Hélio Magalhães de Oliveira

Wavelets: Entrando na Onda

H. Magalhães de Oliveira

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

Copyright  2002 Eletrônica e Sistemas, UFPE Telematica

1a publicação em 2002.

Dados de Catalogação da Publicação

De Oliveira, Hélio Magalhães,

Wavelets: Entrando na Onda / por Hélio Magalhães de Oliveira. -- Recife: O Autor, 2002.

xxx, yy folhas: il., diagramas.

Inclui Bibliografia, referências e índice.

1. Processamento Digital de Sinais 2. Análise de Sinais I. Título.

Capa: Foto de HMdO: Rafaël Rodrigues de Oliveira, entrando na onda... (com autorização)

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Hélio Magalhães de Oliveira

Departamento de Eletrônica e Sistemas Universidade Federal de Pernambuco Cidade Universitária

Caixa Postal 7.800 CEP 50.711-970 Recife - PE

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WAVELETS: ENTRANDO NA ONDA...

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CONTEÚDO

Prefácio

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Agradecimentos

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Notação, convenções e abreviações

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CAPITULO I

Wavelets: Uma Evolução na Representação de Sinais

1.1 Introdução . . . .

1.2. Análise Espectral Para Sinais Não-Estacionários . . . .

1.2.1 Princípio da Incerteza de Gabor-Heisenberg para Sinais

. . . .

1.2.2 Conceito de estacionaridade - Introduzindo a idéia sem formalismo

. . . .

1.2.3 A Transformada de Gabor (Transformada de Fourier de tempo curto)

. . . .

1.2.4 A Guisa de uma Análise de Wavelets

. . . .

CAPITULO II

Wavelets Contínuas

2.1 Introdução a Transformada Contínua de Wavelet . . . .

2.1.1 A Transformada Contínua de Wavelet CWT

. . . .

2.1.2 A Transformada Inversa (CWT-1) e a Condição de Admissibilidade

. . . .

2.1.3 Não-unicidade do Domínio Wavelet

. . . .

2.2 Exemplos: Um mar de Wavelets . . . .

2.2.1. Wavelet de Haar 2.2.2. Wavelet Sombrero

2.2.3. Wavelet densidade Gaussiana 2.2.4. Wavelet complexa de Morlet 2.2.5. Wavelet de Shannon

2.2.6. Wavelet Generalizada de Shannon (Wavelet Cosseno-elevado) 2.2.7. Wavelet de Meyer

2.2.8. Wavelet Linear por partes 2.2.9. Wavelets de Daubechies 2.2.10. Wavelet de Chaaris

2.2.11. Wavelet Symmlets e Wavelet Coiflets 2.2.12. Wavelet Battle-Lemarié

2.2.13. Wavelet B-Splines 2.2.14. Wavelets bidimensionais 2.2.15. Ridglets

CAPITULO III

Wavelets Discretas

3.1 Wavelets Discretas . . . .

3.1.1 A Transformada Discreta de Wavelets:

As Séries Wavelet de Tempo Contínuo (CTWS)

. . . .

3.1.2 A Transformada Discreta de Wavelets:

Séries Wavelets de Tempo Discreto (DTWS)

. . . .

3.2 Wavelets biortogonais, wavelets duais e wavelets diádicas

. . . .

3.3 Wavelets sobre Corpos Finitos

. . . .

3.3.1 FF-Wavelets

. . . .

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CAPITULO IV

A Análise de Multiresolução

4.1 Introdução a Multiresolução . . . .

4.1.1 A Função de Escala

. . . .

4.1.2 Análise de Multiresolução Completa Ortonormal

. . . .

4.1.3 Equação Básica de Dilatação (Equação de refinamento)

. . . .

4.1.4 Conexão entre Multiresolução e Wavelets Ortogonais

. . . .

4.2 Análise de Multiresolução via Wavelets de Haar . . . .

4.3 Análise de Multiresolução usando B-Splines . . . .

4.4 Procedimento de Ortogonalização de Meyer . . . .

4.5 O Algoritmo Piramidal de Laplace . . . .

4.5.1 Algoritmo de Decomposição Piramidal

. . . .

4.5.2 Algoritmo de Reconstrução Piramidal

. . . .

4.6 Um Estudo de Caso:

Decomposição via Wavelet de Daubechies db2 para um sinal ECG

. . . .

4.7 AMR para Wavelets Biortogonais . . . .

CAPITULO V

Relações entre Filtragem, Wavelets e Análise de Multiresolução

5.1 Filtros Suavizador e de detalhes (H e G) . . . .

5.2 Construção de AMR Ortogonal - Filtros QMF . . . .

5.3 Regularidade e Momentos . . . .

5.3.1 Condições para anular momentos de uma wavelet

. . . .

5.4 Um Comentário sobre Wavelets de Daubechies . . . .

5.5 Análise de Multiresolução de "de Oliveira" . . . .

5.6 Wavelet Elíptico-Cilíndricas: Wavelets de Mathieu. . . .

5.7 Codificação em Sub-Bandas . . . .

5.8 O Algoritmo à trous. . . .

CAPITULO VI

Espectrogramas, Escalogramas e Aplicações de Wavelets

6.1 Análise por Espectrogramas e Escalogramas . . . . 6.2 Algumas Aplicações de Wavelets . . . .

6.2.1 Wavelets em Descontaminação de Sinais

. . . .

6.2.2 Wavelets na Análise de Sinais Médicos

. . . .

6.2.3 Wavelets em Compressão de Imagens

. . . .

6.2.4 Wavelets em Codificação de Imagens

. . . .

6.2.5 Wavelets em Localização de faltas em linhas de transmissão

. . . .

6.2.6 Wavelets em Telecomunicações

. . . .

Bibliografia Selecionada e Fontes de Referência

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Galeria

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Índice de Figuras . . . .

Índice Remissivo . . . .

Índice Onomástico . . . .

PREFÁCIO

Ondinhas...

Há muito ensejava redigir "A Booklet on Wavelets", dado o fascínio que o tema me imprime. A beleza da Análise de Fourier já me havia cativado a longos idos, especialmente dosando adequadamente o formalismo com as ricas interpretações em Engenharia.

Os trabalhos pioneiros do Engenheiro Jean Morlet e do Físico Alex Grossmann descortinaram uma nova e rica área na Análise Funcional, as Ondelettes, cujas conseqüências práticas não param de explosivamente crescer. O fortíssimo elo entre Análise de Wavelets e a Análise de Fourier conduziu-me a um interesse natural e expontâneo sobre este novo mundo. E feliz coincidência! Ambas teorias foram criadas e substancialmente desenvolvidas na França, aonde também tive a grata satisfação de aperfeiçoar minha formação científica.

Como disciplina matemática, a Análise de Wavelets atingiu a maturidade muito rapidamente. Hoje proliferam textos, notas e páginas da Web com ênfases, hora de natureza excessivamente matemática, hora aplicada, e por vezes até superficial. Apesar de constituir um texto bastante incompleto, julgo válido o esforço em contribuir um pouco com a (carente) literatura nacional sobre o tema. Esta demanda advém adicionalmente da contínua necessidade de reformulação curricular, propiciando aos engenheirandos o acesso às mais avançadas técnicas disponíveis.

O estilo matemático da notação adotada em boa parte dos textos sobre wavelets tem constituído uma dificuldade suplementar à compreensão do assunto. O presente material opta por uma notação mais compatível com aquela utilizada na Engenharia.

O texto é primordialmente concebido para os cursos de Engenharia de Telecomunicações, Engenharia Eletrônica, Engenharia Elétrica, Engenharia Biomédica e Engenharia de Computação, mas pode ser útil para outras Engenharias (Mecânica, Metalurgia etc.), Geofísica e em muitas outras áreas. Tenho a plena convicção consciência que o trabalho poderia ser melhor1. Entretanto, Uma longa caminhada inicia-se (inicia-sempre) com um primeiro passo...

1

Ao Prof. Nilson Magalhães de Oliveira e

A Prof

. Djanira Magalhães Florêncio. (in memoriam)

AGRADECIMENTOS

O autor agradece a numerosos colegas do Departamento de Eletrônica e Sistemas e a estudantes do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Pernambuco. Em particular, o maior débito é com o Professor Ricardo M. Campello de Souza, do Grupo de Pesquisa em Processamento de Sinais. Mais do que compartilhar, desde os primórdios, um vívido interesse sobre o tema, acompanhar os seminários e discussões, Prof. Campello foi decisivo como agente motivador para elaboração deste documento. Seu envolvimento constante e reconhecida seriedade acadêmica vem servindo de estímulo contínuo, aos estudantes e colegas.

Os comentários e a seleção de fontes bibliográficas e o estímulo propiciados por Tiago Henrique Falk foram largamente apreciados. Agradecimentos especiais a Rodrigo Gurgel Fernandes Távora, a Luciana Beltrão Espínola Silva, a Romero Guerra de Souza. Antigas discussões com Paulo Ricardo dos Santos Mendonça (tempo-freqüência) e Arquimedes José de Araújo Paschoal (distribuições de Wigner-Ville) foram estimulantes.

Muitas das figuras foram extraídas do aplicativo Matlab, Caixa de Ferramentas sobre Wavelets, e de algumas notas disponibilizadas na Internet. Estes artigos, a cujos autores são endereçados agradecimentos, também serviram parcialmente na preparação destas notas.

Renato José de Sobral Cintra desempenhou papel auxiliar na preparação tipográfica, possibilitando a melhoria na qualidade da apresentação.

Além do pessoal diretamente envolvido com o grupo, outros interessados em aplicações de Wavelets em Sistemas de Potência e Processamento da Energia também estimularam a preparação do texto. Entre estes, Luiz Antônio Magnata da Fonte, Milde Maria da Silva Lira e Luciana Reginaldo Soares.

Alguns resultados inéditos foram incluídos: Análise de Wavelet sobre corpos finitos (com Tiago Falk e Rodrigo Távora), Análise de multiresolução de "de Oliveira" (com Luciana Soares e Tiago Falk) e Wavelets de Mathieu (com Milde Lira). A estes co-autores e cúmplices, um profundo reconhecimento.

Finalmente, o autor registra seus agradecimentos a todos ad quem este material venha a ser de alguma utilidade, razão precípua da sua confecção.

Janeiro, 2002.

HMdO, [email protected]