Redes Complexas: teoria, algoritmos e aplicações em computação Bloco #6

Redes Complexas: 

teoria, algoritmos e aplicações em computação

, g

p

ç

p

ç

`` Scale‐Free Networks”

Virgílio A. F. Almeida

Outubro  de 2009

Leituras Essenciais

ƒ A.-L. Barabási and E. Bonabeau, Scale-Free Networks, Scientific

A i 288 60 69 (2003) American 288, 60-69 (2003)

ƒ Duncan J Watts "Duncan J. Watts, Beyond the Small WorldBeyond the Small World, Chapter 4 of D.J. " Chapter 4 of D J

Watts, Six Degrees: The Science of a Connected Age (New York & London: W.W. Norton & Company, 2002).

ƒ Barabasi, A., & Albert, R. (1999). Emergence of scaling in random networks. Science, vol. 286, pp. 509-512. , , pp

ƒ Ebel, H., Mielsch, L.I., & Bornholdt, S. (2002). Scale-free topology of il t k Ph i l R i E l 66 035103

Tópicos

ƒ Redes muito grandes (milhões ou bilhões de nodos e arestas)

O ê i d ti d d t i d d t l i

ƒ Ocorrência desse tipo de redes na natureza, sociedade, tecnologia, economia, etc.

ƒ Evolução temporal.

ƒ Exemplos: Internet and WWW

Sistemas Complexos

Feitos por

muitos elementos não idênticos conectados por diversas interações

.

NETWORK

Uma descoberta importante....

M i d l i i l õ h

ƒ Muitas redes na natureza, ecologia, economia, relações humanas e tecnológicas (Internet and WWW) tem a mesma estrutura

topológica.

Sã h d l f t k

ƒ São chamadas: scale-free networks

ƒ Com propriedades idênticas, referentes a estrutura matemática e ao comportamento

Problemas de pesquisa relacionadas a scale-free

networks

ƒ Pode a Internet funcionar bem se centenas de roteadores forem

ƒ Pode a Internet funcionar bem se centenas de roteadores forem retirados propositalmente de operação?

ƒ Quais partes da Internet são mais vulneráveis a ataques hostis?

ƒ Como projetar algoritmos eficientes de busca para WWW que

ƒ Como projetar algoritmos eficientes de busca para WWW, que façam uso dessas propriedades?

Redes Randômicas

ƒ

Criadas por Paul Erdos and Alfred Renyi em 1959 e

1960.

ƒ

Hipóteses básicas:

ƒ Número fixo de nodos

ƒ Conectados por arestas aleatórias.

ƒ Nodos são “democraticos” i.e. Maior parte dos nodos tem aproximadamente um número igual de arestas incidentes aproximadamente um número igual de arestas incidentes.

Introdução do conceito de

Scale-free networks

Introdução do conceito de

Scale free networks

ƒ

Introduzido por Barabasi e colaboradores em 1999.

ƒ

Em evolução e auto-organizadas.

ƒ

Duas regras fundamentais:

ƒ

Duas regras fundamentais:

ƒ

(a) crescimento no tempo pela adição de nodos e

arestas.

ƒ

(b) regra de ligação aos nodos várias formas

Notação Matemática

Di t ib i ã d t í ti b bili ti d d

ƒ Distribuição de graus - característica probabilistica da rede

ƒ P( k ,s, N) - probabilidade que o vértice s na rede de tamanho N tenha k conexões (vizinhos mais próximos ).( p )

ƒ Distribuição do grau total

N

1

∑

=

N

p

k

s

N

N

N

k

P

(

,

)

1

(

,

,

)

=

s

N

₁

Distribuição de graus

ƒ A probabilidade que um vértice tem k arestas.

)

(

k

e

P

k

λ

λ

−

=

ƒ A distribuição de Poisson para as

d t k d E d R i

!

)

(

k

k

P

=

random networks de Erdos-Renyi.

onde

∑

∞

=

kP

( k

)

λ

∑

= 0

)

(

k

Distribuição de Poisson

ƒ

Distribuição de graus

Escala característica. Node médio típico

k

=

λ

=

k

Distribuição Power law

para as redes em evolução e auto-organizadas propostas por

p ç g p p p Barabasi e colaboradores

γ

−

∝ k

k

P

(

k

)

∝ k

γ

P

(

)

3

2

<

γ

<

Essas redes não tem um número médio típico de arestas e são chamadas “scale-free”scale free .

Random vs. Scale Free

Exemplos:

ƒ

Exemplos:

R d d

t d

EUA

ƒ

Rede de estradas nos EUA

ƒ Próxima de uma random network, com uma distribuição em forma de “bell”

ƒ

Ao contrário, aeroportos nos EUA

ƒ Formam uma rede scale free network com vários hubs ligando g um grande número de aeroportos.

Poisson distribution

Power-law distribution

Poisson distribution

Power law distribution

Scale free: outros exemplos reais

Scale free: outros exemplos reais

ƒ

Redes de Comunicação: Internet e WWW

Redes de Comunicação: Internet e WWW

ƒ

Biologicas : interações entre proteinas no corpo

humano.

Food webs

ƒ

Food webs,

WWW

ƒ

Distribuição Power-law levemente modificada

γ

−

+

∝

(

)

)

(

k

k

c

P

Home pages na Web

γ

C

Empresas

2.05

193

U i

id d

Universidades

_2.62

₁₃₇₀

Cientistas da computação

2 66

12

Cientistas da computação

2.66

12

Redes do Tipo Scale-free

ƒ Redes Scale-free são uma categoria importante das redes reais.

ƒ Elas tem nodos muitos conectados (hubs) que representam um papel chave nas propriedades das redes.

ƒ Redes Scale-free são um resultado direto da “self-organization”.

ƒ Tipo especial de crescimemnto chamdo “p p the preferential linkingp g” ou “preferential p attachment”.

ƒ Enquanto a rede cresce seu novo nodo torna-se preferencialmente conectado a vertices com maiores números de conexões: “rich gets richer”.

vertices com maiores números de conexões: rich gets richer .

Redes Scale-free

ƒ

A preferência no processo de crescimento da rede pode

tomar várias formas.

ƒ

A mais natural é o tipo linear de preferência que resulta em

redes

scale-free

redes

scale-free.

Exemplos dessa anexação preferencial inclui a Web onde

ƒ

Exemplos dessa anexação preferencial inclui a Web, onde

as paginas mais populares ganham mais links.

Redes Scale-free (processos geradores)

p

g

ƒ

Ligação preferencial linear

Vértice escolhido Novo vértice

Novo vértice

A probabilidade que uma nova aresta seja ligada a um vértice de

grau k é proporcional a k.

3

Isso leva a uma rede scale-free com

γ

=

3

Outras regras mais gerais de conexão são possíveis

Outras regras mais gerais de conexão são possíveis

Preferential attachment

Modelagem tradicional:

rede como um grafo estático

rede como um grafo estático

Dada uma rede com N nodos e L links

⇓

Criar um grafo com topologia estatisticamente idêntica

RESULTADO: modelo de topologia de rede estática

⇓

RESULTADO: modelo de topologia de rede estática

PROBLEMA: Redes reais são sistemas dinâmicos

Redes que Evoluem

OBJETIVOS: capturar a dinâmica das redes

OBJETIVOS: capturar a dinâmica das redes

MÉTODO :

•

identificar os processos que contribuem para formação da topologia

D l d l di â i

•Desenvolver modelos dinâmicos que capturam esses processos

lt d

bt

h

t

l

i

t

t

⇓

Sociedade

Redes Complexas

• As redes complexas são do tipo randomicas (random

networks)?

• Redes tem finalidades!

• Como a topologia afeta a função/finalidade da rede

World Wide Web

Nodos: d t d W b

800 milhões de documentos

Nodos: documentos da Web

Links: URL links

800 milhões de documentos (Lawrence, 1999)

ROBOT

:

E aí?

O que era esperado?

O que foi encontrado:

O que foi encontrado:

γ

= 2.45

γ

= 2.1

P

(k) ~ k

P

(k) ~ k

Origem das Redes SCALE-FREE

(1) O número de nodos (N) NÃO é fixo

Redes continuamente expandem pela adição

Redes continuamente expandem pela adição

de novos nodos e arestas

Exemplos:

Exemplos:

WWW : adição de novos documentos

Citação : publicação de novos papers

(2) A anexação (attachment) NÃO é uniforme

Um d

é

li

m

m i

b bilid d

m d

Um nodo é ligao com maior probabilidade a um nodo

que já tem um grande número de links.

E l

Exemplos :

WWW : novos documentos se ligam a sites muito conhecidos (Google,

CNN, Yahoo, Ebay, YouTube, NewYork Times, Citeseer, DLBP, etc)

Cit ã it it d ã i á i d it d

Citação : papers muito citados são mais prováveis de serem citados novamente.

Modelo BA:

Scale-free

(1) Crescimento: A cada passo de tempo adicionamos um novo nodo com m arestas (conectado a nodos já presentes no sistema).

(2) Preferential Attachment: A probabilidade Π que um novo

(2) Preferential Attachment: A probabilidade Π que um novo nodo será conectado ao nodo i depende da conectividade k_i daquele nodo

k

k

k

k

Σ

=

Π )

(

P(k) k

P(k) ~k

Modelo Bianconi & Barabasi

Competition in Evolving Networks

Competition in Evolving Networks

(1) Crescimento: A cada passo de tempo adicionamos um

(1) Crescimento: A cada passo de tempo adicionamos um novo nodo com m arestas (conectado a nodos já presentes no sistema).

(2) Preferential Attachment and Competition A probabilidade Π que um novo nodo será conectado ao nodo i depende da

conectividade k_i daquele nodo e de um fator de “fitness”

)

(

k

η

k

Π

)

(

k

k

η

η

Σ

=

Π

)

,

(

t

t

m

t

t

k

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

A.-L.Barabási, R. Albert, Science 286, 509 (1999)

0

t

⎠

Propriedades principais: • redes complexas

preferential attachment

Modeling of scale-free networks b B b i t l (1999) Distribuição de conectividade • preferential attachment • clustering by Barabasi et al. (1999) Distribuição de conectividade

•P(k)

P(k)

probabilidade

probabilidade

que um nodo tenha k

links

•A Internet e a World-Wide-Web

•Redes de Proteinas

P(k) ~ k

γ

•Redes Sociais

•Food-webs e redes ecologicas

• <k>= const

• <k

>

→ ∞

• <k>= const

• <k

>

→ ∞

g

<k >

→ ∞

<k >

→ ∞

Virus Naturais em computadores

•DNS-cache computer viruses •Routing tables corruption

T

l

i I t

t

Routing tables corruption

Virus transportados por virus

Topologia Internet

•ftp, file exchange, etc.

Rede de E-mail

Ebel et al. (2002)

Computer worms

•Difusão de e-mail •Auto-replicação

Leituras para Próxima Aula

ƒ

Tópicos: robustez e vulnerabilidade em SF networks

ƒ

Albert, H. Jeong, and A.-L. Barabási,

Error and

attack tolerance in complex networks

Nature

attack tolerance in complex networks

, Nature

406

ƒ

Faloutsos, M., Faloutsos, P., & Faloutsos, C.

(1999).

On power-law relationships of the

(

)

p

p

Internet topology

. Computer Communication