Escola Básica e Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva

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Teste de MATEMÁTICA A 12.º Ano

1.ª PARTE

Para cada uma das seguintes questões de escolha múltipla, selecione a resposta correta de entre as alternativas que lhe são apresentadas e escreva-a na sua folha de prova. Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo acontecendo em caso de resposta ambígua.

1. Sejam f a função, de domínio , definida por

f

(x)



e

2xe

g a função representada na figura ao lado.

Tal como a figura sugere, o gráfico de

g interseta o eixo

Oy no ponto de ordenada

2

. A reta t é tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa 0. A reta t interseta o eixo

Oxno ponto de abcissa



4

. Qual o valor de (0)

'

f g       ? (A) 0 (B) 5 8  (C) 3 4 (D) 9 8 

2. Sejam m e n duas funções tais que:



m n





'( )

x



2 '( ),

n x

 

x

.

Em qual das figuras podem estar representadas os gráficos das funções m e n?

O x y n m O _x y n m O x y n m O x y n m (A) (B) (C) (D)

3. Seja h uma função contínua em .

O gráfico de h tem como assíntota oblíqua a bissetriz dos quadrantes pares. Sabe-se que lim ( ) 0

xh x 

Qual das seguintes equações tem necessariamente uma solução?

(A) h x( )0 (B) h x( )1 (C) h x( ) 3 (D)

( )

ln

1

2 h x

  

 

 

Duração: 90 minutos Março/ 2016

Nome ______________________ N.º _ T: __

Classificação

____________

O Prof.__________________ (Luís Abreu) 2 O _x y g -4

(2)

4. Considere a função

f, representada na figura ao lado, cujo gráfico admite como assíntotas as

retas de equações y0 e y2.

As assíntotas do gráfico da função

1 f

são: (A) y0 e y2 (B) 1 1 2 x  e y (C) 1 , 1 0 2 x  y e y (D) x2 e y 1

5. Considere as funções h e j cujos gráficos estão parcialmente representados nas figuras. As retas de equações y2 e x0são assíntotas dos gráficos de h e j, respetivamente.

O valor de



0



lim ( )

lim

( ) 2

x x

j x

h x

  



é: (A) 0 (B) 2 (C)



(D)



2.ª PARTE

Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando os cálculos efetuados e as justificações necessárias. Quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se o valor exato.

1. Considere a função, real de variável real, definida por

f x

( )



e

3x



5 e

x

1.1. Represente na forma de intervalo de números reais os valores que verificam a condição ( ) 0

f x  .

1.2. Determine o valor exato de f( ln 2) .

1.3. Na figura está parte da representação gráfica da função f e uma reta horizontal r de equação y 3.

Os pontos E e D são os pontos de interseção do gráfico da função

f e da reta

r. Os pontos

D e

F têm a mesma

abcissa.

Recorrendo, sempre que necessário, às potencialidades gráficas da calculadora, determine com aproximação às décimas, a área do trapézio



OEDF



, em que

O

representa a origem do referencial.

Nota: Nas coordenadas dos vértices em que é necessário fazer arredondamentos, utilize três casas decimais.

O _x y f E D F -2 1 r O x y f -1 2 O _x y j 2 O x y h

(3)

2. Considere a função g , de domínio

\ 0

 

, definida por

1

0 ln(

1)

( )

e

x

0 se x

x

g x

x

se x



_



_

 









2.1. Estude a função g quanto à existência de assíntotas do seu gráfico, escrevendo as suas equações, caso existam.

2.2. Escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa



1

. 2.3. Mostre que a equação g x( )lnx tem pelo menos uma solução no intervalo

 

2,3

.

2.4. Utilize as capacidades gráficas da calculadora para determinar a solução referida na alínea anterior. Apresente o resultado com aproximação às décimas.

Na resposta deve incluir o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora, devidamente identificados.

3. Seja j a função definida por: j( )x  x | ln |x Caracterize a função derivada de j.

4. Determine, se existir, o seguinte limite:

2 ln 3

9 lim

ln 3

x x

e

x









5. Seja f uma função de domínio , cujo gráfico admite uma assíntota paralela à bissetriz dos quadrantes pares. Seja h uma função de domínio tal que:

1 ( ) ( ) 2 ln 1 x h x f x x x _ _     __  _ _      

Sabendo que o gráfico de h admite uma assíntota não vertical, prove que ela é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Fim

Cotações:

Questões 10 pontos cada

questão. Total : 1.1. 1.2. 1.3. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4 3. 4. 5. Total

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Formulário

Comprimento de um arco de circunferência

. (

r





amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio)

Áreas de figuras planas

Losango:

2

Diagonal maiorDiagonal menor

Trapézio:

2

Base maior Base menor Altura





Polígono regular: Semiperímetro



Apótema Sector circular: 2 2 r  (α – amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio)

Áreas de superfícies

Área lateral de um cone:



rg

(r – raio da base; g – geratriz)

Área de uma superfície esférica: 4



r

2

(r – raio)

Volumes

Pirâmide:1

3Área da base



Altura Cone: 1

3Área da base



Altura Esfera: 4 3

3r (r – raio)

Progressões

Soma dos n primeiros termos de uma progressão

 

u_n : Progressão aritmética: 1 2 n u u n   Progressão geométrica: ₁ 1 1 n r u r    Trigonometria

sen (a + b) = sen a .cos b + sen b. cos a cos (a + b) = cos a .cos b − sen a. sen b tg (a + b) = 1 . tga tgb tga tgb   Complexos (



cis )



n 



ncis n ( . )







2 , k 0,...,n-1 n _cis n _cis k n         Probabilidades 1 1

...

n n

x p





 

2 2 1 1 (x ) p ... (x_n ) p_n



 



  



Se

X

é

N(μ,σ)

, então: ( ) 0,6827 P

 

  X  

 

 ( 2 2 ) 0,9545 P







 X  





 ( 3 3 ) 0,9973 P







 X  





 Regras de Derivação



u v







 

u



v

'



u×v







u ×v u×v







2

u

u × v u× v

v



_

_

_

  

 

 

1 (un)n×un ×u (n )



sen u







u ×



cos

u



cos

u





 

u × sen u







₂ cos u tg u u   

 

u u

e





u × e



(au)u × a × u lna (a \{1})



ln u



u u    (log ) ln a u u u× a    (a \{1}) Limites notáveis

1 lim 1

n

e

n



 











0 lim 1 x x sen x   0

1 lim

1

x x

e

x







0 ln( 1) lim 1 x x x   _ ln lim 0 x x x   lim (p ) x p x e x      

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