ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

(1)

PROVA DE MATEMÁTICA

PROVA DE MATEMÁTICA ---- TURMAS DO 3

TURMAS DO 3

OOOO

_{ANO DO ENSINO MÉDIO}

ANO DO ENSINO MÉDIO

COLÉGIO ANCHIETA

COLÉGIO ANCHIETA----BA

BA

BA ---- JULHO DE 2010.

JULHO DE 2010.

ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E

ADRIANO CARIBÉ.

RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

QUESTÃO 01. QUESTÃO 01. QUESTÃO 01. QUESTÃO 01.

Um capital aplicado a juros simples por 6 meses gera um montante de R$744,00 e o mesmo capital aplicado a mesma taxa de juros simples por 10 meses gera um montante de R$840,00. Qual a taxa de juros mensal destas aplicações?

01) 4% 02) 5% 03) 6% 04) 7% 05) 8% RESOLUÇÃO: Capital aplicado Tempo de aplicação Montante Capital aplicado Tempo de aplicação Montante

C 6 meses C + 6i= 744 C 10 C + 10i = 840

   = = ⇒    = = × + ⇒    = = ⇒ −    = + = + 04 , 0 i 24 i 600 600 C 744 24 6 C 24 Ci 96 Ci 4 ) L L ( 840 Ci 10 C 744 Ci 6 C 1 2 RESPOSTA: Alternativa 01 QUESTÃO 0 QUESTÃO 0 QUESTÃO 0 QUESTÃO 02222....

Um triângulo equilátero ABC e dois setores circulares de centros A e B estão representados na figura abaixo.

Calcule o valor da área, em cm², da região hachurada considerando 3=1,7 e π = 3,1. 01) 6,6 02) 6,9 03) 7,4 04) 8,7 05) 9,2

(2)

RESOLUÇÃO:

A área hachurada é determinada da seguinte forma:

(

)

_       + × − = + − _° 4 3 36 6 36 2 4 3 144 S S 2

SABC sector60 CDE π

Substituindo 3 por 1,7 e π por 3,1:

(

12 3,1 9 1,7

)

61,2

(

37,2 15,3

)

8,7 7 , 1 36× − × + × = − + = RESPOSTA: Alternativa 04. QUESTÃO 0 QUESTÃO 0 QUESTÃO 0 QUESTÃO 03333....

Uma pessoa tem um cheque pré-datado de R$7.000,00 que vence daqui a quatro meses e outro de R$7.500,00 que vence em seis meses. Ela resolve então ir numa financeira para descontar estes cheques hoje utilizando uma taxa de desconto comercial simples de 3% ao mês. Calcule o valor que a pessoa vai receber pelos dois cheques hoje.

01) R$ 12.310,00 02) R$ 12.450,00 03) R$ 12.500,00 04) R$ 12.650,00 05) NRA

RESOLUÇÃO:

Valor futuro: R$7.000,00 Valor futuro: R$7.500,00

Valor atual: 7000

(

1−4×0,03

)

=6160. Valor atual: 7500(1−6×0,03)=6150. VA= 6.160 + 6.150 = 12.310 RESPOSTA: Alternativa 01. QUESTÃO 0 QUESTÃO 0 QUESTÃO 0 QUESTÃO 04444....

Seja p(x) o polinômio do terceiro grau, com coeficiente de x³ igual a 1, cujas raízes são iguais às raízes de q(x) = x³ − 7x + 6 aumentadas em uma unidade.

O valor de p(1) é:

01) 4 02) 5 03) 6 04) 7 05) 8

RESOLUÇÃO:

q(1) = 1 − 7 + 6 = 0 ⇒ 1 é raiz de q(x) ⇒q(x) = x³ − 7x + 6 é divisível por x – 1. Pelo dispositivo de Briot-Ruffini:

1 0 −7 6

1 1 0 −6 0

q(x) = x³ − 7x + 6 = (x – 1)(x² – 6) = (x−1 )

(

x− 6

)(

x+ 6

)

⇒ 1, 6 e − 6 são raízes de q(x) e portanto, 2, 1+ 6 e 1− 6 são raízes de p(x) ⇒ p(x) =

(

x−2

)

[

x−

(

1+ 2

)

]

[

x−

(

1− 2

)

]

⇒ p(1) =

(

1−2

)

[

1−

(

1+ 6

)

]

[

1−

(

1− 6

)

]

=−1

( )( )

− 6 6 =6

(3)

QUESTÃO 0 QUESTÃO 0 QUESTÃO 0 QUESTÃO 05555....

Dados os conjuntos A ={2 , {2} , 3 , {4}} e B = {2 , ∅}, considere as proposições: 01) {2 , {2}} ⊂ A

02) {2} ∈ A 03) B ⊂ A 04){{2}} ⊂ A

05) O conjunto A tem exatamente 16 subconjuntos O número de afirmativas verdadeiras dentre as acima é:

01) 01 02) 02 03) 03 04) 04 05) 05

RESOLUÇÃO:

01) A afirmativa {2 , {2}} ⊂ A é verdadeira porque 2 e {2} são elementos de A. 02) A afirmativa {2} ∈ A é verdadeira porque {2} é elemento de A.

03) A afirmativa B ⊂ A é falsa pois ∅ é elemento de B, mas não é de A. 04) A afirmativa {{2}} ⊂ A é verdadeira porque {2} é elemento de A.

05) A afirmativa: “O conjunto A tem exatamente 16 subconjuntos”, é verdadeira porque A tem 4 elementos e o número de seus subconjuntos é portanto: 24 ₌16

RESPOSTA: Alternativa 04. QUESTÃO 0

QUESTÃO 0 QUESTÃO 0 QUESTÃO 06666....

Considere a equação matricial AX – X = B onde A = _

     1 1 1 2 e B = _      1 4 2 0 . Calcule detX. 01) 8 02) –4 03) 6 04) –12 05) 10 RESOLUÇÃO: AX – X = B ⇒ (A – I)X = B ⇒ _⇒      =       ⇒       =               −       1 4 2 0 X 0 1 1 1 1 4 2 0 X 1 0 0 1 1 1 1 2 8 4 4 X det 1 4 1 4 X 1 4 2 0 1 1 1 0 X 0 1 1 1 1 1 1 0 = + = ⇒       − = ⇒             − =             − . RESPOSTA: Alternativa 01.

(4)

Numa cidade existem apenas três jornais, A, B e C. Sabe-se que: 01) quem lê o jornal A, não lê o jornal B;

02) 25% dos habitantes lêem o jornal A; 03) 35% dos habitantes lêem o jornal B; 04) 45% dos habitantes lêem o jornal C; 05) 10% dos habitantes lêem apenas o jornal C.

Qual o percentual de habitantes dessa cidade que não lêem qualquer dos três jornais? 01) 10% 02) 15% 03) 20% 04) 25% 05) 30%

RESOLUÇÃO:

Considerando como x o número de habitantes da cidade,

n(A∪B∪C) = a + b + c + d + 0,10x = 0,25x + 0,35x + 0,10x = 0,70x ⇒ o número dos habitantes da cidade que não lêem nenhum jornal é 0,30x.

RESPOSTA: Alternativa 05.

O plano α, paralelo à base de uma pirâmide determina um tronco de pirâmide de volume 97cm³ e uma pirâmide menor.

As distâncias do plano α, respectivamente, ao vértice e à base da pirâmide estão na razão 3/5. O volume da menor pirâmide, em cm³, é:

01) 5,4 02) 6,2 03) 6,8 04) 7,2 05) 8,4

RESOLUÇÃO:

As duas pirâmides são semelhantes, logo:  ⇒ = ⇒      = 512 V 27 V 8 3 V V _maior menor 3 maior menor

(5)

⇒ × = ⇒ × = − ⇒ = − = 97 512V 27V 512 97 485V 512 97 512 V 27 V

V maior _maior _maior _maior

maior tronco 4 , 5 5 512 512 27 V 5 512 485 97 512 V_maior = × = ⇒ _menor = × = RESPOSTA: Alternativa 01. QUESTÃO 0 QUESTÃO 0 QUESTÃO 0 QUESTÃO 09999....

Numa pesquisa de mercado, onde foram entrevistadas 300 pessoas, sobre o consumo de três marcas de medicamentos genéricos A, B e C, apresentou os seguintes resultados:

Marca No_{de pessoas} A 135 B 120 C 150 A e B 45 B e C 60 A e C 45

Nem A, nem B e nem C 15

A probabilidade de, sorteando-se um dos entrevistados na pesquisa, encontrarmos alguém que consome apenas a marca C é:

01) 5% 02) 10% 03) 15% 04) 20% 05) 25%

RESOLUÇÃO:

n(A) + 15 + x + 60 – x + 45 + x = 300 – 15 ⇒ 135 + 120 + x = 285 ⇒ x = 30 ⇒ que o número dos que consomem apenas a marca C é 75.

A probabilidade pedida é: 25% 100 25 300 75 p= = = . RESPOSTA: Alternativa 05

(6)

QUESTÃO QUESTÃO QUESTÃO QUESTÃO 101010.... 10

Um sólido é gerado pela rotação completa de um semi-hexágono regular em torno do seu diâmetro AB .

Sabendo que AB = 8cm, o volume desse sólido, em cm³, é:

01) 36π 02) 40π 03) 48π 04) 54π 05) 64π

RESOLUÇÃO:

O volume do sólido gerado pela rotação completa de um semi-hexágono regular em torno do seu diâmetro AB , tem a forma acima.

O lado do hexágono regular ACDBEF, inscrito num círculo de raio 4cm, também tem 4cm.

O sólido representado acima é formado de dois cones de altura 2cm e dum cilindro de altura 4cm. Os raios dos cones e dos cilindros medem 42−22 = 12 =2 3cm.

O volume do sólido é: π

( )

π

( )

12 4 16π 48π 64π 3 2 12 2 2 2 = + = × +         _× RESPOSTA: Alternativa 05. QUESTÃO QUESTÃO QUESTÃO QUESTÃO 111111.... 11

Uma casa deve ser construída por certo número de operários em 12 meses, trabalhando 6 horas por dia. Dois meses após o início da obra, quinze operários foram demitidos. O restante, trabalhando 10 horas por dia, concluiu a obra 6 meses depois do previsto. Qual foi o número de operários contratados inicialmente 01) 24 02) 26 03) 28 04) 30 05) 32

RESOLUÇÃO:

Operários Meses Horas/dia Parte da obra

x 2 6 1/6

x – 15 16 10 5/6

Operários Meses

x 2

2.x 2 : 2 =1

Multiplicando-se o número de operários por 2, o número de meses automaticamente será dividido por 2, então essas grandezas são inversamente proporcionais.

(7)

Operários Horas/dia

x 6

2.x 10:2 = 5

Multiplicando-se o número de operários por 2, o número de h/dia de trabalho, automaticamente será dividido por 2, então essas grandezas são inversamente proporcionais. Operários Parte da obra

x 1/6

2.x 2,(1/6)

Multiplicando-se o número de operários por 2, o número que representa a parte da obra concluída será também multiplicada por 2, então essas grandezas são diretamente proporcionais.

Operários Meses Horas/dia Parte da obra

x x – 15 ↓ 2 16 ↑ 6 10 ↑ 1/6 5/6 ↓ 24 x 120 x 5 120 x 8 x 3 3 8 15 x x 5 1 6 10 2 16 15 x x ₌ _⇒ ₌ ₋ _⇒ ₌ _⇒ ₌ − ⇒ × × = − RESPOSTA: Alternativa 01. QUESTÃO QUESTÃO QUESTÃO QUESTÃO 121212.... 12 Escalonando o sistema           =                     − − 8 9 1 z y x 2 1 2 1 1 2 1 1 1

obtemos o sistema equivalente

          − =                     − − 15 b 1 z y x a 0 0 3 1 0 1 1 1 . Calcule o valor de a + b. 01) 1 02) 2 03) 3 04) 4 05) 5 RESOLUÇÃO:

(

)

(

− +

)

⇒           =                     − − − ⇒ + − + −           =                     − − 3 2 3 1 2 1 3L L 6 7 1 z y x 4 3 0 3 1 0 1 1 1 L 2L ; L 2L 8 9 1 z y x 2 1 2 1 1 2 1 1 1           − =                     − − − 15 7 1 z y x 5 0 0 3 1 0 1 1 1

⇒ a + b = − 5 + 7 = 2.

RESPOSTA: Alternativa 02. QUESTÃO QUESTÃO QUESTÃO QUESTÃO 131313.... 13

Na figura estão representados um diedro de 120° e os pontos C ∈ α, D ∈ β, P ∉ α, P ∉ β.

(8)

É falso que:

01) Se do ponto P baixarmos perpendiculares aos planos α e β, então o ângulo agudo formado por essas perpendiculares é de 60°.

02) Se a reta r passa por P e é paralela aos planos α e β, então a reta r é paralela à reta AB. 03) As retas AB e CD são reversas.

04) Toda reta paralela ao plano α é paralela ao plano β. 05) Existe plano paralelo às retas AB e CD .

RESOLUÇÃO:

01) VERDADEIRA.

Do ponto P baixando perpendiculares aos planos α e β, e traçando, QR e SR perpendiculares à reta

AB então, no quadrilátero PQRS o ângulo QPˆS mede 60°.

02) VERDADEIRA.

Traçando t // AB //s, r // t, então r // s ⇒ r // AB .

03) VERDADEIRA.

Considerando , por exemplo, o ortoedro no qual uma das arestas é o segmento AB , uma aresta passando por C e outra passando por D. Analisando a figura conclui-se que as retas AB e CD são reversas.

04) FALSA.

Na figura ao lado, r passa por P e é paralela à reta s, logo é paralela ao plano α.

A reta s é concorrente com o plano β, e sendo s // r, a reta r também é concorrente com o plano β.

(9)

05) VERDADEIRA.

O plano δ, na figura ao lado, é paralelo às retas AB e CD .

QUESTÃO QUESTÃO QUESTÃO QUESTÃO 141414.... 14

Um recipiente cilíndrico de raio R = 30cm contém água até certa altura.

Quando dois sólidos equivalentes, uma pirâmide quadrangular regular de aresta da base igual a 15cm e um cilindro de raio 8cm, são mergulhados, completamente, no recipiente, então o nível da água sobe 2cm. A soma das alturas desses sólidos, considerando π = 3,1, é:

01) 42,4cm 02) 48,2cm 03) 51,2cm 04) 60,8cm 05) 62,6cm

RESOLUÇÃO:

O volume da água que se deslocou dentro do recipiente, quando dentro dele foram colocados os dois sólidos equivalentes, isto é, de mesmo volume, formou um cilindro de raio 30cm e altura 2cm, cujo volume corresponde ao dos sólidos mergulhados: V = πR²h = 3,1 × 30²×2 = 5580cm³.

Então o volume de cada um dos sólidos é (5580 ÷ 2)cm³ = 2790cm³.

2 , 7 3 225 : 8370 H 2790 3 H 15 Vpirâmide = 2× = ⇒ = = cm. 14,0625 198,4 : 2790 h 2790 h 8 1 , 3 h r Vcilindro =π 2 = × 2 = ⇒ = = cm. H + h = 37,2cm + 14,0625cm = 51,2625cm. RESPOSTA: Alternativa 03. QUESTÃO QUESTÃO QUESTÃO QUESTÃO 151515.... 15

Planificando-se a superfície lateral de um cone circular reto, obtém-se um setor circular de área igual a ¾ da área de um círculo.

(10)

RESOLUÇÃO:

A área lateral do cone é dada pela relação S_L =πRg.

A área do setor circular resultante da planificação da superfície lateral é

( )

2 setor ₄3 g S = π . Logo, 3 R 4 g g 3 R 4 4 g 3 Rg₌ π 2 ⇒ ₌ ⇒ = π .

Do triângulo retângulo ABV, vem:

3 7 R h 3 7 R h 9 R 7 h R 3 R 4 h R g h 2 2 2 2 2 2 2 2 _ ₋ _⇒ ₌ _⇒ ₌ _⇒ ₌      = ⇒ − = . RESPOSTA: Alternativa 05. QUESTÃO QUESTÃO QUESTÃO QUESTÃO 161616.... 16

Um obelisco, formado por um ortoedro de altura 4m encimado por uma pirâmide regular de altura 6m, deve ser construído em concreto.

Um metro cúbico de concreto custa R$200,00.

A tinta a ser usada na pintura da superfície desse obelisco (naturalmente com exceção da base) rende 8m² por cada 2 litros de tinta. Sabendo que o preço da tinta é de R$40,00 por litro, calcule o preço em reais de 1% do custo do material (concreto e tinta) a ser utilizado na construção do obelisco.

(11)

RESOLUÇÃO: O volume do obelisco é: m

(

16 8

)

m 24m . 3 6 2 4 2 V V V _prisma _pirâmide 2 2 _ 3 = + 3 = 3       _× + × = + =

A área do obelisco a ser pintada é: S = Slateraldoprisma +Slateraldapirâmide.

Para o cálculo da área lateral da pirâmide, deve-se determinar a medida de AB , apótema da pirâmide (altura de uma das faces laterais).

m 1 , 6 37 h 1 36 h2 = + ⇒ = = ⇒ S =

(

)

m2 4

(

8 6,1

)

56,4m2 2 2 1 , 6 4 2 4  = + =            × + × .

Se com 2 litros de tinta são pintados 8m², para pintar 56,4m² serão necessários

(

56,4:4

)

litros=14,1 litros de tinta.

O custo total será de:

(

200×24+14,1×40

)

reais=5364 reais. 1% de R$ 5364,00 = R$53,64.