Propriedades de Linguagens Livres de Contexto. Propriedades de Linguagens Livres de Contexto. Propriedades de Linguagens Livres de Contexto

P ro f. Y a n d re M a ld o n a d o -1

Propriedades de Linguagens

Livres de Contexto

Prof. Yandre Maldonado e Gomes da Costa

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A classe de linguagens livres de contexto é fechada sob as operações de união, concatenação e fecho de Kleene;
Isto quer dizer que:

A união de duas LLCs produz uma LLC; A concatenação de duas LLCs produz uma

LLC;

O fechamento completo de uma LLC produz uma LLC. P ro f. Y a n d re M a ld o n a d o -3

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Sejam L1e L2produzidas pelas

gramáticas G₁=〈V₁, T₁, P₁, S₁〉e G₂=〈V₂, T₂, P₂, S₂〉respectivamente, com V1 ∩V2=∅;

L1∪L2 pode ser gerada pela gramática G₃=〈V₃, T₃, P₃, S₃〉em que:

•V3= V1∪V2∪{S3}; •T3= T1∪T2;

•P3= P1∪P2∪{S3→S1, S3→S2}; e •S3∉(V1∪V2).

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Concatenação, prova:

Sejam L₁e L₂produzidas pelas gramáticas G1=〈V1, T1, P1, S1〉e

G₂=〈V₂, T₂, P₂, S₂〉respectivamente, com V1 ∩V2=∅;

L1.L2 pode ser gerada pela gramática G3=〈V3, T3, P3, S3〉em que: •V3= V1∪V2∪{S3}; •T3= T1∪T2; •P3= P1∪P2∪{S3→S1S2}; e •S3∉(V1∪V2). P ro f. Y a n d re M a ld o n a d o -5

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Fecho de Kleene, prova:

Seja L1produzida pelas gramática

G₁=〈V₁, T₁, P₁, S₁〉;

L1*pode ser gerada pela gramática

G₂=〈V₂, T₂, P₂, S₂〉em que: •V2= V1∪{S2}; •T2= T1; •P2= P1∪{S2→S1S2, S2→λ}; e •S2∉V1. P ro f. Y a n d re M a ld o n a d o -6

Lema do Bombeamento*para LLCs;

Aplicação: demonstrar que uma linguagem não é livre de contexto; O lema é obtido raciocinando-se a

partir das gramáticas que geram LLCs, mais especificamente a partir da estrutura das árvores de derivação associadas a GLCs;

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Lema do Bombeamento para LLCs:

Seja L uma LLC. Então existe uma constante k>0 tal que para qualquer palavra z ∈L, com |z|≥k existem cadeias u, v, x, w e z que satisfaçam as seguintes condições: •z = uvwxy; •|vwx| ≤k; •vx≠ λ; e •uvi_wxi_{y∈L para todo i≥0.} P ro f. Y a n d re M a ld o n a d o -8

Seja G = 〈V, T, P, S〉uma gramática na FNC que gera uma LLC infinita;

Como L(G) é infinita, existe palavra em L(G) de todo tamanho;

Como V e P são finitos, existe um número k>0 tal que qualquer palavra z

∈L(G) com |z|≥k terá uma árvore de derivação na qual um símbolo não-terminal se repete em um caminho simples a partir da raiz.

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Esquema de árvore de derivação para

palavra z, com |z|≥k:

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Percebe-se pela árvore que: |vwx|≤k; S ⇒uRy R ⇒vRx R ⇒w
Então: S ⇒uRy⇒ uvi_Rxi_{y, para i}≥_0. S R R u v w x y * * * * * P ro f. Y a n d re M a ld o n a d o -1 1

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Considerando que G está na FNC, vamos tomar uma cadeia z, tal que |z|≥2k_{, onde k=|V|;}

A árvore de derivação para z tem profundidade de, no mínimo, k+1; Assim, existe um caminho da raiz da

árvore até a folha que possui k+1 nós, sendo k nós internos, rotulados com símbolos não-terminais; P ro f. Y a n d re M a ld o n a d o -1 2

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Considere uma gramática na FNC em

que |V|=3; Cadeia de comprimento 2|V| Algum símbolo de V se repete no caminho de derivação

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Demonstração do teorema:

Como existem apenas k símbolos não-terminais distintos, então algum não-terminal (como R na ilustração) deverá se repetir nos nós internos da árvore; S R R u v w x y P ro f. Y a n d re M a ld o n a d o -1 4

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Note que, como G está na FNC, não possui produção unitária ou vazia, então |vx|>1 e |vwx|≤|z|;

Se a derivação R⇒vRx for aplicada i vezes, e depois R ⇒w, a cadeia uvi_wxi_y, que também pertence a L(G), será obtida. S R R u v w x y * * P ro f. Y a n d re M a ld o n a d o -1 5

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Aplicação do teorema para demonstrar que {an_bn_cn_|n≥_{0} não é uma LLC;}

Supondo que exista k, conforme determinado pelo teorema;

Tomando a cadeia z=ak_bk_ck_;

Como |z| > k, as seguintes condições devem se verificar:

• z = uvwxy;

• |vwx| ≤k;

• vx≠λ; e

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Aplicação do teorema para demonstrar que {an_bn_cn_|n≥_{0} não é uma LLC;}

Supondo então que ak_bk_ck_{=uvwxy, |vwx|}≤_{k e} vx≠λ, tem-se duas possibilidades:

• vx contém algum a. Como |vwx|≤k, vx não contém c’s. Portanto, uv2_wx2_{y contém mais a’s do que c’s.} Assim, uv2_wx2_y ∉_L;

• vx não contém a. Como vx≠λ, uv2_wx2_{y contém} menos a’s que b’s e/ou c’s. Dessa forma, uv2_wx2_y

∉L;

Como uv2_wx2_y ∉_{L contraria o Lema do} Bombeamento, a linguagem não é LLC.

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Aplicação do teorema para demonstrar que {0n_{| n é primo} não é uma LLC;}

Seja k a constante referida no LB; Seja z=0n_{, em que n é um número primo}

maior que k;

Como |z|>k, o lema diz que existem u, v, w, x e y tais que: • z=uvwxy; • |vwx|≤k; • vx≠λ; e • uvi_wxi_{y∈L para todo i≥0.} P ro f. Y a n d re M a ld o n a d o -1 8

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Para provar que a linguagem não é LLC, basta supor

que:

z=uvwxy; |vwx|≤k; vx≠λ;

e encontrar um i tal que uvi_wxi_y∉_{L, contrariando o} LB;

Pelas informações anteriores tem-se que uvi_wxi_y=0

n+(i-1)(|vx|)_{(pois z=0}n_);

Assim, i deve ser tal que n+(i-1)|vx| não seja primo;

Para isto, basta fazer i=n+1, obtendo-se

n+(i-1)|vx|=n+n|vx|=n(1+|vx|), que não é primo (pois |vx|>0).

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A classe de linguagens livres de contexto não é fechada sob as operações de interseção e complemento;

Isto quer dizer que:

A interseção de duas LLCs não produz necessariamente uma LLC; O complemento de uma LLC não

corresponde necessariamente a uma LLC. P ro f. Y a n d re M a ld o n a d o -2 0

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Conforme mostrado nos slides 15 e 16, {an_bn_cn_{| n} ≥_{0} não é uma LLC;} P ro f. Y a n d re M a ld o n a d o -2 1

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Segundo as leis de De Morgan, descritas na teoria dos conjuntos:

L1∩L2=

Logo, como as LLCs são fechadas sob a união, se fossem fechadas sob o complemento também seriam sob a interseção (o que já vimos que não é, no slide anterior);

2

1 L

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DELAMARO, Márcio Eduardo. Linguagens

Formais e Autômatos. UEM, 1998;

VIEIRA, Newton José. Introdução aos Fundamentos da Computação. São Paulo: Editora Pioneira Thomson Learning, 2006;

MENEZES, Paulo Blauth. Linguagens

Formais e Autômatos. Porto Alegre: Editora Sagra-Luzzatto, 1998.