CAPÍTULO 04 -
POLIEDROS
Definição 1: Poliedro é o sólido limitado por um número finito de polígonos planos tais que:
1o) Cada lado de um desses polígonos é também lado de apenas um outro polígono;
2o) A interseção de dois quaisquer desses polígonos ou é um lado comum, ou um vértice ou
é vazia.
Cada um desses polígonos é denominado face do poliedro, cada lado comum a duas
faces chama-se aresta do poliedro e cada vértice de um polígono chama-se vértice do poliedro.
Poliedro
Não é um poliedro. Por quê?
Não é um poliedro. Por quê?
Todo poliedro limita uma região do espaço denominada interior do poliedro.
Dizemos que um poliedro é convexo se seu interior é convexo, isto significa dizer que
qualquer segmento de reta que liga dois pontos do poliedro está inteiramente contido no poliedro, ou equivalentemente, se qualquer reta (não paralela a nenhuma face) o corta, no máximo, em dois pontos.
Poliedro não convexo
Neste capítulo, trataremos da questão de contarmos as faces, os vértices e as arestas de um poliedro bem como estabelecer relações entre esses elementos.
Representemos por A o número de arestas, por F o número de faces e por V o número de vértices de um poliedro.
Representemos também por Fn, n 3, o número de faces que possuem n lados e por Vn,n
3, o número de vértices nos quais concorrem n arestas. Temos então:
F = F3 + F4 + F5 + . . .
V = V3 + V4 + V5 + . . .
Primeiras propriedades:
Uma vez que cada aresta do poliedro é lado de exatamente duas faces e que 3F3, 4F4,
5F5, . . . , etc, são respectivamente o número de lados das faces triangulares,
quadrangulares, pentagonais, etc, então tem-se:
2A = 3F3 + 4F4 + 5F5 + . . . ()
Por outro lado, contando-se as arestas que concorrem num mesmo vértice, obtemos:
2A = 3V3 + 4V4 + 5V5 + . . . ()
De () e () segue-se que:
1a) 2A 3F. De fato,
2A = 3F3 + 4F4 + 5F5 + . . . =
= (3F3 + 3F4 + 3F5 + . . . ) + F4 + 2F5 + 3F6 + . . . = = 3(F3 + F4 + F5 + . . . ) + F4 + 2F5 + 3F6 + . . . = = 3F + F4 + 2F5 + 3F6 + . . .
2A 3F (A igualdade só é válida quando F4 = F5 = . . . = 0, isto é, quando o poliedro só possui faces triangulares).
2a) 2A 3V. De fato,
2A = (3V3 + 3V4 + 3V5 + . . . ) + V4 + 2V5 + . . . =
= 3(V3 + V4 + V5 + . . .) + V4 + 2V5 + . . . = = 3V + V4 + 2V5 + . . .
F + V = A + 2
S = 360o ( V – 2 )
Teorema de Euler: Em todo poliedro convexo com F faces, A arestas e V vértices, tem-se:
Prova: Veja o texto: A Matemática do Ensino Médio – Vol. 3 – Elon Lages Lima e outros. (Publicação da Sociedade Brasileira de Matemática)
Corolário 1: Sejam F o número de faces, V o número de vértices e A o número de arestas de um poliedro convexo. Então
1o) A + 6 3F 2A;
2o) A + 6 3V 2A;
3o) A 6.
Prova: Já provamos anteriormente que 3F 2A e que 3V 2A.
Como 2 = F + V - A, então 6 = 3F + 3V – 3A 3F + 2A – 3A = 3F – A
Portanto A + 6 3F, o que prova (1o
).
Por outro lado,
6 = 3F + 3V – 3A 2A + 3V – 3A = 3V – A
Portanto A + 6 3V, o que prova (2o
).
Finalmente, de (1o) segue-se por transitividade que A + 6 2A e assim A 6.
Corolário 2: A soma dos ângulos internos das faces de um poliedro convexo é dada por:
Prova: Representemos por mi e Si, i = 1, 2, . . . , n respectivamente o número de lados e a soma dos ângulos internos da i-ésima face. Temos então
S1 = 180o(m1– 2) S2 = 180o(m2– 2)
. . . Sn = 180o(mn– 2)
S = 180o
[(m1 + m2 + ... + mn)] – 2(1 + 1 + 1 + ... + 1)] =
= 180o(2A – 2F) = 360o(A – F)
S = 360o
(V – 2).
Exercício 1: Num poliedro, o número de arestas excede o número de faces de 7 unidades, Calcular o número de vértices do poliedro.
Solução: Temos que: A = F + 7. (1)
Pelo Teorema de Euler, F + V = A + 2 (2)
Substituindo (1) em (2), obtemos: F + V = (F + 7) + 2 V = 9.
Exercício 2: Quantos vértices tem um poliedro cujas faces são 3 pentágonos, 7 triângulos e 2 quadrados?
Solução: As faces pentagonais fornecem ao poliedro 3 x 5 = 15 lados, as faces triangulares fornecem 7 x 3 = 21 lados e as faces quadrangulares fornecem 4 x 2 = 8 lados.
Portanto o número de arestas do poliedro é igual a:
A =
22
.
2
44
2
8
21
15
Como o número de faces é igual a F = 3 + 7 + 2 = 12, usando-se o Teorema de Euler, podemos escrever:
12 + V = 22 + 2 V = 12.
POLIEDROS REGULARES
Definição 5: Um poliedro convexo é dito regular quando todas as suas faces são polígonos regulares com o mesmo número de lados e em cada vértice concorrem o mesmo número de arestas.
Teorema 2: Existem apenas cinco poliedros regulares.
Prova: Seja F o número de faces. Então o número total de lados das faces é nF, admitindo-se que cada face tem n lados. Como dois lados dão origem a uma aresta, temos a igualdade
nF = 2A A =
2
F
n
(1)
Analogamente, se em cada vértice concorrem p arestas, o número total dessas arestas será pV onde V é o número de vértices. Levando-se em conta que cada aresta é contada duas vezes, conclui-se que
pV = 2A pV = nF V =
p
F
n
(2)
Substituindo (1) e (2) em F + V = A + 2, vem:
F +
p
F
n
=2
F
n
+ 2 2pF + 2nF = pnF + 4p
(2p + 2n – pn)F = 4p F =
Como p > 0, segue-se que 2n + (2 – n)p > 0
(2 – n)p > - 2n (n – 2)p < 2n
Como p 3 3 p <
2
2
n
n
3n – 6 < 2n
Daí, ou n = 3 ou n = 4 ou n = 5.
Se n = 3: p < 6 3 p < 6 p = 3; p = 4; p = 5.
i) Para n = 3 e p = 3; F =
4
.
3
12
3
6
12
A =
6
2
4
.
3
V =
4
3
4
.
3
O poliedro é o tetraedro regular.
ii) Para n= 3 e p = 4; F =
8
2
16
4
6
4
.
4
A =
12
2
8
.
3
V =
6
4
8
.
3
O poliedro é o octaedro regular.
iii) Para n = 3 e p = 5; F =
20
5
6
5
.
4
A =
30
2
20
.
3
V =
12
5
20
.
3
O poliedro é o icosaedro regular.
p <
2
2
n
n
Se n = 4: p <
2
8
3 p < 4 p = 3
Portanto, existe um poliedro regular de faces quadrangulares.
F =
6
2
12
3
.
2
8
3
.
4
A =
12
2
6
.
4
V =
8
3
6
.
4
;O poliedro é o hexaedro regular.
Se n = 5: p <
3
10
3 p <
3
10
p = 3.
F =
12
3
.
3
10
3
.
4
A =
30
2
12
.
5
V =
20
;
3
12
.
5
O poliedro é o dodecaedro regular.
EXISTÊNCIA DE POLIEDROS
Exercício 3: Informe sobre a possibilidade da existência de um poliedro convexo que possui 13 faces e 20 arestas.
Solução: F + V = A + 2 13 + V = 20 + 2 V = 22 – 13 = 9
F4 = 1 e F5 = F6 = . . . = 0.
Portanto este poliedro deve possuir uma única face quadrangular e todas as outras 12 faces triangulares.
Exercício 4: Se um poliedro convexo possui 10 arestas, quantas faces e quantos vértices ele pode ter?
Solução: A + 6 3V 2A 16 3V 20 3V = 18 V = 6. e A + 6 3F 2A 16 3F 20 3F = 18 F = 6.
Possibilidades:
2A = 3F + F4 + 2F5 + . . .
20 = 18 + F4 + 2F5 + . . . 2 = F4 + 2F5 + . . .
F4 = 2; F5 = F6 = ... = 0 (Portanto 2 faces quadrangulares e mais 4 faces triangulares);
F5 = 1; F4 = F6 = . . = 0 (Portanto 1 face pentagonal e mais 5 faces triangulares).
Observe que não podemos construir um poliedro com as características estabelecidas somente com faces triangulares, uma vez que neste caso, 3F = 2A, o que não ocorre aqui.
EXERCÍCIOS
05. Um poliedro de 16 arestas tem tantos vértices quantas faces. Quantas são estas?
06. Um poliedro, cujas faces são triângulos e quadrados, tem 20 arestas. Quantas faces de
cada espécie tem este poliedro, se a soma dos ângulos das faces é 3240o?
08. Um mesmo número de arestas converge num mesmo vértice em um poliedro não regular; determinar o total de arestas de cada ângulo poliédrico se o poliedro tem 6 arestas e sabendo que o número de vértices iguala o número de faces.
09. Num poliedro convexo há 5 faces hexagonais; as restantes são quadrangulares, e além disto o número de arestas é 7 vezes maior do que o número de faces quadrangulares. Calcular o total das faces e o número de vértices do poliedro.
10. Um poliedro tem 8 arestas e 5 faces; determinar o valor da soma dos ângulos das faces.
11. Um poliedro convexo é formado de faces hexagonais e triangulares apenas; os vértices são 16. Sabe-se que o número de faces hexagonais é 3/2 do número de faces triangulares. Quantas são as faces?
12. Num poliedro convexo de 100 arestas, o número de vértices iguala a 10/7 do número de faces; determinar o número de faces.
13. Num poliedro determinar o número de faces; sabe-se que: o número de arestas iguala
aos 3/2 do número de faces e que o valor da soma dos ângulos das faces é 720o.
14. Um poliedro tem 10 arestas. A soma dos ângulos das faces é 1440o
. Calcular o total das faces.
15. Num poliedro convexo existem 7 vértices e 7 faces, sendo estas quadrangulares e triangulares. Determinar o número de faces de cada tipo.
16. Um poliedro convexo tem 8 faces triangulares e 2 pentagonais. Calcular o número de arestas.
17. Um poliedro convexo tem 2 faces triangulares e 4 hexagonais. Calcular o número de arestas e de vértices.
18. Um poliedro convexo tem somente faces triangulares e quadrangulares. Se são ao todo 5 faces e o poliedro tem 6 vértices, calcular o número de faces de cada espécie.
RESPOSTAS
06. 12 13. 42
07. 14. 4
08. F = 9; V = 10 15. 6
09. 3 16.
10. 8 17. 17
11. 1080o 18. A = 15; V = 11.
12. 10 19. 10
07. 7 quadrados e 4 triângulos
