MINISTÉRlO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

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MINISTÉRlO DA EDUCAÇÃO

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO

Coordenação do Curso das Engenharias de Eletro Mecânica, Elétrica e Produção Civil

Prof .Jorge Roberto Grobe 11/09/2014 14:13:08 Calculo Numérico

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CAPITULO 5

5.0 APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES 5.1 Retas de Mínimos Quadráticos

Segundo LAY (1999, p.381), a relação mais simples entre duas variáveis x e y é uma reta y=Bo+B1x. Dados experimentais fornecem pontos (x1,y1)...(xn,yn) que ao serem colocados em um gráfico parecem próximos de uma reta. O objetivo é determinar os coeficientes, Bo e B1 que tornem a reta mais próxima possível desses pontos.

Sendo que Bo e B1 são fixos e a reta considerada é y=Bo+B1x, cada ponto dado (xj,yj) corresponde um ponto (xj, Bo+B1xj). A variável yj de valor observado de y e Bo+B1xj de valor previsto de y( determinado pela reta) é a diferença entre um valor y observado e um previsto chamado de resíduo. A reta de mínimos quadráticos é a reta y=Bo+B1x que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos, é conhecida como reta de regressão de y em x, por que supõe que qualquer erro nos dados estejam apenas nas coordenadas y.

Se todos os pontos dados estiverem na reta, os parâmetros Bo e B1 satisfazem as equações:

Para KOLMAN (1998, p.366) , um sistema linear é dito inconsistente quando o sistema é ímpossível e consistente quando o sistema é possível. O modelo linear geral Para LAY (1999, p.383) , em algumas aplicações é necessário ajustar uma curva diferente de uma reta. A equação matricial tem a forma de XB=y. O vetor residual Є como Є=yXB e pode ser escrito : y=XB + Є valor de y valor de y previsto observado B_oB₁x₁=y₁ B_oB₁x₂=y₂ ⋮ ⋮ ⋮ B_oB_nx_n=y_n

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2 Qualquer equação desta forma é conhecida como modelo linear. Uma vez determinados X e y, o objetivo é minimizar o comprimento Є, o que coincide encontrar a solução de mínimos quadráticos. A solução de mínimos quadráticos B é a solução das equações normais é através de XB=y .Aplicando nesta expressão XB=y , XT _{, obtémse :} XT_XB=XT_{y ( resolução dos métodos dos mínimo quadráticos)} EXERCICIOS 1) HEY (1990), determine a equação geral da reta r que passa pelos pontos A e B: a) A(1;2) e B(3;1) solução 1:  y yo=m (xxo)  m=y2−y1 x₂−x₁ coeficiente angular da reta solução 2:

[

x x1 y1 y_{y y1 y2 y}

]

=0 solução 3: BoB1x1= y1 BoB1x2= y2 escrevendo o sistema linear em função dos pontos A(1;2) e B(3;1) Bo1B1=−2 Bo3B1=−1 calculase Bo e B1. 2) Foi feita uma experiencia sobre as temperaturas de um fluido em um recipiente projetado recentemente. Foram obtidos os seguintes dados: Tempo ( em minutos) 0 2 3 5 9 Temperatura (o_F) ₁₈₅ ₁₇₀ ₁₆₆ ₁₅₂ ₁₁₀ a) determine a reta de mínimos quadrados b) estime a temperatura para x=1 , 6, 8 minutos. c) estime o instante no qual a temperatura do fluido era de 1600 _F.

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3 3) LAY (1999), encontre a equação y = Bo + B1 x da reta dos mínimos quadráticos que melhor se ajusta aos dados: a) (0;1) (1;1) (2;2) (3;2) R: y=0,9 +0,4 x b) (1;0) (2;1) (4;2) (5;3) R: c) (1;0) (0;1)(1;2)(2;4) R:y=1,1+1,3x O POLINOMIO AJUSTADO PELOS MÍNIMOS QUADRÁTICOS KOLMAN (1998, p.371), o procedimento para encontrar o polinomio de mínimos quadráticos y=Bmxm _+Bm1xm1_{+...+B1x +Bo que melhor se ajusta aos dados (x1;y1) (x2;y2)...} (xn; yn), onde m≤ n1 e pelos menos m+1 dos xi, são distintos que melhor se ajuste a esses dados. Como na reta ajustada por minimos quadráticos, sendo que alguns pontos não pertencem ao gráfico do polinomio de minimo quadráticos, temse:

y_i=B_mx_imB_m−1x_im−1⋯B₁x_id_i para i=1,2,..,n b=

[

y1 y2 y3 ⋯ yn

]

A=

[

x₁m x₁m−1 ⋯ x₁2 x₁ x₂m x₂m−1 ⋯ x₂2 x₂ x_nm x_nm−1 ⋯ x_n2 x_n 1 1 1

]

x=

[

B_m B_m−1 ⋮ B₁ B₀

]

d =

[

d₁ d₂ ⋮ d_n

]

escrevese as n equações em forma matricial como: b=Ax+d ou Ax+d=b

Como no caso da reta de minimo quadráticos, uma solução x do sistema normal AT Ax= ATb é uma aproximaçao por mínimos quadráticos para Ax=b. Sabemos que ∥b− A x∥=∥d∥ é mínimo.

COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO

Para BARROSO (1987, p.330 , p.334), um modo de medir a qualidade do ajuste é atraves do R2_{, quanto mais proximo o coeficiente estiver da unidade [1;1] , melhor sera o ajuste.}

(4)

4 R2=

[

∑

x_iy_i−

∑

x_i

_∑

y_i n

]

2

[

∑

x_i2−



[

∑

xi

]

2 n



]

[

∑

yi 2 −



∑

yi



2 n

]

Ou R 2₌₁₋

∑

yi− y  2

∑

yi2−

∑

yi 2 n EXERCICIOS 4) Encontre a equação y =Bo +B1x da reta dos mínimos quadrados que melhor se ajusta aos dados. a) x y 2 3 3 2 5 1 6 0 b) calcule o coeficiente de determinação R 2 =1−

∑

yi− y  2

∑

yi2 −

∑

yi 2 n 5) Foi feita uma experiencia sobre as temperaturas de um fluido em um recipiente projetado recentemente. Foram obtidos os seguintes dados: Tempo ( em minutos) 2 3 5 Temperatura (o_F) ₇ ₁₆ ₁₅ a) determine um polinômio de grau dois pelos mínimos quadrados b) estime a temperatura para x=4 minutos.

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5 c) estime o instante no qual a temperatura do fluido era de 90 _F. 6) LAY ( 1999, p.386) Um determinado experimento produziu dados (1; 1,8) (2; 2,7) (3; 3,4) (4; 3,8) (5; 3,9). Descreva o modelo que ajusta por mínimos quadráticos esses pontos a uma função da forma y=B1x+B2x2_{. Uma tal função pode aparecer, por exemplo, como a receita} das vendas de x unidades de um produto quando a quantidade oferecida para a venda afeta o preço do produto. 7) KOLMAN (1998, p 373), encontre um polinômio de mínimos quadráticos de grau dois para os pontos dados: a) (0; 3,2) (0,5; 1,6) (1; 2) (2; 0.4) (2,5; 0,8) (3; 1,6) (4; 0,3) (5; 2,2) Resposta: y=0,5718 x2_{3,1314x+3,4627 R^2=0,8890} 8) LAY (1999, p.387) , A pressão arterial p ( mm de mercúrio ) de uma criança saudável e seu peso w ( kg) estão relacionados ( aproximadamente) pela equação) Bo+B1 ln w=p. Use os dados experimentais para estimar a pressão arterial de uma criança saudável pesando 45 kg. W 20 28 37 51 59 ln W 3 3,33 3,61 3,93 4,08 p 91 98 103 110 112

9) LAY ( 1999, p.387), suponha que substâncias radioativas A e B tem constantes de decaimento 0,02 e 0,07, respectivamente. Se uma mistura dessas substâncias, no instante t=0, contém Ma gramas de A e Mb gramas de B, então um modelo para a quantidade total y de mistura presente no instante t é y=M_ae−0,02 t

M_be−0,07 t . Suponha que as quantidades iniciais Ma e Mb são desconhecidas mas que um cientista conseguiu medir a quantidade total presente em diversos instantes e anotou os seguintes valores para : t 10 11 12 13 14 y 21,34 20,68 20,05 18,87 18,30 a) descreva o modelo linear y= Bo+B1x que pode ser utilizado para se estimar Ma e Mb. Solução:

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6

● construir um sistema linear a partir de y=M_ae−0,02 tM_be−0,07 t ● fazer uma coluna com as variáveis z1 e z2

● resolve o sistema linear do tipo Ax=b , onde aplicase ATAx=AT b e a matriz A é

coluna de z1 e z2 e b=yi ● A=

[

3,0988443 1,7117186 1.7117186 0,9502018

]

b=

[

78,219885 43,291034

]

● Ma=15,302722 Mb=17,993104 ● y=M_ae−0,02 t_M_be−0,07 t ● y=15,302722 e−0,02 t_17,993104 e−0,07t 10) BURDEN ( 2003, p. 429), considere o conjunto de dados nas três primeiras colunas : Aproximar os dados da forma y=beax _.

passo 1: aplicando logaritmo neperiano nos dois termos y=beax _{, tem se a expressão :}

i xi yi ln(yi) 1 1 5,1 1,6292 2 1,25 5,79 1,7561 3 1,5 6,53 1,8764 4 1,75 7,45 2,0082 5 2 8,46 2,1353 i t yi z1=exp(0,02*t) z2=exp(0,07*t) 1 10 21,34 0,8187 0,4966 2 11 20,68 0,8025 0,4630 3 12 20,05 0,7866 0,4317 4 13 18,87 0,7711 0,4025 5 14 18,3 0,7558 0,3753

i t yi z1=exp(0,02*t) z2=exp(0,07*t) ajustado de y

1 10 21,34 0,8187 0,4966 21,4676

2 11 20,68 0,8025 0,4630 20,6154

3 12 20,05 0,7866 0,4317 19,8089

4 13 18,87 0,7711 0,4025 19,0453

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7 • ln y=ln b + ax . Por analogia a forma linear é y=Bo+B1x , onde y=ln yi , Bo=ln b e a =B1 passo 2: para ajustar os pontos utilizase xi e ln(yi) passo 3: • calculase Bo=1,122 B1=0,5056 através do sistema de equações com (xi ;ln yi) • através da expressão ln y = ln b + a x tem se y=Bo+B1x • fazendo ln b= Bo , então b=e^(1,122) b=3,071 e a=B1=0,5056 • y=3,071e0,5056 x passo 4: Na tabela a seguir estão ajustados os valores de yi em função de xi 11) LAY ( 1999, p.386), um determinado experimento produziu os dados x 1 2 3 y 7,9 5,4 0,9 Descreva o modelo para melhor ajuste desse pontos, no sentido de mínimo quadráticos, a uma função da forma y=Acos(x)+ Bsen(x). solução: ● resolver o sistema linear com as colunas do cos(x) e sen(x) e y. ● A=2,3419416 B=7,4473215 i xi yi ln(yi) ajustado 1 1 5,1 1,6292 5,0917 2 1,25 5,79 1,7561 5,7777 3 1,5 6,53 1,8764 6,5561 4 1,75 7,45 2,0082 7,4395 5 2 8,46 2,1353 8,4419

x cos(x) sen(x) y ajuste de y

1 0,5403 0,8415 7,9000 7,5321

2 0,4161 0,9093 5,4000 5,7972

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8 12) Determine uma função do tipo g  x= x abx que se ajusta a tabela x 404 470 539 600 f(x) 0,59 0,36 0,29 0,23 • Fazer g(x) = 1/f • 1 f = x abx • f =a xb • construir a tabela • • • a=3060,28 • b=9,27 • g  x= x −3060,289,27 x ALGUMAS TRANSFORMAÇÕES

BARROSO(1987,p.339), alguns modelos lineares podem ser transformados em modelos lineares por substituição dos valores de uma ou mais variáveis por funções de várias variáveis.

● y=beax_ln y=ln ab x ● y=abx_ln y=ln alnb  x

x 1/x g f=1/g g chapéu

404 0,00248 0,586 1,706 0,589953

470 0,00213 0,358 2,793 0,362481

539 0,00186 0,292 3,425 0,278373

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9

● y=axb_ln y=ln ab ln x

5.2 CONCEITO DE INTERPOLAÇÃO

Segundo BARROSO (1987, p.152), seja a função y=f(x) dada pela tabela 1, desejase determinar f  x sendo : x ∈ xo , x3 e x≠ xi , i=0,1,2 ,3

Tabela 1 i xi yi 0 xo yo 1 x1 y1 2 x2 y2 3 x3 y3 Para resolver determinase um polinômio interpolador, que é uma apresentação da função tabelada. 5.2.1 INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE Em BARROSO (1987, p.164169) , para obter o polinômio interpolador de grau menor ou igual a n é necessário n+1 pontos distintos. FÓRMULA DE LAGRANGE P_nx =

_∑

i=0 n y_i

_∏

j=0 e j ≠i n x− xj xi− xj Ou constróise um quadro que contenha todas as diferenças e alguns produtos realizados na fórmula de Lagrange: xo x1 x2 xn produtórios

∏

x_i−x_i1 x Dif o=xxo Dif 1=xx1 Dif 2=xx2 Dif n=xxn Prod x

xo xox1 xox2 xoxn Prod o

x1 x1x0 x1x2 x1xn Prod 1

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10 xn xnxo xnx1 xnx2 Prod n P x=yo Prodx Difo prodoy1 Prodx Dif1 prod1y2 Prodx Dif2 prod2..yn Prodx Difn prodn EXERCICIOS 12) Na tabela temse a máxima demanda diária de energia elétrica numa cidade.

Datas (x) 21 jan (x=0) 31 jan (x=1) 10 fev (x=2) 20 fev (x=3) Demanda (Mw)

(y) 10 15 20 13

a) determinar o polinômio de Lagrange de grau 3 que interpola os pontos. b) determinar a demanda média : _{Demanda Média:}

∫

b af  x b−a entre 21 janeiro e 20 fevereiro 13) BARROSO (1987, p.189), a velocidade v (em m/s) de um foguete lançado do solo foi medida quatro vezes , t segundos após o lançamento , e os dados foram registrados na tabela. Calcular usando todos os pontos, qual será a velocidade aproximada do foguete após 25 s do lançamento. Tempo(s) 0 8 20 30 45 Velocidade(m/s) 0 52,032 160,450 275,961 370,276 resposta: a velocidade no tempo em 25 s é 217.4961 m/s 14) BURDEN (2003, p.107), utilize o polinômio interpolador de Lagrange de grau 3 ou menor e a aritmética com truncamento em 4 dígitos para aproximar cos 0,75 utilizando os valores . Cos 0,698 =0,7661 cos 0,733 =0,7432 cos 0,768 =0,7193 cos 0,803 =0,6946 15) BURDEN (2003, p.107), utilize o polinômio interpolador de Lagrange de grau 3 ou menor e a aritmética com truncamento em 4 dígitos para aproximar cos 0,75 utilizando os valores .

(11)

11 Cos 0,698 =0,7661 cos 0,733 =0,7432 cos 0,768 =0,7193 cos 0,803 =0,6946 5.2.2 Fórmula de Newton para interpolação com diferenças divididas Para BARROSO (1987, p. 179) , os n+1 pontos distintos (xi,yi) , i=0,1,2,...,n e Pn(x) o polinomio interpolador de grau n que conterá estes pontos. A forma sintética usando as diferenças divididas : P_nx =y_o

∑

i=1 n iy_o

_∏

j=0 i−1 x−x_j Em BARROSO (1987, p.177) , a diferença dividida de ordem n é dada por : ny_i= n−1_y i1− n−1_y i x_in−x_i para n =0,1,2,... i=0,1,2,.. Erro de truncamento para a interpolação de Newton é a mesma de Lagrange. EXERCICIOS

16) Sabendose que e=2,72 ,



e=1,65 e que a equação y=x−e−x

=0 tem uma raiz em [0;1] determinar o valor dessa raiz, usando a interpolação de Newton sobre esses 3 pontos. i xi yi 0 1 2 Seja a tabela , usando todos os pontos, determinar o valor interpolado para x=0,4 através da interpolação de Newton . i xi yi

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12 0 0,2 1,22 1 0,4 1,49 2 0,6 1,82 3 0,8 2,23 4 1 2,72 17)Dada a função tabela , encontre o polinomio interpolador pela fórmula Newton: i xi yi 0 0,3 3,09 1 1,5 17,25 2 2,1 25,41 SOLUÇÃO: ordem 1 ordem 2 i xi yi y_i 2y_i 0 0,3 3,09 11,8 1 1 1,5 17,25 13,6 2 2,1 25,41 Pn(x)=yo+∆yo(xxo) +∆2_yo(xxo)(xx1) Pn(x)=3,09 + 11,80 (x0,3) + 1 (x0,3) (x1,5) 18) A velocidade do som na água varia com a temperatura. Usando os valores da tabela, determinar o valor aproximado da velocidade do som na água a 100 o_C. Temperatura (o_{C) Velocidade (m/s)} 86 1552 93,3 1548 98,9 1544 104,4 1538 110 1532

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13 19) BARROSO (1987, p.203), na tabela relaciona a quantidade ideal de calorias, em função da idade e do peso, para homens e mulheres que possuem a atividade física moderada e vivem a uma temperatura ambiente média de 20 graus centígrados. Determinar a cota aproximada de calorias para um homem : a) de 30 anos que pesa 70 kg. b) de 45 anos que passa pesa 62 kg. c) de 50 anos que pesa 78 kg. Peso kg Cota de calorias em Kcal Idade homens Idade mulheres 25 45 65 25 45 65 40 1750 1650 1400 50 2500 2350 1950 2050 1950 1600 60 2850 2700 2250 2350 2200 1850 70 3200 3000 2550 2600 2450 2050 80 3550 3350 3350 20) Use 3 pontos da tabela determinar aproximadamente a cota de calorias para uma mulher de: a) 25 anos e 46 kg b) 30 anos e 50 kg c) 52 anos e 62 kg. 5.2.3 ESTUDO DO ERRO Para CASTILHO (2001, p.65) , o erro cometido na interpolação sobre os pontos x0,x1,...xn, quando aproximase f  x≈P  x e o erro é dado por E_nx _. Teorema : Sejam xo , x1,...,xn n+1 pontos distintos e seja P_nx  ( polinomio interpolador) em xo, x1,...,xn. Se f(x) n+1 vezes diferenciável em [xo,xn] então para x∈[xo , xn ] , o erro é calculado através de E_nx =f  x−P_nx= x−xo x−x1... x−xn fn 1  n1 !para ∈[xo , xn ]

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14

BARROSO( 1987, p;170) Seja G(t)= f(t)P(t) Et (t) uma função auxiliar para calcular o valor de A.

Sendo E_Tx= x−xo x−x1... x−xn  A

Sabese que G(t) anulase em n+2 pontos x0,x1,..,xn e x e Gn1__E=0

para E∈[ xo , xn] conforme o teorema de Rolle.

TEOREMA DE ROLLE BURDEN(2003, p.4), suponha que f pertence C[a,b] ( derivadas continuas de ordem n) e que seja diferenciável em (a,b).Se f(a)=f(b) então existe um numero c em (a,b) para o qual f'(c)=0. Figura 1 Fonte:http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/calculo1/cap2_91.html Derivandose G(t) , n+1 vezes Gn1__t=fn1__{t−n1 ! A} _{, como esta derivando a função}

de G(t) n+1 vezes, P(t)=0 e ETx=n1 ! . Fazendo fn1t−n1! A=0 e isolando

o A. Temse a expressão do limite do erro: em BARROSO (1987, p.171), a fórmula do erro de truncamento resulta em : Et x= x−xo x−x1... x−xn f n 1  n1 ! f é a derivada de ordem n+1. ERRO ABSOLUTO – ERRO VERDADEIRO ∣f  x−P x∣

21) BARROSO ( 1987 ,p.175), usar os valores de e0,0 _, e0,2 _, e0,4_{para determinar o valor} aproximado de e0,1 _{e a cota máxima do erro de truncamento e o erro absoluto.}

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15

P x=yo x−x1∗ x− x2 xo− x1 xo−x2y1

x−xo∗ x−x2 x1−xo x1− x2y2 x− xo∗ x−x1 x2−xo x2−x1 resposta: 1,1046 solução 2: solução 3:VCN Valor de X onde se vai Interpolar Valor Interpolado 1) X = 0,1 Valor Interpolado Y = 1,104575 Usando o método de Lagrange. O polinômio interpolador é : 1 +0,9845*X +0,612499999999999999*X^2 ERRO ABSOLUTO : ∣1,104575−1,105171∣ = ERRO DE TRUNCAMENTO: 0,1−00,1−0,2 0,1−0,4e0,1 6 = EXERCICIOS

22) BURDEN (2003, p.106) para a função dada seja xo=0 x1=0,6 e x2=0,9, construa polinomios interpoladores de grau minimo 1 e no máximo 2 para aproximar f(0,45) e encontre o valor do erro verdadeiro. a) f(x) =cos(x) b) f  x=

_

1x c) f(x)= ln(x+1) d) f(x) =tg (x) respostas: a1) P1(x)=0,148878 x +1 i xi exp(x) 0 0 1,0000 1 0,2 1,2214 2 0,4 1,4918 xo x1 x2 produtórios 0 0,2 0,4 x 0,1 0,1 0,1 0,3 prod x 0,0030 xo 0 0,2 0,4 prod o 0,0800 x1 0,2 0,2 0,2 Prod 1 0,0400 x2 0,4 0,4 0,2 Prod 2 0,0800 po p1 p2 p(x) 0,3750 0,9161 0,1865 1,1046 exato 1,10517 0,000596 0,000553

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16 ∣f 0,45−P10,45∣=0,032558 Et x= x−xo x−x1 f 2 0,45 2! e f” (x) =cos(x) a2) P2(x)=0,452592x² 0,0131009x +1 erro absoluto : 0,0020076 erro de truncamento :0,00220201 APLICAÇÕES DA FERRAMENTA MATEMATICA WXMAXIMA • load("interpol")$ • p:[[0.3,3.09],[1.5,17.25],[2.1,25.41]]$ • lagrange(p); • x^2+10*x APLICAÇÕES DA FERRAMENTA MATEMATICA SCILAB >x x = 0. 1. 2. 3. >y y = 1. 1. 2. 2. >coefs=regress(x,y) ( ajusta para uma reta) coefs = 0.9 ( coeficiente linear)

(17)

17 0.4 ( coeficiente angular) • para ajustar para polinomios de graus 2,3...n no SCILAB tem que resolver através de XT_XB=XT_y REFERENCIAS LAY, David C. Algebra Linear e suas aplicações. 2.ed Editora LTC.RJ.1999. BARROSO, L.C. et. al. Calculo Numerico (com aplicações). 2. ed. Editora Harbra.SP. 1987. BURDEN, R.L. e FAIRES, J.D. Analise Numérica.SP.Editora.Thomson.2003. KOLMAN, Bernard. Introdução a Algebra Linear. Sexta Edição.Editora LTC. RJ.1998. HEY, Amauri Ubiratan Borges et.al. Matematica Para Escolas Técnicas Industriais e Centros de Educação Tecnologica. Geometria Analitica. BH.CEFET de Minas Gerais.1990.

CASTILHO, José Eduardo .Apostila de Cálculo Numérico .Universidade Federal de Uberlandia. Faculdade de Matematica. Mar 2001.

Disponivel em http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/calculo1/cap2_91.html, acessado em 11/05/2009.