NumerosReais2

Fundamentos de Análise - Números Reais

Luciana Borges Goecking

Universidade Federal de Alfenas - Instituto de Ciências Exatas

Números Naturais

É possível contar sem os números?

Números Naturais

Não se pode conceber a ideia do homem criando os números naturais para só depois aplicá-los à prática de fazer contagem. Historicamente, a contagem antecede os números.

Conjunto dos Números Naturais

Dizemos que temos umconjunto formado por certos

elementos quando:

(i) tais elementos têm uma característica em comum (ii) dado um elemento qualquer, podemos verificar se ele pertence ou não ao conjunto

Conjunto dos Números Naturais

O conjunto N = {1, 2, 3, 4, ...} é chamado conjunto dos

números naturais.

- Quais as características que os elementos desse conjunto têm em comum?

A de que, com exceção do 1, todos os outros elementos são obtidos pela operação elementar de encontrar o próximo elemento, que é o que chamamos desucessor.

Conjunto dos Números Naturais

-Como verificar se um dado elemento pertence a esse conjunto?

Basta verificar se este elemento é o sucessor de alguém que já está no conjunto

Caracterização do Conjunto do Números Naturais

O conjunto dos números naturais fica caracterizado da seguinte maneira:

(a) o 1 pertence a esse conjunto e

(b) cada um dos elementos seguintes é determinado pela operação elementar deadicionar uma unidade.

Princípios Fundamentais

Em N valem dois princípios fundamentais:

Princípio da Boa Ordem: Todo subconjunto não vazio de N

possui elemento mínimo, ou seja, se B ⊆ N com B 6= ∅, então existe n ∈ B tal que n ≤ m para todo m ∈ B.

Princípio da Indução: Seja A ⊂ N satisfazendo as seguintes

propriedades: (a) 1 ∈ A

(b) n ∈ A implica n + 1 ∈ A. Então A = N

Axiomas de Peano

Tudo o que se sabe sobre os números naturais pode ser demonstrado como consequência dosAxiomas de Peano:

1. Todo número natural tem um único sucessor;

2. Números naturais diferentes têm sucessores diferentes; 3. Existe um único número natural, chamadoum e

representado pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro;

4. Seja A ⊂ N. Se 1 ∈ A e se, além disso, o sucessor de todo elemento de A ainda pertence a A, então A = N.

O primeiro contato com a noção do infinito

Estudo do texto: O primeiro contato com a noção de infinito

O conjunto dos Pontos da Reta

Estudo do texto: O conjunto dos Pontos da Reta

Cantor e a teoria dos conjuntos

O estudo sistemático dos conjuntos, que acabou levando a uma teoria axiomática desse campo de estudos, começou com Georg Cantor, por volta de 1872.

Equivalência de conjuntos

Segundo Cantor, dois conjuntos sãoequivalentes, ou têm a

mesmacardinalidade, ou a mesma potência, quando é

possível estabelecer uma correspondência que leve elementos distintos de um conjunto em elementos distintos do outro, todos os elementos de um e de outro conjunto sendo objeto dessa correspondência.

Equivalência de conjuntos

Essa correspondência chama-sebijeção e escrevemos

A ↔ B para indicar que existe uma bijeção entre A e B.

Equivalência de conjuntos

Seja Fn= {1, 2, 3, ..., n} o conjunto dos primeiros números

naturais. Dizemos que um conjunto A éequivalente (ou equipotente) a Fnse A tem o mesmo número de elementos

que Fn.

Correspondência no Infinito

Como já vimos, é possível obter uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos números naturais N e o conjuntoP dos números pares positivos, donde podemos

concluir que em se tratando de conjuntos infinitos,o todo e a parte podem ser equivalentes.

Conjuntos Finitos e Infinitos

Dizemos que um conjunto A é finito quando existe um número natural n tal que A seja equipotente ao conjunto Fn. Um

conjunto se diz infinito quando não for finito.

Conjuntos enumeráveis

O primeiro conjunto infinito com que nos familiarizamos é o conjunto N dos números naturais. Chama-se conjunto

enumerável a todo conjunto equivalente a N

O conjuntoP dos números pares positivos é enumerável.

Conjunto dos números Inteiros

A motivação para a construção do conjunto dos números inteiros denotado por Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} é a impossibilidade da subtração para qualquer par de números naturais, em outras palavras, o não fechamento da operação de subtração no conjunto dos números naturais.

Conjunto dos números Inteiros

Vimos que o conjunto N foi caracterizado pela existência do sucessor. No conjunto Z, podemos dizer que todo elemento temsucessor e antecessor, isto é, dado um inteiro n, sempre

existem seu sucessor n + 1 e seu antecessor n − 1.

Z é enumerável?

Ao observarmos os elementos dos conjuntos N e Z,

poderíamos inferir, intuitivamente que o conjunto Z tem mais elementos que o conjunto N.

Z é enumerável?

Porém, ao contrário do que a nossa intuição nos diz, podemos estabelecer uma correspondência biunívoca entre os

elementos desses dois conjuntos infinitos.

Z é enumerável?

Para isso, basta correspondermos os números pares aos números inteiros positivos (e o zero) e os números ímpares aos números inteiros negativos.

Surgimento dos Números Racionais

Uma vez por ano, na época das cheias, as águas do Nilo subiam muitos metros acima de seu leito normal, inundando uma vasta região ao longo de suas margens. Ao avançar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de pedras que os agricultores usavam para marcar os limites do terreno de cada um.

Surgimento dos Números Racionais

Quando as águas baixavam, deixavam descobertas uma estreita faixa de terras férteis, prontas para o cultivo, porém sem demarcações. Um antigo faraó chamado Sesóstris (3.00 a.C.), mandava seus geômetras medirem e demarcarem novamente a extensão das terras que cabia a cada agricultor. Havia uma unidade de medida marcada por nós em uma corda que era utilizada para realizar a medição.

Surgimento dos Números Racionais

As pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. No entanto, a medida escolhida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno. Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o número fracionário.

Números Racionais - Medição de segmentos

O que é medir?

Medir significa comparar grandezas de mesma espécie. Não se trata de uma simples comparação para ver quem é maior. Mas de ver quantas vezes determinada medida "cabe" na outra.

Exemplo no quadro

Números Racionais - Medição de segmentos

Este número (quantidade de vezes que a unidade cabe no objeto) chama-semedida da grandeza em relação a essa

unidade.

Números Racionais - Medição de segmentos

- Apesar do comprimento de um segmento ser constante, sua medida depende da unidade adotada.

- A escolha da unidade é importante, por exemplo, seria extremamente incômodo calcular a medida da distância entre duas cidades usando o milímetro como unidade.

O conjunto dos Números Racionais

SejamAB e CD segmentos de reta e u uma certa unidade de

medida. Seu "cabe" m vezes em AB e n vezes em CD,

dizemos que a medida do segmentoAB, tomando CD como

unidade, é o número m n e escrevemos AB = m n.CD m e n inteiros. 31 / 190

O conjunto dos Números Racionais

O número m

n é dito racional e os números desta forma deram origem aoconjunto dos números racionais que denotamos

por Q = nm n | m, n ∈ Z, n 6= 0 o 32 / 190

Estudo do texto: O infinitamente pequeno

Explique a frases: 1) "logo o número 1

n + 1 retira de ε o título de menor racional positivo".

2) "E sempre poderemos construir racionais menores pois o conjunto dos números naturais é infinito"

3) Explique a tabela exibida no texto.

4) Pesquise um pouco mais e discuta sobre o paradoxo de Zenão de Eléia à respeito da Dicotomia.

Enumerabilidade de Q

Será que podemos afirmar que o conjunto dos números racionais é equivalente a N?

Vídeo (Para Casa)

Assistir: Os infinitos de Cantor

Grandezas Comensuráveis

No tempo de Pitágoras (séc. VI a.C.), pensava-se que dados dois segmentos quaisquer,AB e CD, seria sempre possível

encontrar um terceiro segmentoEF contido um número inteiro

de vezes emAB e outro número inteiro de vezes em CD,

situação esta que descrevemos dizendo queEF é um

submúltiplo comum deAB e CD.

Grandezas Comensuráveis

Dois segmentos nessas condições são ditos comensuráveis,

justamente por ser possível medí-los ao mesmo tempo, com a mesma medidaEF.

Grandezas Comensuráveis

Podemos pensar então que se dois segmentosAB e CD são

comensuráveis então a razão entre eles é um número racional:

AB = m n.CD AB CD = m n 38 / 190

Grandezas Comensuráveis

Dados dois segmentos quaisquer, podemos afirmar que eles sempre serão comensuráveis?

O Problema da Medida

Os pitagóricos descobriram que a diagonal e o lado de um quadrado são grandezas não comensuráveis. Vejamos isso (quadro)

O Problema da Medida

Este problema da medida nos permite fazer a seguinte afirmação:

Não existe número racional cujo quadrado seja igual a 2.

O Problema da Medida

Assim surgiram segmentos cujo comprimento não podiam ser representados por um unidade comum, dando origem ao que chamamos degrandezas incomensuráveis.

Grandezas Incomensuráveis

Dois segmentos quaisquerAB CD sem unidade comum EF,

são chamados segmentos incomensuráveis.

A crise dos Incomensuráveis

A descoberta de grandezas incomensuráveis representou um momento de crise na matemática, pois para os pitagóricos o número era a essência de todos os fenômenos naturais e de repente eles descobriram que os números nem sequer eram suficientes para exprimir a razão de dois segmentos.

Surgimento dos Números Irracionais

O problema da medida mostrou que os números racionais eram insuficientes para traduzir todas as relações geométricas. Daí surgiu a necessidade de se criar um outro tipo de número que fosse capaz de expressar a medida de um segmento qualquer e assim surgiu os números irracionais.

Conjunto dos números Irracionais

O conjunto dos números irracionais é formado por todos os números que não podem ser escritos na forma a

b, com a ∈ Z e b ∈ Z∗

O número de ouro

Número de ouro

Retângulo Áureo

Paternon

Monalisa

O número de ouro

Assistir ao vídeo

O número de Ouro: a mágica por detrás do belo

Números reais

A totalidade dos números racionais, juntamente com os irracionais é o chamadoConjunto dos números Reais e

indicamos por R.

Valem as inclusões:

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R

R é Enumerável?

O conjunto R é não enumerável.

Trabalharemos com os números do intervalo (0, 1), já que este intervalo tem a mesma cardinalidade da reta toda. Para que cada número deste intervalo tenha representação decimal única, adotaremos para cada um sua representação decimal infinita. Por exemplo

0, 437 = 0, 436999...

0, 052 = 0, 051999...

R é Enumerável?

Demonstração: Suponha que seja possível estabelecer uma

correspondência biunívoca dos números do intervalo (0, 1) com os números naturais. Então, cada elemento da sequência infinita x1,x2,x3, ..., representa um número do intervalo (0, 1).

R é Enumerável?

Em representação decimal teríamos, x1=0, a11a12a13...a1n...

x2=0, a21a22a23...a2n...

x3=0, a31a32a33...a3n...

xn=0, an1an2an3...ann...

onde os aij são os algarismos de 0 à 9.

R é Enumerável?

A idéia é construir um número do intervalo (0, 1) que não esteja nesta lista. Para isto vamos usar o processo chamado

diagonal de Cantor:

R é Enumerável?

Construímos um número que seja diferente de x1, na primeira

casa decimal, diferente de x2na segunda casa, diferente de x3

na terceira casa, e assim por diante, assim esse número não coincidirá com nenhum dos números da lista acima.

Como este número não está na lista, chegamos a um absurdo, e portanto o conjunto dos números reais é não enumerável.

Resultados importantes sobre Q

1) Em Q, uma fração irredutível p/q, quando convertida à forma decimal, resulta numa decimal finita ou periódica. Os números cuja representação decimal não é nem finita nem periódica, são os chamados números irracionais.

Resultados importantes sobre Q

2) O conjunto Q, com a soma e seu elemento neutro 0 e com o produto e sua unidade 1, possui a estrutura de umcorpo

ordenado.

3) Se x e y forem dois números racionais distintos, então existe pelo menos o racional z = 1

2(x + y ), entre os dois.

Consequentemente, existe uma infinidade de racionais entre dois racionais quaisquer.

Resultados importantes sobre Q

4) Dado qualquer x ∈ Q positivo, existe n ∈ N tal que 0 < 1

n <x

Em virtude dessa propriedade, dizemos que Q é um corpo

arquimediano.

Discussão - 1

Vamos analisar o gráfico da parábola y = x2em Q por Q.

Observação

A parábola y = x2cruza a reta y = 2 sem haver um ponto de corte. Isso mostra que apropriedade do valor intermediário,

de que duas curvas que se cruzam têm um ponto de corte, não vale em Q

Cota superior de um conjunto.

Um conjunto M de números reais é limitado à direita ou

limitado superiormente se existe um número K tal que

m ≤ K para todo m ∈ M. Dizemos que K é umacota superior

do conjunto M.

Cota inferior de um conjunto.

Do mesmo modo, M é limitado à esquerda oulimitado

inferiormente se existe um número k tal que k ≤ m para todo

m ∈ M. Assim k é chamado decota inferior do conjunto M

Conjunto Limitado

Um conjunto que é limitado à direita e à esquerda ao mesmo tempo, é ditoconjunto limitado.

Exemplos

1 _{O conjunto dos números naturais é limitado inferiormente,}

mas não superiormente.

2 O conjunto dos números racionais menores do que 8 é

limitado superiormente, mas não inferiormente.

3 _{O conjunto dos números reais x tais que x}2≤ 10 é

limitado. 4 _{O conjunto K = (0, 3).} 5 _{A =} 1 2, 2 3, 3 4, ..., n n + 1, ...  6 _{O conjunto [−5, 12).} 67 / 190

Supremo de um conjunto

Chama-sesupremo de um conjunto M ao número S que

satisfaz as duas condições seguintes: (a) m ≤ S para todo m ∈ M;

(b) dado qualquer número  > 0, existe um elemento m ∈ M à direita de S − , isto é, tal que S −  < m.

Dizemos que o supremo é amenor das cotas superiores do

conjunto.

Ínfimo de um conjunto

Chama-seínfimo de um conjunto M ao número s que satisfaz

as duas condições seguintes: (a) s ≤ m para todo m ∈ M

(b) dado qualquer número  > 0, existe um elemento m ∈ M à esquerda de s + , isto é, tal que m < s + 

Dizemos que o ínfimo é amaior das cotas inferiores do

conjunto

Observação

O supremo e/ou o ínfimo de um conjunto não precisam pertencer ao conjunto.

Seja K um corpo ordenado e X ⊂ K . Se X possuir um

elemento máximo, este será o seu supremo, se X possuir um elemento mínimo, ele será o ínfimo.

Reciprocamente, se supX pertence a X então é o maior elemento de X; se infX pertencer a X, será o seu menor elemento.

Propriedade do Supremo

Axioma Fundamental da Análise Matemática: cada

subconjunto de R que é não vazio e limitado superiormente tem supremo.

Com aPropriedade do Supremo prova-se que todo conjunto

vazio de números reais, que seja limitado inferiormente, possui ínfimo.

O Corpo Completo dos Reais

No conjunto dos números reais a propriedade do supremo é sempre válida, por essa razão, afirmamos que R é um corpo ordenadocompleto.

A Propriedade do Supremo não vale em Q

Exemplo: Seja E ⊂ Q+o conjunto das raízes quadradas de 2 por falta. Mostre que E não tem elemento máximo.

Q não é um corpo ordenado completo

Definimos um corpo ordenadocompleto como sendo aquele

em que qualquer conjunto não vazio limitado superiormente possui um menor limitante superior.

Portanto concluímos que Q não é completo.

Teorema. Seja A =_{x ∈ Q}+_:x2_{>2 . A não possui ínfimo}

em Q.

Desigualdade de Bernoulli

Em todo corpo ordenado K , se n ∈ N e x ≥ −1, vale (1 + x )n≥ 1 + nx.

Exercícios

1 Seja Y ⊆ Q, Y =1

2n,n ∈ N . Mostre que 0 = infY e

1

2 =supY

2 _{Utilize a propriedade do supremo para mostrar que o}

conjunto dos números naturais não é limitado superiormente.

3 _{Seja A = {y ∈ Q : 0 < y < 1}. Mostre que supA = 1.} 4 _{Sejam A e B conjuntos numéricos não vazios. Prove que}

se A ∈ B, então inf (A) ≥ inf (B).

5 _{Seja A um subconjunto não vazio de R limitado}

superiormente. Então supA = −inf (−A) onde −A = {−x : x ∈ A}.

Valor absoluto de x

Dizemos que |x | é ovalor absoluto de x e:

|x| = x, se x ≥ 0 −x, se x ≤ 0 

.

Propriedades

Desigualdade do triângulo

A propriedade geométrica básica do valor absoluto é a

desigualdade triangular:

|x + y | ≤ |x| + |y | ou sua versão mais geral:

||x| − |y || ≤ |x − y | ≤ |x| + |y |

Outras desigualdades: |x − y | ≤ |x| + |y | |x| − |y | ≤ |x ± y | |y | − |x| ≤ |x ± y | ||x| − |y || ≤ |x ± y | 83 / 190

Interpretação geometrica

Interpretamos o valor absoluto |x | de x como a distância à origem. Em particular, interpretamos |x − y | como a distância entre x e y .

Exercícios

1) Mostre que se |a − b| < ε então |a| < |b| + ε 2) Sejam a, b ∈ R, então a2+ab + b2≥ 0.

3) Sejam x e y reais não negativos, então√xy ≤ x + y 2 .

Intervalos

Dados a, b ∈ R, com a < b definimos os intervalos de extremidades a e b por (a, b) = {x ∈ R : a < x < b} (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} 86 / 190

Intervalos também podem ser descritos em termos do valor absoluto:

(−3, 3) = {x ∈ R : |x| < 3} [−4, 4] = {x ∈ R : |x| ≤ 4}

Intervalos

Esses quatro tipos de intervalo são limitados e temos, por exemplo,

x ∈ (a − ε, a + ε) ⇐⇒ a − ε < x < a + ε ⇐⇒ −ε < x − a < ε ⇐⇒ −ε < a − x < ε ⇐⇒ |a − x| < ε para quaisquer a, x , ε ∈ R, com ε > 0.

Intervalos

Também consideramos os intervalos ilimitados (a, ∞) = {x ∈ R : a < x}

[a, ∞) = {x ∈ R : a ≤ x} (−∞,b] = {x ∈ R : x ≤ b} (−∞,b) = {x ∈ R : x < b}

O corpo R todo também pode ser interpretado como o intervalo ilimitado R = (−∞, ∞.)

Intervalos Compactos

Os intervalos da forma [a, b] são limitados e contêm ambas as extremidades. Esses intervalos são chamados de intervalos

compactos

Caracterização de Intervalo

Seja X ⊆ R um conjunto com pelo menos, dois elementos. X é umintervalo se, e só se, [x , y ] ⊆ X , para quaisquer x , y ∈ X

tais que x < y .

Propriedade dos Intervalos Encaixados

Proposição (Intervalos Encaixados). Se R ⊇ I1⊇ I2⊇ ... é

uma sequência decrescente de intervalos compactos, então existe pelo menos um número real c tal que

c ∈ \

n∈N

In=I1∩ I2∩ ...

Use oteorema dos intervalos encaixados para mostrar que

o conjunto dos números reais é não enumerável.

Complementação

Teorema. Num corpo ordenado K, as seguintes afirmações

são equivalentes:

(i) N ⊆ K é ilimitado superiormente;

(ii) dados a, b ∈_{K, com a > 0, existe n ∈ N tal que n.a > b;} (iii) dado qualquer a > 0 em_{K, existe n ∈ N tal que 0 <} 1

n <a.

Um corpo ordenadoK chama-se arquimediano quando nele é

válida qualquer uma das três condições equivalentes citadas no teorema anterior.

Exercício

Encontre o ínfimo e o supremo do conjunto A = {x ∈ R : x = (n + 1)/n, n ∈ N}

Sequências infinitas

Uma sequência de números reais é uma função a : N → R

que associa a cada natural n um número real a(n), que denotaremos por an. Os elementos an’s são chamados de

termos da sequência, a qual denotaremos por (an).

Usamos as notações (an), (an)n∈N, (a1,a2,a3, ...)para

representar uma sequência.

Usaremos a notação {an} para representar o conjunto de

valores da sequência.

Essa distinção é importante, pois uma sequência pode possuir infinitos elementos, mesmo que seu conjunto de valores seja finito.

Exemplos

1 _{Sequência dos números pares positivos, 2, 4, 6, ...}

ou ainda, an=2n, n = 1, 2, 3, ...

2 _{A sequência 1, −1, 1, −1, ... é infinita com}

an= −(−1)n= (−1)n−1

Mas observe que seu conjunto de valores possui somente dois valores, isto é, {−1, 1}.

3 _{A sequência infinita formada pelas aproximações decimais}

por falta de√2:

1, 4; 1, 41; 1, 414; 1, 4142; 1, 41421; 1, 414213; ...

Exemplos

Sequência crescente

Dizemos que a sequência (an)écrescente se

a1<a2<a3< ... <an< ...

isto é, se an<an+1

Sequência decrescente

Dizemos que a sequência (an)édecrescente se

a1>a2>a3> ... >an> ...

isto é, se an>an+1

Sequência não-crescente e não-decrescente

Sequência Monótona

Uma sequência é ditamonótona se satisfaz uma das quatro

propriedades anteriores.

Sequência limitada inferiormente

Dizemos que uma sequência (an)é limitada à esquerda, ou

limitada inferiormente, se existe um número A tal que A ≤ an

para todo n.

Sequência limitada superiormente

A sequência é limitada à direita, oulimitada superiormente,

se existe um número B tal que an ≤ B para todo n.

Sequência limitada

Quando a sequência é limitada à esquerda e à direita ao mesmo tempo, dizemos simplesmente que ela élimitada. Isso

equivale a afirmar que existe um número M tal que |an| ≤ M.

|an| ≤ M ⇐⇒ −M ≤ an≤ M

Sequências Convergentes

Discussão sobre as sequências

an= n n + 1 an= 1 2(1 − (−1) n₎ 108 / 190

Sequências Convergentes

Definição: Diz-se que uma sequência (an)converge para o

número L, ou tem limite L se, dado qualquer número ε > 0, é sempre possível encontrar um número natural N tal que

n > N ⇒ |an− L| < ε

Nesse caso, escrevemos L = lim

n→∞an ou an−→ L

Definição de vizinhança.Dado um número L qualquer,

chama-se vizinhança ε de L a todos os números x do intervalo (L − ε, L + ε). Denotaremos esse intervalo com o símbolo Vε(L).

Se x ∈ Vε(L) então podemos dizer que:

|x − L| < ε; −ε < x − L < ε; L − ε < x < L + ε.

Exemplos

1 _{Mostre que limn→∞}1

n =0

2 _{Prove, usando a definição de sequência convergente, que}

a sequência an=

n

n + 12 tem limite 1.

3 _{Mostre que a sequência a}

n=

3n

n + sen2n tem limite igual a 3.

Teorema Toda sequência convergente é limitada.

A recíproca deste teorema é verdadeira?

Teorema. Toda sequência monótona e limitada é convergente.

Exemplo

Mostre que se ané convergente, então |an| é convergente e

lim |an| = | lim an|.

Teorema. Se uma sequência (an)converge para um limite L, e

se A < L < B, então, a partir de um certo índice N, teremos A < an<B.

Corolário Se uma sequência (an)converge para um limite

L 6= 0, então, a partir de certo índice N, |an| > |L|/2.

Teorema Sejam (an)e (bn)duas sequências convergentes,

com limites a e b respectivamente. Então, (an+bn), (anbn)e

(kan), k uma constante qualquer, são sequências

convergentes, além do que,

a) lim(an+bn) =lim an+lim bn =a + b;

b) lim(kan) =k lim an=ka; (em particular, k = −1 nos dá

an→ a ⇒ −an→ −a);

c) lim(anbn) =lim anlim bn=ab;

d) se, além das hipóteses acima, b 6= 0, então existe o limite de an/bn, igual a a/b.

Critério do Confronto. Sejam (xn), (yn)e (zn)sequências

quaisquer tais que yn≤ xn≤ zn. Se (yn)e (zn)forem

convergentes e tiverem o mesmo limite, então (xn)também é

convergente, com o mesmo limite.

Exemplos

1 _{Mostre que limn→∞}cos n

n =0.

2 _{Dado um número a > 0, mostre que}√n_{a → 1.} 3 _Mostre√n_{n → 1.}

Limites infinitos

Definição. Dizemos que lim an= +∞se,

para todo número real M > 0 existir n0, tal que se n ≥ n0,

implica an>M.

Analogamente, dizemos que lim an= −∞,

se para todo número real M < 0 existir n0, tal que se n ≥ n0,

implica an<M.

Nos casos em que os limites são infinitos, dizemos que a sequência diverge.

1 _{Mostre que limn→∞2}n _{= ∞.}

2 Mostre que para c > 1, tem-se lim_n→∞cn= ∞.

Teorema.

a) an→ +∞ ⇐⇒ −an→ −∞.

b) Seja (an)uma sequência não limitada. Sendo não

decrescente, ela tende a +∞; e sendo não crescente, ela tende a −∞.

c) Se lim an= + − ∞, então 1/an tende a zero.

Teorema

d) Se lim an=0, então 1/an tende a +∞ se tende a +∞ se

an>0, e tende a −∞ se an<0.

e) Se (bn)é uma sequência limitada e an→ +∞ ou a −∞,

então a sequência (an+bn)tende a +∞ ou a −∞

respectivamente.

f) Se an→ +∞ e bn≥ c, onde c é um número positivo, então

anbn→ +∞.

g) Se an→ +∞ e an≤ bn, bn→ +∞.

Exercícios

1 _{Mostre que dadas as sequências (a}

n)e (bn)tais que

an≤ bn, para n ≥ N e limn→∞an= +∞, então

limn→∞an= +∞. 2 _{Sejam 0 < a} 1<b1e defina an+1 = √ anbn, bn+1 = an+bn 2 . Então as sequências (an)e (bn) convergem. 123 / 190

Subsequências

Dadas duas sequências (an)e (bj), dizemos que (bj)é uma

subsequência de (an)se existir uma sequência crescente de

naturais (nj)tal que bj =anj.

Em particular, sempre temos nj >j.

Subsequências

Duas subsequências fáceis de uma sequência (an)dada são a

dos pares (a2n)e a dos ímpares (a2n+1), em que nj =2n e

nj =2n + 1, respectivamente.

Exemplos

A sequência an= (−1)n(1 + 1/n) tem subsequências (a2n),

(a4n), (a6n)etc., todas convergindo para 1; e subsequências

(a2n−1), (a4n−1), (a6n−1), etc., todas convergindo para −1. Mas

tem também sequências divergentes, como (a_n2) = (a₁,a₄,a₉,a₁₆, ...) = (a₁,a₄,a₉,a₁6, ...) =

(−2, 5/4, −10/9, 17/16, ...)

Teorema. Se uma sequência (an)converge para um limite L,

então toda sua subsequência (anj)também converge para L.

Valor de aderência

Definição. Diz-se que L é um valor de aderência ou ponto de

aderência de uma dada sequência (an)se (an)possui uma

subsequência convergindo para L.

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Teorema. Toda sequência limitada possui alguma

subsequência convergente.

Convergência

Considere a sequência (an)definida por

an =1 − 1 2+ 1 3 − 1 4 + ... + (−1) n+11 n, cuja notação concisa de somatório é

an= n X k +1 (−1)k +11 k, com n ∈ N

Vamos analisar a convergência da sequência formada pelas somas parciais dessa série.

Convergência

Essa sequência tem o jeitão de uma sequência convergente, mas, como provar que é convergente se, para isso, precisamos ter, antes, o "candidato"a limite?

Convergência

Foi para este tipo de situação, em que uma sequência parece convergir mas, por outro lado, não há uma opção razoável para o limite, que B. Bolzano e A. L. Cauchy conceberam a idéia de garantir a convergência de uma sequênciasem precisar determinar, antes, seu limite.

Sequência de Cauchy

Dizemos que uma sequência (an)qualquer é deCauchy se,

dado ε > 0, existir n0∈ N tal que |an− am| < ε, para todos

n, m ≥ n0.

Critério de Cauchy

Teorema. Uma sequência é convergente se, e somente se, é

de Cauchy.

Exercício. Seja (an)uma sequência tal que |an+1− an| ≤ 2−n

para todo n. Mostre que (an)é de Cauchy.

Séries Infinitas

Dada a série infinita

a1+a2+a3+ ... +an+ ...

definimos

S₁=a₁, S₂=a₁+a₂, S₃=a₁+a₂+a₃,etc. como as somas parciais.

Designamos por Sna soma dos primeiros n elementos da

sequência (an)que é chamada a soma parcial ou reduzida de

ordem n associada a essa sequência:

Sn=a1+a2+a3+ ... +an+ n X j=1 aj 137 / 190

Sn forma uma sequência infinita, que é, por definição, asérie

de termos an.

Se a sequência Snconverge para um número S, definimos a

soma infinita como sendo esse limite:

a1+a2+a3+ ... +an+ ... =S = lim n X j=1 aj = ∞ X n=1 an 139 / 190

Teorema. Se uma série converge, seu termo geral tende a

zero.

Série geométrica. A série geométrica de razão q é dada por 1 + q + q2+ ... = ∞ X n=0 qn

Caso |q| < 1 a série converge e sua soma é 1 1 − q. A série diverge para |q| ≥ 1

Série harmônica. chama-se série harmônica à série ∞ X n=1 1 n =1 + 1 2+ 1 3+ 1 4 + 1 5+ ...

Embora o seu termo geral tenda a zero, a série harmônica é divergente.

Teorema (Critério de convergência de Cauchy). Uma

condição necessária e suficiente para que uma sérieP an seja

convergente é que dado qualquer ε > 0, exista N tal que, para todo inteiro positivo p,

n > N ⇒ |an+1+an+2+ ... +an+p| < ε.

Teorema (Teste de comparação). SejamP aneP bnduas

séries de termos não negativos, a primeira dominada pela segunda, isto é, an≤ bnpara todo n. Nessas condições

podemos afirmar:

a)P bnconverge ⇒P anconverge eP an≤P bn;

b)P andiverge ⇒P bndiverge.

Exemplos

1) Mostre que a sérieP∞

n=0

1

n! converge. 2) Mostre que a sérieP∞

n=1 1 n2 converge. 3) A sérieP∞ n=1 15n +√n2_{− 1} 5n3_+2n√_{n + 1 − 17} é convergente. 145 / 190

Teorema (Teste da razão). SejaP an uma série de termos

positivos tal que existe o limite do quociente an+1/an. Então, a

série converge se L < 1 e diverge se L > 1, sendo inconclusivo o caso em que L = 1.

Mostre que a sérieP n!

nn é convergente.

Teorema (Teste da integral). SejamP∞

n=1anuma série de

termos positivos f (x ) uma função contínua tal que an=f (n),

para todo n. EntãoP∞

n=1anconverge ⇐⇒

R∞

1 f (x )dx

converge.

1) Mostre que a p-sérieP∞ n=1 1 np converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1. 2) Determine se a sérieP∞ n=2 ln n n é convergente ou divergente. 149 / 190

Diz-se que uma sérieP anconverge absolutamente se a

sérieP |an| é convergente.

Pode acontecer queP anseja convergente eP |an|

divergente. Neste caso dizemos que a sérieP ané

condicionalmente convergente.

Teorema. Toda série absolutamente convergente é

convergente.

Prove que a sérieP∞ n=1 sen3n2 n2₋√_{n + 9} é absolutamente convergente. 153 / 190

Continuidade

Definições:

1)Ponto interior. Dizemos que x é ponto interior de um dado

conjunto C se x ∈ (a, b) ⊂ C.

2)Interior de um conjunto. O interior de um conjunto C é

formado por todos os seus pontos interiores.

3)Conjunto Aberto. Dizemos que um conjunto C é aberto se

todo ponto de C é interior a C.

4)Vizinhança perfurada. V_ε0(a) = Vε− {a}.

5)Ponto de acumulação. Um número a é dito ponto de

acumulação de um conjunto C se toda vizinhança de a contém infinitos elementos de C. Isso equivale a dizer que dado ε > 0, V_ε0(a) contém algum elemento de C.

Dado A = {1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...}, o conjunto dos pontos de acumulação de A é A0 = {0}

6)Ponto isolado. Um ponto x de um conjunto C diz-se isolado

se não for ponto de acumulação de C. Isso equivale a dizer que existe ε > 0, V_ε0(a) não contém qualquer elemento de C. Chama-sediscreto todo conjunto cujos elementos são todos

isolados: A = 1 2, 2 3, 3 4, ..., n n + 1, ...  156 / 190

7)Ponto aderente. O ponto x é aderente ao conjunto C, se

qualquer vizinhança de x contém algum elemento de C. 8)Fecho de um conjunto. O conjunto dos pontos aderentes

ao conjunto C é chamado fecho de C. Denotamos C. a) O fecho de (a, b) é [a, b]

b) O fecho de Q é R

9)Conjunto fechado. Um conjunto C é fechado quando ele

coincide com seu fecho.

Definição. Dada uma função f com domínio D, seja a um

ponto de acumulação de D. Diz-se que um número L é o limite de f (x ) com x tendendo a a se, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que

x ∈ D, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x ) − L| < ε. Escreve-se: limx →af (x ) = L, f (x ) → L com x → a.

Definição. Diz-se que a função f é contínua no ponto x = a de

D se existir o limite de f (x ) com x tendendo a a e esse limite for igual a f (a); diz-se que f é contínua, simplesmente, se ela for contínua em todos os pontos desse domínio.

Propriedades dos limites

Teorema. Se uma função f com domínio D tem limite L com

x → a, então |f (x )| tem limite |L|. Em particular, se f é contínua em x = a, então |f (x )| também é contínua nesse ponto, isto é, limx →a|f (x)| = |f (a)|.

Propriedades dos limites

Teorema. Se uma função f com domínio D tem limite L com

x → a, e se A < L < B, então existe δ > 0 tal que x ∈ V_δ0(a) ∩ D ⇒ A < f (x ) < B.

Corolário. Se uma função f com domínio D tem limite L com

x → a, então existe δ > 0 tal que f (x ) é limitada em V_δ0(a) ∩ D.

Corolário. Se uma função f com domínio D tem limite L 6= 0

com x → a, então existe δ > 0 tal que,

x ∈ V_δ0(a) ∩ D ⇒ f (x ) > L/2 se L > 0 e f (x ) < L/2 se L < 0; ou seja, |f (x )| > |L|/2 em ambos os casos.

Teorema. Se duas funções f e g com o mesmo domínio D têm

limites com x → a, então

a) f (x ) + g(x ) tem limite e lim[f (x ) + g(x )] = lim f (x ) + lim g(x ); b) sendo k constante, kf (x ) tem limite e lim[kf (x )] = k lim f (x ); c) f (x )g(x ) tem limite e lim[f (x )g(x )] = lim f (x ). lim g(x ); d) se, além das hipóteses feitas, lim g(x ) 6= 0, então f (x )g(x ) tem limite e lim f (x )

g(x ) =

lim f (x ) lim g(x ).

Corolário. Se f e g são funções contínuas em x = a, então

são também contínuas em x = a as funções f + g, fg, kf , onde k é uma constante qualquer; e é também contínua em x = a a função f /g, desde que g(a) 6= 0.

Teorema. Uma condição necessária e suficiente para que uma

função f com domínio D tenha limite L com x → a é que, para toda sequência xn∈ D − {a}, xn→ a, se tenha f (xn) →L. Em

particular, f é contínua num ponto a se, e somente se, para toda sequência xn∈ D − {a}, xn→ a, se tenha f (xn) →f (a).

Exercício. Seja f : D → R contínua tal que f (x0) <c para

algum x0∈ D. Mostre que existe um δ > 0 tal que para todo

x ∈ D com |x − x0| < δ tem-se f (x) < c.

O resultado anterior é conhecido comopermanência de sinal da função contínua. Resultado análogo é válido para o caso

em que f (x0) >c.

Corolário. Uma condição necessária e suficiente para que

uma função f com domínio D tenha limite com x → a é que f (xn)tenha limite qualquer que seja a sequência xn∈ D − {a},

xn→ a.

Teorema (critério de convergência de Cauchy). Uma

condição necessária e suficiente para que uma função f (x ) com domínio D tenha limite com x → a é que, dado qualquer ε >0, exista δ > 0 tal que

x , y ∈ V_δ0(a) ∩ D ⇒ |f (x ) − f (y )| < ε

Teorema (continuidade da função composta). Sejam f e g

funções com domínios Df e Dg respectivamente, com

g(Dg) ⊂Df. Se g é contínua em x0e f é contínua em

y0=g(x0), então h(x ) = f (g(x )) é contínua em x0.

Funções contínuas em intervalos fechados

Teorema do Valor Intermediário. Seja f uma função contínua

num intervalo I = [a, b], com f (a) 6= f (b). Então, dado qualquer número d compreendido entre f (a) e f (b), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = d . Em outras palavras, f ([a, b]) contém o intervalo fechado com extremidades f (a) e (b).

Mostre que existe uma raiz real de x5+4x3− 2x2_{+x − 3 = 0}

entre 0 e 1.

Em outras palavras, oTVI diz que:

A imagem direta por uma função contínua de qualquer intervalo contido no domínio da função é um intervalo.

Corolário. Seja f : I → R contínua num intervalo I. Então f (I) é

um intervalo.

Exemplos.

1) Considere f (x ) = senx , f leva o intervalo (0, 2π) em [−1, 1] e leva [0,3π₂)em (−1, 1].

2) A função f (x ) = 1

x2₊₁ leva [0, ∞) em (0, 1]

Exercício. Mostre que todo polinômio real p : R → R,

p(x ) = anxn+an−1xn−1+ ... +a1x + a0de grau ímpar possui

uma raiz real.

Lema. Toda função contínua num intervalo limitado e fechado

I = [a, b] é limitada nesse intervalo.

Teorema. Toda função contínua num intervalo limitado e

fechado I = [a, b] assume valores máximo e mínimo nesse intervalo.

Teorema. Seja f uma função contínua num intervalo limitado e

fechado I = [a, b]. Então f (I) também é um intervalo limitado e fechado [m, M] (que pode se reduzir a um ponto), onde m e M são os valores mínimo e máximo, respectivamente, da função f .

Teorema.Toda função f , contínua e injetiva num intervalo I, é

crescente ou decrescente. Sua inversa g, definida em J = f (I), também é contínua.

Cálculo Diferencial

Sejam I ⊂ R, f : I → R e x0∈ I. Dizemos que f é derivável no

ponto x0quando existir o limite

f0(x0) = lim x →x0

f (x ) − f (x0)

x − x0

O limite f0(x0)chama-se aderivada de f no ponto x0.

Geometricamente, a derivada f0(x0)representa ainclinação,

ou coeficiente angular, da reta tangente ao gráfico de f que passa pelos pontos (x0,f (x0))e (x , f (x )).

Em outras palavras, a reta de equação f (x ) = f (x0) +f0(x0)(x − x0)

é, por definição, a reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0,f (x0))cujo coeficiente angular é a derivada de f em x0.

Fazendo x = x0+h, podemos escrever a derivada das seguintes maneiras: f0(x0) =_{x →x}lim 0 f (x ) − f (x0) x − x0 = lim h→0 f (x0+h) − f (x0) h 184 / 190

Derivada lateral à direita

Supondo x0ponto de acumulação à direita de I, definimos

f0(x₀+) = lim x →x₀+ f (x ) − f (x0) x − x0 = lim h→0+ f (x0+h) − f (x0) h

como aderivada lateral à direita da função f no ponto x0

Derivada lateral à esquerda

Supondo x0ponto de acumulação à esquerda de I, definimos

f0(x₀−) = lim x →x₀− f (x ) − f (x0) x − x0 = lim h→0− f (x0+h) − f (x0) h

como aderivada lateral à esquerda da função f no ponto x0

Dizemos que a função f é derivável em x0se, e somente se

suas derivadas laterias nesse ponto existem e são iguais. A função é derivável no ponto x0à esquerda e à direita, se

existirem f0(x₀−)e f0(x₀+)respectivamente.

Exemplos

1) Mostre que f (x ) = |x | não é derivável em x = 0.

2) Mostre que a função f (x ) =√x para x ≥ 0 não é derivável à direita em x = 0.

3) Mostre que se f e g são deriváveis num ponto x0, então f .g

também é derivável e vale [f .g]0(x ) = f0(x0).g(x0) +f (x0).g0(x0).

Teorema. Toda função derivável num ponto x0é contínua

nesse ponto.

A recíproca do teorema é verdadeira?