VETOR POSIÇÃO

• VETOR POSIÇÃO

𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘

• VETOR DESLOCAMENTO

Se uma partícula se move de uma posição 𝑟₁ para outra 𝑟₂: ∆𝑟 = 𝑟₂ − 𝑟₁ ∆𝑟 = 𝑥₂ − 𝑥₁ 𝑖 + 𝑦₂ − 𝑦₁ 𝑗 + 𝑧₂ − 𝑧₁ 𝑘

• VETORES VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE INSTANTÂNEA 𝑣_𝑚 = ∆𝑟 ∆𝑡 𝑣 = 𝑑𝑟 𝑑𝑡

Exemplo 1

Um veículo robótico está explorando a superfície de Marte. O módulo de aterrissagem é a origem do sistema de coordenadas e a superfície do planeta é o plano xy. O veículo, que será representado por um ponto, possui componentes x e y que variam com o tempo de acordo com:

x = 2 m – (0,25 m/s²)t² y = (1 m/s)t + (0,025 m/s³)t³

a) Calcule as coordenadas do veículo e sua distância do módulo de aterrissagem no instante t = 2s.

b) Calcule o vetor deslocamento e o vetor velocidade média no intervalo de tempo entre 0 s e 2 s.

c) Expresse a velocidade instantânea em t = 2 s, usando componentes e também em termos do módulo, direção e sentido.

• VETORES ACELERAÇÃO MÉDIA E ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA 𝑎_𝑚 = ∆𝑣 ∆𝑡 𝑎 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 Exemplo 2 Para o exemplo 1:

a) Calcule os componentes do vetor aceleração média no intervalo de tempo entre 0 s e 2 s.

b) Ache a aceleração instantânea para t = 2s.

• COMPONENTES PERPENDICULARES E PARALELOS DA ACELERAÇÃO

Componente Paralelo:

→ Há mudança no módulo da velocidade, mas não em sua direção;

→ O móvel se move em linha reta, com velocidade escalar variável.

Componente Perpendicular:

→ Há mudança na direção da velocidade, mas não em seu módulo;

→ O móvel se move em trajetória curva, com velocidade escalar constante.

Exemplo 3: encontre os componentes paralelo e perpendicular da aceleração em t = 2s para os exemplos anteriores.

• MOVIMENTO DE PROJÉTEIS

Um projétil é um corpo lançado no ar, o qual realiza uma trajetória curvilínea, devido sua velocidade inicial, à aceleração da gravidade e à resistencia do ar.

a_x = 0 a_y = -g

Considerando o instante do lançamento do projétil:

No eixo vertical: 𝒈//𝒗_𝟎𝒚

→ altera o módulo da velocidade, mas não sua direção;

→ ocorre movimento na vertical, com velocidade variando uniformemente → queda livre

𝑣 = 𝑣₀ + 𝑔𝑡 𝑦 = 𝑦₀ + 𝑣₀𝑡 + 1

Considerando o instante do lançamento do projétil:

No eixo horizontal: 𝒈 ⊥ 𝒗_𝟎𝒙

→ muda a direção da velocidade do projétil, mas não seu módulo;

→ movimento com velocidade constante → MRU 𝑣 = 𝑣_0𝑥

* Trajetória do projétil:

Componentes de 𝑣 ₀:

v

= v

cosθ

v

= v

senθ

Para cada eixo:

𝑥 = 𝑥₀ + 𝑣_0𝑥𝑡 → 𝑥 = (𝑣₀𝑐𝑜𝑠𝜃₀)𝑡 (I) 𝑦 = 𝑦₀ + 𝑣_0𝑦𝑡 − 1

2𝑔𝑡² → 𝑦 = (𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃0)𝑡 − 1

Isolando t em (I) e substituindo em (II): 𝑡 = 𝑥 𝑣₀𝑐𝑜𝑠𝜃₀ 𝑦 = 𝑣₀𝑠𝑒𝑛𝜃₀. 𝑥 𝑣₀𝑐𝑜𝑠𝜃₀ − 1 2 𝑔 𝑥 𝑣₀𝑐𝑜𝑠𝜃₀ 2 𝑦 = 𝑡𝑔𝜃₀𝑥 − 𝑔 2𝑣₀²𝑐𝑜𝑠²𝜃₀ 𝑥²

* Alcance Horizontal R:

Indica a distância horizontal entre a posição final do projétil e o seu ponto de lançamento

Horizontal: 𝑅 = 𝑣₀𝑐𝑜𝑠𝜃₀𝑡 → 𝑡 = 𝑅 𝑣₀𝑐𝑜𝑠𝜃₀ Vertical: 0 = 𝑣₀𝑠𝑒𝑛𝜃₀𝑡 − 1 2 𝑔𝑡²

Substituindo o tempo na segunda equação: 0 = 𝑣₀𝑠𝑒𝑛𝜃₀. 𝑅 𝑣₀𝑐𝑜𝑠𝜃₀ − 1 2𝑔 𝑅 𝑣₀𝑐𝑜𝑠𝜃₀ 2 0 = 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃0 𝑐𝑜𝑠𝜃₀ − 1 2 𝑔 𝑅² 𝑣₀²𝑐𝑜𝑠²𝜃₀

𝑔𝑅² 2𝑣₀²𝑐𝑜𝑠²𝜃₀ = 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃₀ 𝑐𝑜𝑠𝜃₀ 𝑅 = 2𝑣0²𝑐𝑜𝑠²𝜃0 𝑔 . 𝑠𝑒𝑛𝜃₀ 𝑐𝑜𝑠𝜃₀ 𝑅 = 𝑣0² 𝑔 . 2𝑐𝑜𝑠𝜃0𝑠𝑒𝑛𝜃0

Usando a identidade trigonométrica 2senθ₀cosθ₀=sen2θ₀: 𝑅 = 𝑣0² 𝑔 𝑠𝑒𝑛2𝜃0 R_máx → θ₀ = 45o _R mín → θ0 = 0 ou θ0 = 90o

Exemplo 4

Um motociclista maluco se projeta para fora da borda de um penhasco. No ponto exato da borda, sua velocidade é horizontal e possui módulo igual a 9 m/s. Ache a posição do motociclista, a distância da borda do penhasco e a velocidade depois de 0,5 s.

Exemplo 5

Uma bola de beisebol deixa o bastão do batedor com uma velocidade inicial v₀ = 37 m/s com um ângulo inicial θ₀ = 53,1o _{em um local onde g = 9,8 m/s².}

a) Ache a posição da bola e o módulo, a direção e o sentido de sua velocidade para t = 2s.

b) Calcule o tempo que a bola leva para atingir a altura máxima de sua trajetória e ache a altura h desse ponto.

c) Ache o alcance horizontal R, ou seja, a distância entre o ponto inicial e o ponto onde a bola atinge o solo.

• MOVIMENTO CIRCULAR

A trajetória circular é causada pelo componente da aceleração perpendicular à velocidade, responsável por alterar sua direção.

* Movimento Circular Uniforme (MCU):

A velocidade escalar do móvel é constante, pois nesse caso não existe o componente paralelo da aceleração.

Considere uma partícula em dois instantes em um MCU:

Da definição de ângulo, θ = S/R, temos para cada um dos triângulos semelhantes que:

𝜃 = ∆𝑆 𝑅 e 𝜃 = ∆𝑣 𝑣 , onde v = v1 = v2 Portanto: ∆𝑣 𝑣 = ∆𝑆 𝑅 → ∆𝑣 = 𝑣 𝑅 ∆𝑆

Dividindo a equação por ∆t: ∆𝑣 ∆𝑡 = 𝑣 𝑅 ∆𝑆 ∆𝑡

Tomando o limite para ∆t → 0, temos: lim ∆𝑡→0 ∆𝑣 ∆𝑡 = 𝑣 𝑅 ∆𝑡→0lim ∆𝑆 ∆𝑡 𝑎 = 𝑣 𝑅 𝑣

Sendo a velocidade instantânea constante no MCU: 𝑎 = 𝑣²

𝑅

Como a aceleração é radial em todo o MCU, denomina-se a = a_rad. Assim:

𝑎_𝑟𝑎𝑑 = 𝑣² 𝑅

Exemplo 6

O carro Aston Martin V8 Vantage possui “aceleração lateral” de 0,96g, o que equivale a 0,96 . 9,8 m/s² = 9,4 m/s². o que representa a aceleração centrípeta máxima sem que o carro deslize para fora de uma trajetória circular. Se o carro se desloca a uma velocidade constante de 40 m/s (cerca de 144 km/h), qual é o raio mínimo da curva que ele pode aceitar?

Exemplo 7

Em um brinquedo de parque de diversões, os passageiros viajam com velocidade constante em um círculo com raio 5 m. Eles fazem uma volta completa no círculo em 4 s. Qual é a aceleração deles?

• VELOCIDADE RELATIVA

Geralmente a velocidade é medida a partir de um referencial considerado em repouso, como o solo ou alguma placa ou marco preso a ele. No entanto, é possível medi-la para referenciais também em movimento, como faz um motorista ao ultrapassar um veículo a sua frente. Nesse exemplo, a velocidade do motorista em relação à estrada possui certo valor, porém em relação ao carro da frente observa-se um módulo diferente.

* Velocidade Relativa em Uma Dimensão:

Se uma mulher caminha com velocidade de 1 m/s em um trem a 3 m/s, qual a velocidade da mulher? Para responder essa pergunta, é necessário conhecer o referencial para o qual foi medido cada velocidade e qual o sentido do deslocamento da mulher e do trem.

Mulher e trem se deslocam para direita:

Em relação ao solo:

v = v_m + v_t = 4 m/s Em relação ao trem:

Mulher se desloca para esquerda e trem para direita:

Em relação ao solo:

v = v_t – v_m = 2 m/s Em relação ao trem:

Exemplo 8

Você dirige em uma estrada retilínea do sul para o norte com velocidade constante de 88 km/h. Um caminhão se aproxima em sentido contrário com velocidade constante de 104 km/h.

a) Qual a velocidade do caminhão em relação à você? b) Qual sua velocidade em relação ao caminhão?

c) Como as velocidades relativas variam depois que o caminhão cruza por você?

* Velocidade Relativa em Duas ou Três Dimensões:

Nesse caso, estende-se o conceito de velocidade relativa para mais dimensões, utilizando-se a notação vetorial para um espaço bidimensional ou tridimensional.

Exemplo 9

Voando com vento ortogonal: a bússola de um avião mostra que ele se desloca do sul para o norte e seu indicador de velocidade do ar mostra que ele está se movendo no ar com velocidade igual a 240 km/h. Se existe um vento de 100 km/h de oeste para leste, qual é a velocidade do avião em relação à Terra?

REFERÊNCIAS

Young & Freedman. Sears & Zemansky – Física I: Mecânica. 12ª edição, editora Addison Wesley, São Paulo, 2008.

As imagens e exemplos foram extraídas da fonte acima ou criadas pelo autor.