e 12 cm. 9 + x 28 x 16 Investigue! – página 132 1 a) 12 9 4 3 = 20 15 4 3 = 16 12 4 3 = 9 6 7 2 4 3 , , =
b) As alturas relativas aos lados CB e GF são proporcionais aos lados correspondentes dos triângulos ABC e EFG. 2 Atividade de produção textual.
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1 Pelo conceito de semelhança, tem-se: AB PQ AC PR BC QR x y x x y y 8 28 20 10 2 8 2 16 28 2 14 2 a) 6 6 3 8 6 72 12 x x x b) x x x x x x x 10 27 36 10 3 4 4 3 30 30 c) x 5 x x 5 12 3 5 20 15
3 a) Separando os triângulos, tem-se:
8 15 A 17 x 5 A
Note que  é angulo comum. Montando a proporção, tem-se: x x x 8 5 15 15 40 8 3
b) CDE ABC retos
DCE ACB comum DCE BCA
DE AB CD BC x ∼ ( ) ( ) A A 115 15 20 20 225 45 4 x x
c) Note que  é ângulo comum. Montando a proporção, tem-se: x10 4 104 4 (x 4 100) x 4 100 x x
4 4 25 21
d)
ASR ABC iguais a
SAR BAC comum SAR BAC
SR BC AS A ( ) ( ) ~ A A B B x x 8 5 10 4 ×2 ×2 5 A R C S B 10 x α α 8 10 A x + 4 α 10 A 4 α
4 ACB e EDC possuem lados, respectivamente, perpen-diculares. Logo:
ACB EDC ABC DEC retos
ABC CED AB CE AC CD BC ED y ˆ ˆ ( ) ~ A A 8 4 17 155 15 2 17 2 x x y , x y D C A 13 15 8 4 B E
5 Perímetro do triângulo maior: 12 +18 + 20 = 50 m Perímetro do triângulo menor: 30 m
Menor lado do triângulo maior: 12 m Menor lado do triângulo menor: x
50 30 12 5 36 7 2 x x x , m
6 Perímetro do triângulo ABC: x Perímetro do triângulo A'B'C': 200 cm AB = 20 cm e A'B' = 40 cm AB A B x x x x ’ ’ 200 20 40 200 1 2 2 200 100 cm
7 Chamando de x o lado do quadrado, tem-se: C 4 A 6 B D F E x x x x 4 – x 6 – x
Se observar, tem-se semelhança entre três triângulos: CDE ~ BDF ~ ABC
Montando a proporção, tem-se: (CDE ~ ABC) 4 – x x 4 6 4 4 6 4 6 4 4 24 6 10 24 24 10 12 5 2 4 x x x x x x x x ( ) ,
8 Sejam ABC b ACB c = , = . Então: A A A ABC b c BGD b BGD BGD c
CFE c CFE CFE b
90 90 90 º º ˆ º ˆ ABGD AFCE BD FE GD CE x x x cm ~ 8 2 4
Logo, o perímetro do quadrado é igual a 16 cm. A x x x x 2 8 c c b b G D B F C E
9 Observe os seguintes triângulos semelhantes:
3 6 x 6 – x 9 3 6 6 x 6 x
Montando a proporção, tem-se: ×2 ×2
3
6
6
x
x
x
x
x
x
x
x
2 6
12 2
3
12
4
(
)
Portanto, o perímetro será 4 · 4 =16 cm.
Questões objetivas 1 D AB AM BC 2 3 30 20 20 8 12 1 2 30 15 cm cm cm
ABC AMN (caso A
A A ..A.)
Perímetro do triângulo ABC: 20 +15 + 30 = 65 cm
Perímetro do triângulo AMN: x
x x x 65 12 20 3 5 5 195 39 cm A M N B C 15 8 12 30 2 A
Se d é a distância procurada, então d d 12
2
3 8
m. 3 C
O triângulo ADE é isósceles, logo AD = 8m.
O triângulo ABC é semelhante ao triângulo ADE, portanto: 2 8 12 8 24 3 x x x m 2 m x 12 m θ θ θ A B C E D 8 m 4 B CE CE AE AC CE 5 8 4 2 10 5 10 15 cm cm 5 B
Observe as perpendiculares traçadas dos pontos R e S. Os triângulos MAR, MBS e MNP são semelhantes (pelo caso A.A). Então, AR
MR BS MS NP MP = = . Q P S R N M 6 A B 3 x x x A B C D E 8 4 5
AR MR NP MP AR x x AR BS MS NP MP BS x x BS 3 3 1 2 3 3 2 Área do triângulo RNS = AMNS – AMNR A A A MNS MNR RNS 6 2 2 6 6 1 2 3 6 3 3 6 A
Na figura, têm-se dois triângulos retângulos semelhan-tes pelo caso A.A.
BC m CD BC CD CD m 2 9 1 3 1 6 3 8 1 6 8 3 0 2 0 6 , , , , , ,
