Linguagens Formais e Autômatos

(1)

DCC063

Linguagens Formais

e Autômatos

(2)

 Tipos de Gramáticas – segundo a hierarquia de

Chomsky existem quatro tipos:

 Tipo 0 ou Irrestritas:

◼ P = { → | (NT)+, (NT)* }

 Tipo 1 ou Sensível ao Contexto

◼ P = { → | ||||, (NT)+, (NT)+}

 Tipo 2 ou Livre de Contexto ◼ P = { A→ | AN, (NT)*}

 Tipo 3 ou Regular

◼ A→aB ou A→a, ou seja:

◼ P = { A→aX | AN, aT, XN{}}

Linguagens Livres de Contexto

(3)

Linguagens Livres de Contexto

 Exemplo: expressões aritméticas com + e *

E → N | E+E | E*E | (E)

N → DN | D

D → 0 | 1 | 2 | 3 | ... | 9

 Exemplo: {w | o comprimento de w é ímpar} G1: S → SSS | a | b

G2: S → aSa | aSb | bSa | bSb | a | b

G3: L → S

S → aA | bA | a | b

A → aS | bS

(4)

Linguagens Livres de Contexto

 A importância das LLC’s reside no fato de que

praticamente todas as linguagens de programação podem ser descritas por este formalismo

 A maioria das linguagens de programação

pertence a um subconjunto das LLC’s que pode ser

analisado por algoritmos que executam n.log(n)

passos, onde n é o tamanho da sentença de

entrada;

 Outro subconjunto, que corresponde às

linguagens LC não ambíguas pode ser analisado

em tempo n2;

(5)

Linguagens Livres de Contexto

 No pior caso, uma LLC ambígua pode ser

analisada em tempo n3;

 O que ainda é bastante eficiente, se comparado

às linguagens sensíveis ao contexto que pode requerer complexidade exponencial (2n), sendo,

portanto, computacionalmente intratáveis;

 Melhor ainda em relação às linguagens de tipo 0,

que podem ser inclusive indecidíveis, isto é, o algoritmo de análise pode não parar nunca .

(6)

Linguagens Livres de Contexto

 Relembrando, uma gramática livre de contexto

(GLC) é denotada por G = (N, T, P, S), onde N e T são conjuntos disjuntos de variáveis e terminais, respectivamente, P é um conjunto finito de produções, cada uma da forma A → , onde A é uma variável do conjunto N e  é uma cadeia de símbolos de (T  N)*. Finalmente, S é uma variável especial denominada símbolo inicial.

(7)

Lista simples: xxxxx...x Exemplo: números naturais

A → xA | x ou N → DN | D

A → Ax | x D → 0 | 1 | 2 | 3 | ... | 9

Lista com separadores: xSxSxSxS...Sx

A → xSA | x

Exemplo:cadeias de a’s separadas por $.

S → A$S

A → aA | a

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(8)

Opção: G1 ou G2: A → B | C Exemplo1: comentário em pascal:

C → H | P

H → {M}

P → (*M*) M → LM | L

L → a | b | c |...| z | ‘A’ | ‘B’ | ... | ‘Z’ | 

Linguagens Livres de Contexto

(9)

Opção: G1 ou G2: A → B | C

Exemplo2: conj. números inteiros. Z → P | N

P → U | +U N → -U

U → DU | D D → 0 | 1 |...|9

Linguagens Livres de Contexto

(10)

Concatenação: G1G2

C → AB

Exemplo: número não negativo em ponto flutuante R → N.N | N | .N | N.

N → DN | D

D → 0 | 1 | 2 | 3 | ... | 9

Linguagens Livres de Contexto

(11)

Auto-aninhamento:

A → aAf | c

Exemplo: expressões aritméticas com + e * E → N | E+E | E*E | E/E | E-E | (E) N → DN | D

D → 0 | 1 | 2 | 3 | ... | 9

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(12)

Auto-aninhamento e lista:

Exemplo: gramática que gera todas as cadeias que equilibram adequadamente os parênteses da esquerda com os da direita:

S → SS | (S) | 

Linguagens Livres de Contexto

(13)

Linguagens Livres de Contexto

Técnicas de definição de gramáticas

 Relações quantitativas:

1) {ai_b2i _{| i}  _{0} = {}_{, abb, aabbbb, ...}}

2) {ai_bj _{| j}  _{0 e i > j} = {aab, aaaa, aaaabb ...}}

3) {ai_bj _{| j = 2i ou i > j} = {}_{, aab, aaaa, aaaabb, abb ...}}

4) {ai_bj_ck_dm _{| i = m e j = 3k}} ₌ _{abbbcd,

aabbbbbbccdd,...}

5) {ai_bj _{| i}  _{j e i,j > 0} = {abbb, aab, aaabbbb, aaaab...}}

6) {ai_bj_ci+j_{| i,j > 0} = {abcc, aabccc, aabbbccccc, ...}}

7) {an_bn_cn_{| n}  _{0} = {abc, aabbcc, aaabbbccc, ...}. Não é}

(14)

Linguagens Livres de Contexto

Exercícios

1. Uma palíndrome é uma cadeia que pode ser lida da mesma maneira da direita para a esquerda e da esquerda para a direita. Exemplos: a, aba, osso, asddsa. Defina uma gramática para a linguagem palíndrome (conjunto de

todas as palíndromes sobre o alfabeto A = {a, b, c, ..., z}).

2. Seja G = ({S}, {a, b}, P, S). Dê definições para o conjunto de produções P, de

maneira a gerar as seguintes linguagens:

a) Cadeias que começam e terminam coma.

b) Cadeias com tamanho ímpar.

c) Cadeias onde todos osa’saparecem consecutivos.

d) Cadeias onde todos osb’sprecedem todos os a’s.

(15)

Linguagens Livres de Contexto

Exercícios

3. Defina uma gramática que gere as expressões numéricas com o seguinte alfabeto dígitos: 0 a 9; sinais: +, - , * e /; parênteses: ( e ). Teste sua definição mostrando a derivação das seguintes cadeias:

a) 1+(3*534)

b) ((8/2-(25+3))

4. Definir uma gramática G que gere a linguagem composta pelas cadeias sobre = {a, b, c, d} de tal forma que

a) L(G) = {wdwR_{| w}_{{a, b, c}*}} b) L(G) = {wwR_{| w}_{{a, b, c}*}}

5. Definir gramáticas para as linguagens sobre alfabeto  = {a, b, c, d} :

a) Conjunto vazio;

b) Conjunto contendo apenas a cadeia vazia;

c) Conjunto de todas as cadeias sobre, incluindo ;

6. Construir gramáticas para as linguagens:

a) {x{a, b}* | x apresenta simultaneamente aabb e bbaa como subcadeias}

(16)

Linguagens Livres de Contexto

Árvore de Derivação e Ambigüidade

 Muitas vezes é útil mostrar as derivações de uma

GLC através de árvores

 Estas figuras – chamadas árvores de derivação

ou árvores sintáticas – impõem certas estruturas

úteis às cadeias das linguagens geradas

 Os vértices de uma árvore de derivação são

rotulados com terminais ou variáveis, ou mesmo com a cadeia vazia

(17)

Linguagens Livres de Contexto

 Se um vértice n é rotulado com A, e os filhos de n

são rotulados com X₁, X₂,..., X_k, da esquerda para a direita, então A→X₁X₂...X_k deve ser uma produção;

 Considere, como exemplo, a gramática:

E → E+E | E*E | (E) | id

(18)

Linguagens Livres de Contexto

 Uma árvore de derivação para a sentença

(id+id)*id gerada por esta gramática

poderia ser:

18

E

E * E

( E )

E + E

id

(19)

Linguagens Livres de Contexto

 Mais formalmente, seja G = (N, T, P, S) uma GLC.

Então uma árvore é uma árvore de derivação para G, se:

a. Cada vértice tem um rótulo, que é um símbolo de

N  T  {};

b. O rótulo da raiz é o símbolo S;

c. Os vértices interiores são rotulados apenas com

(20)

Linguagens Livres de Contexto

d. Se o vértice n tem rótulo A, e os vértices n₁, n₂,..., n_k

são filhos de n, da esquerda para a direita, com

rótulos X₁, X₂,..., X_k, respectivamente, então

A → X₁X₂...X_k

deve ser uma produção em P.

 Se o vértice n tem rótulo , então n é uma folha e 

(21)

Linguagens Livres de Contexto

Exemplo

 Considere a gramática G = ({S, A}, {a, b}, P, S),

onde P consiste de

S → aAS | a

A → SbA | SS | ba

 A figura seguinte é uma árvore de derivação

para uma sentença desta gramática, na qual os nodos foram numerados para facilitar a explicação:

(22)

Linguagens Livres de Contexto

Exemplo Os vértices interiores são 1, 3, 4, 5 e 7.

O vértice 1 tem rótulo S, e seus filhos, da esquerda para a direita têm rótulos a, A e S. Note que S→aAS é uma produção.

Os vértices 4 e 5 têm ambos o rótulo S. O único filho deles tem rótulo a; e S → a é uma produção.

Finalmente, o vértice 7 tem rótulo A, e seus filhos, da esquerda para a direita, tem rótulos b e a.

(23)

Linguagens Livres de Contexto

 Pode-se ver que a árvore de derivação é uma

descrição natural para a derivação de uma forma sentencial particular da gramática G

 Se uma gramática G tem mais de uma árvore de

derivação para uma mesma cadeia não vazia, então G é chamada de gramática ambígua.

 Uma linguagem livre de contexto para a qual

toda gramática livre de contexto é ambígua é denominada linguagem livre de contexto inerentemente ambígua. Ex {0i1j2k|i=j ou j=k}

(24)

Linguagens Livres de Contexto

Derivação mais à Esquerda e mais à Direita

 Se cada passo na produção de uma derivação é

aplicado na variável mais à esquerda, então a derivação é chamada derivação mais à esquerda.

 Similarmente, uma derivação onde a cada passo

a variável à direita é substituída, é chamada de

derivação mais à direita.

(25)

Linguagens Livres de Contexto

 Se w está em L(G), então w tem ao menos uma árvore de

derivação.

 Além disso, em relação a uma árvore de derivação

particular, w tem uma única derivação mais à esquerda e

uma única derivação mais à direita.

 Evidentemente, w pode ter várias derivações mais à

esquerda e várias derivações mais à direita, já que pode haver mais de uma árvore de derivação para w.

 Entretanto, é fácil mostrar que para cada árvore de

derivação apenas uma derivação mais à esquerda e uma derivação mais à direita pode ser obtida.

(26)

Linguagens Livres de Contexto

 Exemplo

derivação mais à esquerda correspondendo à árvore do exemplo anterior

derivação mais à direita correspondente

S  aAS

 aSbAS

 aabAS

 aabbaS

 aabbaa

S  aAS

 aAa

 aSbAa

 aSbbaa

 aabbaa

26

S → aAS | a

(27)

Linguagens Livres de Contexto

Simplificações de GLC

 Existem várias maneiras de restringir as produções de

uma gramática livre de contexto sem reduzir seu poder expressivo

 Se L é uma linguagem livre de contexto não vazia,

então L pode ser gerada por uma gramática livre de contexto G com as seguintes propriedades:

a) Cada variável e cada terminal de G aparecem na derivação de alguma palavra de L (não possui símbolos inúteis). Todos símbolos são ou geradores ou alcançáveis;

b) Não há produções da forma A → B, onde A e B são variáveis;

c) Se  não está em L, então não há necessidade de produções da forma A → .

(28)

Linguagens Livres de Contexto

 No caso de (a), estes símbolos (variáveis ou

terminais) são conhecidos como símbolos inúteis (símbolos improdutivos e símbolos inalcançáveis)

 Em (b) as produções A → B são conhecidas como

produções unitárias;

 As produções da forma A →  (item c) são

conhecidas como -produções;

 Existem algoritmos que podem ser aplicados nos

casos (a), (b) e (c) que produzem uma nova gramática equivalente à gramática original

(29)

Linguagens Livres de Contexto

Eliminação das -produções

 Toda GLC pode ser transformada em uma GLC

equivalente sem -produções; com exceção da produção S →  (S é o símbolo inicial), se esta existir.

 Assim procedendo, é possível mostrar que toda

GLC pode obedecer à restrição das GSC (tipo 1).

 O método de eliminação das -produções

consiste em determinar, para cada variável A em N, se A*.

(30)

Linguagens Livres de Contexto

 Se isso ocorrer diz-se que a variável A é

anulável;

 Pode-se, assim, substituir cada produção da

forma B→X₁X₂X₃...X_n por todas as produções formadas pela retirada de uma ou mais variáveis X_i anuláveis

 Exemplo

(31)

Linguagens Livres de Contexto

Eliminação das -produções  Exemplo

Dada a gramática

A → BCDe

B →  | e C →  | a D → b | cC

Neste caso as variáveis anuláveis são B e C, assim, a gramática pode ser transformada na seguinte gramática:

A → BCDe | CDe | BDe | De B → e

C → a

D → b | c | cC

(32)

Linguagens Livres de Contexto

 Os não-terminais que derivam a cadeia  são

chamados -não-teminais.

 Um não-terminal (variável) A é um 

-não-terminal se existir uma derivação A* em G.

 Note que  está em L(G) se e somente se S é um -não-terminal. Onde S é o não terminal inicial.

 Se G não tem -não-terminal, ela é dita -livre.

(33)

Linguagens Livres de Contexto

 Se G tem -produções, então em uma derivação

sentencial da forma:

S  ₁  ₂  ...  _n

 Os tamanhos das sentenças irão variar

não-monotonicamente um em relação ao outro, isto é, ora aumentam, ora diminui. Entretanto, se G não tem -produções, então:

|S|  |1|  |2|  ...  |n|

 Antes de apresentar um algoritmo para eliminar

as -produções, será apresentado um algoritmo para encontrar os -não-terminais.

(34)

Linguagens Livres de Contexto

Algoritmo: Encontrar o Conjunto dos -não-terminais

Entrada: Uma GLC G = (N, T, P, S)

Saída: O conjunto E de -não-terminais E  {A | AN e A → };

Repita

Q  {X | XN e XE e existe pelo menos uma produção da forma X → Y₁Y₂...Y_n tal que Y₁E, Y₂E, ...,Y_nE};

E  EQ; Até Q = ;

(35)

Linguagens Livres de Contexto

 Exemplo: Seja G a seguinte gramática

S → aS | SS | bA

A → BB

B → CC | ab | aAbC

C → 

 Inicialmente temos E = {C} e se obtem:

B → CC | aAbC

C → 

(36)

Linguagens Livres de Contexto

 Quando o laço é executado pela primeira vez

deixa Q = {B} e

A → BB

B → CC | ab | aAbC C → 

(37)

Linguagens Livres de Contexto

 Como Q não é vazio, uma segunda iteração deixa

Q = {A}

S → bA

A → BB

B → CC | ab | aAbC C → 

obtendo E = {A, B, C}

 Mais uma vez, Q é não-vazio, mas uma iteração

subseqüente não acrescenta novos símbolos, assim o algoritmo termina. A, B e C são os únicos

-não-terminais em G.

(38)

Linguagens Livres de Contexto

 Para eliminar os -não-terminais de uma GLC,

pode-se usar o seguinte algoritmo, que elimina

-não-terminais sem introduzir novos

 A estratégia é baseada na seguinte ideia:

(39)

Linguagens Livres de Contexto

 Seja A um -não-terminal em G. Então ele é

dividido conceitualmente em dois não-terminais A’ e A’’, tal que A’ gera todas as cadeias não vazias e A’’ apenas gera .

 Agora, o lado direito de cada produção onde A

aparece uma vez, por exemplo, B→ A, é trocado por duas produções B → A’ e B →

_A’’. Já que A’’ só gera , ele pode ser trocado por , deixando B → .

(40)

Linguagens Livres de Contexto

 Depois disso, pode-se usar A em lugar de A’;  A produção final fica:

B →  | B → A,

onde A não é mais um -não-terminal

 Se B→AA, então são obtidas as quatro

combinações possíveis pelas trocas de A por , e assim por diante.

(41)

Linguagens Livres de Contexto

 Algoritmo:Eliminação de todos os -não-terminais

Entrada: Uma GLC G = (N, T, P, S)

Saída: Uma GLC G’ = (N’, T, P’, S’) -livre Construa o conjunto E;

P’  {p | pP e p não é -produção}

Repita

Se P’ tem uma produção da forma A→B, tal que BE,

(NT)* e   ,

então inclua a produção A →  em P’;

até que nenhuma nova produção possa ser adicionada a P’;

(42)

Linguagens Livres de Contexto

 Algoritmo:Eliminação de todos os -não-terminais

Continuação...

se SE então

Adicione a P’ as produções S’ → S |  N’  N  {S’};

senão

S’  S; N’  N;

Fim-se;

(43)

Linguagens Livres de Contexto

 Exemplo 1: Eliminar as -produções da seguinte

gramática

S → ABC

A → BB | 

B → CC | a

C → AA | b

(44)

Linguagens Livres de Contexto

 Exemplo 2: Eliminar as -produções da seguinte

gramática

S → aBC

A → bB | 

(45)

Linguagens Livres de Contexto

Fatoração de GLC

 Uma GLC está fatorada se ela é determinística

 Ou seja, se ela não possui produções para um

mesmo não terminal no lado esquerdo cujo lado direito inicie com a mesma cadeia de símbolos ou com símbolos que derivam seqüências que iniciem com a mesma cadeia de símbolos

(46)

Linguagens Livres de Contexto

 Exemplo:

S

→

aSB | aSa

A

→

a

B

→

b

Fonte de não

determinismo.

(47)

Linguagens Livres de Contexto

 Para fatorar uma GLC deve-se alterar as

produções envolvidas no não determinismo da seguinte maneira:

 As produções com não determinismo direto da

forma:

A →  | 

serão substituídas por: A → A’

(48)

Linguagens Livres de Contexto

 O não determinismo indireto é retirado por meio de

sua transformação em determinismo direto (através de substituições sucessivas) e posterior eliminação segundo o item (a).

(49)

Linguagens Livres de Contexto

 Exemplo: fatorar a gramática:

S → aSB | aSa

A → b

B → a

 Eliminando o não determinismo direto:

S → aSS’

S’ →B | a

A → b

B → a

(50)

Linguagens Livres de Contexto

 Exemplo...

 Veja que na produção

S’ → B | a

tem um não-determinismo indireto

 Tem-se que tornar este não determinismo

indireto em direto substituindo o lado direito de B → a na variável B da produção S’ → B

(51)

Linguagens Livres de Contexto

 Exemplo...

 Obtém-se então

S → aSS’

S’ → a | a

A → b

B → a

(52)

Linguagens Livres de Contexto

 Exemplo...

 Eliminando o não determinismo direto

S → aSS’

S’ → _aS’’ S’’ → 

A → b

B → a

(53)

Linguagens Livres de Contexto

 Exemplo: Fatorar a gramática

C → if E then C else C

C → if E then C

C → o

 C  Comando  E  Expressão

 o  Outro comando

(54)

Linguagens Livres de Contexto

 Exemplo: Fatorar a gramática

S → AC | BD

A → aD | cB

B → aB | dD

C → eC | eA

D → fD | AB

(55)

Linguagens Livres de Contexto

Eliminação da recursão a esquerda

 Um não-terminal A, em uma GLC G = (N, T, P, S) é

recursivo se A +A, para  e  (NT)*.

 Se  = , então A é recursivo à esquerda;  Se  = , então A é recursivo à direita.

 Esta recursividade pode ser direta ou indireta.  Uma GLC G = (N, T, P, S) possui recursão à

esquerda direta, se P contém pelo menos uma

produção da forma A → A.

(56)

Linguagens Livres de Contexto

 Uma GLC G = (N, T, P, S) possui recursão à

esquerda indireta, se existe em G uma derivação

da forma: A n _A_{, para algum n}  _2.

(57)

Linguagens Livres de Contexto

 Para eliminar as recursões diretas à esquerda de

um não terminal A, com produções

A → A₁ | A₂ | ... |A_m | ₁ | ₂ | ... | _n

onde nenhum _i começa por A.

 Substituir estas produções-A por:

A → ₁A’ | ₂A’ | ... | _nA’

(58)

Linguagens Livres de Contexto

 Algoritmo:

Algoritmo: Eliminação da recursão á esquerda Entrada: Uma GLC G = (N, T, P, S);

Saída_{: Uma GLC G’ = (N’, T, P’, S) sem recursão à esquerda;}

Ordene os não-terminais em uma ordem qualquer (ex: A₁, A₂, ...,A_n); para i de 1 a n faça

para j de 1 a i-1 faça

Substitua as produções A_i→A_j por A_i→₁ | ₂ |...| _k, onde A_j→₁ | ₂ |...| _k

são todas as produções-A_j correntes; fim_para;

Elimine as recursões à esquerda diretas entre as produções A_i; fim_para;

(59)

Linguagens Livres de Contexto

59

 Exemplo: Eliminar a RE das gramáticas a seguir:

a) 𝐸 → 𝐸 + 𝑇 | 𝑇

𝑇 → 𝑇 ∗ 𝐹 | 𝐹 𝐹 → 𝐸 | 𝑖𝑑

b) A→ 𝐵𝑎 𝐴𝑎 𝑐

(60)

Linguagens Livres de Contexto

Eliminação da Ambiguidade de GLC (dicas)

 É apenas uma dica, pois não existe um algoritmo

para eliminar a ambiguidade, tampouco para verificar se um GLC é ambígua (nem LLC inerentemente ambíguas).

 A gramática G_E:

𝐸 → 𝐸 + 𝐸 𝐸 ∗ 𝐸 𝐸 𝐸 − 𝐸 𝐸 𝐸 | 𝑖𝑑Τ

gera a linguagem ambígua L(G_E)=L_E das expressões aritméticas.

 Para retirar a ambiguidade, deve-se levar em

consideração, neste caso específico, a precedência e a associatividade dos operadores presentes em cada cadeia de L .

(61)

Linguagens Livres de Contexto

 Precedência e associatividade dos operadores

aritméticos:

61

Associatividade Operadores Precedência

Esquerda _+, _–

aumenta

Esquerda _{*, /}

 Deve-se, então, criar:

 duas variáveis E (expressão) e T (termo) para os

dois níveis de precedência;

 uma variável F (fator) para as unidades básicas:

(62)

Linguagens Livres de Contexto

 Para os operadores aritméticos * e / (maior

precedência e associatividade a esquerda):

𝑇 → 𝑇 ∗ 𝐹 | 𝑇/𝐹 |𝐹

 Para os operadores aritméticos + e – (menor

precedência e associatividade a esquerda):

𝐸 → 𝐸 + 𝑇 𝐸 − 𝑇 𝑇

 Gramática final que gera L_E sem ambiguidade: E → E + T | E − T | T

T → T*F | T/F | F F → id | (E)

(63)

Linguagens Livres de Contexto

 Exercícios. 1) Desenvolver uma gramática não ambígua para a linguagens das expressões regulares contendo os operações: * (fecho de kleene), • (concatenação), | (união). Além dos operadores, deve-se usar (, ), a e b (2 símbolos

do alfabeto da ER)

2) Desenvolver uma outra gramática não ambígua para a seguinte gramática (gera a linguagem dos parênteses):

𝑆 → 𝑆 𝑆𝑆 𝜀

(64)

Linguagens Livres de Contexto

3) Verifique se a gramática abaixo é ambígua e se sim, transformá-la em outra gramática não ambígua:

𝑆 → 𝑏𝑒𝑔𝑖𝑛 𝐿 𝑒𝑛𝑑 | 𝑖𝑑 ≔ 𝐸 𝐿 → 𝐿; 𝑆 | 𝑆

𝐸 → 𝐸 ∨ 𝐸 | 𝑖𝑑

(65)

Linguagens Livres de Contexto

 Símbolos inúteis (símbolos improdutivos e

símbolos inalcançáveis)

 Importância: em gramáticas grandes, como

gramáticas de linguagens de programação, pode acontecer de se esquecer de definir regras relativas a alguma variável, ou então, uma variável, apesar de ter suas regras já definidas, pode não ter sido utilizada na formação de novas regras.

 não usados na geração de cadeias de terminais;

 são excluídas as produções que contém os símbolos

inúteis e os próprios símbolos.

(66)

Linguagens Livres de Contexto

 Algoritmo para a exclusão de símbolos inatingíveis

(garante que qualquer variável gera terminais).

Etapa 1:

66

N₁ = ;

repita

N₁ = N₁{A | A→P e (TN₁)*}

até que o cardinal de N₁ não aumente.

(67)

Linguagens Livres de Contexto

 Algoritmo para a exclusão de símbolos

improdutivos (garante que qualquer símbolo é

atingível a partir da variável inicial). Etapa 2:

67

T₂ = ;

N₂ = {S};

repita

N₂ = N₂{A | X→AP₁,XN₂};

T₂ = T₂{a | X→aP₁,XN₂};

(68)

Linguagens Livres de Contexto

 Exemplo1: Excluir os símbolos inúteis da

gramática:

68

S → aAa | bBb A → a | S

C → c

S → aAa | bBb

A → a | S C → c

S → aAa | bBb

A → a | S

C → c

S → aAa | bBb

A → a | S

C → c

Assim, N₁ = {A, C, S} e a produção S → bBb deve ser retirada. Gramática após a primeira etapa:

(69)

Linguagens Livres de Contexto

gramática:

69

Assim, N₂ = {S, A} e T₂ = {a} a produção C → c deve ser retirada. Gramática final:

S → aAa A → a | S C → c

S → aAa

A → a | S

C → c

S → aAa

A → a | S

C → c

(70)

Linguagens Livres de Contexto

gramática:

70

S → ABC | AC | A | CC |  A → AB | AA | Ba

B → BA | A | aB

C → AB | aB | aC | a

S → ABC | AC | A | CC |  A → AB | AA | Ba

B → BA | A | aB

S → ABC | AC | A | CC | 

A → AB | AA | Ba

B → BA | A | aB

N₁ = {S, C} e a gramática após a primeira etapa:

(71)

Linguagens Livres de Contexto

gramática. Etapa 2:

71

S → CC | C → aC | a

S → CC |

C → aC | a

S → CC |

C → aC | a